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【典型题】数学高考模拟试题及答案

一、选择题

1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24

B ．16

C ．8

D ．12

2．()22

x x

e e

f x x x --=+-的部分图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π

)+2的图象向右平移43

π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．2

B ．

C ．

D ．3

4．

()()3

1i 2i i --+=（）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i -

5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（） A ．

钱 B ．

钱 C ．

钱 D ．

钱 6．函数2

||()x x f x e -=的图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．函数()2

3x f x x

+=的图象关于( )

A ．x 轴对称

B ．原点对称

C ．y 轴对称

D ．直线y x =对称

8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +

C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f

ξξ∈1[,]i i x x +）

D ．以上答案均正确

9．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径

的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2

D ．5

10．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >?> B ．22a b a b >?> C ．33a b a b >?> D ．22a b a b >?> 11．若实数满足约束条件

，则的最大值是（）

A ．

B ．1

C ．10

D ．12

12．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A ．3

B ．2

C 3

D 2

二、填空题

13．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos

π的值介于1[0,]2

的概率为．

14．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直

线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 15．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

16．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．

17．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．

18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．

19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.

20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥

P ABC -的体积为________. 三、解答题

21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳

不喜欢游泳

合计

男生

女生

合计

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；

（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；

（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考： P

（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式：2

n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)

-=++++，其中n=a+b+c+d ）

22．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的一个焦点为

(

)

5,0，离心率为5.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

23．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=?，

30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==分别是11,AC A B 的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.

24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t

y at

=+??=-?（t 为参数，a R ∈），以

坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是

224πρθ??

. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB =a 的值.

25．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy ，已知曲线:sin x a

C y a

?=??

=??（a 为参数），在以O 原点为极点，

x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为

cos()124

ρθ+=-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】

根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。【详解】

根据题意，可分三步进行分析：

（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2

22A =种情

况；

（2）将这个整体与英语全排列，有2

22A =中顺序，排好后，有3个空位；

（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224?=种，所以不同的排课方法的种数是22416??=种，故选B 。【点睛】

本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

2．A

解析：A

【解析】【分析】

根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}

1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．【详解】

由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2

x x

e e

f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22

x x

e e

f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项

根据解析式分母不为0可知,定义域为{}

1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项所以选A 【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．

3．C

解析：C 【解析】

函数sin 23y x πω?

?=++ ???的图象向右平移

43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π

πππ?????

++=+-+ ? ????

???

所以有4333

20132

w k

k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=

≥ 故选C

4．B

解析：B 【解析】【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】

由题意得，复数()()()3

1i 2i 13i i 13i 3i i i

i i

--+-+?-+===----?．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

5．B

解析：B 【解析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则

22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又

225,

a d a d a a d a d -+-+++++=1a

,则4

42263

3a a d a a ??-=-?-== ?

??,故选B.

6．A

解析：A 【解析】【分析】

通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】

||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;

由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选A 【点睛】

图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．

7．C

解析：C 【解析】【分析】

求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】

解：

()f x =

0x ∴≠解得0x ≠

()f x ∴的定义域为()

(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.

任取x D ∈，都有()()f x f x x

==，

()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，

故选：C . 【点睛】

本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．

8．C

解析：C 【解析】【分析】【详解】

根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），

故选C ．

9．A

解析：A 【解析】【分析】

准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】

设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又

||PQ OF c ==，||,2

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

A ∴为圆心||2

OA =．

,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==．

e ∴=A ．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

10．C

解析：C

【解析】

【分析】

由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．

【详解】

选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；

选项B，当a＝﹣1，b＝﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；

选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；

选项D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.

【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.

【点睛】

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

12．B

解析：B 【解析】【分析】【详解】

M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，

∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故答案选B

二、填空题

13．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率

解析：1

【解析】

试题分析：由题意得

1220cos

,[1,1]112232222333

x x x x x πππππππ≤≤∈-?≤≤-≤≤-?≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)

13.1(1)3-=--

考点：几何概型概率

14．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点

睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容

解析：2 【解析】

试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为

y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以

22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．

【考点】双曲线的性质

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为

的形式，当

，

时为椭圆，当

时为双曲线.

15．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??+<<+∈????

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x ，解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈，即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππ

ππ+<<+∈. 16．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为解析：

【解析】【分析】【详解】

复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==

．

故答案为

．

17．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390

解析：390 【解析】【分析】【详解】

用2色涂格子有种方法,

用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有

种,

所以涂色方法种方法,

故总共有390种方法. 故答案为:390

18．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-

【解析】【分析】

首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到

12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得

11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.

【详解】

根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，

所以66(12)

6312

S --==--，故答案是63-.

点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.

19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画

解析：画画【解析】

以上命题都是真命题，

∴对应的情况是：

则由表格知A在跳舞，B在打篮球，

∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，

∴C在散步，

则D在画画，

故答案为画画

20．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径

解析：33

【解析】

【分析】

做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】

正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2

1642,r r ππ=?= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则

2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得

到

23sin 60

=，故得到外接圆半径为 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()2

23413h h -+=?=或三棱锥的体积为：13

ABC

h S ??

代入数据得到13133

133.32?????=或者1319333 3.324????

?= 故答案为：33或93

. 【点睛】

这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

三、解答题

21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得2K 与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1

人喜欢游泳的概率.

试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人

其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：

喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60

100

（2）因为

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关

（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学

生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种.

其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、（c ，2），共6种

所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为

【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，

22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象

的发生.

22．（1）22194

x y +=；（2）22

013x y +=. 【解析】【分析】【详解】

试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、

b 、

c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：

第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、

2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为

()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用

0?=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方

程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知

5533

a a =?=，且有2235

b -=2b =，

因此椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=；

（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得

()()()2

22000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，

()(

)

()2220000184949360k y kx k y kx ?????=--?+--=????

，化简得()2

940y kx k ---=，即()()2

9240x k kx y y --+-=，

则1k 、2

k 是关于k 的一元二次方程()()22

9240x k kx y y --+-=的两根，则

201220419

y k k x -==--，

化简得22

0013x y +=；

②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆

2213x y +=上.

综上所述，点P 的轨迹方程为2

13x y +=.

考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.

23．（1）证明见解析；（2）35

. 【解析】【分析】

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】

(1)如图所示，连结11,A E B E ，

等边1

AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =，

由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，结合EF ?平面11A B E ，故EF BC ⊥.

(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.

设1EH =，则3AE EC ==

1123AA CA ==3,3BC AB ==，

据此可得：()()()

1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ??

- ? ???

，

由11AB A B =可得点1B 的坐标为1333,322B ??

???

，利用中点坐标公式可得：333,344F ??

???

，由于()0,0,0E ，

故直线EF

的方向向量为：34EF ??=

???

设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则：

(

)(

)133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y ????=?-=+-=? ? ????

???

?=?-=-= ?? ????

，据此可得平面1A BC 的一个法向量为()

1,3,1m =

，34EF ??

???

此时

cos ,55EF m EF m EF m

?，设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55

EF m θθ===. 【点睛】

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

24．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是222

20x y x y +--=；（2）【解析】【分析】

（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程为ρ＝

（θ4π+

），展开得22

ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθ

ρθ=??

即可得出曲线C 的直角坐标方程；（2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．

【详解】

（1）由直线l 的参数方程为21x t

y at

=+??=-?，所以普通方程为

210ax y a +--=

由曲线C 的极坐标方程是4πρθ??

，

所以2

2sin 2cos 4πρθρθρθ??

=+ ??

，所以曲线C 的直角坐标方程是2

220x y x y +--=

（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为d

，则MA =，圆()()2

:112C x y -+-=

，则r =

()1,1C ，

d MC ====,

由点到直线距离公式，12

d =

解得a =±，所以实数a

的值为±

【点睛】

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

25．（1）曲线C ：2

213

x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据

cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线

1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积

试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2

213

x y +=，

cos 14πρθ?

?+=- ??

?，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．

（2）直线1l

的参数方程为12

2x t y t ?=-+

????=??（t 为参数），

代入2

213

x y +=

化简得：2220t -=，

设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，

121MA MB t t ∴?==．

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

高考数学典型例题---数学归纳法解题

数学归纳法每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<