学而思七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优_绝对经典)

第1讲 与有理数有关的概念 考点?方法?破译

1?了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量 2 ?会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想

3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个 数的相反数、绝对值、倒数 ? 经典?考题?赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前—7米⑵收人—50元⑶体重增加—3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量. 而相反意义的量包合两个要素：

一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两，如“向前与自后、

收入与支

出、增加与减少等等”

解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支出50元⑶体重增加—3千克表示体重 减小3千克?

【变式题组】

01.如果+ 10%表示增加10%那么减少8%可以记作（ ）

A.

—18% B .

— 8% C .

+ 2% D .

+ 8%

02.（）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5吨大米表示为（） A.

— 5 吨 B .

+ 5 吨 C

.

— 3 吨 D .

+ 3 吨

03.（）与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比晚） ?如现在是时间15 : 00,纽 约时问是 _____

A. 1 个 B .

2 个 C .

3 个 D

正整数

整数0

负整数

3. 1415926…是无限不循环小数， 它不能写成分数的形式， 所以n 不是有理数，—号是分数

0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式， 0是整数，所以都是有理数，故选

【例2】在—

22 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（

正有理数

正整数

正分数

负有理数

【解法指导】有理数的分类： ⑴按正负性分类，有理数

负整数

负份数；按整数、分数

分数

正分数 分类，有理数

负分数

;其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为

C.

【变式题组】

1

1

01.在 7, 0. 1 5301.31.25 石，100.1 , - 3 001 中，负分数为

，整数

2 8 为

，正整数 02.()请把下列各数填入图中适当位置

【例3】()有一列数为—1, , — 3, 4.— 5, 6,…，找规律到第 2007个数是

【解法指导】从一系列的数中发现规律， 首先找出不变量和变量， 再依变量去发现规律.击【变式题组】

01.()数学解密：第一个数是 3 = 2 + 1，第二个数是5= 3 + 2,第三个数是 四十数是17= 9 + & ??观察并精想第六个数是

02.()毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填 ___________ . 03.()有一组数I , 2, 5, 10, 17, 26…请观察规律，则第 8个数为 ___________ . 【例4】(2008年)若I +》勺相反数是—3，则m 的相反数是 ________ .

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义， 代数意义只有符号不同的两个数叫互为相 反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反 03.如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A B C 分别

填人适当的数，使得它们折成正方体 .若相对的面上的两个数互为相反数，则

填人正方形A 、B 、C 的三个数依次为() A.

— 1 ,2 , 0 B . 0 , — 2, 1 C .

— 2, 0, 1 D . 2 , 1 , 0

【例5】()a 、b 为有理数，且a >0, b v 0, |b| >a ，贝U a,b 、一 a, — b 的大小顺序是()

A. b v — a v a v — b B . — a v b v a v — b C . — b v a v — a v b D . — a v a v — b

v b

A

C

B

*2

归纳去猜想，然后进行验证 .解本题会有这样的规律: ⑴各数的分子部是 1；⑵各数的分母

依次为 1, 2, 3, 4, 5, 6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所 以第2007个数的分子也是

1.分母是2007,并且是一个负数，故答案为―

1

2007.

数，本题 2=— 4,m = — 8

【变式题组】

01. () — 5的相反数是()

1 1

A. 5 B . 7 C . — 5 5

D . — 5

02.已知a 与b 互为相反数，

c 与

d 互为倒数，则a + b + cd = 1

2

13

9 = 5 + 4,第

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离

a( a 0) 0(a 0)

即|a|,用式子表示为|a| = a

（a 0）

.本题注意数形结合思想，画一条数轴

b, — a,故选 A. 【变式题组】

01.推理①若a = b ，则|a| = |b| ;②若|a| = |b|，则a = b ;③若a 丰b ,则|a |工| b| ;④若 |a |工| b|，则a 丰b ,其中正确的个数为（ ）

A. 4个 B . 3个 C .

2个 D . 1个 02. a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，贝U

EL +牛+乩=

a b c

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用， 因为任何有理数a 的绝对值

都是非负数，即

|a| > 0 .所以|a - 4| > 0, |b - 8| > 0.而两个非负数之和为 0,则两数均为 0.

解：因为 |a - 4| > 0, |b - 8| > 0,又 |a - 4| + |b - 8| = 0,二 |a -4| = 0, |b - 8| = 0 即 a a+b 12 3

-4 = 0, b - 8= 0, a = 4, b = 8.故药=32 =

8 【变式题组】

01.已知 |a| = 1, |b| = 2, |c| = 3,且 a > b > c ,求 a + b + C. 02.（）若 |m - 3| + |n + 2| = 0,贝U m+ 2n 的值为（） A.

- 4 B .

-1 C .

0 D .

4 03.已知 |a| = 8 , |b| = 2,且 |a — b| = b - a ,求 a 和 b 的值

【例7】（第18届迎春杯）已知（m + n ）2 + |m| = m 且|2m - n — 2| = 0 .求mn 的值. 【解法指导】本例关键是通过分析

（m + n ）2 + |m|的符号，挖掘出 m 的符号特征，从而把问题

转化为(m + n)2 = 0 , |2m — n — 2| = 0,找到解题途径 解：??? (m + n)2 > 0 , |m| > O

(m + n)2 + |m| > 0,而(m + n)2 + |m| = m /? m > 0, ??? (m + n)2 + m = m, 即 (m + n)2 = 0 /? m + n = O

①

又?/ |2m -n -2| = 0 ?- 2m — n — 2 = 0 ②

2 2

4

由①②得 m= 3 , n =- 3, ? mn =- 9 【变式题组】

01 .已知(a + b)2 + |b + 5| = b + 5 且 |2a - b - l| = 0,求 a - B .

02.(第 16 届迎春杯)已知 y = |x - a| + |x + 19| + |x - a -96| ,如果 19 v a v 96 . a < x < 96, 求y 的最大值.

演练巩固?反馈提高

03. a 、 b 、c 为不等于O 的有理散，则 的值可能是

【例6】 (课改)已知 |a - 4| + |b - 8| = 0，则 a+b

ab

的值. 标出a 、b,依相反数的意义标出一

01 ?观察下列有规律的数 2,6,1, _0,30,￡…根据其规律可知第 9个数是（）

A. 1个

B

. 2个 C .

3个 D .

4个

04.若一个数的相反数为 a + b ,则这个数是()

A. a — b B . b — a C

.

— a + b D .

— a — b

05. 数轴上表示互为相反数的两点之间距离是 6,这两个数是（） A. 0 和 6 B . 0 和一6 C .3 和—3 D . 0 和 3 06. 若一a 不是负数，贝U a （）

A.

是正数 B . 不是负数 C .

是负数

D . 不是正数

07. 下列结论中，正确的是 （）

①若 a = b,则 |a| = |b| ②若a =—b,则 |a| = |b| ③若 |a| = |b|，则 a =— b ④若 |a| = |b|, 贝 U a = b A.

①② B .

③④ C .

①④ D .

②③

08?有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示 的是()

A. |b| > a >— a > b B .

|b|

> b > a >— a

C . a >|b| >b >— a

D . a >|b| >— a >b

10. __________________________________ 已知 |x

+ 2| + |y + 2| = 0,则 xy = __________________ 11.

a 、

b 、

c 三个数在数轴上的位置如图，求 胆L +些+ ^c L +乩

a b abc c

b

12.

若三个不相等的有理数可以表示为 1、a 、a + b 也可以表

示成0、b 、-的形式，试求a 、 a

b 的值.

13. 已知 |a| = 4, |b| = 5, |c| = 6,且 a > b > c ,求 a + b — C.

A.

02. 1 1 56 B .

72 C

()—6的绝对值是( 1 90

A.

1

帀

1 —6

03.

n ,8 . 0.3四个数中，有理数的个数为

,则a 、b ,— a , |b|的大小关系正确

09. 一个数在数轴上所对应的点向右移动

5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数

14. |a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x —1| + |x —3|有没有

最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由

15. 点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A B两点之间的距离表示为|AB| .当A B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1, |AB| = |OB| = |b| = |a —b| 当A B两点都不在原点时有以下三种情况：

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB| = |OB| —|OA| = |b| —|a| = b—a= |a —b| ;

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB| =|0B| —|OA| = |b| —|a| =— b —( —a) = |a —b| ;

③如图4，点A、B在原点的两边，|AB| = |0B| —|0A| = |b| —|a| =—b— (—a)= |a —b| ; 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB| = |a —b| .

OCA) S O A B B A O BOA

G—「竈「初去0 J J 「

回答下列问题：

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离

是，3

，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是4

;

⑵数轴上表示x和一1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是|x+1|

如果|AB| = 2，那么x = 1 或3;

⑶当代数式|x + 1| + |x —2|取最小值时，相应的x的取值围是7

培优升级?奥赛检测

01.（市竞赛题）在数轴上任取一条长度为 19991的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖

住的整数点的个数是（） A.

1998 B .

1999 C .

2000 D .

2001

02.（第18届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数

a 、

b 、

c 对应的点的位置如图所示，有

下列四个结论： ①abc v 0;② |a — b| + |b — c| = |a — c| ;③（a — b ） （b — c ）（c — a ） > 0;④ |a|

v 1 — bc .其中正确的结论有（）

A.

4 个 B . 3个 C . 2个D .

1个

一 abc

abc

,

03.如果a 、b 、c 是非零有理数，且 a + b + c = 0.那么 +皿厂+匸厂+，

的所有可能

|a| |b| |c|

|abc|

的值为（

） A .

— 1 B .

1 或—1 C .

2 或—2 D .

0 或—2

04.已知|m| = — m,化简|m —1| — |m — 2|所得结果（） A.

— 1 B . 1 C . 2m — 3 D . 3 — 2m

05.如果 0v p v 15,那么代数式 |x — p| + |x — 15| + |x — p — 15| 在 p w x < 15 的最小值（） A.

30 B .

0 C .

15 D .

一个与p 有关的代数式

06. |x + 1| + |x — 2| + |x — 3| 的最小值为

07.若 a >0, b v 0,使 |x — a| + |x — b| = a — b 成立的 x 取值围

08.（市选拔赛试题）非零整数m n 满足|m| + |n| — 5= 0所有这样的整数组（m,n ）共有 组

|m| |n|

|p|

2mnp

满足半+半+牛=1.则爲■

|x — 1| + |x — 2| + |x — 3| +???+ |x — 1997| 的最小值.

11. 已知(|x + 1| + |x — 2|) (|y — 2| + |y + 1| ) ( |z — 3| + |z + l| )= 36,求 x + 2y + 3 的最 大值和最小值?

09.若非零有理数

10. （19届希望杯试题）试求

学而思初一数学资料培优汇总精华

第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

学而思七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优_绝对经典)

第1讲 与有理数有关的概念 考点?方法?破译 1?了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量 2 ?会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个 数的相反数、绝对值、倒数 ? 经典?考题?赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前—7米⑵收人—50元⑶体重增加—3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量. 而相反意义的量包合两个要素： 一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两，如“向前与自后、 收入与支 出、增加与减少等等” 解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支出50元⑶体重增加—3千克表示体重 减小3千克? 【变式题组】 01.如果+ 10%表示增加10%那么减少8%可以记作（ ） A. —18% B . — 8% C . + 2% D . + 8% 02.（）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5吨大米表示为（） A. — 5 吨 B . + 5 吨 C . — 3 吨 D . + 3 吨 03.（）与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比晚） ?如现在是时间15 : 00,纽 约时问是 _____ A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D 正整数 整数0 负整数 3. 1415926…是无限不循环小数， 它不能写成分数的形式， 所以n 不是有理数，—号是分数 0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式， 0是整数，所以都是有理数，故选 【例2】在— 22 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（ 正有理数 正整数 正分数 负有理数 【解法指导】有理数的分类： ⑴按正负性分类，有理数 负整数 负份数；按整数、分数 分数 正分数 分类，有理数 负分数 ;其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为 C.

hinjcAAA学而思初一数学资料培优汇总(精华)

h i n j c A A A学而思初一数学资料培优汇总(精 华) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图 所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。

学而思七年级数学培优讲义word版

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数 分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限 不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033. 3是无限循 环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

学而思初一数学资料培优汇总(精华)

一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

学而思初一数学培优之有理数初步(一)

有理数初步（一） 板块一有理数基本概念 【知识导航】 正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 负数：像-1、-3.12、 17 5 -、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫 做负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。 有理数：整数与分数统称为有理数。 无理数：无限不循环小数，如π。 注意：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数。 【例1】 ⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（） A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里 C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米 ⑵如果零上5C 记作5C + ，那么零下5C 记作（） A．-5 B．-10 C．5C - D．10C - ⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位 不升不降时水位变化记为____m ⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（） A．200米B．50米C．300米D．350米 ⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030() ml ±”字样， 请问“30ml ±”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 589,573,627 ml ml ml，问抽查产品的容量是否合格？ 【例2】 ⑴一种零件的长度在图纸上是0.05 0.05 (20) + - 米，表示这种零件加工要求最大不超 过_______，最小不小于_____. ⑵1是（） A．最小的整数B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数 1

学而思七年级数学培优讲义版全年级章节培优-绝对经典

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

第三节 一元一次不等式及其应用-学而思培优

第三节 一元一次不等式及其应用 一、课标导航 二、核心纲要 1.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母：在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数； 注：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． (2)去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号． (3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，不含未知数的项移到不等式的另一边； 注：①移项要变号；②不要丢项． (4)合并同类项：把不等式化成ax >b （或彻（或a b x <)． 注：①不要把分子、分母位置颠倒；②当a<0时，系数化1要变号. 2.一元一次不等式的实际应用 (1)审：审清已知、未知及关键字词和语句； (2)找：找出题目中的不等关系； (3)设：设适当的未知数； (4)列：列不等式； (5)解：解不等式； (6)答：检验是否符合题意，作答． 3.一元一次不等式的综合应用 (1)-元一次不等式的特殊解； (2)-元一次不等式与方程； ＊(3)含字母系数的不等式． 对于不等式ax >b ， ①若a>0，则;a b x > ②若a<0，则;a b x < ③若a=0，b<0，则不等式的解集是任意实数； 若a-0，b≥O，则不等式无解． ＊ (4)含有绝对值的不等式的解法（a>O ）． ①l x la 的解集是x<一a 或x>a. 注：可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解. 4.数学思想

(word完整版)学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

领先中考培优课程M A T H E M A T I C S 3 平面坐标系 知识目标 目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念 目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标

模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航 1有序数对 有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系 3、点的坐标 平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角 坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向： 竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴 的交点为平面坐标系的原点。 如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别 叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的 点不属于任何象限。 Ⅰ 第一象限 Ⅳ 第四象限 Ⅲ 第三象限 Ⅱ 第二象限 原点 如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴 的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。 ①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。 ②由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b) ③

学而思初一数学培优之因式分解初步(二)

整式的乘法与因式分解拓展（二） 因式分解基本方法 1．提公因式法 2．公式法 3．分组分解法 4．十字相乘法 【例1】因式分解 4⑴x 2－4xy ＋y 2－z 2 ⑵a 3－a ＋2b －2a 2b ⑶x 2－2xy ＋y 2＋2x －2y ＋ 1 【例2】因式分解： 9⑴a 2(x －y )＋4b 2(y －x ) 3⑵x 3y 3＋x 4y 2＋5x 2y 4＋x 2y 2 9(⑶a －b )2＋12(a 2－b 2)＋4(a ＋b )2 【例3】因式分解 ⑴x 2＋5x ＋6 ⑵x 2＋6x －7 ⑶ x 2 －6x ＋5 【例4】 ⑴把代数式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果正确的是( ) A ．a (x －2)2 B ．a (x ＋2)2 C ．a (x －4)2 D ．a (x ＋2)(x －2) ⑵若x 2－ax －1可以分解为(x －2)(x ＋b )，则a ＋b 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 ⑶已知(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－13x ＋36，则ab 的值是( ) A ．13 B ．-13 C ．36 D ．-36 【例5】因式分解 2⑴x 2＋x －3 8⑵x 2＋26x ＋15 18⑶x 2＋3x －10 【例6】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )＋x (1＋x )＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)] ＝(x ＋1)2(x ＋1) ＝(x ＋1)3 ⑴上述因式分解的方法是___，共应用了___次； ⑵若分解1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2011，则需应用上述方法___次，结果是___； ⑶分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n ＝___。(n 是正整数) 知识回顾： 因式分解的四大基本方法 1

学而思初中数学课程规划

学而思初中数学课程规划 来源：本站原创文章作者：中考网小编2011-05-01 15:40:58 [标签：2011初一暑假班数学] [当前8392家长在线讨论] 初中数学的学习不同于小学： 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍: 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛

班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明： 2011年学而思初中教学体系 体 系 联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班 型 定 位 数学超常发展，冲击竞赛一等奖中考满分，兼顾竞赛同步提高，冲击中考满分 学 制 设 计 一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课 程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班 大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度比尖子班大 1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5 倍，难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为 冲击初中数学联赛，希望在数学方面 有独特发展，例如未来参加IMO或 CMO比赛，高中数学联赛冲击一等 奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提 高，同时拓宽视野，系统化学习， 目标冲击中考满分

学而思培优-2017-2018--一年级数学知识点第五讲

第5讲 网兜里的鱼 一、 加法 求整体用“+” 加数+加数=和 教师姓名：黄田田 部分+部分=整体 变多、变大的过程 二、减法 求部分用“-” 被减数-减数=差 整体 -部分=部分 变少、变小的过程 三、连加、连减、混合运算 最终结果写到“=”后面

[例2] 看图列算式 1． 2． 解析：本题主要是考察小朋友的对于连加运算的理解及运算，运算时可以先加前两个数，所得结果再加最后一个数。仔细看图，发现图中有左中右3部分甜甜圈，而我们所要求的是整体共有多少个，我们发现当三部分的甜甜圈合起来的时候，整体数量是变多了的，而且是变多了两次，变多了应该用加法，所以我们只需要将每次变多的加进去即可，第一小题中整体数量即为：10+4+7=21个，第二小题中整体数量即为：20+3+5=28个。。 [例4] 看图列算式 1.

2. [解析]：本题主要考察小朋友对于连减计算的理解及应用，算式中有连续减法 时，可以先将前两个数相减，所得结果再和最后一个数相减。 第一小题：整体的小鱼有14条，第一次游走了3条，数量减少了用减法，第二次又游走了2条，同样是减法，所以最后剩下的小鱼即为：14-3-2=9条. 第二小题：整体的螃蟹有25只，先爬走了5只，数量减少了用减法，后又爬走了4只，同样用减法，所以最后剩下的螃蟹即为：25-5-4=16只. [例5] 看图列算式

9条 游来18条 ？条 游走7条 26只 飞走6只 飞来3只 [解析]：本题主要考察小朋友进行加减混合运算的能力，当题目中有加法和减 法时，应按照从左往右的顺序依次计算。 第一小题：起初有9条小鱼，然后游来18条，数量变多了，所以要加上18，接着又游走7条，游走后数量变少了，所以要减去7，剩下的小鱼即为：9+18-7=20条. 第二小题：起初有26只小鸟，接着飞走了6只，飞走数量是变少了，所以要减去6，然后又飞来了3只，飞回来数量是增加了，所以要加上3，因此这时的小鸟数量即为：26-6+3=23只. 1.看图列算式

学而思初二数学(上册)培优辅导讲义(人教版)

. .下载可编辑 . . 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、错角、中旁角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 . ⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义， 以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝() AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°， 则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂 线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ， A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

学而思初一数学培优汇总精华

第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0,a b ab ab a b ab +-则 的值等于多少 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 2200620 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ， b 的形式，求2006 2007a b +。

学而思初中数学课程规划电子教案

学而思初中数学课程规划 初中数学的学习不同于小学 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 2015年学而思初中教学体系 体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班型定位 数学超常发展 冲击竞赛一等奖 中考满分 兼顾竞赛 同步提高 冲击中考满分 学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课程容量每节课的课程容量与难度 比竞赛班大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度 比尖子班大1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5倍 难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲 击初中数学联赛，希望在数学方面有独 特发展，例如未来参加IMO或CMO比 赛，高中数学联赛冲击一等奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提高， 同时拓宽视野，系统化学习，目标冲 击中考满分 入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试---- 联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试 ----通过后选择联赛体系---开始学习 10次课学完初一----预备班选拔考试 ----联赛竞赛预备班----参加入学选拔 考试----通过后选择竞赛体系---开始 学习 10次课学完初一----入学测试题----领 先中考培优体系---开始学习 班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班 望走竞赛路线的孩子。现在应该考虑的问题是我们适合走哪条路线？ 【选择联赛】 如果孩子在数学方面特别优秀，希望未来在数学方面有独特发展，或者希望通过竞赛升学，推荐可以选择联赛班。初中有非常权威的比赛-----全国初中数学联赛。同时学而思有大批经验丰富的联赛教师，有足够的实力帮助孩子取得联赛好成绩。

(精品)学而思七年级数学培优讲义版(全年级章节培优-绝对经典)

第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝 对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的 意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ；按整数、分数分类，有理数 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不 能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整 数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

1 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； A B C D E F A B C E F P Q R A B C E F O

2 ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21 ∠BOC ， ∠FOC ＝2 1∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1 ∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝ ()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4 ＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于 点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. E A A C D O 1 4 3 2 l

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝∠BOC ，∠FOC ＝ ∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝ ∠BOC ＋ ∠AOC ＝ 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）