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高考数学基础知识梳理

高考数学基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有

理数集、实数集。

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如： }

12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；

}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；

}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x

z x x y z G =++==

（5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。如：}012|{2

=--=x ax x A ，如果φ=+

R A I ，求a 的取值。二、集合间的关系及其运算

（1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；

符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（2）_}__________{_________

=B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则：

①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___；

②?=A B A I ；?=A B A Y ；

?=U B A C U Y ；?=φB A C U I ；

③=B C A C U U I ； )(B A C U I =；

（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ；

②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则

=n ；若n 被3除余2，则=n ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集

的个数是__________，所有非空真子集的个数是。（2）B A Y 中元素的个数的计算公式为：=)(B A Card Y ；（3）韦恩图的运用：

四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?；若；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?；若；则p 是q 的充要条件B A _____?；

若；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________?；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；

注意：“若q p ???，则q p ?”在解题中的运用，

如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的条件。

六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ?则p ?”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾

判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒

假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个；A 到B 的函数有个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有个。函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为个。二、函数的三要素：，，。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法： ①)

()

(x g x f y =

，则； ②)()(*2N n x f y n ∈=则； ③0

)]([x f y =，则； ④如：)(log )(x g y x f =，则；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数)(x f y =的定义域是]1,0[，求)()()(a x f a x f x -++=?的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S ；定义域为。（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=

；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+

=k x

x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=

x b a b a bx

a bx

a y （2种方法）

； ②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y （2种方法）；③)0,(,1

2-∞∈-+-=x x x x y （2种方法）；三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0?

f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周

期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+a)=f(x －a),则2a 为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。对称变换 y=f(x)→y=f (－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a －x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；如：)(x f y =的图象如图，作出下列函数图象：（1）)(x f y -=；（2）)(x f y -=；（3）|)(|x f y =；（4）|)(|x f y =；（5）)2(x f y =；（6）)1(+=x f y ；（7）1)(+=x f y ；（8）)(x f y --=；（9）)(1

x f

y -=。

五、反函数：（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件：；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；（4）求反函数的步骤：①将)(x f y =看成关于x 的方程，解出)(1

y f x -=，若有两解，

要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1

x f

y -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =

的

值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系：；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；