考研数学高数习题集及其答案

1 函数、极限、连续

一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ??则 定义域为___________.

解.

21)(sin )]([x x x f -==??, )1arcsin()(2x x -=?

1112

≤-≤-x

, 2||,202≤≤≤x x

2．设?∞-∞

→=??

? ??+a t

ax

x dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得?∞

-=a

t a

dt te e

=a a t t e ae a

e te -=∞

--)

(, 所以 a = 2.

3. ??

?

??+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim Λ=________. 解. n

n n n

n n n n n n +++

++++++22221Λ

n n n n +++++++++2222211Λ<112112

22+++++++++n n n n n n n Λ 所以 n n n n +++++221Λ

++++++2222211Λ<1

212+++++n n n Λ 2

12)

1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n Λ, (n ) 2

112)

1(12122→+++=+++++n n n n n n n Λ, (n ) 所以 ???

?

?+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim Λ=

21

4. 已知函数

???=0

1

)(x f

1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5. )3(

lim n n n n n --+∞

→=_______.

解. n

n n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞

→∞

→3)

3)(3(lim

)3(

lim

=233lim

=-+++-+∞

→n

n n n n n n n n

6. 设当x bx

ax

e x

f x

x 为时++-

=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a

解. 3

03030

1lim )1(1lim 11lim

x ax bxe e bx x ax bxe e x bx ax

e k

x

x x x x x x x --+=+--+=++-

=→→→

203lim

x a

bxe be e x x x x -++=→ ( 1 )

2

062lim

x bxe be e x

x x x ++=→ ( 2 )

由( 1 ): 01)(lim 0

=-+=-++→a b a bxe be e

x x x

x 由( 2 ): 021)2(lim 0

=+=++→b bxe be e

x x x

x

2

1,21=

-=a b

7. ??

? ??-→x x x x 1sin 1cot lim

=______. 解. 6

1

6sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim

020300==-=-=-?→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知A n n n k

k

n =--∞→)1(lim 1990

( 0

), 则A = ______, k = _______.

解. A kn n n n n k n k k

n =+=---∞→∞→Λ

11990

1990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991; 1991

1

11=

==k A A k ，

二. 选择题 1. 设f (x )和(x )在(－

, +

)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) 0, (x )有间断点, 则

(a)

[f (x )]必有间断点 (b) [ (x )]2

必有间断点 (c) f [

(x )]必有间断点 (d)

)

()

(x f x ?必有间断点 解. (a) 反例 ?

??=01)(x ? 1||1

||>≤x x , f (x ) = 1, 则

[f (x )]=1

(b) 反例 ???-=11

)

(x ?

1

||1||>≤x x , [ (x )]2

= 1

(c) 反例 ?

??=01)(x ? 1||1

||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [

(x )]=1

(d) 反设 g(x ) =

)

()

(x f x ?在(－, +)内连续, 则(x ) = g (x )f (x ) 在(－, +)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.

2. 设函数

x e x x x f sin tan )(??=, 则f(x)是

(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数

解. (b)是答案. 3. 函数

2

)2)(1()2sin(||)(---=

x x x x x x f 在下列哪个区间内有界

(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3) 解. 4

2

sin )0(,42sin )0(,)(lim ,)(lim

1

-

=-=

+∞=∞=→→f f x f x f x x 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.

4. 当1

1

21

1,1

---→x e x x x 函数时的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为∞ (d) 不存在, 但不为∞

解. ??

?-→+→∞+=+=---→-→0

10

1)1(lim 11lim 11

1

1

121x x e x e x x x x x x . (d)为答案.

5. 极限???

?

??

+?+++?+?∞→222222)1(12325213lim n n n n Λ的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解. ????

?

?

+?+++?+?∞→222222)1(12325213lim n n n n Λ =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=??

?

???+-=????

??+-++-+-∞→∞→n n n n n Λ, 所以(b)为答案. 6. 设8)

1()1()1(lim 5025

95=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)

5

8 (d) 均不对

解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100

5025

59595/)1(/)1(/)1(lim

x x x ax x x x +++∞→

=5502595)

/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 5

8=a , 所以(c)为答案. 7. 设βα=------∞→)

23()

5)(4)(3)(2)(1(lim

x x x x x x x , 则, 的数值为

(a)

= 1,

=

3

1

(b) = 5, =

3

1

(c) = 5, =

5

31 (d) 均不对

解. (c)为答案. 8. 设

232)(-+=x x x f , 则当x

0时

(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小

解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 1

3

ln 32ln 2lim

0+=+→x x x , 所以(b)为答案.

9. 设6)31)(21)(1(lim

0=++++→x

a

x x x x , 则a 的值为

(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. 0)31)(21)(1(lim 0

=++++

→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.

10. 设02)

1()21ln()

cos 1(tan lim

220

2

≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有

(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c

解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 2

0x x e d x c x b x a -→-+--+=c a

xde

x

c x b x a

x x 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.

三. 计算题 1. 求下列极限

(1)

x

x

x e x 1)

(lim ++∞

→

解.

e e e e

e

e x x

x

x x x x e x e x e x x

e x x x

x x =====++++++∞

→+∞

→+∞→+∞→11lim

)ln(lim

)

ln(1lim )(lim

(2) x x x

x )1

cos 2(sin

lim +∞

→ 解. 令

x

y 1=

y

y x x y y x

x 1

0)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim

)

cos 2ln(sin lim

00e e

e y y y

y y

y y y y ==+-+→→

(3) 3

1

0sin 1tan 1lim x x x x ??? ??++→

解. =??

? ??++→3

1

0sin 1tan 1lim x x x x 3

1

0sin 1sin tan 1lim x x x x x ??

? ??

+-+→

3)sin 1(sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim x x x

x x

x x

x x x x +--+→???

????

?

??

? ??

+-+==30sin tan lim x x

x x e -→

=3

)

cos 1(sin lim

x x x x e

-→=2

12

sin 2sin lim

3

2

e

e

x x x x =?→.

2. 求下列极限 (1) 3

2

31

1

2arcsin )11ln(lim

--+→x x x

解. 当

x 1

时,

331

~)11ln(--+x x ,

32321

2~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换

3313

2

3

1

3

2

31

2

21

121lim

1

21

lim

1

2arcsin )11ln(lim

=

+=--=--+→→→x x x x x x x x

(2) ??

?

??-→x x x 2

2

0cot 1lim

解. 方法1：

??? ??-→x x x 2

20cot 1lim =???? ??-→x x x x 2220sin cos 1lim =???

?

??-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =????

?

?+-→42

20cos )1(1lim x x x x =???

? ??++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-

=2

1

122cos 2sin cos 4cos 2lim 220+++-→x x x x x x x =2

1

31242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim

0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =3

2

2131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x

方法2：

???

?

?-→x x x 2

20cot

1lim =???? ??-→x x x x 2220sin cos 1lim =???

?

?

?-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =???? ??+-→42

2

0cos )1(1lim x x x x =?????

? ??++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =????

?? ??++-++-→444

220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =??????

??++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3

232lim 440=

→x x

x 3. 求下列极限 (1) )1(ln lim

-∞→n

n n n

n

解. n n

n n n n

n n n n ln 1

lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim

0=+→x x x

(2) nx

nx

n e e --∞→+-11lim

解. ??

?

??-=+---∞→101

11lim

nx

nx

n e e 000<=>x x x (3) n

n n n b a ???? ??+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0

解. n

n

n

n b a ???

? ??+∞→2lim a b c n x

/,/1== x c x

x

x x x ae c

a 2

ln )1ln(lim

1

002

1lim -+→+→+=???

?

??+

=ab a

b

a c a ae ae

x

x x x x c c c x c ====+-++

→+→1ln lim

2

ln )1ln(lim

0 4. 设

???????>=<-=?0

cos 101

0)cos 1(2

)(0

22x dt t x x x x x x f x

试讨论

)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.

解. 202

00200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x

x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=??+

++→→→+ 0221lim 21cos lim 202

0=-=-=++→→x

x x x x x 3

20200)cos 1(2lim 1)cos 1(2

lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=+

+-→→→-

06)

1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=+

+→→x x x

x x x x 所以

0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.

5. 求下列函数的间断点并判别类型

(1)

1

212)(11+-=

x

x

x f

解.

11

212lim )0(110

=+-=+

→+x

x

x f , 11

212lim )0(110

-=+-=-

→-x

x

x f

所以x = 0为第一类间断点.

(2)

??????

?-+=1

1sin cos 2)2()(2x x

x x x f π 00>≤x x 解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 1

1

sin

lim )(lim

2

1

1

-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;

)2(π

-f 不存在, 而2

cos 2)2(lim

2

π

ππ=+-

→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;

∞=+-

-→x x x k x cos 2)

2(lim

2

ππ

π, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ-

-k 为第二类无穷间断点.

6. 讨论函数?????+=β

α

x e x

x x f 1sin )( 0

0≤>x x 在x = 0处的连续性.

解. 当0≤α时)1

sin (lim 0x

x x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;

当0>α, 0)1sin (lim 0=+→x

x x α

, 所以

1-=β

时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.

7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且 a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个

, 使

n

n c c c c x f c x f c f ++++++=

ΛΛ212211)()()(ξ.

证明: 令M =)}({max 1i n

i x f

≤≤, m =)}({min 1i n

i x f ≤≤

所以 m

n

n

c c c c x f c x f c ++++++ΛΛ212211)()( M

所以存在( a < x 1

x n < b), 使得

n

n

c c c c x f c x f c f ++++++=

ΛΛ212211)()()(ξ

8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个, 使f() = .

证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个

, 使f() = .

9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 f(x) 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个, 使f() = .

证明: (反证法) 反设

)()(],1,0[≠-=∈?x x f x x ?. 所以

x

x f x -=)()(?恒大于0或恒小于0. 不妨设

0)()(],1,0[>-=∈?x x f x x ?. 令)(min 1

0x m x ?≤≤=, 则0>m .

因此m x x f x x ≥-=∈?)()

(],1,0[?. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个

, 使f() = .

10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个

, 使

f(

) = g(

).

证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个

, 使f() = .

11. 证明方程x 5

－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5

－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以 在(1, 2)内至少有一个

, 满足F() = 0.

12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=??

?

??+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解. . 所以 0)(3sin lim 0

=??

?

??+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为

0)(3sin lim 20=+→x

x f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x x

x , 所以 2

030202033cos 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim

3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-

=+→→→→

=2

9

23sin 3lim 0=→x x x

02

9

03)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=?=+?=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x

由29

3)(lim

2

=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 2

93

)(0)0(''!21

)0(')0(lim

2

220

=+++

+→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .

2 导数与微分

一. 填空题

1 . 设

)('31

)()(lim

0000

x f x x f x k x f x =?-?+→?, 则k = ________.

解. )('31)()(lim

0000

x f x k x f x k x f k

x =?-?+→?, 所以)('3

1

)('00x f x kf =

所以 3

1=

k 2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y

x 确定, 则

=dx

dy

______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e

y

x , 所以

xy

x e e xy y y y

x y

x sin sin '--=++

3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.

解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =-

所以

k x f x f =-=)(')('00

4. 设f(x)可导, 则

=??--?+→?x

x n x f x m x f x )

()(lim

000_______.

解. x

x n x f x f x f x m x f x ??--+-?+→?)

()()()(lim 00000

=x m x f x m x f m x ?-?+→?)()(lim 000+x n x f x n x f n x ?--?-→?)

()(lim 000=)(')(0x f n m +

5. x

x x f +-=11)(, 则)()

(x f

n = _______. 解.

1112)1(!12)1()1(11)('++?-=++---=x x x x x f , 假设1)

()1(!2)1(++?-=k k k x k f , 则

111)

1()1()!1(2)1(++++++?-=k k k x k f

, 所以1

)

()

1(!2)1(++?-=n n n x n f 6. 已知

x x f dx d 112=??

??????? ??, 则=???

??21'f _______. 解. x x

x f 12

1'32=

???? ??-, 所以

21'22x x f -

=??

?

??. 令x 2

= 2, 所以

11'2-=??

?

??x f 7. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则

=dx

dy

_______. 解.

)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dx

dy

= 8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e y

x 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.

解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e y

x . 所以切线斜率

2)0('-==y k

. 法线斜率为

2

1, 法线方程为

x y 2

1

1=

-, 即 x －2y + 2 = 0.

二. 选择题

1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是

(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([!

解.

3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以

)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法

)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.

2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且

=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则

(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a

(c) f(x)在x = 1处可导, 且

=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab

解. b =

0)0()(lim )0('0--=→x f x f f x =)1('1)

1(1)1(1lim 0f a

x f a x f a x =-+→, 所以=)1('f ab. (d)是答案 注: 因为没有假设

)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导.

3. 设

||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.

???=3324)(x

x x f 00<≥x x . ???=x x x f 1224)('' 00

<≥x x

240

24lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++

→→+x

x x f x f f x x

120

12lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-x

x x f x f f x x

所以n = 2, (c)是答案.

4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + x 时, 记y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分,

x dy

y x ?-?→?0lim

等于

(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d)

解. 由微分定义

y = dy + o (

x), 所以

0)

(lim lim

00=??=?-?→→?x x o x dy y x x . (b)是答案.

5. 设

??

?

??+=b ax x

x x f 1sin )(2

00≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以

)(lim 1

sin

lim 020b ax x x x x +=-

+→→, 所以b = 0.

)0(')0('-+=f f , x ax x

x x x x -+→→=020lim 1sin

lim

, 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题 1.

')]310ln[cos(2y x y ，求+=

解. )310tan(6)

310cos(6)310sin('2

2

2x x x x x y +-=+?+-= 2. 已知f(u)可导,

')][ln(2y x a x f y ，求++=

解.

='y ???

?

??++++?

++2

222211)][ln('x a x x a x x a x f =

2

2)]

[ln('x

a x a x f +++

3. 已知20

sin cos 2

2

y tdt dt e x y

t +=??

, 求'y .

解. 22cos '2cos 2'2

y yy x x y e

y +=

2

2cos 2cos 2'2

y

y e

x x y y -=

4. 设y 为x 的函数是由方程x

y

y x arctan

ln

22=+确定的, 求'y . 解.

2

2

22

2221'2'

22x

y x y x y y x y x yy x +-=+++

y x y yy x -=+

'', 所以y

x y

x y -+=

'

四. 已知当x 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时

?

??++=c bx ax x f x F 2

)()( 00

>≤x x 二阶可导.

解. F(x )连续, 所以

)(lim )(lim 0

0x F x F x x +-

→→=, 所以c = f (－0) = f (0);

因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b =

)0(')0('f f =-, 且

??

?+=-)0('2)

(')('f ax x f x F 0

0>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以

a x

f f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )

0(')('lim 00=-+=--→→+-

, 所以

)0(''21

f a =

五. 已知

)0(1)()(2

2

n f x

x x f ，求-=. 解.

x

x x f +?+-?+-=112111211)(

1

1

)

()1()1(21)1(!21)(+++-?+-?=n n

n n x x n x f

0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …

!)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …

六. 设

x x y ln =, 求)1()(n f .

解. 使用莱布尼兹高阶导数公式

1

21

)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+?=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f =12

11

2

1)!2()1()1()!2()

1(-------=??

????+----n n n n n x n x n x n n

所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n

3 一元函数积分学(不定积分)

一. 求下列不定积分: 1.

?-+-dx x x

x 11ln 112

解. =-+-?dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +??

?

??-+=-+-+?2

11ln 4111ln 11ln 21 2. c x x x x d x x dx x x x +??? ??-+=-+-+=-++??2

2

11arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.

?++?+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2

解. c x x x x d x x dx x x x x x +??

? ??++=++++=++?+++??2

2cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.

?

+)

1(8

x x dx

解. 方法一: 令t x 1=, c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=??

?

??+-

=+???)1ln(8111111

)1(8

8782

8 = c x +??

? ??+-

811ln 81 方法二:

???

+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()

1()1(8878878

=c x x x x d x dx ++-=++-??)1ln(8

1||ln 1)1(818

88=c x +??? ??+-811ln 81

5．

dx x

x x x x x dx x x x ??+++

-+++=+++cos sin 121

)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1

???+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 11

21cos sin 1sin cos 2121

dx x x x x x x x d x ??++++++-=2

cos 22cos 2sin 21

21cos sin 1)cos sin 1(21212

2tan 12

tan 121|cos sin 1|ln 2121x

d x x x x ?++++-=

c x

x x x +++++-=|12

tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121

二. 求下列不定积分: 1.

?+++2

2)

1(2

2

x x x dx

解.

?

?++++=+++1

)1()1()1(22)

1(2222

x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ?t t t dt

sec tan cos 22

=?++++-=+-=c x x x c t t tdt 1

2

2sin 1sin cos 22 2.

?+2

4

1x

x

dx

解. 令x = tan t,

?????++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt

x

x

dx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224

=c x x x x

+++????

?

?+-23

2

1131

3.

?++2

2

1)12(x

x

dx

解. 令t x tan =

????+=+=+=++t

t

d dt t t t dt t t t x x dx

2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(

=c x

x c t ++=+2

1arctan

sin arctan

4.

?-2

2

2x a dx x (a > 0)

解. 令t a x sin =

???

+-=-=?=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dx

x 2sin 412122cos 1cos cos sin 222222

22

=c x a a

x

a x a +??

?

??--222

2arcsin 2

5.

?

-dx x 32)1(

解. 令t x sin =

????

++=+==-dt t

t dt t tdt dx x 4

2cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(224

3

2

=

?+++=+++c t t t dt t t t 4sin 321

2sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 4

1

1(2sin 41arcsin 83

=c t

t t x +-++)4

sin 214(

cos sin 241arcsin 832 =

c x x x x +--+)25(18

1

arcsin 8322 6.

?

-dx x x 4

21 解. 令t

x 1=

???

--=??

? ??--=-dt t t dt t t t t dx x x 224

22

4

211111

u t sin =令?-udu u 2cos sin =c x

x c u +-=+3

323

3)1(cos 31

7.

?-+dx x x

x 1

1

2

2

解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==

?

??++=+=+=-+c t t dt t tdt t t

t t dx x x

x sin )cos 1(tan sec tan sec 1

sec 1

1

222

c x

x x

+-+

=1

1

arccos 2 三. 求下列不定积分:

1. ?+-+dx e e e e x x

x

x 1

243 解. ???+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x x

x x )arctan(1

)()

(112

22243 2.

?+)41(2x x dx

解. 令x t

2=, 2

ln t dt

dx =

c t

t dt t t t t dt dx x x +--=??? ??+-=+=+???2

ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2

ln 1

四. 求下列不定积分:

1. ?

-dx x x 100

5

)2( 解. ???---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 99

49959951005)2(995)2(99)2(991)2( =?--??+-?---dx x x x x x x 983984995)2(98

994

5)2(98995)2(99 =96

297

3984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-?????--???--?---x x x x x x x x

c x x x +-?????

???--???????-

9495)2(95969798992345)2(95969798992345

2.

?+4

1x

x

dx

解.

???

?+-=+-=+-

=+2

2244

424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令

c x

x c u u du u u u t ++-=++-=-=?2

4

22

1ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令

五. 求下列不定积分: 1.

?xdx x 2

cos

解.

???

+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 41

41)2cos 1(21cos 22

?-+=xdx x x x 2sin 41

2sin 41412 c x x x x +++=2cos 8

1

2sin 41412 2.

?xdx 3sec

解.

???-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3

=??-++=--xdx x x x x xdx x x x 32

sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec

tan sec

c x x x x xdx +++=

?|tan sec |ln 2

1

tan sec 21sec 3

3. ?dx x x 2

3

)(ln 解. ???+-=-=dx x

x x x x d x dx x x 2

23

323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln

?+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ?+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln

c x

x x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23

4.

?dx x )cos(ln

解.

???-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln

c x x x

dx x ++=

?)]sin(ln )[cos(ln 2

)cos(ln 5. ??

??---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812

cos

2sin 2cos 81sin 2cos 222334

34

c x x x x

d x x x +--=+-=---?2

cot 412sin 8122sin 412sin 81222

六. 求下列不定积分:

1.

?

-++dx x x x x 2

22)

1()

1ln( 解.

??

-++=-++2

2

22211)1ln(21)1()1ln(x d

x x dx x x x x

=

?+?---++dx x x x x x 2

22211112111)1ln(21

t x tan =令 tdt t

t x x x 2

222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(??---++? =dt t t

x x x ?---++222sin 21cos 21)1(2)1ln(

=?---++t t

d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c t

t x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22

=c x

x x

x x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2.

?

+dx x

x x 2

1arctan

解.

?

??

++-+=+=+dx x

x x x x xd dx x

x x 2

2

2

22

11arctan 11arctan 1arctan =

c x x x x dx x x x +++-+=+-+?

)1ln(arctan 111arctan 1222

2

3. ?dx e

e x

x

2arctan 解. dx e e e e e de e dx e e x

x x x

x x x x x ???++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan

dx e e e e x x x x ?++-=--22121arctan 21?++-=-dx e e e e x x x

x )

1(121arctan 2122

c x e e e dx e e e e e x x x x

x x x x +++-=+-+-=---?)arctan arctan (2

1)11(21arctan 21222 七. 设

???-+-+=-x

e

x x x x x f )32(3)1ln()(2

2

0<≥x x , 求

?dx x f )(.

解.

?????-+-+=-?

??

dx e x x dx x x dx x f x )32()3)1ln(()(22

???

??+++-+-+--+=-1

22222)14(3)]1ln([2

1)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以

c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c

?

dx x f )(??

?

??++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([2

1)1ln(212222

2 00<≥x x 八. 设

x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).

解. 令t x e t x ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以

?+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(

=

c x a b x b a x

+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2

九. 求下列不定积分: 1.

?++dx x x

x )32(3

32

解. ??+=+=++++c x d dx x x x x x x x 3

ln 3)3(3)32(3

32

332

2

2

2.

?-+-dx x x x

)13()523(2

32

解. )523()523(2

1)13()523(2

23

22

32

+-+-=-+-??x x d x x dx x x x

c x x ++-=25

2)523(5

1

3.

dx x

x x ?

+++2

21)

1ln(

解.

??

+++=

++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 2

1)1ln()1ln(1)

1ln(22

222

2 4.

?+++++)

11ln()11(2

22

x x x

xdx

解.

c x x x

d x x x

xdx

+++=++++=+++++?

?|)11ln(|ln )

11ln()11ln()

11ln()11(222222

十. 求下列不定积分:

1.

?+dx x x x )1(arctan 2

解.

???-+-=++=+1

222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x

??+++-=+++-

=dx x x x x d x x x 2

2222)1(1

211arctan 21arctan 11211arctan 21

dt t x x tdt x x t x ??+++-=++-

=2

2cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 22

2令

c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122

c x

x x x x aex +++++-=2

2141arctan 411tan 21 2.

?+dx x

x

1arcsin

解. 令t x t x

x

2tan ,1arcsin

==+则

???++-=-==+c t t t t tdt t t t d t dx x

x

tan tan tan tan tan 1arcsin

2222

c x x

x x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin

3. ?-+?dx

x

x x x 22

211arcsin

解. ?

??+=+?=-+?dt t t tdt t t t t t x dx x

x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 2

2222

2令 ???+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 22

1

cot cot cot

c t t t t +++-=221

|sin |ln cot

c x x x x x +++--=22)(arcsin 2

1

||ln 1arcsin

4.

dx x x x

?+)1(arctan 22

解.

?

??-==+dt t t dt t t t t t

x dx x x x

)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 2

22222令

2222

1

cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=????

c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=22

2)(arctan 21

|1|ln arctan 21|sin |ln cot

c x x x x x +-++-=2

2

2)(arctan 2

11ln 21arctan 十一. 求下列不定积分: 1.

?

-dx x x 2

34 解.

?

??==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令

c t t t

d dt t t ++-=-=?5322cos 5

32

cos 332cos cos )cos 1(32

c x x +-+--=25

223

2)4(5

1

)4(34

2.

?-x

a x 2

2

解.

???

-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x x a x 222

2cos cos 1tan sec sec tan sec 令

c x

a

a a x c at t a +--=+-=arccos tan 22

3.

dx e

e e x

x x ?

-+21)1(

解.

udu u u

u t dt t t t dt t t t t

e dx e e e x x

x x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222????

+=-+=-+=-+令令

c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos

4.

?-dx x

a x

x

2 (a > 0)

解. ?-dx x a x x 2 x u =令 ?-du u a u 2

4

22 t a u sin 2=令 ?tdt a 42sin 8

=??+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24

)2cos 1(8222

2

=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-?4sin 4

2sin 2324cos 122sin 2242

22

2

2

=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222

=c t t a t t a t a

+--cos sin 2cos sin 333222

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

2020考研数学复习：高数常见题型分析

2020考研数学复习：高数常见题型分析 2020考研数学复习：高数常见题型分析 1、求极限 无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。 区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法，有时 需要选择多种方法综合完成题目。另外，分段函数在个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性 的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意! 2、利用中值定理证明等式或不等式 利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。 等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1个定积分中 值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。这里泰勒中值定理的使用时的一个难点，但考查的概率不大。 3、求导 一元函数求导数，多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。 一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基 本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能 是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。另外，二元函数的极值与条

件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。 4、级数 级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形 式出现。 函数项级数(幂级数，对数一的考生来说还有傅里叶级数，但考 查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在 一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。 4、积分的计算 积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数一考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面 积分的计算。 这是以考查运算能力与处理问题的技巧能力为主，以对公式的熟悉及空间想象能力的考查为辅的。需要注意在复习中对一些问题的 灵活处理，例如定积分几何意义的使用，重心、形心公式的使用， 对称性的使用等。 6、微分方程解常微分方程 微分方程解常微分方程方法固定，无论是一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程还是高阶常系数齐次与非齐次方程，只要记住 常用形式，注意运算准确性，在考场上正确运算都没有问题。 但这里需要注意：研究生考试对微分方程的考查常有一种反向方式，即平常给出方程求通解或特解，现在给出通解或特解求方程。 这需要大家对方程与其通解、特解之间的关系熟练掌握。

考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，

跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析七

考研数学高数第一章常考题型七：函数的连续性 69.【01—3 3分】设函数()()0 x g x f u du =?， 其中()()()211,01211,123x x f x x x ?+≤≤??=??-≤≤??，则()g x 在区间()0,2内（ ） ()A 无界 ()B 递减 ()C 不连续 ()D 连续 70.【06—2 4分】设函数23 01sin 0(),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = 71.【08—3 4分】设函数21,()2,x x c f x x c x ?+≤?=?>?? 在(,)-∞+∞内连续，则c = . 72. 【03—3 4分】 设,0,0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是________。 73.【04—2 4分】设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+， 则()f x 的间断点为x = 74.【03—3 10分】设).1,2 1[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续. 【小结】： 考查函数的连续性本质上也就是考查求极限。函数()f x 在x a =处连续当且仅当li m ()()x a f x f a →=；由于lim ()x a f x →存在当且仅当(0),(0)f a f a -+存在且相等，因此该等式又可以等价地表述为(0)(0)()f a f a f a -=+=。 参考答案 69.【01—3 3分】()D

考研数学：得高数者得天下

考研数学：得高数者得天下 [摘要]考研数学作为公共课里面最令人头痛的学科，让很多考生对他咬牙切齿，却依旧低下头来。由于数学综合性比较强、知识覆盖面广、难度颇大，很多考生复习起来没有思路。而且高数是数学考试中内容最多的一部分，分值所占比例也最高。 函数、极限、连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 多元函数积分学 无穷级数 高等数学在150分的考研数学一和数学三中占了56%，即82分，而高等数学二在150分的考研数学二中占了78%，即116分，从而可以看出高数对考研数学来说是最重要的一科，所以我们经常这样说“得高数者，得天下”!下面凯程考研数学名师就结合考研数学大纲为大家详细介绍高数中函数、极限、连续的考试要求： 【1】理解【函数的概念】，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 【2】了解【函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性】. 【3】理解【复合函数】及【分段函数】的概念，了解【反函数】及【隐函数】的概念. 【4】掌握基本【初等函数】的性质及其图形，了解初等函数的概念. 【5】理解【极限的概念】，理解函数左极限与右极限的概念以及【函数极限】存在与左、右极限之间的关系. 【6】掌握【极限的性质】及【极限四则运算法则】. 【7】掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用【两个重要极限】求极限的方法. 【8】理解【无穷小量】、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷

小量求极限. 【9】理解【函数连续性的概念】(含左连续与右连续)，会判别【函数间断点】的类型. 【10】了解【连续函数的性质】和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 那么如何才能掌握函数、极限、连续的考试要求中的各个知识点呢?下面凯程考研辅导名师帮助考生做出复习建议。 建议一：从根本上理解概念定理 高数中有很多概念，需要考生理解记忆。而概念本身是反映事物的本质，考生只有弄清楚它是如何定义的，有什么性质，才能从根本上理解一个概念。所有需要背诵记忆的东西只有建立在理解的基础上才会变得更加容易。定理是一个正确的命题，它分为条件和结论两个部分组成。对于定理的记忆除了要掌握它的条件和结论，还要搞清楚它所适用的范围，更好的理解运用。 建议二：从熟练上掌握题型特点 在复习中很多考生都过多的重视题海策略，往往忽视了最根本的例题。课本上的例题都是很经典的，有助于考生理解概念和掌握定理。通过反复掌握例题来了解不同例题的特点和解法，在理解例题的同时适量的练习习题。在做题时要善于总结，把做错的题型总结起来，在后面的复习中加深印象。通过熟练的掌握例题以及总结类型，这样在往后遇到的题目中才能做到举一反三。 建议三：从宏观上理清知识脉络 考生要对整个高数知识有个整体的把握，构建一个系统的知识体系，这样把所有知识串联在一起，方便记忆，以及加深对知识的理解，这为今后的复习起到事半功倍的效果。 考研数学历年来出的题目往往不是那些高难度的题型，大多是考查考生基础知识。所以考生只有脚踏实地，把基础知识掌握牢固才能赢得考研数学。 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿；

研究考研数学典型例题

研究考研数学典型例题 数学科目重视做题和理论应用，尤其是典型的题型，大家要研究好，且要灵活的运用，下面查字典数学网小编分享关于研究和用好典型例题的事儿，请小伙伴们注意啦。 一、面对一道典型例题，在做这道题以前你必须考虑，它该从哪个角度切入，为什么要从这个角度切入。 做题的过程中，必须考虑为什么要用这几个原理，而不用那几个原理，为什么要这样对这个式子进行化简，而不那样化简。做完之后，必须要回过头看一下，这个解题方法适合这个题的关键是什么，为什么偏偏这个方法在这道题上出现了最好的效果，有没有更好的解法……就这样从开始到最后，每一步都进行全方位的思考，那么这道题的价值就会得到充分的发掘。 二、学习数学，重在做题，熟能生巧。 对于数学的基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解与巩固。数学试题虽然千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在一定的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。此外，还要初步进行解答综合题的训练。数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广，近几年来较为新颖的综合题愈来愈多。这类试题一般比较灵活，难度也要大一些，应逐步进行训练，积累解题经验。这也有利于进一步理解并彻底

弄清楚知识点的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握了的东西，能够在理解的基础上灵活运用、触类旁通。 三、同时要善于思考，归纳解题思路与方法。 一个题目有条件，有结论，当你看见条件和结论想起了什么?这就是思路。思路有些许偏差，解题过程便千差万别。考研数学复习光靠做题也是不够的，更重要的是应该通过做题，归纳总结出一些解题的方法和技巧。考生要在做题时巩固基础，在更高层次上把握和运用知识点。对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系，也就是对各种题型都能找到相应的解题思路，从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动。 基础的重要性已不言而喻，但是只注重基础，也是不行的。太注重基础，就会拘泥于书本，难以适应考研试题。打好基础的目的就是为了提高。但太重提高就会基础不牢，导致头重脚轻，力不从心。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，在一个时期的某一个阶段以基础为主，基础扎实了，再行提高。然后又进入了另一个阶段，同样还要先扎实基础再提高水平，如此反复循环。考生在这个过程中容易遇到这样的问题，就是感觉自已经过基础复习或一段时间的提高后几乎不再 有所进步，甚至感到越学越退步，碰到这种情况，考生千万

考研数学做题心得

考研数学做题心得 考研数学经验心得1 一、基础阶段 这个阶段主要是夯实基础,时间从大三下学期开学至暑假,每天3到4个小时,以为大三上学期学校课程本身比较繁重,所以建议用一个下午或者晚上的整块的时间来专门复习数学。复习根据历年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统进行,打好基础,特别是对大纲中要求的基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握。在这个阶段把基础打扎实,是考验数学取得好成绩的前提。这个阶段,建议大家分为两轮来复习。 第一轮精读材料:10月到次年6月中旬,9个月时间。这一阶段主要是复习教材,按大纲要求结合教材对应章节全面复习,按章节顺序完成教材的课后习题,通过练习掌握教材知识和内容。教材的编写是循序渐进的,所以我们也要按照规律来复习,重复复习会起到事半功倍的效果。 第二轮练习测试、巩固基础知识:6月中旬到7月中旬,约1个月时间。这一阶段主要是练习测试、巩固所学知识。建议大家使用教材配套的复习指导书或习题集,通过做题来巩固知识,在练习过程中遇上不懂或似懂非懂的题目要认真对待,多思考,不要一看不会就直接看答案,应当先查看教材相关章节,把相关知识点彻底

搞懂。建议按要求完成练习测试后,还要对教材的内容进行梳理,对重点、难点做好笔记,以便于后面复习把它消化掉。 第一阶段的复习主要靠自己,遇到难点和不会做的测试,这样能够帮助基础阶段复习有效的节约时间,更好的掌握知识点,为之后的强化阶段夯实基础。 二、强化巩固阶段 这一阶段主要是巩固第一阶段的学习成果。时间从7月中旬到11月初,约4个月时间,每天保证3小时以上。通过对辅导材料和真题的学习,了解考试难度和明确考试方向,进行专项复习提高自己的解题效率和质量。本阶段是考研复习的重点,对考研成绩起决定性作用。 第一轮:学习时间是7月中旬到8月底两个月,主要任务是完整的、认真研读一遍考研辅导书和分析2 套考研真题,全面了解考查内容,熟悉考研数学的重点题型以及其解题方法。如果有条件的情况下,尽量参加一下考研培训行业中比较好的辅导班。 第二轮:大概用一个月的时间也就是9月10月初一个多月,主要考研辅导书与专项模拟题、真题或习题的复习,对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习。 第三轮:本阶段的最后时间段,时间是10月初到11月初。主要是学习笔记的梳理和套题的训练,检测你的解题速度和准确率,查漏补缺、薄弱加强,目的是巩固基础提高能力。

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

考研数学常规题型和陌生题型解答方法

考研数学常规题型和陌生题型解答方法 考研数学不仅要熟练掌握常规题型，面对陌生题型也要沉着应对，使用一些小技巧和方法化解。小编为大家精心准备了考研数学常规题型及陌生题型解答秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学常规题型及陌生题型解答技巧 一、考研数学常规题型 ?1.选择题 对于选择题来说，大家还是有很多方法可选的，常用的方法有：代入法、排除法、图示法、逆推法、反例法等。如果考试的时候大家发现哪种方法都不奏效的话，大家还可以选择猜测法，至少有25%的正确性。选择题属于客观题，答案是 唯一的，并且考研数学考试中的多选题也是以单选的形式出现的，最终的答案只有一个，评分是不偏不倚的。 选择题的难度一般都是适中的，均为中等难度，没有特别难的，也没有一眼就能看出选项的题目。选择题主要考查的是考生对基本的数学概念、性质的理解，要求考生能进行简单的推理、判断、计算和比较即可。所以选择题对于考生来说，要么依靠扎实的知识得分，要么靠自身的运气得分，这32分

要想稳拿需要考生在复习的时候深入思考，不能主观臆想，要思考与动手相结合才行。 ?2.填空题 填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答对得满分，答错或者不答得0分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题。题目的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法以及一些基本的性质。做这24分的题目时 需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知识作为保障。 ?3.解答题 解答题的分值较多，占总分的60%多，类型也较复杂，有计算题、证明题、实际应用题等，并且一般情况下每道大题都会有多种解题方法或者证明思路，有的甚至有初等解法，得分率不容易控制，所以考试在做解答题是尽量用与《考试大纲》中规定的考试内容和考试目标相一致的解题方法和证明方法，每一步的表述要清楚，每题的分值与完成该题所花费的时间以及考核目标是有关系的。综合性较强、推理过程较多、或者应用性的题目，分值较高;基本的计算题、常规性试题和简单的 应用题分值较低。

考研高数知识总结

考研数学讲座（1） 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座（2）笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑 如何迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）； 或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

考研题型经典总结高数部分

2011考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则，对于 00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞ 1型的题目则是先转化为 00型或∞ ∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、 e x x x =+∞ →)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积 分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易 被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就 是 ?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 ? -a a dx x f )(型定积分，若 f(x)是奇函数则有 ? -a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于?2 )(πdx x f 型 积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常用方法。所以解这一部分题的 思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量

考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

考研数学通关秘籍：高数篇

考研数学通关秘籍：高数篇在考研冲刺阶段，考生要认真做往年试题。作为考研公共课“最头疼”的学科——数学，提高复习效率和解题能力就显得尤为重要，建议考生通过历年试卷反映出考研数学的出题思路和出题重点，通过对考研试题的类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题。以下是我们为大家整理分享的考研数学通关秘籍之高数篇，希望对大家有所帮助。一、注重“题感” 要想在数学考试中取得好成绩，一定要注重“题感”，也就是一定数量的题目，通过做题才能更准确、更熟练的一些公式、结论的用法，并且题目做的多了，才有可能在考场上迅速形成做题思路。另外，题目做的多了，才有可能提高解题速率和正确率。选择题和填空题在数学考卷中所占的比重很大，这些题目的解答往往会“一失足成千古恨”，稍不留神，一步做错就全军覆没。不能说只要考场上认真，仔细地做题就不会有“会做但做错”的情况出现，其实有些看似由于粗心引起的错误是由于考生之前没有碰到过这种错误，考生时大脑中意识不到要注意这些问题，所以这种错误是不能仅仅认真、仔细就可以避免得了的。 二、养成良好的做题习惯 考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。 最后，预祝考生们取得理想的成绩!

凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

考研数学一二三试卷内容区别

考研数学一二三试卷内容区别 我们在进行考研的时候，一定要把数学一二三的试卷内容有什么样的区别了解清楚。小编为大家精心准备了考研数学一二三试卷内容的指导，欢迎大家前来阅读。 考研数学一二三试卷内容的分别 一、科目考试区别： 1.线性代数 数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数一、数二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2020年的考研数学中数一、数二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!

2.概率论与数理统计 数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的 考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的"了解"与"掌握"是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功! 3.高等数学 数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。由于考察的 内容比较多，故我们只从大的方向上对数一、二、三做简单的区别。以同济六版教材为例，数一考察的范围是最广的，基本涵盖整个教材(除课本上标有*号的内容);数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数;数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、 曲面积分以及所有与物理相关的应用。 二、试卷考试内容区别

考研数学解题技巧高数总结

函数 极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般） 极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势 由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系 连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近 导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率 微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了 不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分 定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用 高等数学里最重要的数学思想方法：微元法 微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理，可从几何意义去加深理解 泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的

跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析二

考研数学高数常考题型二：极限的基本性质 3.【12—2 4分】设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的（ ） ()A 充分必要条件. ()B 充分非必要条件. ()C 必要非充分条件. ()D 即非充分地非必要条件. 4.【08—12 4分】设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. 5.【03—12 4分】设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ， 1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（ ） ()A n n b a <对任意n 成立. ()B n n c b <对任意n 成立. ()C 极限n n n c a ∞→lim 不存在. ()D 极限n n n c b ∞ →lim 不存在. 【小结】： 参考答案： 3. 极限的四则运算法则的进一步深化： 1）乘法：00,(0)c c c ?=?∞=∞≠ 2）加法：,c +∞=∞收敛+发散=发散 3）除法：00,,(0),00c c c c c ∞==∞=∞≠=∞ 参考答案 1.【92—2 3分】()D 2.【01—2 3分】()B 3.【12—2 4分】()B 4.【08—12 4分】()B

考研高数精华知识点总结：极限的运算

考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的

辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。