数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题
第二章 数列
1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670
2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．
A ．a 1a 8＞a 4a 5
B ．a 1a 8＜a 4a 5
C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5
D ．a 1a 8＝a 4a 5
4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为
41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )．
A ．1
B ．43
C ．21
D ． 8
3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).
A ．81
B ．120
C ．168
D ．192
6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．
A ．4 005
B ．4 006
C ．4 007
D ．4 008
7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ． －10
8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若
35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2
1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则
212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4
1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
二、填空题
11．设f (x )＝221
+x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)
＋f (6)的值为 .
12．已知等比数列{a n }中，
(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．
(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ．
(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .
13．在3
8和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .
15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .
16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．
三、解答题
17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.
(2)已知
a 1，
b 1，
c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，c
b a +也成等差数列.
18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．
(1)求q 的值；
(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．
19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{
n
S n }是等比数列．
20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.
第二章 数列
参考答案
一、选择题
1．C
解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．
2．C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，
即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．
解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，
∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．
3．B ．
解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．
又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，
∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．
4．C
解析：
解法1：设a 1＝
41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，
∴d ＝
21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，16
15分别为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝2
1，故选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．
由等差数列的性质：若γ＋s ＝p ＋q ，则a γ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝
47，于是可得等差数列为41，43，45，4
7， ∴m ＝167，n ＝16
15， ∴｜m －n ｜＝
21． 5．B
解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9
243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，
∴S 4＝3－13－35＝2
240＝120． 6．B
解析：
解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.
∴S 4 006＝
2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝2
0074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．
解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同
解法1的分析得a 2 003＞0，
a 2 004＜0，
∴S 2 003为S n 中的最大值．
∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小， ∴20074在对称轴的右侧． 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧
零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最大自然数是4 006．
7．B
(第6题
)
解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，
又由a 1，a 3，a 4成等比数列，
∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，
∴a 2＝－8＋2＝－6．
8．A 解析：∵59S S ＝2
)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·9
5＝1，∴选A ． 9．A
解析：设d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，
∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝2
1． 10．C
解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，
又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，
而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，
∴n ＝10．
二、填空题
11．23．
解析：∵f (x )＝2
21+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 2
2221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 2
2)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，
则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，
∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，
∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．
12．（1）32；（2）4；（3）32．
解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，
∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．
（2）9136)(3242221
21=????=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．
（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q q
S S a a a S a a a a S ?????????， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．
13．216． 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与3
8，227同号，由等比中项的中间数为22738?＝6，∴插入的三个数之积为3
8×227×6＝216． 14．26．
解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，
∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，
∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2
413?＝26． 15．－49．
解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，
∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝
2＋7104)(a a ＝2
5＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )
＝－49．
16．5，2
1(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．
由f (3)＝2，
f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，
f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，
相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝
21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题
17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．
证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，
n ＝1时，亦满足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．
首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，
∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．
（2）∵
a 1，
b 1，
c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c
1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2
＋＋2)()(c a b c a ＝2·b
c a ＋， ∴a c b ＋，b a c ＋，c
b a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，
∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，
∴q ＝1或－2
1．
（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋2
1－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝2
2＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，则S n ＝2n ＋2
1－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4
－11－)0)((n n ， 故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．
19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n
n 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 所以
1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{n
S n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，
∴q 3＝－4
1或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝q
q a q q a ----1)1(121)
1(3161＝1213q +＝16
1； 6612S S S -＝612S S －1＝q
q a q q a ----1)1(1)
1(61121－1＝1＋q 6－1＝16
1； 得3
612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．
海南历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列
海南历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列 试题 1、4．（5分）（2008海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n ，则=（ ） A．2B．4C ．D ． 2、7．（5分）（2009宁夏）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（ ） A．15B．7C．8D．16 3、16．（5分）（2009宁夏）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，则m= ． 解答题 1、17．（12分）（2008海南）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5． （Ⅰ）求{a n}的通项a n； （Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值． 2、17．（12分）（2010宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3?22n﹣1 （1）求数列{a n}的通项公式； （2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n． 1
答案 1、解：由于q=2， ∴ ∴； 故选：C． 2、解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1， ∴4a1+a3=2×2a2， 即4+q2﹣4q=0， 即q2﹣4q+4=0， （q﹣2）2=0， 解得q=2， ∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， ∴S4=1+2+4+8=15． 故选：A 3、解：∵2a m﹣a m2=0， 解得a m=2或a m=0， ∵S2m﹣1=38≠0， ∴a m=2； ∵S2m﹣1=×（2m﹣1）=a m×（2m﹣1）=2×（2m﹣1）=38， 解得m=10． 故答案为10． 解答题 1、解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d ，由已知条件，， 解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5． （Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2． 所以n=2时，S n取到最大值4． 2、解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1 =3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1． 而a1=2， 所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1． （Ⅱ）由b n=na n=n?22n﹣1知S n=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1② 2
高中数学数列练习题
数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ， 公比10< 数列经典题目集锦一 一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造 1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列， 求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论． 类型二： 整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N * 都成立． (1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ， 且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）． (1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式； 三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，数λ的取值围． 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序 后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--， 且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素，求λ的取值围. 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． 1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （ ） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ， 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围； 高中数列经典习题(含 答案) 1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比. 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。 1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= === 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n n a S -= （II ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列{}n b 的通项公式． 解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- （Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、（2010新课标卷理） 数列经典例题(裂项相消法) 数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； 山东历年高考试题 --------数列 20.（本小题满分12分）2013 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2S 2，a 2n =2 a n +1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n +n n a 2 1 +=λ(λ为常数)，令c n =b 2n n ∈N ﹡，求数列{c n }的前n 项和R n 。 2014年 19.(本小题满分12分） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 2015年 18．（12分）（2015?山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． （2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且 1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令1 (1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 5(2014课标2理)17.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+. 6(2014四川文)19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）. （Ⅰ）证明：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 2{}n n a b 的前n 项和n S . 8(2014四川理)19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（* n N ∈）. （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2 -，求数列 {}n n a b 的前n 项和n T .数列经典题目集锦答案
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