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数列经典例题集锦

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=.

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---

1313

312n n n a ---+=++

++=，所以证得312n n a -=

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b

a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1

n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =

故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)

3222n n n T n n n -=+

?=+

例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2

12322...a a a +++

128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}

n n b b -+1是等差数列.

⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k *

∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.

点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，

可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.

解：（1）已知212322a a a +++ (1)

2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)

128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

①－②得，1

28n n a -=，求得42n n a -=，

在①中令1n =，可得得41

182

a -==，

所以42n

n a -=(n ∈N*）.

由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n

b b +-=2)1(4?-+-n 26n =-，

121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+

(4)(2)(28)n =-+-+

+-2714n n =-+(n ∈*N ）.

（2）k k b a -=2714k k -+-42k

-，

当4k ≥时，

277

()()24f k k =-+-42k

-单调递增，且(4)1f =，所以4k ≥时，2

()714f k k k =-+-42

-≥，

又(1)(2)(3)0f f f ===，

所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.

例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解：依题意得：

2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②

∵ a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==

n n n n n n b b a b b a ，代入①并同除以1+n b 得： 212+++=n n n b b b ，

∴ }{n b 为等差数列

∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

29,22122=

=b b b a 则，

∴

2)1(),1(22)229)(1(22

∴+=--+=n b n n b n n ， ∴当n ≥2时，2)

1(1+=

=-n n b b a n n n ，又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=

n n a n

2. 研究前n 项和的性质例题5.

已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n

n S a b =?+，且13a =.

（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；

（2）设

n n n b a =

，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ?=-=--1

.而}{n a 为等比数列，得a a a =?=-1112，

又31=a ，得3=a ，从而1

23-?=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-. （2）132n n n n n b a -==?， 21123(1)3222n n n T -=++++

23111123

1(23222

22n n n

n n T --=++++

+），得211111

1(1)2322

22n n n n

T -=++++

-，

1(1)2412[

](1)13232212n n n n n n n T +?-=-=---.

例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为1

10的等比数列，数列{b }n 满足

121

(lg lg lg )k k b a a a k =+++

()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '

解：（1）由题意：410n

n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1

-的等差数列，

∴

12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-

，∴1(1)7[3]22n n n n

b n n --=-=

由100n n b b +≥??≤?，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为

212S S ==.

（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，

∴当7n ≤时，212731132(

)244n n n S b b b n n n -+

'=+++==-+

当7n >时，

12789n n S b b b b b b '=++

+---

-2712113

2()21

44n S b b b n n =-++

+=-+

∴22113

(7)4

411321(7)44n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??.

例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若

log n n n b a a =，12

n n S b b b =++

+求使

1230n n S n ++?>成立的n 的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由

a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12

（舍）

∴a n =2·2

（n －1）

=2n

（2） ∵12log 2n

n n n b a a n ==-?，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.

例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*

1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.

（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足

(3)[()2]n n b n f a =

++，记数列{}n b 的前n 项和为T n

，试比较

52512312n n T +-

与的大小.

解：（I ）11,,n n S a +-成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②.

①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，1 3.

n n a

a +∴= 当n =1时，由①得112221S a a ∴==-，又11,

a =2

3,3,a a a ∴=∴

{}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=

（II ）∵()x log x f 3=，1

33()log log 31n n n f a a n -∴===-，

11111

()

(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，

1111111111111()

224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++

11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-

比较

52512312n n T +-

与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-

∵*,N n ∈∴当*

19N n n ≤≤∈且时，

525

2(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即当10n =时，

525

2(2)(3)312,;

12312n n n n T +++==-即当*

10N n n >∈且时，

525

2(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.

3. 研究生成数列的性质

例题9. （I ）已知数列{}n c ，其中n

n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；

（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是

等比数列.

解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋

1－p （2n ＋3n ）]2

=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －

1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2

=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －

1]，

整理得61

（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，

解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证2

2c ≠c 1·c 3.

事实上，2

2c =（a 1p ＋b 1q ）2=2

1a p 2＋2

1b q 2＋2a 1b 1pq ，

c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 2

1a p 2＋2

1b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）. 由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，

因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.

例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，

163,814342=

=a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn

解：设数列{1k a }的公差为d ，数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q

则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －

依题意得：???

???

=+==

+==+=163)2(81)(1)3(3

1143

11421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，

∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = k

n n S 212132122132?++?+?+=

，

1432212132122121+?++?+?+=n n S ，

两式相减得：n n n S 22121

例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记

()*3,.

f n n a n N =∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设n n n n

n b b b T a b +++==

21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；

（3）求使不等式1

2)1

1()11)(11(21+≥+++n p a a a n

对一切*N n ∈均成立的最大实数p .

解：（1）由题意得???=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得???-==12b a ，

)12(log )(3-=∴x x f *)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得

n n n b 212-=， n n n n n T 2122322523211

321-+-++++=∴- ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①－②得

)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++= 1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.

n n 2n n 23n 2321n 2213T +-

=---=∴-，设*

,232)(N n n n f n ∈+=

，则由 1512132121)32(252232252)

()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*

,232)(N n n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m

（3）由题意得*

21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对恒成立

记

)

1()11)(11(1

21)(21n a a a n n F ++++=

，则

()()

1n 21n 2)

1n ()1n (4)1n (2)

3n 2)(1n 2(2n 2)

a 1

1()a 11)(a 11(1

n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21

)n (F )

1n (F 2n 211

n n 21=++>

+-++=

+++=

+++++++++=++

)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴> 是随n 的增大而增大

)(n F 的最小值为

332)1(=

F ，332≤∴p ，即332max =p .

（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.

例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*

N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；

⑶设n b =1

(12)n n a -**

12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得

对任意*

N n ∈，均有>n T 32m

成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+?=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时

21281029,2n n

a a a n n n +-=+++=

?=-

6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521

2555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+

故

?????+--=40n 9n n n 9S 22

n 56n n ≤≥ （3）11111

()

(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++，

∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+ 若

32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*

N n ∈成立， *()1N n n n ∈+的最小值是21，1,162m ∴

即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有

.32n

m T >

例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n a

n b n =∈N *.

（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若8131220,a a m b b b +=求.

解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n a

n b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=?=?-。所以{}n a 是以3log q 为公差的等差数列.

（2）∵813,a a m +=所以由等差数列性质可得120813,a a a a m +=+=

123a a a +++…

12020()20

102

a a a m +?+=

1220()

10122033a a a m b b b ++

+==

2. 由简单递推关系证明等差等比数列

例题14. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >

，n b *n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列.

（I ）证明：2

2n n a a q +=；

（II ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列；（III ）求和：1234

212111111n n a a a a a a -++++++

. 解法1：（I ）证：由1

n b q b +=

q ==，∴()*N n q a a 2n 2n ∈=+.

（II ）证：∵2

2n n q a a -=，

22221231n n n a a q a q ---∴==

=，2n 2222n 2n 2q a ...q a a --===，

22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=.

{}n c ∴是首项为5，公比为2q 的等比数列.

（III ）解：由（II ）得2221

n q a a --=

，222211n

n q a a -=，于是 12213

2111111111

()(

)n n n a a a a a a a a a -+++

=+++++++

24222422121111

111

(1)(1)

n n a q q

a q q

q --=

+++++++++

21223111

(1)

2n q q

q -=++++

当1q =时，2422

122111311

1(1)2n n a a a q q q

-+++

=++++

32n

当1q ≠时，242212

2111311

(1)

2n n a a a q q

q -+++=++++

31()21n

q q ---=-222231[]

2(1)n n q q q --=-. 故

212

22223

1211

11[ 1.(1)n n n n q q a a a q q q -?=??

+++=?

-?≠?2-?，，]，

解法2：（I ）同解法1（I ）.

（II ）证： 222*1212221221221222()22N n n n n n

n n n n n

c a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++，又11225c a a =+=，

{}n c ∴是首项为5，公比为2q 的等比数列.

（III ）由解法1中（II ）的类似方法得22

2221212()3n n n n a a a a q

q ---+=+=，

34212121221234212111

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，

2222

212442123322k k k k k k k a a q q

a a q --+---+==，12k n =，

，，. ∴()

n 22n 221q ...q 123a 1...a 1a 1+--+++=+++.

例题15. 设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a （1）证明：数列}{n a 是等比数列；

（2）设数列}{n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足1b =，b n

=f （b

n －1）

（n ∈N *，n ≥2），求数列

}{n b 的通项公式；

（3）设1λ=，1

(1)n n n

C a b =-，求数列{}n C 的前n 项和Ｔn . （1）证明：由11(1)(1)(2)n n n n S a S a n λλλλ--=+-?=+-≥

相减得：1

1,(2),1n n n n n a a a a n a λ

λλλ

--=-+∴=≥+∴数列{}n a 是等比数列（2）解：

1{}n b ∴是首项为112b =，公差为1的等差数列，∴1

2(1)1n n n b =+-=+. 11

n b n ∴=+.

（3）解：1λ=时11

111,(),(1)()22

n n n n n

n a C a n b --=∴=-= 2111

12()3()()22

n n T n -∴=+++

+ ①

②

①－②得：

∴n

n n 21n 2112T 21??? ??-??????????? ??-=

所以：1

14(1())2()22

n n n T n =--.

例题16. OBC ?的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设1P 为线段BC 的中点，2P 为线段OC 的中点，3P 为线段1OP 的中点. 对每一个正整数3,n n P +为线段1n n P P +的中点. 令n P 的坐标为(,)n n x y ，121

n n n n a y y y ++=

++.

（1）求

321,,a a a 及,()N n a n *

∈；

（2）证明：41,()4

N n

n y y n *+=-

∈ （3）记444,()N n n n b y y n *

+=-∈，证明：}{n b 是等比数列.

（1）解：因为y 1=y 2=y 4=1， y 3=12，y 5=3

，所以得a 1=a 2=a 3=2.

又由1

n n n y y y +++=，对任意的正整数n 有

a n +1=12312n n n y y y +++++=1121

22n n n n y y y y ++++++=1212

n n n y y y ++++=a n

恒成立，且a 1=2，所以{a n }为常数数列， a n =2，（n 为正整数）

（2）证明：根据1242n n n y y y ++++=，及121

2n n n y y y ++++=a n =2，易证得y n +4=1－4n y

（3）证明：因为b n +1=4n 48n 4y y ++-=（1－444n y +）－（1－44n y ）=1

n b -，又由b 1=48y y -=1－

y -y 4=1

4-，

所以{b n }是首项为14-，公比为14-

的等比数列.

【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2，a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于= .

2. 已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是 .

4. 在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 2

50x kx ++= 的两个根，则642a a a 的值为 .

5. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100，则n= .

6. 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为________

7. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n

A n

B n +=

+，77

b a = ，若n n

b a 为正整数，n 的取值个数为___________。

8. 已知数列{}n a 对于任意*

p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若

9a =

，则36a = .

9. 记数列}{n a 所有项的和为)1(S ，第二项及以后各项的和为)2(S ，第三项及以后各项的和为 ,)3(S ，第n 项及以后各项的和为)(n S ，若2)1(=S ，1)

2(=S ，(3)1,

2S =，

()2

2n n S -=

，则n a 等于 .

10. 等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项

为_____.

11. 等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且012

1=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为 .

12. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和. 已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于 .

13. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有(2)2(1)f x f x +=+ ()f x -，且(1)2,(3)6f f ==，则(2005)f =__ __.

14. 三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是 . 15. 等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，首项194,0a S ==. （1）若10n n a S +=-，求n （2）设2

a n

b =，求使不等式122007n b b b ++

+>的最小正整数n 的值.

点拨：在等差数列中d n S a n n ,,,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项1a 与公差d ，把n n S a ,分别用首项1a 与公差d ，表示即可. 对于求和公式1()

n n n a a S +=

，1(1)

n n n S na d -=+

采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知9109100,0,0,a a a a ><+>判断171820,,S S S 的正负. 问题2在思考时要注

意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{n a }的前n 项和为n S

，11a =+

39S =+ （I ）求数列{n a }的通项n a 与前n 项和为n S ；（II ）设

n S b n =

（*

N n ∈），求证：数列{n b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17. 在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)

n n n P x y P x y P x y ，对一切正整数n ，点n P 位

于函数

34y x =+

的图象上，且n P 的横坐标构成以52-

为首项，1-为公差的等差数列{}n x .

⑴求点n P 的坐标；

⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的

顶点为n P ，且过点2

(0,1)n D n +，设与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：12231111n n k k k k k k -+++.

⑶设{}{}|2

,,1,|4,1N n n S x x x n n T y

y y n ==∈≥==≥，等差数列{n a }的任一项

T S a n ?∈，其中1a 是S T ?中的最大数，10265125a -<<-，求{n a }的通项公式.

18. 已知数列{}n a 满足

111,21()N n n a a a n +==+∈，（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 满足1

111

*444(1)()N n

b b b b n a n ---=+∈（n ∈N *），证明：{}n b 是等差

数列.

【试题答案】

1. 42

2. (51)2n n +-

3. 8(,3]3

4. ±

5. 10

6. 210

8.5；5个

解法一：点拨利用等差数列的求和公式

1()2n n a a n

S +=

及等差数列的性质

“若2,,,N m p q m p q *

=+∈，则

p m a a a +=

”

解析：77b a =1131311313

()

172

()132

2a a A b b B +?==+?

解法2：点拨利用“若{n a }为等差数列，那么

bn an S n +=2

”这个结论，根据条件找出n a 和n b 的通项.

解析：可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+，

(22)n b k n =+，则77b a =(14738)17

(272)

2k k ?+=?+ 由上面的解法2可知n n a b =(1438)127(22)

1k n k n n +=+

++，显然只需使121n +为正整数即可，故1,2,3,5,11n =，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k 可以直接设为1. 8. 4

9. 解：

()(1)2111

11222n n n n n n a S S +---=-=

. 10. 解：依题意，中间项为1+n a ，于是有11(1)319290n n n a na +++=??

=?解得129n a +=.

11. 解：由题设得

m m m m a a a a 2112

=+=+-，而0m a ≠，2m a ∴=，又2138m S -=，121()(21)2(21)382(21)

22m m a a m a m m -+--∴=

==-，10m =.

12. 解：661()6()36(324144)216n n n S S S a a -+-=+=+-=， 136n a a +=，

1()

3242n n n a a S +=

=. ∴18n =。

13. 解：由(2)()2(1)f x f x f x ++=+知函数*

()()N f x x ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，(1),(3),,(2005)f f f 形成一个首项为2，公差为4的

等差数列，(2005)2(10031)44010f =+-?=.

14. 解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m b bq m b q q

q b ++=≠∴++=

. 当0q >时，113m q b q =++≥，而0b >，

03m b ∴<≤

；当0

m b ≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，

故

[,0)(0,]

3m b m ∈-?. 15. 解：（1）由919360S a d =+=，得：1,5n d a n =-=-，

又由(1)

10,4(1)(1)4(1)102

n n n n a S n n -+=-+--++

?-=-. 即27300n n --=，得到10n =. （2）由n

n b -=52

若n ≤5，则12n b b b ++

+≤12531b b b +++=，不合题意

故n >5，5122(21)

31200721

n n b b b --++=+

>- 即52989n ->，所以n ≥15，使不等式成立的最小正整数n 的值为15

16. 解答：（I

）由已知得111339a a d ?=??

+=+?

?，2d ∴=，

故21(n n a n S n n =-=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

n S b n n =

假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b （p q r ,,互不相等）成等比数列，则2

q p r b b b =.

即2

((q p r =.

2()(20q pr q p r ∴-+--

p q r *∈N ，，，

2020q pr q p r ?-=∴?--=?，， 22()()02p r pr p r p r +∴=-=∴=，，.

与p r ≠矛盾.

17. 解：（1）

53(1)(1)22n x n n =-+-?-=--

13535

33,(,3)

4424n n n y x n P n n ∴=?+=--∴----

（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P . ∴设n c 的方程为：

223125(),24n n y a x ++=+

把)1,0(2

+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：22

(23)1y x n x n =++++.

32|0'+===n y k x n ，111111()

(21)(23)22123n n k k n n n n -∴==-++++

1223

1111

n n k k k k k k -∴

+++

1111111

[()()(

)]25779

2123n n =-+-++-++

=11111()25231046n n -=-

++.

（3）{|(23),,1}N S x x n n n ==-+∈≥， {|(125),,1}N T y y n n n ==-+∈≥{|2(61)3,,1}N y y n n n ==-+-∈≥ ,S T T ∴=T 中最大数117a =-.

设}{n a 公差为d ，则10179(265,125)a d =-+∈--，由此得

*248

12,12()9N n d a T d m m -

<<-∈∴=-∈又

*24,724()N n d a n n ∴=-∴=-∈

18. （1）解：*

121(),N n n a a n +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.

12.n n a ∴+= 即 21(*)N n n a n =-∈.

（2）证：12111

44 (4)

(1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=③ 21(1)20.n n nb n b ++-++=④

③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=

*211(),N n n n n b b b b n +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列.

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ，所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

数列经典题目集锦答案

数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造 1、数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时，数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二：整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N * 都成立． (1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）． (1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+（*n ∈N ）．（1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，数λ的取值围． 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--，且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素，求λ的取值围.

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式二、拆项分组求和法某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。三、裂项相消求和法将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。四、重新组合数列求和法将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和五、错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和典型例题一、拆项分组求和法例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和二、裂项相消求和法例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和三、重新组合数列求和法例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ．（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ；（3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5：已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

最全高考复习数列专题及练习答案详解

高考复习数列专题：数列(参考答案附后) 第一节数列的概念与数列的简单表示一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数

列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ，所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

高中数列经典题型大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数）。例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

数列·例题解析

数列·例题解析【例1】求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的通项公式为：．a =2n 12 n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】求出下列各数列的一个通项公式．

(1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1．所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2， 02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 7979797979 79797979 79 ×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．2929292929 2929292929 291110 0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n

数列经典例题

类型一：迭加法求数列通项公式 1．在数列中，，，求. 解析：∵，当时，，，，将上面个式子相加得到： ∴（），当时，符合上式故. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三：【变式1】已知数列，，，求. 【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式. 【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ∵，∴， ∴， ∴，又， ∴当时，，当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而

的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三：【变式1】在数列中，，，求. 【答案】【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 【答案】由得，∴， ∴， ∴当时，当时，符合上式 ∴ 类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，

,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析：∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得. 举一反三：【变式1】数列中，，，求. 【答案】

(完整版)等比数列经典例题范文

1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．

8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；

数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将，代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____．考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵．考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法

高中数列经典例集

一、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= （n=1，2，3…），（1）求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设21 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2 )12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74+1； ⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈

高中数列经典题型大全

高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）。例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a

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