人教版高中数学选修2-3学案 全册

§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）

※学习目标

1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；

2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；

3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.

※课前预习

1、预习目标

准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。

2、预习内容

分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m

1

种不同的方法,在第二类方

式,中有m

2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m

n

种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=

种不同的方法.

分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m

1

种不同的方法，做

第2步有m

2种不同的方法，……，做第n步有m

n

种不同的方法,那么完成这件事共有

N= 种不同的方法。

3、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

预习自测

1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？

2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：分类计数原理

问题1：P2思考题1

分析：给座位编号的方法可分____类方法?

第一类方法用，有___ 种方法;

第二类方法用，有___ 种方法;

∴能编出不同的号码有__________ 种方法.

新知：分类计数原理－加法原理：

如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种

m+种不同的方法.

不同的方法，那么，完成这件工作共有n

试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是.

反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？

探究任务二：分步计数原理

问题2：P3思考题2

分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个.

新知：分步计数原理－乘法原理：

完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方

m?种不同方法。

法，那么，完成这件工作共有n

试试：P4例2

反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？

※ 典型例题 例1 P2例1

变式：在上题中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有1046=+种.这种算法对吗？

小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.

例2 P5例3

变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？

小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

※ 课堂练习P6练习

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？

2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.

2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.

3. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.

※课后作业

1.P12习题1.1 1，2，3，4，5

2.乘积()()n n b b b a a a +???+++???++2121展开后，共有 项.

(选做)3. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）

学习目标

1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；

2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；

3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P 6~ P 10，找出疑惑之处）

复习：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？

预习自测：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.

⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？ ⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：两个原理的应用 问题：P6例题5

新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.

试试：

积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？

反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.

※典型例题

例1 P7例题6

变式：P7例题7

小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.

例2 P7例题8

变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

※动手试试

练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

练2.由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）

三、总结提升

※学习小结

1. 正确选择是分类还是分步的方法

2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种不同的选法.

2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9

之间的一个数字，那么这个电话局最多有个.

3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成个不同的

分数，可以构成个不同的真分数.

4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有个.

5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是.

课后作业 1.P13 1，2

2.设x,y *∈N ，4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点()M x,y 共有 个；

3.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y 轴上的截距在集合 C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.

4. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .

（选做）5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.

（选做）6.甲乙丙3位同学选修课程，从3门课程中，甲选修2门，乙丙各选修1门，则不同的选修方案

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）--两个原理的应用

※学习目标

能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分部乘法计数原理解决一些简单的实际问题

※要点自测

1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数， ________个五位数．

2．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．

3．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种．

※例题精选

例1：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）．

A．种B．种C．种D．种

变式：1。将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）．A．种B．种C．18种D．36种

2。有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有-------种可能

例2：有5种不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色

（1）共有多少种不同的涂色方法？

（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？

1 2

3 4

变式：把一个圆分成3个扇形，现用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种不同的涂法？

例3：某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲乙丙三人中产生，最后一棒只能只能从甲乙两人中产生，则不同的传递方案共有------种。

变式：在由数字1，2，3，4，5，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145小于43521的数共有多少个？

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

当堂检测：

1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有（）

A. 7

B. 5

C. 12

D. 35

2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

3. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有（）个

A. 480

B. 240

C. 96

D. 48

4.8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？

5.3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种住宿方法？

课后作业：

1．已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是（）

A．2 B．12 C．22 D．25

2．集合A、B的并集A∪B= {a1，a2，a3}，当A≠B时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)共有多少个？

3．用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？

4．集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有多少个?B到A的不同映射g共有多少个?

5.用0，1，2，3，4，5这六个数字，

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？数字不重复的三位数的奇数？

（2）可以组成多少个小于1200的自然数？

（选做）6. 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？

§1.2.1. 排列（1）

※学习目标

1. 了解排列、排列数概念的来源；

2. 了解排列数公式的推导，并能推导排列数公式，会做无附加条件的排列问题；

3. 能熟练准确进行排列数的计算

※课前预习

仔细阅读课本P14—P17相关内容，思考下面问题：

问题1：从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题2：由数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？

这两个问题从字面上看是没有任何关系的，但我们在计算方法数时，计算公式又是一致的，这里面到底有什么联系？你还能不能提出类似的问题，这此问题可不可以淡化实际背景（不再考虑四个人，2项活动或是4个数字等），这两个问题可进一步抽象成为与问题实际背景无关的一类数学问题，如果我们将一个实际问题中所考察的对象给一个名称（数学中叫元素，这个名称与构成集合对象是同名的），那么这两个貌似无关问题就可以归结为一个问题，即 。 结论： 排列的定义 概念形成

1、元素： 。

2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：① ②按一定的 排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素 ，②元素的排列 也相同

预习自测

（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长； （3）从10名学生中选2名学生干部；

上述问题中哪个是排列问题？为什么？

※ 新课导学 新知1 排列数

课前预习中的两个问题可抽象为：从4个不同元素中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

在实际计数中，我们经常会遇到这样的问题：从若干个不同元素（比如n 个）中，任取部分（比如m

（m n ≤）个）元素的所有排列的个数，叫做n 个元素中取出m 元素的排列数，在数学中用符号m

n A 表示

思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

试试

(1) 从4个不同元素a ，b, c ，d 中任取2个的排列数是 (2) 从n 个不同元素中取出2个元素的排列数是 (3) 从n 个不同元素中取出3个元素的排列数

(4) 从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数是

新知2 排列数公式

阅读课本P ，想一想24A ，2n A ，3n A 的值是多少？更一般的m

n A 呢？

推导排列数公式使用的是 原理。

排列数公式：m n A =

排列数公式的特征是： ，你是怎么记忆的？

新知3 全排列

特别地，从n 个不同元素中全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为

=n n A ，记!(1)...21n n n =?-???

如果使用阶乘这一记号，排列数公式可有另一种形式

()(1) (21)

(1)...(1)(1)...(1)()(1) (21)

m

n

n m n m A n n n m n n n m n m n m ---???=-??-+=-??-+=---???

规定 0! =1 .想一想为什么？

思考：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？从形式上看，第二个公式的结构明显比第一外公式要简单，是不是在排列数的计算中，用第二个比较方便呢？

※ 典型例题

例1．计算：⑴4A ; ⑵ 2A ; ⑶ 4

10A A ÷.

变式：计算下列各式： ⑴2

15A ;

⑵ 66A

⑶ 2

8382A

A -; ⑷

66

8

8A A .

例2. 求证：m

n m n m n A mA A 11+-=+．

分析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

反思：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？将抽象的排列数还原为实际问题，把枯燥的公式还原为有趣的实例，构造一个计数问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，也是一种证明的方法哦！并且对公式的记忆有很大的帮助。

例3. 课本P18 例2

例4. 课本P18 例3

分析：注意排列公式应用的条件，排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用。

课堂练习P20练习3、5、6

※概括总结

1. 排列数的定义

2. 排列数公式及其全排列公式.

3. 是排列的特征

4.两个排列数公式的用途：乘积形式多用于 ，阶乘形式多用于 。 你认为本节课的主要内容是________________________________________________________

※学习评价

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

当堂检测：

1．计算：=+2

43545A A ;

2. 计算：=+++4

4342414A A A A ；

3．已知2

56n A =，那么n = ；

4．5人站成一排照相，共有 种不同的站法；

5．从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.

※课后作业

P27习题A 组1，3，4，5

§1.2.1. 排列（2）

※学习目标

1．掌握排列数公式；

2. 使用排列数公式解决一些简单的应用问题（包括元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法等）.

※课前预习

复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同

复习2：排列数公式：

m

n

A ＝ （,,m n N m n *∈≤） 全排列数：n n A ＝ ＝ .

复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 探究：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

对于这样的问题，由于数0和三位数的首位的特殊性，就不能直接用排列数解决了。如果在需排列的元素中的某些元素有特殊要求，或是某个位置有特殊要求，此时可先考虑此元素或此位置的排列方法，再考虑其它元素的排列办法叫元素分析法或位置分析法。

本题用元素分析法就是，0不能在百位，是特殊元素，可先排0，再排其它元素，因此三位数中可以有0也可无0，所以分为有0，无0两类计算：（1）有0，则0可在个位或十位, 共有 种排法；（2）无0，则有 种方法。

若用位置分析法，因百位不可为0，可先确定百位，那么个位、十位就没有要求了，再排其它位，方法数就是：

元素分析法与位置分析法是处理附加条件的排列问题的基本分析方法。 预习自测

1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个

2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A ．8

B ．24

C ．48

D ．120

3. 个位数与十位数之和为奇数的两位数有 （ ）

A ．40个

B ．45个

C ．50个

D ．55个

※新课导学

探究任务：进一步解决特殊排列问题的基本方法

例1. 6名男生和2名女生排成一排，

（1）若2名女生必排首位或末位，有多少种不同的排法？

（2）若2名女生既不在首位也不在末位，有多少种不同的排法？

小结：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元素，然后再考虑

一般对象的安置问题，常用方法如下：

（1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理．

（2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理．

（3）当问题的反面简单明了时，可采用间接法，从“对立事件”出发用减法．

元素分析法与位置分析法是分析排列问题的基本方法，但在一些排列问题时，我们必须掌握一定的解题技巧，下面来研究两种常见的相邻排列和分离排列问题的处理方法。

例2．6名男生和2名女生排成一排，

（1）若2名女生排在一起，有多少种不同的排法？

（2）若2名女生不相邻，有多少种不同的排法？

变式：4男4女排成一排，

（1）同性者相邻，有多少种不同的站法？

（2）同性者不能相邻，有多少种不同的站法？

小结：（1）若要求某些元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。

（2）若要求某些元素分分离，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上．

例3 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.

（1）没有重复数字的四位偶数？

（2）比1325大的没有重复数字四位数？

变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，

（1）能组成多少个没有重复数字的四位奇数？

（2）能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？

※动手试试

练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？

※学习小结

1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.

2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.

※知识拓展

有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？

（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；

※学习评价

你完成本节学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

当堂检测：

1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648

2．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）

A ．88A 种

B ．48A 种

C ．44A ·44A 种

D ．44A 种

3．现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.

4．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．96种

5．在高一、高二级进行的演讲比赛中，两个年级各派3名代表，年级间轮流发言，那么不同的发言顺序共有（ ） A ．36种

B ．72种

C ．108种

D ．720种

※课后作业

1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？

高中数学选修2-2学案7：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法 学习要求 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 知识要点 1．定义：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等． 问题探究 探究点一反证法的概念 问题1王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他 们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？” ”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 问题2上述方法的含义是什么？ 问题3反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾． 反证法引出的矛盾有几种情况？ 问题4反证法主要适用于什么情形？ 探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论

例1已知直线a，b和平面α，如果a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α. 小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练1已知：a∥b，a∩平面α＝A，如图．求证：直线b与平面α必相交． 探究点三用反证法证明否定性命题 例2求证：2不是有理数．

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案(23套,含答案)

1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④

高中数学选修2-2导学案

高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】

4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学选修11人教A教案导学案充分条件与必要条件

1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案

抛物线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 【知识要点】 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2 探究点一 抛物线定义 如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边 上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？ 问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？ 问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？ 问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？ 例1 方程[] 2 2)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 （2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 探究点二 抛物线的标准方程 问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？ 问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？ 问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？ 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0). 跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．??? ?7 16，0 B ．????－74，0 C ．??? ?－7 16，0 D ．? ???0，－7 4 （2）抛物线y ＝－1 4x 2的准线方程是 ( ) A ．x ＝1 16 B ．x ＝1 C ．y ＝1 D ．y ＝2 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)； （3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上. 跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x （2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、

人教版高中数学选修2-3学案 全册

§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） ※学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m 1 种不同的方法，做 第2步有m 2种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？ 2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：分类计数原理 问题1：P2思考题1 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用，有___ 种方法; 第二类方法用，有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法，那么，完成这件工作共有n 试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是. 反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理 问题2：P3思考题2 分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个. 新知：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法，那么，完成这件工作共有n 试试：P4例2

苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案

教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x

v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．

高中数学选修2-1学案：1.1.1命题

1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.

知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故

高中数学教材选修2-2知识点

高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式

常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

新编人教A高中数学选修2-1全册导学案

人教版高中数学选修2-1 全册导学案

目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法

§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结

高中数学必修4全套学案

第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：

1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°

课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

高中数学 选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.

新课标高中数学人教A版全册导学案及答案

§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.

苏教版高中数学选修2-2《1.2.1 常见函数的导数》教案

教学目标： 1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数． 教学重点： 基本初等函数的导数公式的应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标； ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程． （3）函数导函数的概念

2．探究活动． 用导数的定义求下列各函数的导数： 思考由上面的结果，你能发现什么规律？ 二、建构数学 1．几个常用函数的导数： 思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？ 2．基本初等函数的导数：

三、数学运用 例1 利用求导公式求下列函数导数． （1）5y x -＝； （2）y (3)πsin 3 y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2 y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x ＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率． 变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程． 变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程． 点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的． 变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短． 练习： 1．见课本P20练习． 第3题： ； 第5题： （1） ； （2） ；

人教版高中数学选修1-1导学案第一章 §1.2 充分条件与必要条件

§1.2 充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 知识点一充分条件与必要条件 命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题 推出关系p?q p?q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件 知识点二充要条件 如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p； (2)充分不必要条件，即p?q且q?p； (3)必要不充分条件，即p?q且q?p； (4)既不充分也不必要条件，即p?q且q?p. 1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×) 2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√) 4．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√) 一、充分、必要、充要条件的判断 例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答)． (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；

(2)对非空集合A，B，p：x∈A∪B，q：x∈B； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解(1)在△ABC中，显然有A>B?BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)显然x∈A∪B?x∈B，但x∈B?x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p?q，又取A＝30°，B＝120°，q?p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)p?q且q?p，所以p是q的充分不必要条件． 反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p?q，q?p，则p是q的充分不必要条件； 若p?q，q?p，则p是q的必要不充分条件； 若p?q，q?p，则p是q的充要条件； 若p?q，q?p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A?B，则p是q的充分条件； 若A?B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件． 跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．