学而思七年级数学培优讲义word版

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译

1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.

【变式题组】

01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____

【例２】在－22

7

，π，0.033.

3这四个数中有理数的个数（ )

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0????

???

????????

正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数

分类，有理数?????????????????

正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限

不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22

7

是分数0.033.

3是无限循

环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

01．在7，0．1 5，－12，－，－1

8，，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整

数 .

02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138

，．－，123,

【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击

归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－1

2007

.

【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2

的相反数是－3，则m 的相反数是____.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m

2

＝－4,m ＝－8

【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ． －5 D ． －15

02．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______

03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )

A ． － 1 ,2，0

B ． 0，－2，1

C ． －2，0，1

D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,

即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >??

=??-

(.本题注意数形结合思想，画一条数轴

标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．

【变式题组】 01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）

A ． 4个

B ． 3个

C ． 2个

D ． 1个

02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|

c ＝ .

03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c

|c|的值可能是____.

【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b

ab

的值.

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.

解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝3

8

【变式题组】

01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ． －4 B ． －1 C ． 0 D ． 4

03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值 【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．

【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O

∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②

由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－4

9

【变式题组】

01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值. 演练巩固·反馈提高

01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,1

42…根据其规律可知第9个数是( )

A ．

156 B ． 172 C ． 190 D ． 1110

02．（芜湖）－6的绝对值是( )

A ． 6

B ． －6

C ． 16

D ． －16

03．在－22

7

,π,8..

0.3四个数中，有理数的个数为( )

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )

A ． a －b

B ． b －a

C ． –a ＋b

D ． –a －b

05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )

A ． 是正数

B ． 不是负数

C ． 是负数

D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )

①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝b

A ． ①②

B ． ③④

C ． ①④

D ． ②③

08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )

A ． |b|＞a ＞－a ＞b

B ． |b| ＞b ＞a ＞－a

C ． a ＞|b|＞b ＞－a

D ． a ＞|b|＞－a ＞b

09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.

10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.

11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|

c

12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b

a 的形式，试求a 、

b 的值.

13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．

14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|??当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；

③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

回答下列问题:

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是, 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是, 3

，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4

；

⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|

，

如果|AB|＝2，那么x＝1或3；

⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7

．

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01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多

能盖住的整数点的个数是( )

A ． 1998

B ． 1999

C ． 2000

D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )

A ． 4个

B ． 3个

C ． 2个

D ． 1个

03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc

|abc|的所有可能的值为

（ ）

A ． －1

B ． 1或－1

C ． 2或－2

D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )

A ． －1

B ． 1

C ． 2m －3

D ． 3－ 2m

05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .

07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组

09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp

|3mnp|

＝ .

10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.

11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.

12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右

跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.

13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

第02讲有理数的加减法

考点·方法·破译

1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典·考题·赏析

【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票A这天的收盘价为（）

A．元B．元C．元D．18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－）＋（）＝，故选C．

【变式题组】

01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）

A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃

02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________

03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________

【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）

【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；

⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.

解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85

【变式题组】

01．（－）＋（－31

2）＋（－1

3

4）＋（－1

1

4）

02．（－）＋＋（－）＋（－）

03．＋31

4＋（－3

1

8）＋11

2

3＋（－）

【例３】计算1111122334

20082009++++

????L 【解法指导】依111

(1)1n n n n =-

++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

解：原式＝1111111(1)()()()

2233420082009-+-+-++-L ＝

111111112233420082009-+-+-++-L ＝

112009-

＝20082009

【变式题组】

01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）

02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1

2的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为1

4的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为1

8的长方形，如此进行下去，试利

用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++

＝__________.

【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a

【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和

又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |

将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】

01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小

【例５】42

5－（－33

3

11）－（－）－（－21

8

11）

【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.

解：42

5－（－33

3

11）－（－）－（－21

8

11）＝4

2

5＋33

3

11＋＋21

8

11

＝＋＋（333

11＋21

8

11）＝6＋55＝61

【变式题组】

01．

21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+

02．43

4－（＋）－（－3

1

4）＋（－）

03．178－－（－432

21）＋153

19

21－

【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)

⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169

【变式题组】

01．(杭州)观察下列等式

1－1

2＝

1

2，2－

2

5＝

8

5，3－

3

10＝

27

10，4－

4

17＝

64

17…依你发现的规律，解答下列问题.

⑴写出第5个等式；

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02．观察下列等式的规律

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20

⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；

⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求1

2＋（

1

3＋

2

3）＋（

1

4＋

2

4＋

3

4）＋（

1

5＋

2

5＋

3

5＋

4

5）＋…＋（1

50＋

2

50＋…＋

48

50＋

49

50）

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

解：设S＝1

2＋（

1

3＋

2

3）＋（

1

4＋

2

4＋

3

4）＋…＋（

1

50＋

2

50＋…＋

48

50＋

49

50）

则有S＝1

2＋（

2

3＋

1

3）＋（

3

4＋

2

4＋

1

4）＋…＋（

49

50＋

48

50＋…＋

2

50＋

1

50）

将原式和倒序再相加得

2S＝1

2＋

1

2＋（

1

3＋

2

3＋

2

3＋

1

3）＋（

1

4＋

2

4＋

3

4＋

3

4＋

2

4＋

1

4）＋…＋（

1

50＋

2

50

＋…＋48

50＋

49

50＋

49

50＋

48

50＋…＋

2

50＋

1

50）

即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)

2

?+

＝1225

∴S＝1225 2

【变式题组】

01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210

02．（第8届希望杯试题）计算（1－1

2－

1

3－…－

1

2003）（

1

2＋

1

3＋

1

4＋…＋

1

2003＋

1

2004）－（1－1

2－

1

3－…－

1

2004）（

1

2＋

1

3＋

1

4＋…＋

1

2003）

演练巩固·反馈提高

01．m是有理数，则m＋|m|（）

A．可能是负数B．不可能是负数

C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数

02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）

A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5

03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）

A． 1 B．0 C．－1 D．－3

04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）

A．两数一定都是正数B．两数都不为0

C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数

05．下列等式一定成立的是（）

A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0

06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃

07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）

A．－a B．0 C．2a D．－2a

08．设x是不等于0的有理数，则||||

2

x x

x

-

值为（）

A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________

10．用含绝对值的式子表示下列各式：

⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________

⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________

⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________

11．计算下列各题：

⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－＋－＋－

⑶－－31

4＋－7

1

2⑷－－（－）－|－

23

10|

12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99

13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：

＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5

⑴问收工时距离A地多远？

⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？

14．将1997减去它的1

2，再减去余下的

1

3，再减去余下的

1

4，再减去余下的

1

5……以此类

推，直到最后减去余下的

1

1997，最后的得数是多少？

15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与

众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋1

28表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15， (1)

90，191，你能从中挑出10个，加上正、

负号，使它们的和等于－1吗？

培优升级·奥赛检测

01．（第16届希望杯邀请赛试题）12341415

24682830-+-+-+-+-+-+-L L 等于（ ） A ．14

B ．14-

C ．12

D ．12-

02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋4

1b ＋51c ＋61d 等于（ ） A ．18

B ．316

C ．732

D ．1564

03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．36

04．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c

大小关系是（ ）

5343332313A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b

05．

11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+

++++?????L 的值得整数部分为

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．22004

07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________

08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋59

60）＝__________ 09．1919197676

7676761919-

＝__________

10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．

13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (1

1000－1)

14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.

第03讲 有理数的乘除、乘方

考点·方法·破译

1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.

2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.

3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.

4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.

5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.

经典·考题·赏析

【例１】计算

⑴11

()

24

?-

⑵

11

24

?

⑶

11

()()

24

-?-

⑷25000

?

⑸

3713 ()()(1)() 5697 -?-??-

【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.

解：⑴11111 ()() 24248?-=-?=-

⑵11111

() 24248?=?=

⑶

11111 ()()() 24248 -?-=+?=

⑷250000

?=

⑸

3713371031 ()()(1)()() 569756973 -?-??-=-???=-

【变式题组】

01．⑴(5)(6)

-?-⑵

11

()1

24

-?

⑶

(8)(3.76)(0.125)

-??-

⑷(3)(1)2(6)0(2)

-?-??-??-⑸

1111

12(2111)

42612

-?-+-

02．

24

(9)50

25

-?

3．

1111

(2345)()

2345

????---

04．

111 (5)323(6)3

333 -?+?+-?

【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）

A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0

C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较大

【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.

解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．

【变式题组】

01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）

A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0

02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.

03．(山东烟台)如果a＋b＜0，

b

a

>

，则下列结论成立的是（）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0

C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算

⑴(72)(18)

-÷-⑵

1

1(2)

3

÷-

⑶

13

()()

1025

-÷

⑷

0(7)

÷-

【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.

解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=

⑵

1733 1(2)1()1()

3377÷-=÷-=?-=-

⑶

131255 ()()()() 10251036 -÷=-?=-

⑷0(7)0÷-=

【变式题组】

01．⑴(32)(8)

-÷-⑵

11

2(1)

36

÷-

⑶

1

0(2)

3

÷-

⑷

13

()(1)

78

÷-

02．⑴

1

293

3

÷?

⑵

311

()(3)(1)3

524

-?-÷-÷

⑶

53

0()

35

÷-?

03．113

()(10.2)(3) 245

÷-+-÷?-

【例４】（茂名）若实数a、b满足

a b

a b

+=

，则

ab

ab

＝___________.

【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.

解：当ab＞0，

2(0,0)

2(0,0)

a b

a b

a b

a b

>>

?

+=?

-<<

?；

当ab＜0，

a b

a b

+=

，∴ab＜0，从而

ab

ab

＝－1.

【变式题组】

01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）

A．正数B．0 C．负数D．非负数

02．若A．b都是非零有理数，那么

ab

a b

a b ab

++

的值是多少？

03．如果

x y

x y

+=

，试比较

x

y

-

与

xy的大小.

【例５】已知

223

(2),1 x y

=-=-

⑴求

2008

xy的值；⑵求

3

2008

x

y的值.

【解法指导】

n

a表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂

都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

解：∵

223

(2),1 x y

=-=-

⑴当

2,1

x y

==-时，20082008

2(1)2

xy=-=

当

2,1

x y

=-=-时，20082008

(2)(1)2

xy=-?-=-

⑵当2,1x y ==-时，33

20082008

28(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，33

20082008

(2)8(1)x y -==--

【变式题组】 01．（北京）若

2(2)0

m n m -+-=，则n

m 的值是___________.

02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n

x y --的值，这里n 是正整数.

【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）

A ．×106

B ．×106

C ．×107

D ．×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．

【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．×105 B ．×105 C ．×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．×105亩

B ．×106亩

C ．253×104亩

D ．×107亩 【例７】（上海竞赛）

2222

2

222

1299110050002200500010050009999005000k k k ++???++???+-+-+-+-+

【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+

原式＝2222

22222222

1299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++???++???+-+-+-+-+ ＝2222

22222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++???+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+

＝49222+1

++???+1442443个

＝99

【变式题组】

3333

+++=( ) 2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006????????????

A．

3

1003B．

3

1004C．

1

334D．

1

1000

02．（第10届希望杯试题）已知11111111

1. 2581120411101640

+++++++=

求

11111111 2581120411101640

---+--++

的值.

演练巩固·反馈提高

01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．1个或3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）

A．互为相反数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（）

A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）

A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0

05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式

a b

m cd

m

+

-+

的值

为（）

A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1

06．若a＞1

a，则a的取值范围（）

A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1

07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④

1 a

b

=-

，

其中能判断a、b互为相反数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

08．若ab≠0，则a b

a b

+

的取值不可能为（）

A．0 B．1 C．2 D．－2

09．

1110

(2)(2)

-+-的值为（）

学而思初一数学资料培优汇总精华

第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

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第1讲 与有理数有关的概念 考点?方法?破译 1?了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量 2 ?会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个 数的相反数、绝对值、倒数 ? 经典?考题?赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前—7米⑵收人—50元⑶体重增加—3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量. 而相反意义的量包合两个要素： 一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两，如“向前与自后、 收入与支 出、增加与减少等等” 解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支出50元⑶体重增加—3千克表示体重 减小3千克? 【变式题组】 01.如果+ 10%表示增加10%那么减少8%可以记作（ ） A. —18% B . — 8% C . + 2% D . + 8% 02.（）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5吨大米表示为（） A. — 5 吨 B . + 5 吨 C . — 3 吨 D . + 3 吨 03.（）与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比晚） ?如现在是时间15 : 00,纽 约时问是 _____ A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D 正整数 整数0 负整数 3. 1415926…是无限不循环小数， 它不能写成分数的形式， 所以n 不是有理数，—号是分数 0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式， 0是整数，所以都是有理数，故选 【例2】在— 22 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（ 正有理数 正整数 正分数 负有理数 【解法指导】有理数的分类： ⑴按正负性分类，有理数 负整数 负份数；按整数、分数 分数 正分数 分类，有理数 负分数 ;其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为 C.

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第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图 所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。

学而思七年级数学培优讲义word版

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数 分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限 不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033. 3是无限循 环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

学而思初一数学资料培优汇总(精华)

一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

学而思初一数学培优之有理数初步(一)

有理数初步（一） 板块一有理数基本概念 【知识导航】 正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 负数：像-1、-3.12、 17 5 -、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫 做负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。 有理数：整数与分数统称为有理数。 无理数：无限不循环小数，如π。 注意：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数。 【例1】 ⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（） A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里 C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米 ⑵如果零上5C 记作5C + ，那么零下5C 记作（） A．-5 B．-10 C．5C - D．10C - ⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位 不升不降时水位变化记为____m ⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（） A．200米B．50米C．300米D．350米 ⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030() ml ±”字样， 请问“30ml ±”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 589,573,627 ml ml ml，问抽查产品的容量是否合格？ 【例2】 ⑴一种零件的长度在图纸上是0.05 0.05 (20) + - 米，表示这种零件加工要求最大不超 过_______，最小不小于_____. ⑵1是（） A．最小的整数B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数 1

学而思七年级数学培优讲义版全年级章节培优-绝对经典

第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

第三节 一元一次不等式及其应用-学而思培优

第三节 一元一次不等式及其应用 一、课标导航 二、核心纲要 1.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母：在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数； 注：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． (2)去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号． (3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，不含未知数的项移到不等式的另一边； 注：①移项要变号；②不要丢项． (4)合并同类项：把不等式化成ax >b （或彻（或a b x <)． 注：①不要把分子、分母位置颠倒；②当a<0时，系数化1要变号. 2.一元一次不等式的实际应用 (1)审：审清已知、未知及关键字词和语句； (2)找：找出题目中的不等关系； (3)设：设适当的未知数； (4)列：列不等式； (5)解：解不等式； (6)答：检验是否符合题意，作答． 3.一元一次不等式的综合应用 (1)-元一次不等式的特殊解； (2)-元一次不等式与方程； ＊(3)含字母系数的不等式． 对于不等式ax >b ， ①若a>0，则;a b x > ②若a<0，则;a b x < ③若a=0，b<0，则不等式的解集是任意实数； 若a-0，b≥O，则不等式无解． ＊ (4)含有绝对值的不等式的解法（a>O ）． ①l x la 的解集是x<一a 或x>a. 注：可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解. 4.数学思想

(word完整版)学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

领先中考培优课程M A T H E M A T I C S 3 平面坐标系 知识目标 目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念 目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标

模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航 1有序数对 有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系 3、点的坐标 平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角 坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向： 竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴 的交点为平面坐标系的原点。 如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别 叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的 点不属于任何象限。 Ⅰ 第一象限 Ⅳ 第四象限 Ⅲ 第三象限 Ⅱ 第二象限 原点 如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴 的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。 ①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。 ②由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b) ③

学而思初一数学培优之因式分解初步(二)

整式的乘法与因式分解拓展（二） 因式分解基本方法 1．提公因式法 2．公式法 3．分组分解法 4．十字相乘法 【例1】因式分解 4⑴x 2－4xy ＋y 2－z 2 ⑵a 3－a ＋2b －2a 2b ⑶x 2－2xy ＋y 2＋2x －2y ＋ 1 【例2】因式分解： 9⑴a 2(x －y )＋4b 2(y －x ) 3⑵x 3y 3＋x 4y 2＋5x 2y 4＋x 2y 2 9(⑶a －b )2＋12(a 2－b 2)＋4(a ＋b )2 【例3】因式分解 ⑴x 2＋5x ＋6 ⑵x 2＋6x －7 ⑶ x 2 －6x ＋5 【例4】 ⑴把代数式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果正确的是( ) A ．a (x －2)2 B ．a (x ＋2)2 C ．a (x －4)2 D ．a (x ＋2)(x －2) ⑵若x 2－ax －1可以分解为(x －2)(x ＋b )，则a ＋b 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 ⑶已知(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－13x ＋36，则ab 的值是( ) A ．13 B ．-13 C ．36 D ．-36 【例5】因式分解 2⑴x 2＋x －3 8⑵x 2＋26x ＋15 18⑶x 2＋3x －10 【例6】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )＋x (1＋x )＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)] ＝(x ＋1)2(x ＋1) ＝(x ＋1)3 ⑴上述因式分解的方法是___，共应用了___次； ⑵若分解1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2011，则需应用上述方法___次，结果是___； ⑶分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n ＝___。(n 是正整数) 知识回顾： 因式分解的四大基本方法 1

学而思初中数学课程规划

学而思初中数学课程规划 来源：本站原创文章作者：中考网小编2011-05-01 15:40:58 [标签：2011初一暑假班数学] [当前8392家长在线讨论] 初中数学的学习不同于小学： 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍: 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛

班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明： 2011年学而思初中教学体系 体 系 联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班 型 定 位 数学超常发展，冲击竞赛一等奖中考满分，兼顾竞赛同步提高，冲击中考满分 学 制 设 计 一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课 程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班 大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度比尖子班大 1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5 倍，难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为 冲击初中数学联赛，希望在数学方面 有独特发展，例如未来参加IMO或 CMO比赛，高中数学联赛冲击一等 奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提 高，同时拓宽视野，系统化学习， 目标冲击中考满分

学而思培优-2017-2018--一年级数学知识点第五讲

第5讲 网兜里的鱼 一、 加法 求整体用“+” 加数+加数=和 教师姓名：黄田田 部分+部分=整体 变多、变大的过程 二、减法 求部分用“-” 被减数-减数=差 整体 -部分=部分 变少、变小的过程 三、连加、连减、混合运算 最终结果写到“=”后面

[例2] 看图列算式 1． 2． 解析：本题主要是考察小朋友的对于连加运算的理解及运算，运算时可以先加前两个数，所得结果再加最后一个数。仔细看图，发现图中有左中右3部分甜甜圈，而我们所要求的是整体共有多少个，我们发现当三部分的甜甜圈合起来的时候，整体数量是变多了的，而且是变多了两次，变多了应该用加法，所以我们只需要将每次变多的加进去即可，第一小题中整体数量即为：10+4+7=21个，第二小题中整体数量即为：20+3+5=28个。。 [例4] 看图列算式 1.

2. [解析]：本题主要考察小朋友对于连减计算的理解及应用，算式中有连续减法 时，可以先将前两个数相减，所得结果再和最后一个数相减。 第一小题：整体的小鱼有14条，第一次游走了3条，数量减少了用减法，第二次又游走了2条，同样是减法，所以最后剩下的小鱼即为：14-3-2=9条. 第二小题：整体的螃蟹有25只，先爬走了5只，数量减少了用减法，后又爬走了4只，同样用减法，所以最后剩下的螃蟹即为：25-5-4=16只. [例5] 看图列算式

9条 游来18条 ？条 游走7条 26只 飞走6只 飞来3只 [解析]：本题主要考察小朋友进行加减混合运算的能力，当题目中有加法和减 法时，应按照从左往右的顺序依次计算。 第一小题：起初有9条小鱼，然后游来18条，数量变多了，所以要加上18，接着又游走7条，游走后数量变少了，所以要减去7，剩下的小鱼即为：9+18-7=20条. 第二小题：起初有26只小鸟，接着飞走了6只，飞走数量是变少了，所以要减去6，然后又飞来了3只，飞回来数量是增加了，所以要加上3，因此这时的小鸟数量即为：26-6+3=23只. 1.看图列算式

学而思初二数学(上册)培优辅导讲义(人教版)

. .下载可编辑 . . 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、错角、中旁角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 . ⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义， 以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝() AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°， 则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂 线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ， A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

学而思初一数学培优汇总精华

第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0,a b ab ab a b ab +-则 的值等于多少 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 2200620 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ， b 的形式，求2006 2007a b +。

学而思初中数学课程规划电子教案

学而思初中数学课程规划 初中数学的学习不同于小学 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 2015年学而思初中教学体系 体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班型定位 数学超常发展 冲击竞赛一等奖 中考满分 兼顾竞赛 同步提高 冲击中考满分 学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课程容量每节课的课程容量与难度 比竞赛班大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度 比尖子班大1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5倍 难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲 击初中数学联赛，希望在数学方面有独 特发展，例如未来参加IMO或CMO比 赛，高中数学联赛冲击一等奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提高， 同时拓宽视野，系统化学习，目标冲 击中考满分 入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试---- 联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试 ----通过后选择联赛体系---开始学习 10次课学完初一----预备班选拔考试 ----联赛竞赛预备班----参加入学选拔 考试----通过后选择竞赛体系---开始 学习 10次课学完初一----入学测试题----领 先中考培优体系---开始学习 班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班 望走竞赛路线的孩子。现在应该考虑的问题是我们适合走哪条路线？ 【选择联赛】 如果孩子在数学方面特别优秀，希望未来在数学方面有独特发展，或者希望通过竞赛升学，推荐可以选择联赛班。初中有非常权威的比赛-----全国初中数学联赛。同时学而思有大批经验丰富的联赛教师，有足够的实力帮助孩子取得联赛好成绩。

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第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝 对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的 意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ；按整数、分数分类，有理数 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不 能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整 数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

1 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； A B C D E F A B C E F P Q R A B C E F O

2 ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21 ∠BOC ， ∠FOC ＝2 1∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1 ∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝ ()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4 ＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于 点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. E A A C D O 1 4 3 2 l

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第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝∠BOC ，∠FOC ＝ ∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝ ∠BOC ＋ ∠AOC ＝ 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）