数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

数列小题大做

一、单选题

1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）

A ．60

B ．80

C ．90

D ．100

【答案】A 【分析】

由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】

由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以10109

1015(2)602

⨯=⨯+

⨯-=S . 故选：A

2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

【答案】A 【分析】

根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】

∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】

当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】

由题，当数列为2,4,8,

---时，满足0q >，

但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．

4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2

28n S n n =-

D ．2

122

n S n n =-

【答案】A 【分析】

等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)

1002

S -+=

=-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，2455415

0,5250522

S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．

【详解】

由题知，41514430

245

d S a a a d ⎧

=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．

【点睛】

本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．

5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n

n

S a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1

【答案】B 【分析】

根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】

设等比数列的公比为q ，

由536412,24a a a a -=-=可得：42

1153

1

11122

124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1

1

11(1)122,21112

n n

n n n n n a q a a q

S q ----=====---，

因此1121222

n n

n n n S a ---==-.

故选：B. 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.

6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A ．3699块

B ．3474块

C ．3402块

D ．3339块

【答案】C 【分析】

第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】

设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，

则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即

3(927)2(918)2(918)(99)

7292222

n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)

34022

n S S +⨯===.

故选：C 【点晴】

本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1n

n n

a a n a *+=∈+.记数

列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．

1003

32

S << B ．10034S << C ．100942

S <<

D ．

1009

52

S << 【答案】A 【分析】 显然可知，100

32S >，利用倒数法得到2

11111

24

n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得

112n n a a +<，由累加法可得24

(1)n a n ≥+，进而由11n n n

a a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6

(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．

【详解】 因为)111,N 1n

n n a a n a *+==

∈+，所以0n a >，10032

S >． 由2

111111

241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 2

11111

22n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭11

2

n n a a +<

11

122n

n n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，

1

241

2(1)3111

n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥

∴=≤=++++

+ 11

3

n n a n a n ++∴

≤+， 由累乘法可得6

(1)(2)

n a n n ≤

++，当且仅当1n =时取等号，

由裂项求和法得：

所以100111111

1111663233445

1011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-+

+

-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】

1,n n a a +2

4

(1)n a n ≥

+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等

关系，改变不等式的方向得到6

(1)(2)

n a n n ≤

++，最后由裂项相消法求得1003S <．

8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若

12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

【答案】C 【分析】

使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】

若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为

，

则

，

，

所以11n ≤. 对于，，

取数列

各项为

(1,2,10)n =⋯，1125a =,

则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．

9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记

12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项

【答案】B 【分析】

首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】

由题意可知，等差数列的公差5119

25151

a a d --+=

==--，

则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，

且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，

由()1

17,i

i i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，

故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.

10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数

C ．恒为负数

D ．可正可负

【答案】C 【分析】

根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，

()0f x >求解.

【详解】

因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，

所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，

所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C

11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，2

11,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,

则

A ．当101

,102

b a =>

B ．当101

,104

b a =>

C ．当102,10b a =->

D ．当104,10b a =->

【答案】A 【分析】

若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】

若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由2

1n n a a b +=+，

可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =

时，2112n n a a +=+，2

102

x x -+=， 1210∆=-=-<，

故此时{}n a 不为常数列，

2

22112n n n n a a a +=+

=+≥， 且2

211122

a a =+≥，

792a a ∴≥≥2

1091610a a >≥>，

故选项A 正确； 选项B ：14b =

时，2114

n n a a +=+，2

104x x -+=，

则该方程的解为1

2

x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12

n a =， 则101

102

a =

<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，2

12n n a a +=-，220x x --=

该方程的解为1x =-或2，

即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，

同样不满足1010a >，则选项C 也错误；

选项D ：4b =-时，2

14n n a a +=-，240x x --=

该方程的解为117

x ±=

同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.

12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ2

2

⎛

⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）

A ．173

B ．174

C ．175

D ．176

【答案】B 【分析】

化简n a 可得2

2cos

3

n n a n π

=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】

2222

2cos sin cos sin cos

33333n n n n n n a n n n n πππππ2

2

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

当3n k =()k N *

∈ 时，()2

33k a k =；31n k =-()k N *

∈时，()2

31

312

k k a --=-

；

32n k =-()k N *

∈时，()2

32

322

k k a --=-

()()()2

2

3212

333231592

2

2

3k k k

k k a a a k k ----++-

=-

+=-

所以()()181665

30912669174222

S +⨯=+++-⨯=⨯

-= 故选：B

二、填空题

13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数

列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

(N )n *

∈ 的前3

项和是________． 【答案】10 【分析】

根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()

12

n n n a +=

，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】

本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．

14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】

结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛

⎫=+=+- ⎪⎝

⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b

Q q q

q q

-=

=-

+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n

n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫

-+-=

+--+ ⎪--⎝

⎭， 通过对比系数可知111

212211d

d a q b q

⎧=⎪⎪

⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪

⎨=⎪

⎪=⎩，故4d q +=.

故答案为：4 【点睛】

11

本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.

15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，

且236,14S S ==，则数列2211log log n

n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】

20212022

【分析】

根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】

解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，

所以211143

a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1

n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-

+-++-=-=. 故答案为：20212022

16．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}

*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.

【答案】36

【分析】

由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过

计算即得.

【详解】

由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，

且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.

可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，

试卷第12页，共12页

因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.

故答案为：36.

13

函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

函数小题大做 一、单选题 1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ C ．()2 f x x = D ．()3f x x 【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，()2 f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍. 对于D ，()3f x x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D. 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 【答案】D 【分析】 先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】 ()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-． 当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 【点睛】 本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇

函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ．94 - B ．32 - C ． 74 D ．52 【答案】D 【分析】 通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】 因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②． 令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-， 令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()2 22f x x =-+． 思路一：从定义入手． 9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222 f f ⎛⎫ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222 f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ． 【点睛】 在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 4．（2021年天津高考数学试题）函数2ln || 2 x y x = +的图像大致为（ ）

数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

数列小题大做 一、单选题 1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ） A ．60 B ．80 C ．90 D ．100 【答案】A 【分析】 由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】 由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以10109 1015(2)602 ⨯=⨯+ ⨯-=S . 故选：A 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】A 【分析】 根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】 ∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.

3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】 当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为2,4,8, ---时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】 在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n =- 【答案】A 【分析】 等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72) 1002 S -+= =-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，2455415 0,5250522 S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】

计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

计数原理小题大做 一、单选题 1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种 【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有2 5C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5 C ．10- D ．10 【答案】C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】 ) 5 2x 展开式的通项公式为：() ()552 15 5 22r r r r r r r T C x C x --+=-=-， 令 522 r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11 522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条

专题20统计概率(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

统计概率（理科）解答题20题 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为 21s 和22s ． （1）求x ，y ，21s ，2 2s ； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 s s y x +-≥则不认为有显著提高）． 【答案】（1）22 1210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均 值较旧设备有显著提高. 【分析】 （1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】 （1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.7 1010 x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.5 10.310 y +++++++++= =， 22222222 2 1 0.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==， 222222222 22 0.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410 s +++++++++==. （2）依题意，20.320.1520.1520.0225y x -==⨯=0.0360.04 2 20.007610 += 22 12 2 10 s s y x +-≥. 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——数列含答案

（文数）解答题强化专练——数列 一、解答题（本大题共10小题，共120.0分） 1.在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若S5=25，a10=19． （1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n； （2）若数列{b n}中b n=，求数列{b n}的前n和T n． 2.在数列{a n}中，a1=3，a n=2a n-1+（n-2）（n≥2，n∈N*）． （1）求证：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式； （2）求数列{a n}的前n项和S n． 3.已知数列是以为首项，为公差的等差数列，且，，成等比数 列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 4.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若公差d≠0，a5=10，且、、成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求证：T n＜．

5.已知{a n}是递增的等比数列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差数列． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设数列{b n}满足b1＝a2，b n＋1＝b n＋a n，求数列{b n}的前n项和S n． 6.已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，点（a n，a n+1）在直线2x-y+1=0上， （Ⅰ）证明数列{a n+1-a n}为等比数列，并求其公比． （Ⅱ）设b n=log2（a n+1），数列{b n}的前n项和为S n，若S m≤λ（a m+1），求实数λ的最小值． 7.已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4－a2＝24． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n； （Ⅱ）设b n＝n·a n，求数列{b n}的前n项的和S n． 8.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1-（n+1）a n=1+2+3+…+n，n∈N*． （1）求证：数列{}是等差数列； （2）若b n=，求数列{b n}的前n项和为S n．

2023年高考数学一轮复习精讲精练第18练 等差数列及其求和(解析版)

第18练 等差数列及其求和 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，若1233++m a a a a =，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【详解】 ∵2132+a a a =，则12323++3m a a a a a == ∵2m = 故选：B ． 2．2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒 【答案】D 【详解】 设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ， 则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 由求和公式有()2 21380n n n n n +-=+=， 解得19n =． 故选：D. 3．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=,712a =，则9a =（ ） A ．8 B ．10 C ．14 D ．16 【答案】D 【详解】 设公差为d ， 则1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩， 所以91816a a d =+=. 故选：D. 4．5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A 地区已经累计开通5G

基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G 网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G 基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到（ ） A ．2022年10月底 B ．2022年9月底 C ．2022年8月底 D ．2022年7月底 【答案】B 【详解】 由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G 基站数量为等差数列，则公差为40， 假设要经过k 个月，则()1504046403002 k k k -+ ⋅=-， 解得：14k =，所以预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到2022年9月底， 故选：B ． 5．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（ ） A ．4 B ．72 C ．3 D ．2 【答案】C 【详解】 因为()()()()235626354412a a a a a a a a a +++=+++==，所以43a =. 故选：C ． 6．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若13260S =，则2811a a a ++的值为（ ） A ．60 B ．120 C ．180 D ．260 【答案】A 【详解】 设等差数列{an }的公差为d ， 因为13260S =，所以11312 132602 a d ⨯+=， 所以1620a d +=， 所以2811111171031860a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=， 故选：A. 7．已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（ ） A ．115 B ．110 C ．110- D ．115- 【答案】D 【详解】 设数列{}n a 的公差为d ，则由734a a =得264(22)d d +=+，解得3d =-，

高考数学复习历年考点题型专题讲解38--- 数列中的通项公式(解析版)

高考数学复习历年考点题型专题讲解 38数列中的通项公式 一、题型精讲 解题方法与技巧 题型一、由S a n n 与的关系求通项公式 例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足 ()()21n n S n a n N *=+∈，且12a =. 求数列{}n a 的通项公式； 【解析】因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N , 两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+, 即11n n a a n n +=+,n * ∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 为常数列, 所以 1 21 n a a n ==,

所以2n a n = 例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足1,a 2, a 31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列 {}n b 的前n 项和2(1)log 2 n n n a S += .求： （1）,n a n b ； 【解析】设{}n a 的公比为q. 因为1,a 2,a 31a a -成等差数列， 所以()21312a a a a =+-，即232a a =. 因为20a ≠，所以32 2a q a ==. 因为134a a a =，所以4 13 2a a q a = ==. 因此1 12n n n a a q -==. 由题意，2(1)log 2n n n a S += (1)2 n n +=. 所以111b S ==， 1223b b S +==，从而22b =. 所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=.

高考数学压轴专题专题备战高考《数列》全集汇编含答案解析

【高中数学】数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972 C ．3 973 D ．3 974 【答案】D 【解析】 【分析】 先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12 n n +=个数，运算即可得解． 【详解】 解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n () 12 n n += 个数， 设第2019个数在第n 组中， 则() ()120192 120192 n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64， 即第2019个数在第64组中， 则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题． 2．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,, (2222222222) n n n ，则该数列第2019项是（ ） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 【答案】C

高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：数列求和及综合应用含解析

第一部分 一 10 一、选择题 1．(文)(2015·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5 ＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 [答案] A [解析] 考查等差数列的性质及求和公式． a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2 ＝5a 3＝5.故选A. (理)(2015·新课标Ⅰ文，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8 ＝4S 4，则a 10＝( ) A.17 2 B.19 2 C ．10 D ．12 [答案] B [解析] 本题主要考查等差数列的通项及求和公式． 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d 2，且S 8＝4S 4，代 入计算可得a 1＝1 2 ；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则 a 10＝12＋(10－1)×1＝192. 故本题正确答案为B. [方法点拨] 数列求和的类型及方法技巧 (1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩

第04讲 数列求和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

第04讲 数列求和 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：裂项相消求和法 题型二：错位相减求和法 题型三：分组求和法 题型四：倒序相加求和法 第四部分：高考真题感悟 1.公式法 (1)等差数列前n 项和公式11()(1)22 n n n a a n n d S na +-= =+; (2)等比数列前n 项和公式1 11(1)11n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪-⎩ 2.裂项相消求和法: 裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n 项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n 项和. ①21111 (1)1 n n n n n n ==-+++ ② 1111 ()()n n k k n n k =-++

③ 211111 ()41 (21)(21)22121 n n n n n = =---+-+ ④ 1111 ()(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ 1 k = 3.错位相减求和法: 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 4.分组求和法: 如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{} n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 5.倒序相加求和法: 即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和. 1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列{}n a 满足() 1 1n a n n =+，则{}n a 的前2022项和为（ ） A ． 12023 B ． 2022 2023 C ． 1 2022 D ． 2021 2022 【答案】B 解：由题得()111 11 n a n n n n = =-++， 所以{}n a 的前2022项和为1111 1112022 11223 2022202320232023 -+-+ + -=-=. 故选：B 2．（2022·全国·高三专题练习（文））若数列{an }的通项公式为an ＝2n ＋2n －1，则数列{an }的前n 项和为（ ） A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1＋n 2－2 【答案】D

第03讲 等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲 等比数列及其前n 项和 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：等比数列基本量的运算 题型二：等比数列的判断与证明 题型三：等比数列的性质及其综合应用 角度1：等比数列的性质 角度2：等比数列与等差数列的综合问题 第四部分：高考真题感悟 1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语 言表达：1 (2)n n a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式 (1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为1 1 n n a a q -=；可推广为

n m n m a a q -=. (2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时， 11(1)11n n n a a q a q S q q --==--. 3.等比数列的性质 设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和． (1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N * ∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N * ∈. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即k a ，k m a +，2k m a +，…仍是等比数 列，公比为m q (,k m N * ∈)． (3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}n n pa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． 1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5 【答案】C 解：因为2、x 、8成等比数列， 所以228x =⨯，解得4x =±； 故选：C 2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A ．420 只 B ．520 只 C ． 2055 4-只 D ． 21443 -只 【答案】B 第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，…… 按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题22：常见数列的通项求法(讲解版)

专题22：常见数列的通项求法 精讲温故知新 一、知能要点 1、求通项公式的方法： (1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ； (2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ S 1 S n －S n －1 n ＝1，n ≥2； (3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式； (4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1 a n ＝f (n )； (5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)． 一，观察法求通项 例1：（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个 通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．(1)(12)n n a n =-- C ．(1)(21)n n a n =-- D ．1 (1)(21)n n a n +=-- 【答案】C 【解析】 【分析】 根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可. 【详解】 ∵数列{an }各项值为1-，3，5-，7，9-， ， ∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an |＝2n ﹣1 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an ＝（﹣1）n （2n ﹣1）. 故选：C 举一反三 （2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式 111341359135716 =+=++=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 照此规律，第n 个等式为______． 【答案】()2 13521n n +++⋅⋅⋅+-=【解析】

由已知等式结合等差数列的定义写出左侧表达式，再由右侧与行数的关系写出右侧表达式，即可确定第n 个等式. 【详解】 由已知等式，对于第n 行有： 左侧是首项为1，公差为2的等差数列前n 项和，左侧可写为1...(21)n ++-， 右侧随行数n 增大依次为2222211,42,93,164,...,n ====， 所以第n 个等式为21...(21)n n ++-=. 故答案为：21...(21)n n ++-= 二，公式法求通项 1、等差数列公式 ()11n a a n d =+- 推论公式： 例2：（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 【答案】D

2022届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(29)(等差数列及其前n项和)解析版

2022届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(29) （等差数列及其前n 项和） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若422S =，616a =，则3a =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 【答案】D 【解析】因为414622S a d =+=，61516a a d =+=， 所以11a =，3d =，3127a a d =+=， 故选：D. 2.已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3=6，S 3=12，得：, 解得：a 1=2，d=2． 故选：C 。 3.等差数列{}n a 中，若28515a a a +=-，则5a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C 【解析】因为，等差数列{}n a 中，28515a a a +=-，所以，由等差数列的性质，得，555215,5a a a =-=，故选：C 。 4.“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】A 【解析】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且

2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：数列中的最值问题含解析

数列中的最值问题 一、考情分析 数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享 (1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1 a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨ ⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2 ＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小， 若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k k S S -最大。 四、题型分析 (一) 求数列的最大项或最小项 求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a = 2 156 n n +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11 n n n n a a a a 的n 的值. 【解法一】基本不等式法. ， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A (三) 求满足数列的特定条件的n 的最值

高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》基础测试题附答案解析

【高中数学】数学《数列》复习知识点 一、选择题 1．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223 S π =，则6tan()a 的值为（ ） A B ．C D ．【答案】B 【解析】 【分析】 由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123 a a S a π +=== ，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫ == ⎪⎝⎭ 故选B. 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型. 2．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】A 【解析】 【分析】 由题设知21n a n =-，12n n b -=，由 1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得 1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值． 【详解】 {}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-， {}n b Q 是以 1为首项，2为公比的等比数列，1 2n n b -∴=， ()()()() 1121121242211221241221 n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ( )1 21242 n n -=+++⋯+- 12212n n -=⨯-- 122n n +=--， 2019n T

等差数列—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)

狂刷23 等差数列 1．已知{}n a 是等差数列，且25a =-，646a a =+，则1a = A ．-9 B ．-8 C ．-7 D ．-4 2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S = A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 3．在等差数列{a n }中,a 1+a 4+q 7=45,a 2+a 5+a 8=29,则a 3+a 6+a 9等于 A ．13 B ．18 C ．20 D ．22 4．以n ,n S T 分别表示等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，若73n n S n T n =+，则55 a b 的值为 A ．7 B ．21 4 C ． 37 8 D ． 23 5．已知数列{}n a 中，3a =2，7a ＝1，若12n a ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 为等差数列，则11a 等于 A ．1 B ． 12 C ． 2 3 D ．2 6．在数列{a n }中，a 3=5，a n+1−a n −2=0(n ∈N ∗)，若S n =25，则n = A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7． 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 A ．1.5尺 B ．2.5尺 C ．3.5尺 D ．4.5尺 8．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＞31，则公差d 的取值范围是________. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =________. 10．已知等差数列{}n a 的前三项为2 4 5,4,3 77 ，则使得0n a ≥的n 的最大值为________. 11．等差数列{}n a 中，2912142078a a a a a a ++-+-=，则931 4 a a - = A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若616a =，535S =，则{}n a 的公差为 A ．3 B ．2 C ．-2 D ．-3 13．已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 7+a 13=4π，则tan(a 2+a 12)= A ．3 B 3 C 3 D ．3-14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0n n a S n + <最小的n 为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 15．设{a n }是等差数列，a 2=5,a 8=11，且a n =b n+1−b n ，b 1=1，则b 11＝ A ．59 B ．64 C ．78 D ．86 16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10， S 5≤15，则a 4的最大值为

专题十五：构造法求数列-2021高考数学冲刺(含详细解析)

专题十五：构造法求数列（解析版） 1．已知数列 {}n a 的通项公式为1 ,32 n a n N n *= ∈-. （1）求数列2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ； （2）设1n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2 3n S n =；（2）31 n n T n = +. 【解析】 试题分析：（1）将132n a n = -代入22163n n n a n a a +=+=-，2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ 是等差数列，由此求得2 3n S n =；（2）化简111133231n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭ ，利用裂项求和法求得前n 项和. 试题解析： （1） 222 64,163n n n n a n n a a a +=-∴=+=-,所以2n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ 是首项为3，公差为6的等差数列.所以() 213632 n n n S n n -=+ ⨯=. （2） 112111111,...323133231n n n n n n b a a T b b b b n n n n +-⎛⎫ == ⨯=-∴=++++ ⎪-+-+⎝⎭ 11111 111111 (134473532323133131) n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 2．已知数列}{n a 满足01=a ，1121+++=+n n n a a a . （1）求证数列}1{+n a 是等差数列，并求出}{n a 的通项公式； （2）若1 2-⋅=n a b n n n ，求数列}{n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，2 1n a n =-；（2）1 2+⋅=n n n T . 【解析】

专题9 数列通项公式和前n项和(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题9通项公式和数列求和 一、单选题 1．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2 2n n a S n =-，则a 5＝（ ） A ．8 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【分析】 根据2 2n n a S n =-，1n =时，得到11a =，当2n ≥时，根据1n n n a S S -=-得到11n n a a -=-或者11n n a a -=-，再求5a 即可. 【详解】 正项数列{}n a ，2 2n n a S n =-， 当1n =时，21112121a S a =-=-，()2 21112110a a a -+=-=，所以11a =. 当2n ≥时，221122121n n n n n a a S S a ---=--=-，222121(1)n n n n a a a a -=-+=-， 所以11n n a a -=-或者11n n a a -=-. 当11n n a a -=-时，{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以n a n =，55a =； 当11n n a a -=-时，20a =与{}n a 是正项数列矛盾，所以舍去. 故选：B. 2．已知数列{}n a 的前n 项和()2 * n S n n N =∈，则{}n a 的通项公式为（ ） A ．2n a n = B ．21n a n =- C ．32n a n =- D ．1,1 2,2 n n a n n =⎧=⎨ ≥⎩ 【答案】B 【分析】 利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】 2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，