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第一讲--数列的极限典型例题

第一讲数列的极限

一、内容提要 1.数列极限的定义

N n N a x n n >?N ∈?>??=∞

→,,0lim ε，有ε<-a x n .

注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε

另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.

注2 若n n x ∞

→lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是

唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ．注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ．注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞

→00,,

0lim ε，有00ε≥-a x n .

2. 子列的定义

在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}

k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数．注1 对每一个k ，有k n k ≥．

注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤．注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,,

0lim ε，有ε<-a x k n .

注4 ?=∞

→a x n n lim {}n x 的任一子列{}

k n x 收敛于a . 3.数列有界

对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量

对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记

作∞=∞

→n n x lim ．

注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时，数列{}n x 是发散的，即n

n x ∞

→lim 不存在．

注2 若∞=∞

→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真．

注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量，则{}n n y x +为无穷大量．注4 设{}n x 为无穷大量，{}n y 有界，则{}n n y x ±为无穷大量．

注5 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ，若0>?δ，,N ∈?N 使得对N n >?，有δ≥n y ，则{}n n y x 为无穷大量．特别的，若0≠→a y n ，则{}n n y x 为无穷大量． 5.无穷小量

若0lim =∞

→n n x ，则称{}n x 为无穷小量．

注1 若0lim =∞

→n n x ，{}n y 有界，则0lim =∞

→n n n y x ．

注2 若∞=∞

→n n x lim ，则01

lim

=∞→n

n x ；若0lim =∞

→n n x ，且,N ∈?N 使得对N n >?，0≠n x ，

则∞=∞→n

n x 1

lim

．

6.收敛数列的性质

（1）若{}n x 收敛，则{}n x 必有界，反之不真．（2）若{}n x 收敛，则极限必唯一．

（3）若a x n n =∞

→lim ，b y n n =∞

→lim ，且b a >，则N ∈?N ，使得当N n >时，有n n y x >．

注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．

（4）若a x n n =∞

→lim ，b y n n =∞

→lim ，且N ∈?N ，使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．

注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．

（5）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +，{}n n y x -，

{}n n y x ，?

???n n y x （0lim ≠∞

→n

n y ）也收敛，且有

()=±∞

→n n n y x lim ±∞

→n n x lim n n y ∞

→lim ，

=?∞

→n n n y x lim ?∞

→n n x lim n n y ∞

→lim ，

=∞→n

n y x lim n n n

n y x ∞

→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．

7. 迫敛性（夹逼定理）

若N ∈?N ，使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤，且n n y ∞

→lim a z n n ==∞

→lim ，则a x n n =∞

→lim ．

8. 单调有界定理

单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． 9. Cauchy 收敛准则

数列{}n x 收敛的充要条件是：N m n N >?N ∈?>?,,,

0ε，有ε<-m n x x ．

注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，

但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass 定理有界数列必有收敛子列．

11. Λ7182818284.211lim ==??

??+∞

→e n n

12.几个重要不等式

(1) ,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤ (2) 算术－几何－调和平均不等式：

对,,,,21+

∈?R n a a a Λ 记

)(1

21∑==+++=n

i i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1

121n

i i n n i a a a a a G ???

==∏=Λ (几何平均值) .1

111111)(1121∑∑===

+++=

i i

n i i

i a n a n a a a n

a H Λ (调和平均值)

有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a ===Λ21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ?> 由二项展开式 23

(1)(1)(2)(1)

1,2!3!

n n n n n n x nx x x x ---+=++

+++L )1(,

1)1(>+>+?n nx x n

（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,?(n k ,,2,1Λ=),有

≤??

??∑=21n k k k b a ≤

??? ??∑=2

1n k k k b a ∑=n k k a 1

∑=n

k k

（５）N n ∈?，

n n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式

二、典型例题 1．用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．（必须掌握）例１用定义证明下列各式：

（１）16

53lim

22=+-++∞→n n n n n ；（２）设0>n x ，a x n n =∞

→lim ，则a x n n =∞

→lim

；

（97，北大，10分）（３）0ln lim

=∞→α

n n

n )0(>α

证明：（１）0>?ε，欲使不等式

ε<=<-<+--=-+-++n

n n n n n n n n n n n n 6636635616315322222

成立，只须ε

n ，于是，0>?ε，取1]6

[+=ε

N ，当N n >时，有

ε<<-+-++n n n n n 6

31532

2 即 16

53lim

22=+-++∞→n n n n n ．（２）由a x n n =∞

→lim ，0>n x ，知N n N >?N ∈?>?,,

0ε，有εa a x n <-，则

+-=

-a

x a x a x n n n ε<-a

a x n

于是，N n N >?N ∈?>?,,0ε，有

-a x n ε<-a

a x n ，

即 a x n n =∞

→lim ．

（３）已知n n ln >，因为

ααα

n n n n n n 1ln 2

ln 2

ln 022

≤???? ??+??????α

ααn n 122≤?αα

αn

n ][222

4αααααn n n =?，

所以，0>?ε，欲使不等式

=-0ln αn n ≤αn

ln εαα

n 成立，只须α

αε2

4??

? ??>n ．

于是，0>?ε，取=N 142

+???

????????

??ααε，当N n >时，有

=-0ln αn n ≤α

n n

ln εαα

n ，

即 0ln lim =∞→α

n n

n ．

评注１本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N ．将a x n -放大时要注意两点：①)(n g 应满足当∞→n 时，0)(→n g ．这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解．

评注２用定义证明a x n →)(∞→n ，对0>?ε，只要找到一个自然数)(εN ，使得当

)(εN n >时，有ε<-a x n 即可．关键证明N ∈)(εN 的存在性．

评注３在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１）N n N >?N ∈?>?,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. （２）N n N >?N ∈?>?,,

0ε，有k n a x ε<-)(N k ∈.

例２用定义证明下列各式：（１）1lim

=∞

→n n n ；

（92，南开，10分）（２）0lim =∞→n k

n a

n ),1(N k a ∈>

证明：（１）（方法一）由于1>n n （1>n ），可令λ+=1n n （0>λ），则

()