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北京高考数学压轴题试题集锦(含详细解析)

北京高考数学压轴题试题集锦

第1讲真题分析

【例1】（2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =L ，，

，≥，其中(12)i a i k ∈=Z L ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：

{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．

其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -?，则称集合A 具有性质P ．

（I ）检验集合{}01

23，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)

k k n -≤

；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．

（I ）解：集合{}01

23，，，不具有性质P ．集合{}1

23-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．

（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．

因为0A ?，所以()(12)i i a a T i k ?=L ，，

，，；又因为当a A ∈时，a A -?时，a A -?，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ?=L ，，，

，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)

k k n -≤．（III ）解：m n =，证明如下：

（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．

如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．

故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．

可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，

（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是

T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，

故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．

可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．

【例2】（2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *

=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数

m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.

（Ⅰ）若11

,23

p q =

=-，求3b ；（Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；

（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *

=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得1123

n a n =-，解11323n -≥，得20

n ≥

. Ⅰ

323

n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-，对于正整数m ，由n a m ≥，得1

m n +≥. 根据m b 的定义可知

当21m k =-时，(

m b k k N =∈；当2m k =时，(

1m b k k N

=+∈.

Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++L L L ()()1232341m m =++++++++++????L L ()()

213222

m m m m m m ++=

+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m q

n p

-≥

. Ⅰ32()m b m m N *

=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3132m q

m m p

-+<

≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231

p q

m p +≤--），这与上述结论矛盾！

当310p -=，即13p =

时，得21

033

q q --≤<--，

解得21

q -

≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *

=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =

，2133

q -≤<-. 【例3】（2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥L L 具有性质P ：对任意的

(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A .

（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅰ）证明：11a =，且

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++L L ；（Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列..k.s.5.

本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于34?与

均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于661236

12,13,16,23,,,,,,231236

????都属于数集{}1,2,3,6，

Ⅰ该数集具有性质P.

（Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =L 具有性质P ，Ⅰn n a a 与

a a 中至少有一个属于A ，由于121n a a a ≤<<，故n n a a A ?. 从而1n

a A a =

∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<，故()2,3,,k n a a A k n ?=L . 由A 具有性质P 可知

()1,2,3,,n

a A k n a ∈=L . 又Ⅰ

121

n n n n

n n a a a a a a a a -<<<

,,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --====L ，从而

121121

n n n n

n n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++L L ， Ⅰ

12111

12n

n n

a a a a a a a ---+++=+++L L . （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有

552343

,a a a a a a ==，即2

5243a a a a ==，

Ⅰ1251a a a =<<

Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ?，

由A 具有性质P 可知4

a A a ∈. 由2

243a a a =，得

3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232

a a

a a a ==， Ⅰ

5342

24321

a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.

【例4】（2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于

12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…

A 与

B 之间的距离为=1

(,)||i i i d A B a b =

-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ?，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为

()P d

，证明：

()P d

≤

2(1)

m -.

证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈

因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1

(,)||||||n

i d A C B C a c b c =--=

---∑

由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;

当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1

(,)||(,)n

i d A C B C a b d A B =--=

-=∑

(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈

(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.

记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知

(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=

(,)(,)d B C d B A C A h =--=

所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，

即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。（III ）2,1()(,)A B P

d P d A B C ∈=

∑

,其中

,(,)A B P

d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和，

设P 种所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则

,(,)A B P

d A B ∈∑

()n

i t m t =-∑

由于i t ()i m t -2

(1,2,...,)4

m i n ≤=

所以,(,)A B P d A B ∈∑2

≤

从而2

,1()(,)42(1)A B P

m m nm mn

d P d A B C C m ∈=≤=-∑ 【例5】（2011北京理）若数列n A ：1a ，2a ，…，(2)n a n ≥满足1||1k k a a +-=（k =1，2，…，1n -），则称

n A 为E 数列。记12()n n S A a a a =+++L .

（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；

（Ⅰ）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；

（Ⅰ）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

【命题意图】本题考查数列的综合应用，考查学生推理论证能力、抽象概括能力以及探究问题能力，是难题.

（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5.

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5）（Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11Λ==-+k a a k k . 所以n A 是首项为12，公差为1的等差数列. 所以200012(20001)12011a =+-?=. 充分性，由于200019991a a -≤,

199919981a a -≤,

……

211a a -≤,

所以200011999a a -≤,即200011999a a ≤+. 又因为1200012,2011a a ==,a 1=12， ∴200011999a a =+.

故110(1,2,,1999),n n a a k +-=>=L 即n A 是递增数列. 综上，结论得证.

（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则Λ ∵2111112c c a a c a a ++=++= ……

,1211+++++=n n c c c a a Λ

∴13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S Λ

)].1()2)(1()1)(1[(2

)

1(121--++--+----=

n c n c n c n n Λ ∵1,k c =±所以1k c -为偶数(1,,1).k n =-L ∴12(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c --+--++-L 为偶数, ∴要使()0,n S A =必须使

(1)

n n -为偶数, 即4整除(1),n n -即4n m =或41(*)n m m N =+∈.

当41(*)n m m N =+∈时，E 数列n A 的项满足41k a += 41k a -=0，421,k a -=- 14=k a

),,2,1(m k Λ=时，有;0)(,01==n A S a

4411(1,2,,),0k k a k m a +===L 时，有10,()0;n a S A ==

当41(*)n m m N =+∈时,E 数列n A 的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a

当42n m =+或43()n m m N =+∈时，(1)n m -不能被4整除，此时不存在E 数列n A ，使得

10,()0n a S A ==.

【例6】（2013北京理）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项

1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n

(I)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ⅠN *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；

(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列； (III)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1

【解答】解：（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3?，是一个周期为4的数列，111211d A B ∴=-=-=，

222211d A B =-=-=，333413d A B =-=-=，444413d A B =-=-=．

（Ⅰ）充分性：设d 是非负整数，若{}n a 是公差为d 的等差数列，则1(1)n a a n d =+-，

1(1)n n A a a n d ∴==+-，11n n B a a nd +==+，n n n d A B d ∴=-=-，(1n =，2，3，4)?．

必要性：若n n n d A B d =-=-，(1n =，2，3，4)?．假设k a 是第一个使10k k a a --<的项，

则110k k k k k k k d A B a B a a --=-=-->…

，这与0n d d =-?相矛盾，故{}n a 是一个不减的数列． 1n n n n n d A B a a d +∴=-=-=-，即1n n a a d +-=，故{}n a 是公差为d 的等差数列．

（Ⅰ）证明：若12a =，1(1n d n ==，2，3，)?，首先，{}n a 的项不能等于零，否则1202d =-=，矛盾．而且还能得到{}n a 的项不能超过2，用反证法证明如下：

假设{}n a 的项中，有超过2的，设m a 是第一个大于2的项，由于{}n a 的项中一定有1，否则与11d =矛盾．

当n m …时，2n a …

，否则与1m d =矛盾．因此，存在最大的i 在2到1m -之间，使1i a =，此时，2220i i i i d A B B =-=--=?，矛盾．综上，{}n a 的项不能超过2，故{}n a 的项只能是1或者2．下面用反证法证明{}n a 的项中，有无穷多项为1．

若k a 是最后一个1，则k a 是后边的各项的最小值都等于2，故220k k k d A B =-=-=，矛盾，故{}n a 的项中，有无穷多项为1．

综上可得，{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．

【例7】（2014北京理）对于数对序列()

11,P a b ，()

22,a b ，???，(),n n

a b ，记()1

T P a b =+，

()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=+++???+剟，

其中(){}112max ,k k T P a a a -++???+表示()1k T P -和12k a a a ++???+两个数中最大的数，（I ）对于数对序列()2,3P ，()4,1，求()1T P ，()2T P 的值．

（II ）记m 为a b c d 、

、、四个数中最小值，对于由两个数对(),a b ，(),c d 组成的数对序列()(),,,P a b c d 和

()()',,,P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较()2T P 和()2'T P 的大小．

（III ）在由5个数对()11,8，()5,2，()16,11，()11,11，()4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值．（只需写出结论）

（I ）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；

（II ）当m a =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+；

()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；因为a 是a b c d 、

、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++?，从而()()22'T P T P ?；当m d =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；

因为d 是a b c d 、

、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++?，从而()()22'T P T P ?；综上，这两种情况下都有()()22'T P T P ?．（III ）52．

【例8】（2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n

n a a a a a +?=?

->?，≤，

，()12n =，，…．记集合{}*|n M a n =∈N ．

（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；

（Ⅰ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅰ）求集合M 的元素个数的最大值．

【分析】（Ⅰ）16a =，利用1182,

18236,n n n n

n a a a a a +>?=?-??可求得集合M 的所有元素为6，12，24；

（Ⅰ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由1182,

18(1236,n n n n

n a a a n a a +>?==?

-??，2，)?，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数；

（Ⅰ）分1a 是3的倍数与1a 不是3的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）若16a =，由于1182,

18(1236,n n n n n a a a n a a +>?==?

-??，2，)?，*{|}n M a n N =∈．故集合M 的所有元素为6，12，24；

（Ⅰ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由1182,

18(1236,n n n n

n a a a n a a +>?==?

-??，2，)?，可归纳证明对任意n k …，n a 是3的倍数．如果1k =，M 的所有元素都是3的倍数；

如果1k >，因为12k k a a -=，或1236k k a a -=-，所以12k a -是3的倍数；于是1k a -是3的倍数；类似可得，2k a -，?，1a 都是3的倍数；从而对任意1n …，n a 是3的倍数；

综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合M 的所有元素都是3的倍数

（Ⅰ）对136a ?，11

182,

18(1236,n n n n n a a a n a a -->?==?-??，2，)?，可归纳证明对任意n k …，36(2n a n <=，3，)?

因为1a 是正整数，112112,18

236,18a a a a a ?=?->??，所以2a 是2的倍数．

从而当2n …时，n a 是2的倍数．

如果1a 是3的倍数，由（Ⅰ）知，对所有正整数n ，n a 是3的倍数．因此当3n …时，{12n a ∈，24，36}，这时M 的元素个数不超过5．如果1a 不是3的倍数，由（Ⅰ）知，对所有正整数n ，n a 不是3的倍数．因此当3n …时，{4n a ∈，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8．当11a =时，{1M =，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．

【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．

【例9】（2016北京理）设数列()12,,2.N A a a a N ≥K ：如果对小于()2n n N ≤≤的每一个正整数k 都有k n a a <则称

n 是数列A 的一个” G 时刻”.记()G A 是数列A 的所有” G 时刻”组成的集合.

()1对数列A ：-2,2,-1,1,3,写出()G A 的所有元素；

()2证明：若数列A 中存在n a 使得1k a a >，则()G A ≠?；

()3证明：若数列A 满足()112,3,,n n a a n N --≤=L

,则()G A 的元素个数不小于1N a a -.

（I ） ()G A 的所有元素：2,5

（II ）证明：不妨设123,,,,n a a a a L 中的最大值第一次出现时为(1)m a m n <≤，则由1n a a >可得1m a a >

因此对小于m 的每个正整数k 都有k m a a <，故()m G A ∈，所以()G A ≠?； (III) 证明：

Ⅰ当1N a a ≤时，显然成立；

Ⅰ当1N a a >时，先证明数列A 中第一次出现比1a 大的数p a 应属于区间11(,1]a a +，否则假设第一次出现比1a 大的数为11p a a >+，则11p p a a -->，矛盾，故结论成立。依题()p G A ∈

同理数列A 中第一次出现比11(0,1,2,3[]1)N a i i a a +=--L ，

，大的数时应属于区间1(,1]i a i a i +++，其对应的项也都是数列的“G 时刻”

若1N N a a *-∈，则至少对应1N a a -个“G 时刻”；

若1N N a a *-?，则第一次出现比11[]N a a a +-大的数时所对应的项数也为数列的“G 时刻”，则至少会有1[]1N a a -+个“G 时刻”；

综上，()G A 的元素个数不小于1N a a -

第2讲模拟经典

【例1】若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设

(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++L ．

（Ⅰ）求(6)g ,(20)g 的值；（Ⅰ）求1S ，2S ，3S 的值；（Ⅰ）求数列{}n S 的通项公式．

（Ⅰ）(6)3g =，(20)5g =．…………2分

（Ⅱ）1(1)(2)112S g g =+=+=；

2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=；

3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=．…………6分

(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m *∈N ，

有(2)()g m g m =． …………8分

所以当2n ≥时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n

n S g g g g g g =+++++-+L

[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++L L 1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+?+?++?L L

11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-?=++++L

114n n S --=+…………11分

于是114n n n S S ---=，2,n n *

≥∈N ．

所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+L

12244442n n --=+++++L

14(14)4221433

n n --=+=+-，2,n n *≥∈N ．…………13分

又12S =，满足上式，

所以对n *∈N ，1(42)3

n S =+． …………14分

【例2】对于数列12n A a a a L ：，，

，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=???，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设

0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=

12k =L .，，3,.

(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；

(Ⅰ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；

(Ⅰ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =???.求k l 关于k 的表达式.

(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………………2分

0:1,0,1A ……………………4分

(Ⅰ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………5分

证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，

因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………………8分 (Ⅰ) 设k A 中有k b 个01数对，

1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，

1k A +中的01数对有两个产生途径：Ⅰ由k A 中的1得到； Ⅰ由k A 中00得到，

由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，

所以12k

k k b l +=+，所以22k

k k l l +=+，

由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==，当3k ≥时，

若k 为偶数，2

22k k k l l --=+ 4

242k k k l l ---=+

422l l =+

上述各式相加可得12

2421(14

)

1222(21)14

k k k k

l ---=++++==--L ，经检验，2k =时，也满足1(21)3

k l =-

若k 为奇数，2

22k k k l l --=+ 4

242k k k l l ---=+

L 312l l =+

上述各式相加可得12

322(14

)

12221(21)14

k k k k

l ---=++++=+=+-L ，经检验，1k =时，也满足1(21)3

k l =+

所以1(21),3

1(21),3

k k k l k ?+??=?

?-??为奇数为偶数……………………..13分

【例3】将一个正整数n 表示为12p a a a +++L （p *∈N ）的形式，其中i a *∈N ，1,2,,i p =L ，且12p a a a L ≤≤≤，记所有这样的表示法的种数为()f n （如44=，413=+，422=+，4112=++，

41111=+++，故()45f =）

． Ⅰ 写出()3f ，()5f 的值，并说明理由；

Ⅰ 对任意正整数n ，比较()1f n +与()()1

22f n f n ++???

?的大小，并给出证明； Ⅰ 当正整数6n ≥时，求证：()413f n n -≥．

Ⅰ 33=，312=+，3111=++

Ⅰ()33f = ………………2分

55=，514=+，523=+，5113=++，5122=++，51112=+++，511111=++++，

Ⅰ()57f = ………………4分

Ⅰ ()11f =，()22f =，()33f =，()45f =，()57f =，()611f =，()715f =，…．

()()()1

122

f n f n f n +++????≤ ………………5分只需要证明()()()()211f n f n f n f n +-++-≥，证明如下：………6分

注意到在n 的所有表示法()1n +前加上“1+”就可以得到()1n +的表示法中1为第一项的表示法因此()1n +的表示法中以1为第一项的有()f n 种，

因此不以1为第一项的有()()1f n f n +-种；类似的，()2n +的表示法中不以1为第一项的有

()()21f n f n +-+种； 7分

在所有以()1n +的表示法中所有不以1为第一项的表示法中的最后一项加上1就可以得到()2n +的表示法中不以1为第一项的表示法，且这些表示法均不相同．

Ⅰ()()21f n f n +-+≥()()1f n f n +- 综上，命题得证． ………………9分

Ⅰ 法一

根据Ⅰ，()()()()211f n f n f n f n +-++-≥，而()611f =，()715f = ………………10分 Ⅰ()()764f f -=，()()874f f -≥，()()984f f -≥，…，()()14f n f n --≥，其中k *∈N …11分累加就有()()()646f n f n --≥，即()413f n n -≥． ………………13分法二

由于当6n =时，()611f =，命题成立；

因此只需要证明当6n ≥时，()()14f n f n +-≥即可． ……………10分在()1n +的表示法中，以1为第一项的有()f n 个；考虑()1n +的表示法中不以1为第一项的，至少有三类 1个数的，()()11n n +=+，共1个；

2个数的，()()121n n +=+-，()()132n n +=+-，…，()()111122n n n n ++?

???

+=++-????????

1442443，至少有2个； 3个数的，

()()111112333n n n n n +++?

?????

+=+++-????????????

144424443，…，至少有1个．从而()()14f n f n +-≥． ………………12分累加即得()413f n n -≥． ………………13分

【例4】已知有穷数列A ：12,,,n a a a L ，(2n ≥).若数列A 中各项都是集合{|11}x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列.对于Γ数列A ，定义如下操作过程T ：从A 中任取两项,i j a a ，将

1i j i j

a a a a ++的值添在A 的最后，然后删除

,i j a a ,这样得到一个1n -项的新数列1A (约定:一个数也视作数列). 若1A 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到

的新数列记作2A ，L L ,如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A （Ⅰ）设11

:0,,.23

A 请写出1A 的所有可能的结果；

（Ⅰ）求证：对于一个n 项的Γ数列A 操作T 总可以进行1n -次；

（Ⅰ）设5

111511111:,.7654623456

A ----，

，，，，，，，求9A 的可能结果，并说明理由. （Ⅰ）1A 有如下的三种可能结果：11111115

:,;:,;:0,32237

A A A …………………………3分

（Ⅰ）?,{|11}a b x x ∈-<<，有

(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)

(1)0.11a b a b ab ab

+++--=>++ 所以

1a b

++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.

又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列

A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项）……………………7分

（Ⅰ）由（Ⅰ）可知9A 中仅有一项.

对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b

a b ab

+=+:，下面证明这种运算满足交换律和结合律。因为1a b a b ab +=

+:，且1b a

b a ba

+=+:，所以a b a b =::，即该运算满足交换律；因为1()1111b c

a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc ca

a bc ++

+++++===++++++?+:::

且

1()1111a b

a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab

+++++++===++++++?+::: 所以()()a b c a b c =::::，即该运算满足结合律.

所以9A 中的项与实施的具体操作过程无关 ………………………………………..….12分选择如下操作过程求9A ：由（Ⅰ）可知115237

=:；易知55077-

=:；11044-=:；11055-=:；11

066-=:；所以5:

A 5

,0,0,0,06

；易知5A 经过4次操作后剩下一项为56

. 综上可知： 95

A ..............................................................................................14分

【例5】若m A A A ,,,21Λ为集合2}(,,2,1{≥=n n A Λ且)n ∈*

N 的子集，且满足两个条件：

Ⅰ12m A A A A =U UL U ；

Ⅰ对任意的A y x ?},{，至少存在一个},,3,2,1{m i Λ∈，使}{},{x y x A i =I 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21Λ具有性质P .

如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为??

??∈=)

)(1l l kl A k A k a .

（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===.

（Ⅰ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；

（Ⅰ）当100n =时，集合组12,,,t A A A L 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及

12||||||t A A A ++L 的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）

（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分

所对应的数表为：

…………3分

集合组2不具有性质P . ………………4分因为存在{{2,3}1,2,3,4}?，

有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===?I I I ，

与对任意的A y x ?},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i =I 或}{y 矛盾，所以集合组

123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . …………5分

（Ⅱ）

21a

22a

…

m a 2

…

1n a 2n a

…

nm a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1

……………7分

123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分

（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设12,,,t A A A L 所对应的数表为数表M ，

因为集合组12,,,t A A A L 为具有性质P 的集合组，所以集合组12,,,t A A A L 满足条件①和②，由条件①：12t A A A A =U UL U ，

可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈L 有i A x ∈，所以1=xi a ，即第x 行不全为0，

所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. ………………9分

由条件②知，对任意的A y x ?},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈L ，使}{},{x y x A i =I 或}{y ，所以

yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.

所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分

因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t 个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t -个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t ≤-，所以7t ≥.

又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P . 所以7t =. ………………12分因为12||||||t A A A +++L 等于表格中数字1的个数，

所以，要使12||||||t A A A +++L 取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而7t =时，在数表M 中，

1的个数为1的行最多7行；

1的个数为2的行最多2

721C =行；

1的个数为3的行最多3

735C =行；

1的个数为4的行最多4

735C =行；

因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，

所以此时表格中最少有722133543552304+?+?+?+?=个1. 所以12||||||t A A A +++L 的最小值为304. ………………14分

【例6】对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =???.

（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；

（Ⅰ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则

12()()f x f x ≠；

（Ⅰ）若B A ?，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.

（Ⅰ）解：因为201191229=?+,

所以22,9q r ==. ……………………………………2分

（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则

()()f x f y ≠.

设(1)f a =，{1,2,3}a ∈，(2)f b =，{1,2,3}b ∈，由已知a b ≠, 由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1)f f ≠，(3)(2)f f ≠. 不妨令(3)f c =，{1,2,3}c ∈，这里c a ≠，且c b ≠，同理，(4)f b ≠，且(4)f c ≠，

因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =. 即(1)(4)f f =，但是|41|3-=，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则

()()f x f y ≠. ……………………………………8分

（Ⅲ）当8m =时，记}16,,2,1|7{???=+=i i M ，}4,3,2,1|)7(2{=+=i i N 记P =M N C ，

则12)(=P card ，显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同样的，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此7m ≤. ……………………………………10分下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”. 设}7,,,,{1121a a a B ???=，

若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合}16,8,4,2{1=B ，}12,6,3{2=B ，}20,10,5{3=B ，

}18,9{4=B ，}22,11{5=B ，}23,19,17,15,13{='B .

以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '?的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7

【例7】已知集合{1,2,3,,}(*)M n n =?N L ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m =臀N L ，且对任意的b M ?，

存在,(1)i j a a A i j

m 危＃，使得12i j b a a λλ=+（其中12,{1,0,1}λλ?），则称集合A 为集合M 的一个m

元基底.

（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； Ⅰ{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；

Ⅰ{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.

（Ⅰ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +?；

（Ⅰ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M =L 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .

解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.

理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜

-；

②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是 11213,21203,30213=-??????，

412

12,51213,61313=??????.………3分

（Ⅱ）不妨设12m a a a <<

形如11i

j a a ??(1)i

j m ??的正整数至多有2

m C 个；

形如(1)1i j a a -??(1)i j m ??的正整数至多有2

m C 个.

又集合{1,2,3,,}M n =L 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.

故22

m m m m C C n +++?，即(1)m m n +?. …………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m +?，所以4m 3.

当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =L 的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，则410a 3. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.

如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10}A =和{5,7,9,10}A =都不是

{1,2,3,,19}M =L 的4元基底，矛盾.

当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是

{1,2,3,,19}M =L 的4元基底，矛盾.

当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是

{1,2,3,,19}M =L 的4元基底，矛盾.

当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,13}A =不是

{1,2,3,,19}M =L 的4元基底，矛盾.

当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,14}A =不是

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)

1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q

高考数学压轴题解题思路

高考数学压轴题解题思路一、数学归纳法的工具显神通. 案例一下面是：2016年北京理科高考数学压轴题。设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ? ； (I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于1a a N -. 仅证第三小问. 分析：(I I I ）记|)|A G （表示集合中元素个数. （1）2=n 时，当1|)(|,12=>A G a a ，又112≤-a a ，则.|(|12a a A G -≥）当0|)(|012=≤-A G a a ，显然，，）12|(|a a A G -≥2=∴n 成立. （2）假设k n =成立,如何利用k n =去证1+=k n 成立是个难点.首先对k n =成立的理解.其实质是k 个元素，k b b b ,,21.如果),2.(11k n b b n n =≤--,则)(A G 元素个数不小于1b b k -，k b b b ,,21,可能是k a a a ,,21，也可能是 n a a a ,,21中任k 个元素组成的数列，只要新数列后一项减去前一项不超过1，就可以利用归纳假设.在利用k n =来证1+=k n 成立时.必须对121,+k a a a 减少一个元素，减少谁呢？显然，根据“G 时刻定义”，去掉最大或最小元素对处理G 时刻增加或减少较好处理. 选择最小元素所在位置为分类标准. ①在121,+k a a a 中如果最小元素是1+k a ，011≤-+a a k 显然成立. ②如果最小元素是1a ，去掉1a 后，12+k a a ，)1,,3,11+=≤--k n a a n n （符合k n =成立的条件.令12+k a a 的G 时刻组成的集合为)A G （，则.|(|21a a A G k -≥+）因为1a 是最小元素，121,+k a a a 的G 时刻元素个数为

高考数学填空选择压轴题试题汇编

高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科）目录（120题）第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38

第十部分算法（2 题）··········································21/40 第十一部分交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分参考答案············································23/40 【说明】：汇编试题来源河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。第一部分函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.