高考数学玩转压轴题专题7.3临界知识问题
专题7.3 临界知识问题
一．方法综述
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。
二．解题策略
类型一定义新知型临界问题
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
()()()()
()()()()
,
{
,
C A C B C A C B
C B C A C A C B
-≥
-<
若A＝{1,2}，B
＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】B
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。
【举一反三】设a ，b ∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝,{
,a a b b a b
≤>，a ∨b ＝,{
,b a b a a b
≤>若正数a ，
b ，
c ，
d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则（ ）
A ． a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B． a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ． a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D． a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C
【解析】不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c ．
若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2．故a ∨b ≥2． 若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2．故c ∧d ≤2． 本题选择C 选项．
类型二 高等数学背景型临界问题
【例2】设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋
b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ?T ?R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①②
【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算
1214233
4
a a a a a a a a =-，将函数
()3sin 1cos x
f x x
=
的图像向左平移(0)n n >个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小值为（ ）
A ．
6π B ． 3π C ． 23π D ． 56
π 【答案】D
【解析】函数()3sin 32cos 61cos x f x cosx sinx x x π?
?=
=-=+ ??
?的图象向左平移n （n ＞0）个单位，
所得图象对应的函数为y=2cos （x+n+6π），根据所得函数为偶函数，可得n+6
π=kπ，k∈z， 则n 的最小值为
56
π
，故选：D ． 类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点P 为棱长是3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点P 满足1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹的长度为__________． 【答案】6π
【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体
1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）
A ． 10,3?? ??
? B ． 10,2
?? ??
? C ． 2,13?????? D ． 1
,12??????
【答案】B 【解析】
依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形1AMND ，从而当1
02
BM <≤时，截面为四边形，当1
2
BM >
时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM 的取值范围是10,2
?? ??
?
，故选B ．
三．强化训练
1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量αv 和βv ，定义cos α
αβθβ
?=v
v v v ，其中
θ为αv 和βv 的夹角．
若两个非零的平面向量a v 和b v 满足：①a b ≥v v ；②a v 和b v 的夹角0,4πθ??
∈ ??
?
；③a b ?v v 和b a ?v v 的值都在集合|, 2n x x n N ??
=∈????
中．则a b ?v v 的值为（ ）．
A ．
52 B ． 32 C ． 1 D ． 1
2
【答案】B
2．【北京市西城区2017— 2018第一学期期末】设α为空间中的一个平面，记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中到α的距离为(0)d d >的点的个数为m ， m 的所有可能取值构成的集合为M ，则有（ ） A ． 4M ∈， 6M ? B ． 5M ?， 6M ? C ． 4M ?， 6M ∈ D ． 5M ?， 6M ∈ 【答案】D 【解析】
当α为面11BB D D 时，A,C, 1C ,1A 到面α的距离相等，即4M ∈，排除
C;
取E,F,G,H 为1111BC B C C D ，，， CD 的中点，记α为EFGH 时，点111,,,,,B B D D C C ，六个点到面α的距离相等，即6M ∈，排除A,B ． 故选D ．
3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若
()1,{
0,R x Q f x x C Q
∈=∈，则称()f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对
任意x R ∈，都有()1f f x ??=??；
②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈， ()()121f x x f x +=；④对任意(),,0a b ∈-∞，都有(){}(){}
x f x a x f x b =．其中所有真命题的序号
是（ ）
A ． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④ 【答案】D
（x ）≥0恒成立，∴对任意a ，b∈（-∞，0），都有{|}{|}x f x a x f x b R ==（）＞（）＞ ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D ．
4．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】如图， PAD ?为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面
PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD
及其内部的轨迹为（ ）
A ． 椭圆的一部分
B ． 双曲线的一部分
C ． 一段圆弧
D ． 一条线段 【答案】D
【解析】在空间中，存在过线段PC 中点且垂直线段PC 的平面，平面上点到,P C 两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为一条线段，选A ．
5．【湖南省株洲市2018届教学质量统一检测】已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC ，分别交于三点,,M N Q ，若MNQ ?为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ） A ． 22． 3 C ． 23． 4 【答案】C
当a b b c -=-时取等号．故答案为23．故选C ．
6．【河北省衡水市阜城中学2017-2018上学期第五次月考】定义方程()()f x f x ='的实数根0x 叫做函数
()f x 的“新驻点”，若函数()g x x =， ()()ln 1h x x =+，()31x x ?=-的“新驻点”分别为,,αβγ，
则,,αβγ的大小关系为（ ）
A ． αβγ>>
B ． βαγ>>
C ． γαβ>>
D ． βγα>> 【答案】C
7．【吉林省实验中学2018届一模】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 14,2AA AB BC === ，动点,P Q
分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（ ）
A ．
223 B ． 23 C ． 4
3
D ． 25
【答案】C 【解析】
建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,4),
()()22
910160,,2,0,2,2,,0,0,255599m P t t t Q m m m PQ t m ????????∈-∈∴=-+-+ ? ?????????
当且仅当1059t m ==
时，PQ 取最小值4
3
，选C ． 8．【陕西省西安市长安区一中2017-2018上学期期末】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
12,22AB CC ==， E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）
A ． 1
B ．3
C ．2
D ． 2 【答案】A
9．【河南省南阳市一中2017-2018上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量
()1,n n n c a a +=u u v ，(),1n b n n =+u u v
， *N n ∈．下列命题中真命题是（ ）
A ． 若*
N n ?∈总有n n c b ⊥u u v u u v
成立，则数列{}n a 是等比数列
B ． 若*
N n ?∈总有n n c b P u u v u u v
成立，则数列{}n a 是等比数列
C ． 若*
N n ?∈总有n n c b ⊥u u v u u v
成立，则数列{}n a 是等差数列
D ． 若*
N n ?∈总有n n c b P u u v u u v
成立，则数列{}n a 是等差数列
【答案】D
10．【北京市海淀区2018届第一学期期末】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____． 33【解析】 由题意得，过点Q 作QN ⊥平面ABCD ，垂足为N ， 在点N 在线段AC 上，分别连接,PQ PN , 在直角PNQ ?中， (
)
2
22
2
42
PQ QN PN PN =
+=
+
在平面ABCD 内过点M 作MA AC ⊥，则2MA =，即M 到直线AC 的最短距离为2， 又1PM =，当P MA ∈时，此时min 11PN MA =-=, 所以PQ 的最小值为()
2
2min 42133PQ =
+=
11．【广西桂林市、贺州市2018届上学期期末联考】把长AB 和宽AD 分别为32的长方形ABCD 沿对角线AC 折成B AC D --的二面角()0θθπ<<，下列正确的命题序号是__________． ①四面体ABCD 外接球的体积随θ的改变而改变； ②BD 的长度随θ的增大而增大；
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考数学玩转压轴题专题4.4立体几何中最值问题
专题4.4 立体几何中最值问题 一．方法综述 高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 二．解题策略 类型一距离最值问题 AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2 ⊥，则边CG长度的最小值为（） 使得GP BP A. 4 B. 43 C. D. 23 【答案】D
又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.2 2ax ax BP x GP x a ???? =--=-- ? ?????u u u r u u u r () 24022ax ax PB PG x x a ?? =-++-= ??? u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以22 1642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]2 20,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23. 故选D. 【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r 与的坐标， 根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式22 16 42a x x = --，利用函数求其最值。 举一反三 1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。 【答案】 3254 2?? ??
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
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