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八年级(下册)勾股定理知识点归纳

的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ? ab + c 2 = 2ab + c 2

大正方形面积为 = (a + b ) ? (a + b ) ， S = 2 ? ab + c 2 ，化简得证

梯形 2 2 2

八年级下册勾股定理知识点和典型例习题

一、基础知识点：

H C

１．勾股定理

F G

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 ２.勾股定理的证明

b a

c B a

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 a

c b

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

b c

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 a

b 常见方法如下： A a

方法一： 4S + S ?

正方形

EFGH

= S

正方形ABCD

，，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 1 2

S = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

所以 a 2 + b 2 = c 2

1 方法三： S

= 2S + S

梯形

?ADE

?ABE

B b

E a C

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在

?ABC 中， ∠C = 90? ，则 c = a 2 + b 2 ，

b =

c 2 - a 2 ， a = c 2 - b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实

际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角

形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 + b 2 与较长边的平方 c 2作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。

②定理中 a ， b ， c 及 a 2 + b 2 = c 2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + c 2 = b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 + b 2 = c 2 中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ，b ， c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ，8,15,17 等 ③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：

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30°

A D

B B B

n 2 - 1,2n, n 2 + 1 （ n ≥ 2, n 为正整数）

； 2n + 1,2n 2 + 2n,2 n 2 + 2n + 1 （ n 为正整

数）；

m 2 - n 2 ,2 mn , m 2 + n 2 （ m > n , m ， n 为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

二、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

例１.在 ?ABC 中， ∠C = 90? ．

⑴已知 AC = 6 ， BC = 8 ．求 AB 的长

⑵已知 AB = 17 ， AC = 15 ，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理 a 2 + b 2 = c 2

解：⑴ AB = AC 2 + BC 2 = 10

⑵ BC = AB 2 - AC 2 = 8

题型二：利用勾股定理测量长度

例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条

直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

根据勾股定理 AC 2+BC 2=AB 2, 即 AC 2+92=152,所以 AC 2=144,所以 AC=12.

例题 2 如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇

拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.

解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在 Rt△AC

D 中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”

的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）：

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解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2

设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x2+1.52=（x+0.5）2

解之得x=2.故水深为2米.

题型三：勾股定理和逆定理并用

例题3如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=1

AB那么△DEF是直角三角形

吗？为什么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，

我们也可以开创条件，由FB=1

AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF

和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：

解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2

同理EF2=5a2,DF2=25a2在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度

例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC 边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE

设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，

∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm

注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直

例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得

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AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想

想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；

②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225,a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。

例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。

转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,

BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算B C=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六：关于翻折问题

如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

三、勾股定理练习题

（一）、选择题

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A：4，5，6B：1，1，2C：6，8，11D：5，12，23

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为()A：26B：18C：20D：21

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为()A：3B：4C：5D：7

D：5

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为()A：5B：10C：50

5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）

A、24cm2

B、36cm2

C、48cm2

D、60cm2

6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A、6B、7C、8D、9

7、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，A E D

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B F C

第7题

设筷子露在杯子外面的长为 h ㎝，则 h 的取值范围是________________。第 6 题图 F

将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE

的面积为（

） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2

8、若△ABC 中， AB = 13cm , AC = 15cm ，高 AD=12,则 BC 的长为

A 、14

B 、4

C 、14 或 4

D 、以上都不对

9、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为 1，则△ABC 是（） C

（A ）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

10、在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池

塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

D 是（）A 、 17 B 、14 C 、16 D 、1 5

（二）、填空题

1、若一个三角形的三边满足 c 2 - a 2 = b 2 ，则这个三角形是

。

2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm ，宽为 60cm ，对角线为 100cm ，

则这个桌面

。（填“合格”或“不合格” ）

3、直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，则它斜边上的高为__________。

4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，

其中最大的正方形的边长为 5，则正方形 A ，B ，C ，D 的面积的和为

。

C A

第 10 题图

5、如右图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处,

已知 CE=3,AB=8,则 BF=___________。

6、将一根长为 15 ㎝的筷子置于底面直径为 5 ㎝，高为 12 ㎝的圆柱形水杯中，

A D

（三）、解答题

1、已知△ABC 的三边分别为 k 2－1，2k ，k △2+1（k ＞1），求证：

ABC 是直角三角形.（9 分）如图，在

2、如图，四边形 ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，CD ＝12cm ，DA ＝13cm ，

且∠ABC ＝900，求四边形 ABCD 的面积。

（2 题图）

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2 36 + 84

AC ? BC 6 ? 8

A D

3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB ， BC=6，AC=8，

求 AB 、CD 的长

B C

（3 题图） B

F C

（ 4 题图）

4．如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm ，?长 BC ?为 10cm ．当小红折叠时，

顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ）．想一想，此时 EC 有多长？?

5．如图，A 、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m ，两村庄之间的距离为 d(已知 d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。

问最小是多少？

（5 题图）

参考答案：

（一）１、Ｂ２、Ｃ３、Ｃ４、Ｃ５、 A ６、Ｃ７、Ｃ８、Ｃ 9、A 10 、D （二）１、直角三角形２、合格３、 12 ４、２５５、６ 6、２≤ｈ≤３

（三）１、提示：证（k 2－1） +（

2k ） =（k 2+1） 5 2

2、解：连接 AC ∵在 Rt△ABC 中，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２

ＡＣ= 9 + 16 =5cm

∴S△ABC= AB ? BC 3 ? 4

= =6cm 在△ACD 中，ＡＣ２+CD ２=25+144=169，DA ２=132=169，

2 2

AC ? DC 5 ? 12

∴DA ２=ＡＣ２+CD ２∴△ACD 是 Rt△ ∴S△ACD= = =30 cm 2

2 2

∴S 四边形 ABCD= S△ABC+ S△ACD=6+30=36 cm 2

3、解：在 Rt△ABC 中，BC=6，AC=8

ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ＡＢ＝

＝１０ＣＤ＝＝＝4.8

AB 10

４、解析:根据勾股定理可求得 BF=6cm,所以 CF=4cm.设 EC=x cm,则 EF=DE=(8-x)cm

根据勾股定理，得 x 2+42=(8-x)2 x=4cm

5、解析:根据勾股定理可求得 A 、B 两个村庄的水平距离是 600m, 再根据勾股定理可求得最小值是 1000m

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勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

新人教版八年级下册数学勾股定理教案

第十七章勾股定理勾股定理（一）教学内容：新课标对本节课的要求：教学目标知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。教学重点、难点重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。教学过程 1.引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。 2、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2，即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

勾股定理知识点与常见题型总结

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勾股定理复习一.知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/3a1277299.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/3a1277299.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A