2020高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结

概率与统计高考常见题型

解题思路及知识点总结

一、解题思路

（一）解题思路思维导图

（二）常见题型及解题思路

1.正确读取统计图表的信息

典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.

A ．月接待游客量逐月增加

B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A.

2．古典概型概率问题 典例2：（

全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德

巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.

B.

C.

D.

解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13

，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有

种方法，因为

，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方

法，故概率为

，选C.

典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6

D. 0.45

解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得p =0.60.75

=0.8，故选

A.

3．几何概型问题

典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12

C.

23 D.3

4

解：如图所示,画出时间轴:

小明到达的时间会随机地落在图中线段AB 中,而当他到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=

101040+=1

2

.选B.

4．类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）

5．类似二项分布的离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）

典例5（超几何分布与二项分布辨析）：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品.

（1）从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X ，求X 分布列和期望；

（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y ，求Y 分布列和期望;

（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z ，求Z 分布列和期望.

分析：第（1）问中，抽取产品的总体N=10，所含次品件数M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体N=100是明确的，但其中有多少件次品M 是不明确的，有的同学根据样本可认为M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这100件产品中任意抽取1件产品，该件产品是次品的概率是0.2，同时抽取3件等同于不放回抽1件3次，由于每次的概率都是0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随机变量的分布为二项分布。第（3）问是从所生产的全部产品中抽取，而全部产品有多少件题目条件没给出，这时总体N 不明确（若总体N 明确，就属于第（2）问情况），其中所含次品件数M 自然也是不明确的。因此，类似的，在“用频率估计概率”这一条件，该随机变量的分布为二项分布。 解：（1）x 的可能取值为0，1，2，根据题意X ～H(10、2、3)，所以x 分布列为：

())2,1,0(,2

10282=?==-k C C C k X P k k

，()6.01023=?=X E

（2）Y 的可能取值为0，1，2，3，根据题意Y ～B(3,0.2)，所以Y 分布列为：

()())3,2,1,0(,2.012.033=-??==-k C k Y P k

k k

，()6.02.03=?=Y E

（3）Z 的可能取值为0，1，2，3，根据题意Z ～B(3,0.2)，所以Z 分布列为：

()())3,2,1,0(,2.012.033=-??==-k C k Z P k

k k

，()6.02.03=?=Z E

以上分析用一个表归纳如下：

从该例以看到，当

N 保持不变，若N 越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与N

M

相差越小，因此，当N 很大时，超几何分布可以近似看成二项分布。

典例6：据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06．

（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数X 的分布列和数学期望．

解：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，∵

，解得x =60，

∵持“无所谓”态度的人数为3000?2100?500?120?60=220， ∵应在“无所谓”态度抽取220×

3003000

=22人．

（2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，

∵在所抽取的6人中，在校学生人数为120180×6=4，社会人士人数为60

180×6=2，于是第一组在校学生人数X 的可能取值为1,2,3．P(X =1)=

C 41C 22C 6

3=1

5,P(X =2)=

C 42C 21C 6

3=3

5,P(X =3)=

C 43C 20C 6

3=1

5

即X 的分布列为：

∵EX =1×1

5+2×3

5+3×1

5=2．

典例7（与函数结合）：（2018全国1卷理科20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为

.因此 .令

，得

.当

时，

；当

时，

.所以的最大值点为. （2）由（1）知，

. （i ）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即

.所以.

（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.

6．其他离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，方案选择，随机变量取值意义，与其他知识结合） 典例8（与函数结合）：（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

解：（1）易知需求量x 可取200,300,500，

()21612003035P X +===?；()3623003035P X ===?；()25742

5003035

P X ++===?. 则分布列为：

X 200 300 500

P

1

5

25 25

（2）℃当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到.

℃当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =?+?+-?-????880026800

555

n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到. ℃当300500n <≤时，

()()()()12220022002300230022555Y n n n =?+-?-+?+-?-+??????????320025n -= 此时520Y <.

℃当500n ≥时，易知Y 一定小于℃的情况. 综上所述当300n =时，Y 取到最大值为520.

典例9（与数列结合）：（2019全国1卷理科21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，

(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1

()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-

则X 的分布列如下：

（2）0.5α=Q ，0.8β=

0.50.80.4a ∴=?=，0.50.80.50.20.5b =?+?=，0.50.20.1c =?=

（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=???Q

即

()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=???

整理可得：()11541,2,,7i

i i p p p i -+=+=??? ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=???

{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =???是以10p p -为首项，4为公比的等比数列

（ii ）由（i ）知：

()110144i i i i p p p p p +-=-?=?

78714p p p ∴-=?，67614p p p -=?，……，01014p p p -=?

作和可得：()

88017801111441

4441143

p p p p p ---=?++???+===-

183

41

p ∴=

- (

)

440123

44011841441311

44441434141257

p p p p p --∴=-=?+++==?==

--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲

药更有效的概率为41

0.0039257

p =

≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.

7．连续型随机变量分布问题

——正态分布

典例10：（2107全国1卷理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(

)2

,N μσ

．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数，

求()1P X …

及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（℃）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（℃）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得16119.9716i i x x ===∑

，0.212s ===，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1216i =?，，，．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()????3,3μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布(

)2

,N μσ

，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，16

0.9974

0.9592≈

，

0.09≈．

【解析】（1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，

之内的概率为0.9974，落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()0

16160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈，

()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…，

由题可知()~160.0026X B ，

，所以()160.00260.0416E X =?=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，

之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．

（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-?=，39.9730.21210.606μσ+=+?=，

()()339.33410.606μσμσ-+=，，

，因为()9.229.33410.606?，，所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22，剔除数据之后：9.97169.22

10.0215μ?-=

=．

()

()()()()2

2222

2[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+

()

()()()()2

2

2

2

2

9.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+

()

()()()()2

2222

1

10.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815

-+-+-+-+-?

≈

所以0.09σ=≈.

8．最小二乘法求两个线性变量的回归方程问题

典例11：（2016全国3卷理科18）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.

(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明.

(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:

参考数据:7

i 1

=∑ y i =9.32,7

i 1

=∑ t i y i

参考公式:相关系数()()

n

i

i t

t y y --∑

回归方程μ$$y

a b t =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:$()()

n

i i i 1

n

2

i

i 1

t

t y y (t

t)b

==--=-∑∑,$a=y-b

t $ 解：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得

()()()7

2

i i 1

7

7

i

i i i

i

i 1

i 1

i 1

t 4,t t 0.55.

t

t y y t y

t

y

40.1749.32 2.89,2.89

所以r 0.99.

0.552 2.646

=====-==--=

-=-?=≈≈??∑∑∑∑

因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

(2)由9.32y 7

==1.331及(1)得$()()

()

7

i

i i 1

7

2

i

i 1

t

t y y 2.89

28

t

t b ==--==

-∑∑≈0.103, $a=y-b t $≈1.331-0.103×4≈0.92.所以,y 关于t 的回归方程为y =0.92+0.10t.

将2016年对应的t=9代入回归方程得:μy

=0.92+0.10×9=1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.

9．两个变量通过换元可转化为线性相关问题

典例12：（2015全国1卷理科19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x ? y ? w ? 8

8

8

8

表中w i =√x i ,w ?=18∑i=1

w i .

(1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程.

(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z=0.2y -x.根据(2)的结果回答下列问题: ℃年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ℃年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=∑i=1n

(u i ?u

?)(v i ?v ?)∑i=1n (u i ?u

?)2,=v ?-u ?.