2010-2018年江苏省高考数学试题分类解析汇编-解析几何解析版

2010-2018年江苏省高考数学试题分类解析汇编

专题1：解析几何

一、填空题

1. （2018江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线 2222x y 1a b

-=(a 0,b 0)>> 的右焦点F(C,0) 到一条渐近线的距离为 c ，则其离心率的值为 ▲ 。 【答案】2。

【考点】双曲线简单性质的应用。

【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程。双曲线的右焦点F(c,0)到一

条渐近线b y x a =

的距离为2

，

bc b == ，?2223c a c 4-= 即c 2a = 所以双曲线的离心率为：c

e 2a

=

= 。 2. （2018江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线l ：y 2x =上在第一象限内的点，

B(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ，若AB CD 0?=，则点A 的横坐标为

▲ 。 【答案】3。

【考点】圆的方程与平面向量的结合。 【分析】设A(a,2a)(a 0)> ，得出a 5

C(

,a)2

+ ，

得到圆C 的方程(x 5)(x a)y(y 2a)0--+-= ，与直线方程y 2x = 联立，求得D

的坐标(1,2)，结合A B C D ?

=即

22a 3a 2a 15

(5a,2a)(,2a)2a 4a 022

------?-=+-=解得a 3=或a 1=-又a 0>，得a=3 ，

即点A 的横坐标为3。

3.（2017年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22x y 13

-= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F 、2F ，则四边形12FPF Q 的面积是 ▲ 。

【答案】。 【考点】双曲线得性质。

【分析】左右焦点为12F (2,0),F (2,0)- 由双曲线的右准线3

x 2

=

，与双曲线的渐近线方程y x 3=

得到P 、Q

的坐标3P(,22

，3Q(,22

-

，

12FPF Q

1

S 42

=

?=。 4.（2017年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，A(12,0)-，B(0,6)，点P 在圆O ：

22x y 50+=上．若PA PB 20?≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ 。

【答案】??-??

。

【考点】直线与圆的位置关系和向量结合。

【分析】根据题意，设00P(x ,y ) 有2200x y 50+=又有P A P B

2?

≤ 得到2200000000000PA PB (12x ,y )(x ,6y )(12x )y (6y )12x 6y x y 20

=----=+--=+++≤ 又

2200x y 50+=，所以化简为002x y 50++≤，表示直线 2x y 50++≤以及直线下方得区域，

联立22

0000x y 50

2x y 50

?+=??

++=?? 解得0x 5=- 或0x 1= 。结合图形分析可得点P 得横坐标0x 得取值范

围是??-??

。

5.（2016年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22

x y 1

73-=的焦距是 ▲ 。

【答案】 。

【考点】双曲线的几何性质。

【分析】根据222c a b =+ 得2c 7310=+=

，c =焦距

=2c =。

6.（2016年江苏省5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()

22

22x y 1a b 0a b +=>>

的右焦点，直线b

y 2

=与椭圆交于B,C 两点，且BFC 90∠=?，则该椭圆的离心率是_ ▲ 。

【答案】3

。

【考点】椭圆的离心率。

【分析】由题意得F(c,0) ，直线b

y 2=

与椭圆方程联立可得b B(,)22-

，b C(,)22

，又O BFC 90∠= 有BF CF 0?=

，b BF (c )2=+-

，b CF (c )2

=-- 得

22231c a b 044-

+= 且222b a c =- 可得2231c a 42=

所以c

e a 3

===

。

7.（2015年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，以点（1，0）为圆心且与直线

mx y 2m 10(m R)---=∈ 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ 。

【答案】22(x 1)y 2-+=。

【考点】圆的标准方程、圆的切线方程。

【分析】求出圆心到直线的距离d 的最大值，

即

d =

=≤所以m 1= 时，

，即所求圆的标准方程为22(x 1)y 2-+=。

8（2015年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy中，P为双曲线22

x y1

-=右支上的一个动点，若点P到直线x y10

-+=的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为▲ 。

【答案】

2

。

【考点】双曲线的性质。

【分析】双曲线的渐近线方程为x y0

±=，故c的最大值为直线x y10

-+=与渐近线之间的

距离，即d c

2

==≥。

9.（2014年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy中，直线x2y30

+-=被圆22

(x2)(y1)4

-++=截得的弦长为▲ 。

【考点】直线与圆相交。

【分析】圆22

(x2)(y1)4

-++=的圆心为C(2,1)

-，半径为r2

=，点C到直线x2y30

+-=的

距离为d==

l

5

===。

10.（2014年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy中，若曲线2

b

y ax

x

=+(a，b为常数)过点P(25)

-

，，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30

++=平行，则a b

+的值是▲ 。【答案】-3。

【考点】待定系数法求切线。

【分析】曲线2

b

y ax

x

=+过点P(2,5)

-，则

b

4a5

2

+=-①，又

2

b

y'2a x

x

=-，所以

b7

4a

42

-=-

②，由①②解得a1

b1

=-

?

?

=-

?

，所以a b2

+=-。

11.（2013江苏省年5分）双曲线

22

x y

1

169

-=的两条渐近线的方程为▲ 。

【答案】3

y x 4

=±

。 【考点】双曲线渐近线的求法。

【分析】双曲线渐近线为2222x y 0a b -= 本题即22

x y

0169

-= 得3y x 4=±。

12.（2013年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为

22

22x y 1a b

+=(a 0,b 0)>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF

的距离为1d ，F 到l 的距离为2d 。若21d = ，则椭圆的离心率为 ▲ 。

【答案】3

。

【考点】椭圆的离心率的求法。

【分析】由题意，ΔB O F 111S bc ad 22== 得到1bc d a =，椭圆的右准线为2

a x c

=，所以

22

2a b d c c c =-=，所以2b c = 与222a b c =+ 联立，解得e 3

= 。 13.（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22

2x y 1m m +4

-= 的离心率为

，则m 的值为 ▲ ．

【答案】2。

【考点】双曲线的离心率。

【分析】由22

2x y 1m m +4

-=得a =，b =，c = ，所以

c

e 5

a

==

m=2。 14.（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 得方程为22x y 8x 150+-+= ，若直线y=kx-2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径得圆与圆C 有公共点，则k 的

最大值是 ▲ . 【答案】

43

。 【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】将圆C 的方程化为标准方程22(x 4)y 1-+=，圆心C 为（4,0），半径为1。设

00A(x ,kx 2)-，以A 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即AC 1+1≤ AC 为点C 到直线y=kx-2

的距离d =

，d 2≤ 解得40k 3≤≤

，所以k 的最大值为4

3

。 15.（2010年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22

x y 1412

-= 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ . 【答案】4。

【考点】双曲线的定义。

【分析】双曲线的右焦点F （4,0） ，M 在双曲线上，代入横坐标得M

的纵坐标为y =

，

MF 4∴== 。

16.（2010年江苏省5分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22x y 4+= 上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0-+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 ▲ ． 【答案】c (13,13)∈- 。 【考点】圆与直线的位置关系。

【分析】因为圆上有且只有四个点到直线12x 5y c 0-+= 距离为1，故圆心到直线的距离

d 1<

1<，所以c 的取值范围是c (13,13)∈-。

二、解答题

1. （2018年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C

过点1

)2

，焦点

1F (

，2F ，圆O 的直径为12FF ，

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；

（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 。

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；

②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB

的面积为7

，求直线l 的方程。

【答案】（1）椭圆C 的方程为：22x

y 14

+=，圆的O 的方程为：22x y 3+= 。

（2）点P

的坐标为)

，直线方程为：y =+ 。

【考点】椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系。

【分析】（1

）由题意可知c =22a b 3-=

，点1)2 在椭圆上，所以2231

1a 4b

+=联

立解得a 2,b 1== 即得椭圆方程2

2x y 14

+=；

由12F(

12FF 2R ==

，R =得圆的方程为22x y 3+=；

（2）①可知直线l 与圆O 相切，与椭圆C 相切，并且切点在第一象限（如下图），所以可设直线l 的方程为y kx m =+ (k 0,m 0)<>。由直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的

= ，?22m 33k =+。又因为直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程

2

2

y kx m

x y 14

=+???+=?? 消去y 得222(4k 1)x 8kmx 4m 0+++= ，222Δ(8km)4(4k 1)(4m 4)0=-+-= 得22m 4k 1=+ ，所以223k 34k 1+=+()k 0,m 0<>

，解得k 3==

将k 3==代

入22x y 3

y kx m

?+=?

=+?

可得2x 20++=

?x y 1

== 所以点P

得坐标为 ；②设11A(x ,y ) ，22B(x ,y ) ，由22k 0,m 0

m 33k Δ0<>??

=+??>?

?k < 由①知联立直线与椭圆的方程得到

2

2

2

(4k 1)x 8kmx 4m 0+++

=212x x 4k 1

-==

+，圆心到直线的距

离d =， 根据弦长公式可

知122

AB x 4k 1=-=?+，故

ΔABC

21S AB d 24k 1=?==+

得k =

，m =

所以y =+ 。

2（2018年江苏省10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若PC=2 ，求BC 的长。

【答案】BC 2= 。 【考点】圆的切线的应用。

【分析】连接OC ，由题意知CP 是圆的切线，故OC CP ⊥ 在RT ΔPOC 中，

OC 2,PC ==得OP 4= o POC 60∠=，OB OC =所以ΔCOB 是等边三角形，所以BC OC 2==。

3.（2017年江苏省10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22

22x y 1a b

+=(a 0,b 0)>>

的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．

【答案】（1）22x y 143+= ；（2

）P(77

。 【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线得斜率公式。

【分析】(1)由离心率得到a 2c =，又椭圆的准线方程2a

x c

=±，即2

a 28c = 得a 2,c 1==

?b =故椭圆的标准方程为22

x y

143

+=；

(2)设00P(x ,y ) ，则直线2PF 的斜率20PF 0y k x 1=

- 则直线l 2的方程为00

x 1

y (x 1)y -=--，直线1PF 的斜率10PF 0y k x 1=

+ ，则直线l 1 的方程为00

x 1

y (x 1)y +=-+ 联立直线方程0000x 1y (x 1)y x 1y (x 1)y -?=--???

+?=-+??

解得0

0x 7y 7?=±????=±?? 点P

在第一象限，所以。

4.（2016年江苏省年16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知以M 为圆心的圆M ：

22x y 12x 14y 600+--+=及其上一点()A 2,4，

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x 6=上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；

(3)设点()T t,0满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围。

【答案】（1）()()22

x 6y 11-+-=；（2）y 2x 5=+或y 2x 15=-；（3

）t 2?∈-+?。

【考点】圆的方程的求法，直线方程的求法。

【分析】（1）因为N 在直线x 6=上，设()N 6,n ，因为与x 轴相切，则圆N 为

()

()2

22x 6y n n -+-=， n 0>，又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()22

x 6x 725-+-=，则

7n n 5-=+，解得n 1=，即圆N 的标准方程为()()2

2

x 6y 11-+-=；

（2）由题意

得OA =，OA k 2= 设l :y 2x b =+，则圆心M 到直线l 的距

离

b

d ==

，

则

BC =

=，

BC =，即

=b 5=或b 15=-，即l ：y 2x 5=+或y 2x 15=-；

（3）TA TP TQ +=，即T A T Q T P P Q =-=，即T A P Q

=，(TA t =

又P Q 10≤，

10，解得t 2

?∈-+?，对于任意t 2?∈-+?，欲使TA PQ =，此时TA 10≤，只需要作直线TA 2

TA ，必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ =，

即T A P Q

=，因此对于任意

t 2

?∈-+?，均满足题意，综上t 2?∈-+?。 5.（2016年江苏省10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x y 20--=，抛物线()2C:y 2px p 0=>。

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q

， ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2p,p --； ②求p 的取值范围。

【答案】（1）2

y 8x =；（2）4p 0,3??∈ ???

。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角函数定义，旋转和平移的性质。 【分析】（1）l :x y 20--=，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0，即抛物线的焦点为()2,0，

p

22

∴

=，2y 8x ∴=； （2）① 设点()11P x ,y ，()22Q x ,y ，则：211222y 2px y 2px ?=?=?，即2

11222y x 2p y x 2p

?=?

?

??=??，12PQ 221212y y 2p k y y y y 2p 2p -==+-，

又P,Q 关于直线l 对称，PQ k 1∴=-，即12y y 2p +=-，12

y y p 2

+∴

=-，又PQ 中点一定在直线l 上，1212

x x y y 22p 22

++∴

=+=-，∴线段PQ 上的中点坐标为()2p,p --； ②

中点

坐标为()2p,p --，1222

1212y y 2p y y x x 42p 2p +=-?

?∴+?+==-??即1222212y y 2p y y 8p 4p +=-??+=-?，122

12y y 2p y y 4p 4p +=-?∴?=-?，即关于22y 2py 4p 4p 0++-=有两个不等根，Δ0∴>，即()()

2

22p 44p 4p 0-->，得

4p 0,3??

∈ ???

。

6.（2015年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222x y 1a b

+= (a 0,b 0)>>的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距离为3，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程。

【答案】（1）2

2x y 12

+=；（2）y x 1=- 或y x 1=-+。

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系。

【分析】（1）

运用离心率公式c e a 2== 和准线方程2a x c =-，右焦点F(c,0) ，得2

a c 3c += 解得c 1=

，a =，b 1= 所以椭圆方程为2

2x

y 12

+= ；

（2）当AB x ⊥

轴时，AB =CP 3= ,不符合题意。当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB

为y k(x 1)=-，设11A(x ,y )，22B(x ,y )，将AB 代入椭圆方程可得2222(12k )x 4k x 2(k 1)0+-+-= 则

2

122

4k x x 12k +=

+，

2122

2(k 1)x x 12k -=

+，所以

222

2k k C(,)12k 12k -++且

22

122

k )AB (x x )12k

+=+=+，若k 0= 则AB 得垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；若k 0≠，2

22

k 12k PC :y (x )12k k 12k

+=--

++ ，2225k P(2,)k (12k )+-++ 所以22

2(3K 1PC K (12k

)+=+，又PC 2AB = 可得2222

2(3K 1k )

K (12k )12k

++=++解得k 1=± 此时直线AB 的方程为y x 1=- 或y x 1=-+。

7.（2014年江苏省14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，12F F ，分别是椭圆

22

22x y 1(a b 0)a b

+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0b)，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C

，连结1F C 。

（1）若点C 的坐标为4133?

?

???

，，且2BF =

（2）若1

FC

AB ⊥，求椭圆离心率e 的值。

【答案】（1）22x y 12+=；（2）e =

【考点】椭圆的标准方程，椭圆的离心率。

【分析】（1）点41C 33??

???，在椭圆上，代入椭圆方程得 2

2161999a b

+=，又因为22222BF b c a =+=，

所以2

2

a 2==，故2

b 1=，所以椭圆方程为2

2x y 12

+=；

（2）设焦点12F (c 0)F (c 0)C(x y)-，，，，，

， A C ，关于x 轴对称，∴ A(x y)-，， 2B F A ，，三点共线，∴ b b y

c x

+=

--，即bx cy bc 0--=①

1

FC AB ⊥，∴ y b 1x c c

?=-+-，即2xc by c 0-+=② ①②联立方程组，解得2222

22ca x b c 2bc

y b c ?=??-??=?-?

∴ 222222a c 2bc C b c b c ?? ?--??， C 在椭圆上，∴ 2

2

22222222

a c 2bc

b

c b c 1a b ????

? ?--????+=，化简得225c a =，∴

c a 5=,

故离心率为5。 8.（2013年江苏省14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3) ，直线l :y 2x 4=-。设圆的半径为1，圆心在l 上。

(1) 若圆心C 也在直线y x 1=- 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使MA 2MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

【答案】（1）

y 3= 或3y x 34=-+ ；（2）120,5??????

。 【考点】圆的标准方程，圆的切线方程。

【分析】（1）圆心C 在直线l :y 2x 4=-上，也在y x 1=-上，所以联立直线方程y 2x 4

y x 1=-??

=-? 可得圆心坐标C(3,2) 圆的方程为22(x 3)(y 2)1-+-= 。由图可知切线斜率不存在不合题意，

设切线方程为y kx 3=+，圆心到切线的距离d r 1==

即

1= ，解得k 0= 或

3k 4=- ，所以切线方程为y 3= 或3

y x 34

=-+；

（2）设圆心C(a,2a 4)- ，点00M(x ,y ) ，则圆的方程为22(x a)(y 2a 4)1-+-+=，点M 在圆上，所以2200(x a)(y 2a 4)1-+-+=。又因为MA 2MO =，所以22220000x (y 3)4x 4y +-=+整理得2200x (y 1)4++=，M 存在，所以22(x a)(y 2a 4)1-+-+=与 22x (y 1)4++=即两圆相交或相切，222(21)d (21)-≤≤+ 即221(a 0)(2a 4(1))9≤-+---≤ 得12

0a 5

≤≤

。 9.（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222x y 1a b

+=a （>0,b>0） 的左右焦点分别为1F (-c,0)，2F (c,0) ，已知e （1,）

和2

（e,）

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P 。

①若12AF -BF =

求直线1

AF 的斜率；

②求证：12PF PF + 是定值。

【答案】（1）22x y 12+=；（2

）2

。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离。

【分析】（1）由题意知点e （1,） 在椭圆上，c e=a 联立方程2

22c e=a 1e 1

a b ?????+=?? 解得22c a 1=- ，

又点（e,

在圆上，有2

22c

e=a

e221

a b ?????+=??解得2a 2= ，所以椭圆的方程为2

2x y 12+=； （2）①1F (1,0)- ，2F (1,0) ,设11A(x ,y ) ，22B(x ,y ) ，1y 0> ，2y 0> AF 1，BF 2的其直线方程分别为my x 1=+ ，my x-1=，点A 在1AF 上，也在椭圆上，分别代入直线方程和椭圆方

程

2

21111

x y 12

my x 1?+=???=+??

2

2

1

1(m 2)y 2my 10

+--=

?

12m y m 2

+=

+

，

212

2m 1)AF m 2

m 2

++====++ 同理

，2221)BF m 2+-=

+

，所以122

AF BF m 22

-=+

得m =m >0） 所以直线AF 1得斜率

为1m = 。②证明：12AF BF ，∴211BF PB PF AF = ,211BF PB

11PF AF ∴+=+? 12111PB PF BF AF PF AF ++=1

1112

AF PF BF AF BF ∴=+

又12BF BF +

=1

1212

AF PF BF )AF BF ∴=+

同理

可

得

:

2

2112

BF PF AF )

AF BF =

+1212

21121212

AF BF 2AF BF PF1PF2BF )AF )AF BF AF BF AF BF ∴+=

+=-+++ 由上问得

22(m 1)A F 1

B F 2m 2++=+ ，212

2m 1AF

BF m 2+

=+

，12PF PF 2∴+=-=即12PF PF +为定值。

10.（2011年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 、N 分别是椭圆22x y 142

+=的顶点，过坐标原点得直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA PB ⊥ 。

【答案】（1

）k 2

=

；（2

）d 3

=

。 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率。

【分析】（1）由题意可知M(-2,0)

， 所以M,N

的中点坐标为2

（-1,-

，所以PA

2k 102-==-- ；

（2）由k 2= 写出PA 的直线方程y 2x = 与椭圆方程联立22

x y 142

y 2x

?+

=???=?

解得24P(,)33 ，24A --33（，） ，得2C(,0)3 ，故直线AC 的方程为：2

x y 3422333

-

=--- 即2y x 3=- ，点B 在AC 的延长线上，所以点P 到直线AB

的距离d 3==

；

（3）由题意可设P()00x ,y ，00A(x ,y )-- ，11B(x ,y ) ，0C(x ,0) ，又 A 、B 、C 三点共线，

∴BC AC

AB k k k == 即

0101

10010

y y y y x x 2x x x +==-+

，又 点P 、B 在椭圆上∴2200x y 142

+= ，22

11x y 142

+= 两式相减得：

01

PB 01x x k 2(y y )

+=-

+ ，

0101001PB PA 0101001x x y (y y )(x x )

k

k 12(y y )x (x x )(y y )

+++∴=-

?==-+++ ∴PA PB ⊥ 。

11.（2010年江苏省16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22x y 195

+=的左、右焦点分别为A 、B ，右焦点F 。设过点T(t,m) 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点11M(x ,y ) 、

22N(x ,y ) ，其中12m 0,y 0,y 0>>< 。

（1）设动点P 满足22PF PB 4-= ,

求点P 的轨迹； （2）设121

x 1x 3

==

，，求点T 的坐标； （3）设t=9，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）。

【答案】（1）点P 的轨迹为直线9x 2=

（2）10T(7,)3

【考点】曲线方程的求法，直线方程与椭圆方程。

【分析】（1）由题意知：F(2,0) ，A(3,0)- ,B(3,0) ,设点P(x,y) 又22PF PB 4-=，故

()

2

222

x 2y (x 3)y 4??-+--+=?? ，化简得9x 2=

，所以点P 的轨迹为9

x 2

=；

（2）将121x 1x 3==

，，12y 0,y 0><分别代入椭圆方程，得5M (2,)3 ，120

N(,)39- ，整理MA 的直线方程为1y x 13=+ ，MB 的直线方程为55

y x 62

=- ，T 为MA 与MB 的交点，联立MA ，

MB 的方程55

y x 621y x 13

?=-??

?

?=+?? ，解得x 7

10

y 3=???=?? ，即T 的坐标为10(7,)3； （3）因为T(9,m) 直线TA 的方程为

y 0x 3m 093-+=-+ 整理得m

y (x 3)12

=+ ，直线TB 的方程为

y 0x-3m 09-3-=- ，即m y (x-3)6=分别于椭圆联立22m y (x 3)12x y 195?

=+????+=?? ，22

m y (x-3)6x y 1

9

5?=????+=??解得：2223(80m )40m M(,)80m 80m -++，222

3(m 20)20m

N(,)20m 20m --++，当12x x ≠ 时，直线MN 的方程为22

2

22

2222

20m 3(m 20)y x 20m 20m 40m 20m 3(80m )3(m 20)80m 20m 80m 20m -+-++=--+-++++，（12x 3x 3≠-≠， ）另y 0= 解得x 1= ，此时必过点（1,0） ，当12x x = 时，直线MN 的方程为x 1= ，于x 轴的交点为（1,0），所以直线MN 必过x 轴上的一定点（1,0）。

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ，得

《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23

2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分）

4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x

高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）

4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1

（江苏专版）高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方 程教案理（含解析）苏教版 第八节 曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标 即为方程组? ?? ?? F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0 的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点． [小题体验] 1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________． 解析：设P 点的坐标为(x ，y )， ∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴ x ＋2 2 ＋y 2 ＝2 x －1 2 ＋y 2 ， 平方得(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4[(x －1)2 ＋y 2 ]， 化简得(x －2)2 ＋y 2 ＝4， ∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝4.

解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34

2015-2017解析几何全国卷高考真题 1、（2015年1卷5题）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点， 12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?

故圆的方程为22325()24 x y -+= . 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 3、（2015年1卷20题）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2 4 x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -， )N a .

专题三 解析几何 [江苏卷5年考情分析] 第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题 [题组练透] 1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1 k PQ ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)， 所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0 2．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________． 解析：设圆心为(a ，b )， 则??? b －3a ·33＝－1， a －2 ＋()b －32 ＝a 2 ＋ b －3 2 ， 解得a ＝1，b ＝0，r ＝2. 即所求圆的方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中， 若动圆C 上的点都在不等式组??? x ≤3， x － 3y ＋3≥0x ＋ 3y ＋3≥0 ，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为____________．

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3 ＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2 ＋y 2＝4. 答案：(x －1)2 ＋y 2 ＝4 [方法技巧] 1．求直线方程的两种方法 [典例感悟] [典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2 ＋y 2 ＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． (2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2 ＋y 2 ＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为 M ，则线段AM 长的最大值为________． [解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 2 1＝r 2 －? ?? ? ? AB 22 ，d 22＝r 2 －? ????CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以? ?? ??AB 22＝r 2－d 21＝16 －132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝1 2 ×38×38＝19.

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

（2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为 32 的直线l 与 C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【解析】设直线l 方程为 m x y += 23 ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由抛物线焦半径公式可知 12342AF BF x x +=++ =，所以125 2 x x +=， 大题肢解一 直线与抛物线

联立2323y x m y x ? =+???=?得0 4)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=?m m 得1 2 m <， 所以12121259 2 m x x -+=-=，解得78 m =-， 所以直线l 的方程为372 8 y x =-，即12870x y --=. 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【解析】设直线l 方程为23 x y t =+， 联立2233x y t y x ? =+???=? 得0322=--t y y ，由4120t ?=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ， 因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+?+=212214)(9 4 1||y y y y AB = -?-?+)3(429 4123 13 4. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.

第三讲 大题考法——椭圆 题型(一) 直线与椭圆的位置关系 主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方 程、直线方程的求法. [典例感悟] [例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 2 ，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ， C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． [解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2 c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意． 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2 )x 2 －4k 2 x ＋2(k 2 －1)＝0， 则x 1,2＝2k 2 ±21＋k 2 1＋2k 2 ， C 的坐标为? ?? ? ?2k 2 1＋2k 2，－k 1＋2k 2， 且AB ＝x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 ＝ 1＋k 2 x 2－x 1 2 ＝221＋k 2 1＋2k 2 . 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2 ＝－1k ? ?? ??x －2k 2 1＋2k 2，

则P 点的坐标为? ?? ??－2，5k 2 ＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝ 2 3k 2＋11＋k 2 |k |1＋2k 2 . 因为PC ＝2AB ， 所以 23k 2 ＋1 1＋k 2 |k |1＋2k 2＝421＋k 2 1＋2k 2 ， 解得k ＝±1. 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. [方法技巧] 解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点 (1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等． (2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理． [演练冲关] 1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已 知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2 ，两条准线之间的距离为4 2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2 ＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且 △AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程． 解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2 c ＝42， 解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1，所以A (－2,0)． 设M (x 0，y 0)(－2

专题09 解析几何 第二十四讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条 切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M

在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐 标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在 不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．

第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷8】设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23 的直线与 C 交于M ，N 两点，则FM FN = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2.【2018全国一卷11】已知双曲线C ： 2 2 13 x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M 、N.若△OMN 为直角三角形，则 |MN |= A ．32 B ．3 C ．23 D ．4 3.【2018全国二卷5】双曲线2 2 2 21(0,0)x y a b a b 的离心率为 3，则其渐近线方程为 A ．2y x B ．3y x C ．22 y x D ．32 y x 4.【2018全国二卷12】已知1F ，2F 是椭圆2 2 2 21(0)x y C a b a b ：的左、右焦点，A 是C 的 左顶点，点P 在过A 且斜率为36 的直线上，12PF F △为等腰三角形， 12120F F P ， 则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ． 13 D ． 14 5.【2018全国三卷 6】直线2 0x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 2 2 2 2x y 上，则 ABP △面积的取值范围是 A ．26， B ．48 ，C ． 232 ，D ．2232 ，6.【2018全国三卷11】设12F F ，是双曲线2 2 221x y C a b ： （00a b ，）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若1 6PF OP ，则C 的离

见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________．

6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率