七年级上册数学期末试卷(培优篇)(Word版含解析)
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=70°,将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注:∠DOE=90°)
(1)如图①,若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE=________°;(2)如图②,将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度数;
(3)如图③,将直角三角板DOE绕点O转动,如果OD始终在∠BOC的内部,试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系?并说明理由.
【答案】(1)20
(2)解:如图②,∵OC平分∠EOB,∠BOC=70°,
∴∠EOB=2∠BOC=140°,
∵∠DOE=90°,
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°,
∵∠BOC=70°,
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°
(3)解:∠COE-∠BOD=20°,
理由是:如图③,∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°,
∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°,
即∠COE-∠BOD=20°
【解析】【解答】⑴如图①,∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°;
【分析】(1)根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余,那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°;
(2)根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°,∠COE=∠BOC=90°,所以它的余角∠COD=20°;
(3)一个是直角∠EOD,,一个是70°∠BOC,这两个角里都包含了同一个角∠COD,那么大家都减去这个∠COD的度数,剩下的两角差与原两角差是一致的,所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。
2.如图(1),AB∥CD,试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系,说明理由.
(1)填空:解:过点P作EF∥AB,
∴∠B+∠BPE=180°
∵AB∥CD,EF∥AB
∴________(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)
∠EPD+________=180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
(2)依照上面的解题方法,观察图(2),已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D 的数量关系,并说明理由.
(3)观察图(3)和(4),已知AB∥CD,直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系,不用说明理由.
【答案】(1)CD∥EF;∠D
(2)解:猜想∠BPD=∠B+∠D,
理由:过点P作EP∥AB,
∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D
(3)图③结论:∠D=∠BPD+∠B,
理由是:过点P作EP∥AB,
∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D;
图④结论∠B=∠BPD+∠D,
理由是:∵EP∥AB,
∴∠B=∠BPE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EP∥AB,
∴CD∥EP(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD=∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D
【解析】【解答】(1)过点P作EF∥AB,
∴∠B+∠BPE=180°,
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴CD∥EF(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
∴∠EPD+∠D=180°,
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°,
∴∠B+∠BPD+∠D=360°,
故答案为:CD∥EF,∠D;
【分析】(1)过点P作EF∥AB,根据平行线的性质,可证得∠B+∠BPE=180°,再证明CD∥EF,就可证得∠EPD+∠D=180°,两式相加,就可得出∠BPD与∠B、∠D的数量关系。(2)过点P作EP∥AB ,就可证得CD∥EP,利用两直线平行,内错角相等,可证∠B=∠BPE,∠EPD=∠D,就可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系。
(3)过点P作EP∥AB,易证CD∥EP,再根据平行线的性质,可证得∠B=∠BPE,∠EPD=∠D,即可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系;图4,利用同样的方法,可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系。
3.如图1,平面内一定点A在直线MN的上方,点O为直线MN上一动点,作射线OA、OP、OA′,当点O在直线MN上运动时,始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP,将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB
(1)如图1,当点O运动到使点A在射线OP的左侧,若OB平分∠A′OP,求∠AOP的度数.
(2)当点O运动到使点A在射线OP的左侧,∠AOM=3∠A′OB时,求的值.
(3)当点O运动到某一时刻时,∠A′OB=150°,直接写出∠BOP=________度.
【答案】(1)解:由题意可得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP,
∵OB平分∠A′OP,
∴∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,
∴∠POB=20°,
∴∠AOP=2∠POB=40°
(2)解:①当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,如图1,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3∠A′OB=3x,∠AOA′= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AON=180°-3,∠AOP=90°-3x,
∴,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP=
∴,解得:,
∴;
②当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,如图2,
设∠A′OB=x,则∠AOM=3x,∠AON= ,∠AOA′= ,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x,
∴,解得:,
∴;
(3)解:①如图3,当∠A′OB=150°时,由图可得:∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=45°,
∴∠BOP=60°+45°=105°;②如图4,当∠A′OB=150°时,由图可得
∠A′OA=360°-150°-60°=150°,又∵∠AOP=∠A′OP,∴∠AOP=75°,∴∠BOP=60°+75°=135°;综上所述:∠BOP的度数为105°或135°.
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和∠ AOP=∠A′OP可得∠POB= ∠AOB,∠AOP=
∠AOB,则∠POA的度数可求解;
(2)由题意可分两种情况:
①
当点O运动到使点A在射线OP的左侧,且射线OB在在∠A′OP的内部时,由角的构成易得∠AOP= -∠AOM= -3∠A′OB,∠AOA′=+∠A′OB,由角平分线的性质可得
∠AOP=∠A′OP,于是可得关于∠A′OB的方程,解方程可求得∠A′OB的度数,则
可求解;
②
当点O运动到使A在射线OP的左侧,但是射线OB在∠A′ON内部时,同理可求解;(3)由题意可分两种情况讨论求解:①当∠A′OB沿顺时针成
150°时,结合已知条件易求解;
②
当∠A′OB沿时针方向成 150°时,结合题意易求解。
4.将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B =45°,直角顶点C保持重合).
(1)①若∠DCE=45°,则∠ACB的度数为________.
②若∠ACB=140°,则∠DCE的度数为________.
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)将三角尺BCE绕着点C顺时针转动,当∠ACE<180°,且点E在直线AC的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行,但不必说明理由);若不存在,请说明理由.
【答案】(1)135°;40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+∠ECB=90°+90°=180°.
(3)(3)存在.当∠ACE=30°时,AD∥BC;当∠ACE=45°时,AC∥BE;当∠ACE=120°时,
AD∥CE;当∠ACE=135°时,CD∥BE;当∠ACE=165°时,AD∥BE.
【解析】【解答】(1)①∵∠ECB=90°,∠DCE=45°,
∴∠DCB=90°-45°=45°,
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°.
②∵∠ACB=140°,∠ACD=90°,
∴∠DCB=140°-90°=50°,
∴∠DCE=90°-50°=40°.
【分析】(1)①根据角的和差,由∠DCB=∠BCE-∠DCE,即可算出∠DCB的度数,进而根据∠ACB=∠ACD+∠DCB即可算出答案;②根据角的和差,由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数,再根据∠DCE=∠ECB-∠DCB即可算出答案;
(2)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:根据角的和差得出∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB ,故由∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE =90°+∠ECB 即可算出答案;
(3)存在.当∠ACE=30°时,根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC;当∠ACE=45°时,内错角相等二直线平行得出AC∥BE;当∠ACE=120°时,根据同旁内角互补,二直线平行得出AD∥CE;当∠ACE=135°时,根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE;当∠ACE =165°时,根据同旁内角互补,二直线平行得出AD∥BE.
5.已知O为直线AB上一点,射线OD、OC、OE位于直线AB上方,OD在OE的左侧,∠AOC=120°,∠DOE=50°,设∠BOE=
(1)若射线OE在∠BOC的内部(如图所示):
①若 =43°,求∠COD的度数;
②当∠AOD=3∠COE时,求∠COD的度数;
(2)若射线OE恰为图中某一个角(小于180°)的角平分线,试求的值.
【答案】(1)①∵∠BOC=180°?∠AOC,∠AOC=120°
∴∠BOC=180°?120°=60°
∵∠COE=∠BOC?∠BOE,∠BOE=n=43°
∠COD=∠DOE?∠COE,∠DOE=50°
∴∠COD=50°?(60°?43°)=33°
②当∠DOE在∠BOC之间时,设∠COD=x,则由题意可得:120+x=3(50+x)无解;
当OD在∠AOC之间时,设∠COD=x,则由题意可得120-x=3(50-x)解得x=15°
所以当∠AOD=3∠COE时,∠COD=15°
(2)解:如图,
当OE1平分∠BOC时,
∵∠AOC=120°
∴∠BOC=180°?120°=60°
∴n=∠BOE1= ∠BOC=30°;
如图,
当OE2平分∠BOD2时,
n=∠BOE2=∠D2OE=50°;
如图,
当OE3平分∠COD3时,
∵∠E3OC=∠D3OE3=50°,∠BOC=180°?∠AOC=180°?120°=60°
∴n=∠BOE3=∠BOC+∠E3OC=60°+50°=110°;
如图,
当OE4平分∠AOC时,
∵∠COE4= ∠AOC= ×120°=60°
∠BOC=180°?∠AOC=180°?120°=60°
∴n=∠BOE4=∠BOC+∠COE4=60°+60°=120°
【解析】【分析】(1) ① 根据平角的定义,由∠BOC=180°?∠AOC 算出∠BOC的度数,根据角的和差,由∠COE=∠BOC?∠BOE ,∠COD=∠DOE?∠COE ,算出∠COD的度数;②扶摇分类讨论:当∠DOE在∠BOC之间时,设∠COD=x,则∠AOD=120+x,∠COE=50+x,根据∠AOD=3∠COE 列出方程,求解即可;当OD在∠AOC之间时,设∠COD=x,则则∠AOD=120-x,∠COE=50-x,根据∠AOD=3∠COE 列出方程,求解即可,综上所述即可得出答案;
(2)需要分类讨论:①当OE1平分∠BOC时,根据平角的定义算出∠BOC 的度数,根据角平分线的定义得出n=∠BOE1= ∠BOC=30°;② 当OE2平分∠BOD2时,n=∠BOE2=∠D2OE=50°;③ 当OE3平分∠COD3时, n=∠BOE3=∠BOC+∠E3OC ,④ 当OE4平分∠AOC时, n=∠BOE4=∠BOC+∠COE4,综上所述即可得出答案。
6.【探索新知】
如图1,射线OC在∠AOB内部,图中共有3个角:∠AOB、∠AOC和∠BOC,若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“二倍线”.
(1)一个角的角平分线________这个角的“二倍线”.(填是或不是)
(2)【运用新知】如图2,若∠AOB=120°,射线OM绕从射线OB的位置开始,绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转,当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转,设射线OM旋转的时间为t(s),若射线OM是∠AOB的“二倍线”,求t的值. (3)【深入研究】在(2)的条件下.同时射线ON从射线OA的位置开始,绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转,当射线OM停止旋转时,射线ON也停止旋转.请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值.
【答案】(1)是
(2)解:若∠AOM=2∠BOM时,且∠AOM+∠BOM=120°
∴∠BOM=40°
∴t= =4,
若∠BOM=2∠AOM,且∠AOM+∠BOM=120°
∴∠BOM=80°
∴t= =8
若∠AOB=2∠AOM,或∠AOB=2∠BOM,
∴OM平分∠AOB,
∴∠BOM=60°
∴t= =6
综上所述:当t=4或8或6时,射线OM是∠AOB的“二倍线”.
(3)解:若∠AON=2∠MON,则5t=2×(5t+10t-120)
∴t=9.6
若∠MON=2∠AOM,则5t+10t-120=2×(120-10t)
∴t=
若∠AOM=2∠MON,则120-10t=2×(5t+10t-120)
∴t=9
综上所述:t=9.6或或9.
【解析】【解答】(1)解:∵一个角的平分线平分这个角,且这个角是所分两个角的两倍,
∴一个角的角平分线是这个角的“二倍线”,
故答案为:是
【分析】(1)由角平分线的定义可得;(2)分三种情况讨论,由“二倍线”的定义,列出方程可求t的值;(3)分三种情况讨论,由“二倍线”的定义,列出方程可求t的值.
7.如图,已知∠AOB=α°,∠COD在∠AOB内部且∠COD=β°.
(1)①若α,β满足|α-2β|+(β-60)2=0,则①α=________;
②试通过计算说明∠AOD与∠COB有何特殊关系________;
(2)在(1)的条件下,如果作OE平分∠BOC,请求出∠AOC与∠DOE的数量关系;
(3)若α°,β°互补,作∠AOC,∠DOB的平分线OM,ON,试判断OM与ON的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)120°;解:∵∠AOB=α°=120°,∠COD=β°=60°,
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=120°-∠DOB,∠COB=∠COB+∠DOB=60°+∠DOB,∴∠AOD+∠COB=180°,即∠AOD与∠COB互补
(2)解:设∠AOC=θ,则∠BOC=120°-θ.
∵OE平分∠BOC,∴∠COE= ∠BOC= (120°-θ)=60°- θ,
∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°-60°+ θ= θ= ∠AOC;
(3)解:OM⊥ON.理由如下:
∵OM,ON分别平分∠AOC,∠DOB,
∴∠COM= ∠AOC,
∴∠DON= ∠BOD,
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON
= ∠AOC+ ∠BOD+∠COD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB-∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD)
= (α°+β°)
∵α°,β°互补,
∴α°+β°=180°,
∴∠MON=90°,
∴OM⊥ON
【解析】【解答】(1)①由题意得:α-2β=0,β=60°,解得:α=120°;
【分析】(1)①由绝对值和偶次方的非负性可得α-2β=0,β-60°=0,解方程可求得α和β的度数;
②由①可知α和β的度数分别为:β=60°,α=120°;即所以∠AOB+∠COD=α+β=180°;而由图中角的构成可得∠AOD=∠AOB-∠BOD;∠COB=∠COD+∠BOD,所以∠∠AOD+∠COB=∠AOB-∠BOD+∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°;
(2)由角平分线的定义可得∠COE=∠BOE= ∠BOC,由图中角的构成可得∠DOE=∠COD-∠EOC,代入整理结合(1)中求得的度数即可得解;
(3)由角平分线的定义可得∠COM= ∠AOC,∠DON= ∠BOD,由图中角的构成和已知条件可求得∠MON=90°;由垂线的定义即可判断OM⊥ON。
8.如图,OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线.
(1)如图1,当∠AOB=90°,∠BOC=60°时,∠MON的度数是多少?为什么?
(2)如图2,当∠AOB=70°,∠BOC=60°时,∠MON=________度.(直接写出结果)(3)如图3,当∠AOB=α,∠BOC=β时,猜想:∠MON的度数是多少?为什么?
【答案】(1)解:如图1,∵∠AOB=90°,∠BOC=60°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°,
∵OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,
∴∠MOC=∠AOC=75°,
∠NOC=∠BOC=30°,
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=75°﹣30°=45°;
(2)35
(3)解:如图3,∵∠AOB=α,∠BOC=β,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β,
∵OM是∠AOC的平分线,ON是∠BOC的平分线,
∴∠MOC=∠AOC=(α+β),
∠NOC=∠BOC=β,
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(α+β)﹣β=α.
【解析】【解答】解:(2)如图2,∵∠AOB=70°,∠BOC=60°,
∴∠AOC=70°+60°=130°,
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC=65°,∠NOC=∠BOC=30°,
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣30°=35°.
故答案为:35.
【分析】(1)求出∠AOC度数,求出∠MOC和∠NOC的度数,代入∠MON=∠MOC﹣
∠NOC求出即可;(2)求出∠AOC度数,求出∠MOC和∠NOC的度数,代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可;(3)表示出∠AOC度数,表示出∠MOC和∠NOC的度数,代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可.
9.如图
(1)如图1,AB∥CD,∠AEP=40°,∠PFD=130°。求∠EPF的度数。
小明想到了以下方法(不完整),请填写以下结论的依据:
如图1,过点P作PM∥AB,
∴∠1=∠AEP=40°(________)
∵AB∥CD,(已知)
∴PM∥CD,(________)
∠2+∠PFD=180°(________)
∵∠PFD=130°,∴∠2=180°-130°=50°
∴∠1+∠2=40°+50°=90°
即∠EPF=90°
(2)如图2,AB∥CD,点P在AB,CD外,问∠PEA,∠PFC,∠P之间有何数量关系?请说明理由;
(3)如图3所示,在(2)的条件下,已知∠P=α,∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G,用含有α的式子表示∠G的度数是________。(直接写出答案,不需要写出过程)
【答案】(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线互相平行;两直线平行,同旁内角互补
(2)解:
理由如下:过点作,则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即 .
(3)
【解析】【解答】(3)如图:
∵EG平分∠PEA,FG平分∠PFC,
∴∠1=∠PFC,∠2=∠PEA,
∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=(∠PFC-∠PEA),
∵∠PFC=∠PEA+∠P,
∴∠PFC-∠PEA=∠P,
∴∠1-∠2=∠P,
∵∠3=∠P+∠2,
∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.
【分析】(1)根据平行线的性质及平行公理,即可求解;
(2)过点P作PN∥AB,根据平行公理得PN∥CD,得出∠PFC=∠FPN,由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE,
从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE,即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE,即可求解;
(3)根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC,∠2=-∠PEA,由∠PFC=∠PEA+∠P,得出∠1-∠2=
∠P,由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1,∠3=∠P+∠2,从而求出∠G=α.
10.在直角坐标系中,已知点A(a,0),B(b,c),C(d,0),a是-8的立方根,方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x,y的二元一次方程,d为不等式组的最大整数解.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)如图1,若D为y轴负半轴上的一个动点,当AD∥BC时,∠ADO与∠BCA的平分线交于M点,求∠M的度数;
(3)如图2,若D为y轴负半轴上的一个动点,连BD交x轴于点E,问是否存在点D,使S△ADE≤S△BCE?若存在,请求出D的纵坐标y D的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:-8的立方根是-2,
∴a=-2,
方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x,y的二元一次方程,
∴,
解得,,
不等式组的最大整数解是5,
则A(-2,0)、B(2,4)、C(5,0)
(2)解:作MH∥AD,
∵AD∥BC,
∴MH∥BC,
∵∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠OAD=90°,
∵AD∥BC,
∴∠BCA=∠OAD,
∴∠ADO+∠BCA=90°,
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于M点,
∴∠ADM= ∠ADO,∠BCM= ∠BCA,
∴∠ADM+∠BCM=45°,
∵MH∥AD,MH∥BC,
∴∠NMD=∠ADM,∠HMC=∠BCM,
∴∠M=∠NMD+∠HMC=∠ADM+∠BCM=45°;
(3)解:存在,
连AB交y轴于F,
设点D的纵坐标为y D,
∵S△ADE≤S△BCE,
∴S△ADE+S△ABE≤S△BCE+S△ABE,即S△ABD≤S△ABC,
∵A(-2,0),B(2,4),C(5,0),
∴S△ABC=14,点F的坐标为(0,2),
S△ABD= ×(2-y D)×2+ ×(2-y D)×2=4-2y,
由题意得,4-2y D≤14,
解得,y D≥-5,
∵D在y轴负半轴上,
∴y D<0,
∴D的纵坐标y D的取值范围是-5≤y D<0.
【解析】【分析】(1)根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d,得到点A、B、C的坐标;(2)作MH∥AD,根据平行线的性质得到∠BCA=∠OAD,得到∠ADO+∠BCA=90°,根据角平分线的定义得到∠ADM+∠BCM=45°,根据平行线的性质计算即可;(3)连AB交y轴于F,根据题意求出点F的坐标,根据三角形的面积公式列出方程,解方程即可.
11.课题学习近平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
解:过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=________.
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°.点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
【答案】(1)∠DAC
(2)解:如图2,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=∠ABC=30°,∠CDE=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
故答案为∠DAC;
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,然后根据已知条件即可得到结论;(3)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数.
12.以直线AB上点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将直角△DOE的直角顶点放在点O处.
(1)如图1,若直角△DOE的边OD放在射线OB上,则∠COE=________;
(2)如图2,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得OE平分∠AOC,说明OD所在射线是∠BOC的平分线;
(3)如图3,将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动,使得∠COD= ∠AOE.求∠BOD的度数.
【答案】(1)30
(2)解:∵OE平分∠AOC,
∴∠COE=∠AOE= ∠COA,
∵∠EOD=90°,
∴∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,
∴∠COD=∠DOB,
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
(3)解:设∠COD=x°,则∠AOE=5x°,
∵∠DOE=90°,∠BOC=60°,
∴6x=30或5x+90﹣x=120,
∴x=5或7.5,
即∠COD=65°或37.5°,
∴∠BOD=65°或52.5°
【解析】【解答】(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°,
又∵∠COB=60°,
∴∠COE=∠BOE-∠COB=30°,
故答案为30;
【分析】(1)根据图形得出∠COE=∠BOE-∠COB,代入求出即可;(2)根据角平分线定
义求出∠COE=∠AOE= ∠COA,再根据∠AOE+∠DOB=90°,∠COE+∠COD=90°,可得∠COD=∠DOB,从而问题得证;(3)设∠COD=x°,则∠AOE=5x°,根据题意则可得6x=30或5x+90﹣x=120,解方程即可得.
13.如图,三角形ABC,直线,CD、BD分别平分和.
(1)图中,,,求的度数,说明理由.
(2)图中,,直接写出 ________.
(3)图中,, ________.
【答案】(1)解:
,
,
如图1过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理
(2)
(3)
【解析】【解答】
如图2过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理,
,