【教案二】勾股定理第二课时

勾股定理（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。

2．难点：勾股定理的灵活运用。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c 。

⑵已知a=1,c=2, 求b 。

⑶已知c=17,b=8, 求a 。

⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应

分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类

讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求S △ABC 。

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。 D

B A

人教版八年级下册第17章勾股定理考点和答案

勾股定理考点及答案 1701 勾股定理 一．选择题（共4 小题） 〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．

一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明 〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1） 小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝ （2） 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3） 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 〖课堂练习〗阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式： ；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示） 化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】 （1） 如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；

第十七章勾股定理复习教案

第十七章 勾股定理 教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 （4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2 22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2 <+c b a 22，则三 角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析 例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论． 例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

勾股定理第二课时教学设计

第二课时 一、教案目标 知识与技能 会用勾股定理进行简单的计算。过程与方法 1.数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。 2.分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力 情感、态度与价值观 树立数形结合的思想、分类讨论思想。 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。二、教案重、难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。 三、教案准备 多媒体，作图工具 四、教案方法 讲练结合 五、教案过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ 1 / 7 ②直角三角形中哪条边最长？ ABCDABmmAC的，求，长2.在长方形BC中，宽为为12长．ABCDABBCAC的大小关系？、问题：（1）在长方形中，、（2）一个门框的尺寸如图1所示． ①若有一块长3M，宽0.8M的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3M，宽1.5M呢？ ③若薄木板长3M，宽2.2M呢？为什么？ m1m 新课教授二) (中，∠△ABCC=90°、在例1Rt 求c；⑴已知a=b=5, ；求⑵已知a=1,c=2, b ⑶已知c=17,b=8, 求a；求：b=12,c=5, a；：⑷已知a ，c。aA=30b=15⑸已知，∠°，求分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知2 / 7 一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从

人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)

第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1

新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案

八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教案） 17．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 四、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B

八年级数学上册探索勾股定理(第二课时)教案北师大版.doc

探索勾股定理教学设计第（二）课时 教学设计思想： 本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论. 本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理. 初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性. 设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高. 为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共 同提高的目的 . 教学目标 ( 一 ) 知识与技能 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2. 运用勾股解决一些实际问题 . ( 二 ) 过程与方法 1. 学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力. 2. 在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识. ( 三 ) 情感、态度与价值观 利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献. 借助对学生进行爱国主义教育 . 并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣. 教学重点 勾股定理的证明及其应用. 教学难点 勾股定理的证明. 教学方法 教师引导和学生自主探索相结合的方法. 在用拼图的方法验证勾股定理的过程中. 教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的 问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题 . 教具准备 1. 每个学生准备一张硬纸板、投影片三张. 教学过程 Ⅰ．创设问题情景，引入新课

［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（ a+b）（ a－b） =a2－ b2；完全平方公式（ a± b）2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？ ［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（ a 222 2 －b） =a － ab+ab－ b =a －b ，所以平方差公式是成立的． ［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（ a+b）2=a2+2ab+b2．我们可以用一个边长为 a 的正方形，一个边长为 b 的正方形，两个长和宽分别为 a 和 b 的长方形可拼成如下图所 a+b）2；又可以表示的边长为（ a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（示为 a2+2ab+b2．所以（ a+b）2=a2+2ab+b2． ［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理， 但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系． Ⅱ．讲授新课 1．拼一拼 （ 1）在一张硬纸板上画 4 个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来． （ 2）用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？ （对于上面 2 个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自 22 2 己拼出的图形，联系（a+b） =a +2ab+b 的拼图推证方法说明勾股定理）． ［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为 c 的正方形．观察图形我们不难 发现，大的正方形的边长是（ a+b）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示 这个大正方形的面积即可．

教案类：北师大版八年级数学上册探索勾股定理第二课时教学设计

第一章勾股定理 １．探索勾股定理（二） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证. 学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验. 二、教学任务分析 本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础. 三、教学目标 1．教学目标 ●知识与技能目标 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. ●过程与方法目标 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. ●情感与态度目标 在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 2．教学重点

用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 3．教学难点 验证勾股定理. 四、教法学法 1.教学方法：引导——探究——应用. 2.课前准备： 教具：教材，课件，电脑. 学具：教材，铅笔，直尺，练习本. 五、教学过程 本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：复习设疑，激趣引入 内容：教师提出问题： （1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答） （2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣. 效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望. 第二环节：小组活动，拼图验证.

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版

勾股定理（1） 知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。 过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。 教与学互动设计： 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？ 提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 （1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2

10c 20cm 3.得出结论 定理：经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图，一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒，为什么？ 练习：填空 （1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.

最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案

第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B

第十七章 勾股定理 小结 教案

勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2

《探索勾股定理》第二课时教学设计

第一章勾股定理 1．探索勾股定理（二） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证. 学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验. 二、教学任务分析 本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础. 三、教学目标 1．教学目标 ● 知识与技能目标 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. ● 过程与方法目标 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. ● 情感与态度目标 在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.

2．教学重点 用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 3．教学难点 验证勾股定理. 四、教法学法 1.教学方法：引导——探究——应用. 2.课前准备： 教具：教材，课件，电脑. 学具：教材，铅笔，直尺，练习本. 五、教学过程 本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：复习设疑，激趣引入 内容：教师提出问题： （1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答） （2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣. 效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.

18.1勾股定理(第二课时)教学设计

第二课时 一、教学目标 知识与技能 会用勾股定理进行简单的计算。 过程与方法 1.数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。 2.分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力 情感、态度与价值观 树立数形结合的思想、分类讨论思想。 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 二、教学重、难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。 三、教学准备 多媒体，作图工具 四、教学方法 讲练结合 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？ 2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．

问题：（1）在长方形ABCD 中，AB 、BC 、AC 的大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图1所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ (二)新课教授 例1、在Rt △ABC 中，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ； ⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ； ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理 清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2、已知直角三角形的两边长分别为5 和12，求第三边。 D A

第十七章勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计

17.1 勾股定理（3） 一、教学目标 知识与技能 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与方法 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，?发展学生灵活勾股定理解决问题的能力． 2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识． 情感、态度与价值观 1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． 二、教学重、难点 重点： ，……这样的表示无理数的 点． 难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段． 三、教学准备 多媒体课件 四、教学方法 分组讨论，讲练结合 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。

思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 的点呢？ 设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们 ……这样的无理数 ……可以当直角三角形 师生行为： 学生小组交流讨论 ，……这样的包含在直角三角形中的线 段． 此活动，教师应重点关注： 这样的线段所在的直角三角形； ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作． ，所以只需画出长 的线段即可． 1的直角三角形的斜边． 的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设 ，两直角边为a ， b ，根据勾股定理a 2+b 2= c 2即a 2+b 2=13．若 a ， b 为正整数，?则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．?的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．

第十七章勾股定理数学活动课教学设计比赛

第十七章《勾股定理》数学活动教学设计 【教材】人教版数学八年级下册 【课时安排】1课时 【教学对象】育才学校八（2）班学生 【教材分析】本节课是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第十七章《勾股定理》中的数学活动，即通过“爽弦图”来进一步对勾股定理的证明。教学时数为1课时。勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典。是初中数学教学容重点之一。勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题，是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 【学情分析】学生在以前学习和掌握了一般三角形的基本性质，现在将进一步学习一种特殊三角形-直角三角形的三边关系“勾股定理”。以与勾股定理有关的历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。【教学目标】 知识技能：1、理解并掌握勾股定理的容及其证明方法，能运用勾股定理解决实际问题。 2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。 数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想．问题解决：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维． 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究

过程。 情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生学习兴趣。 2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神 【教学重点】1．掌握勾股定理的容。 2、理解勾股定理的证明 3、运用勾股定理解决具体问题。 【教学难点、关键】利用“拼图”、“数形结合”的方法验证勾股定理. 【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件 【教学过程设计】 一、教学流程设计

第十七章_人教版勾股定理教案

第十七章勾股定理 （一）教材所处的地位 教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。 勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。 （二)单元教学目标（包括情感目标） 知识与技能目标： 1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养 学数学、用数学的意识与能力。 2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。 4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。 情感与态度目标： 5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国 悠久文化的思想感情。 （三）单元教学重难点 教学重点： 1、探索勾股定理并掌握勾股定理； 2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）； 3、勾股定理及其逆定理的应用； 教学难点： 1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理； 2、勾股定理逆定理的应用；

3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。 （四）单元教学策略 1、学时安排 全章教学时间为9课时，建议分配如下： §17.1 勾股定理--------------------3课时 §14.2 勾股定理的逆定理--------------3课时 复习-------------------------------2课时 2、教学步骤： ①整个章节的教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用 结论解决实际问题。 ②在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与。 ③初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以求 第三边。 ④应用结论解决实际问题分两类：探索性问题和应用性问题。 3、实施建议 ①注重使学生经历探索勾股定理等过程； 本章从实践探索入手，创设学习情境，研究直角三角形的勾股定理及它的逆定理，并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题。在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神，提高合作交流能力和解决实际问题的能力。 ②注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理及其逆定理的广泛应用； 本章从勾股定理的探索就来源于生活，而本章勾股定理的应用又直接应用于生活。因此，在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境，使学生能根据生活经验和情境类比较好地进行勾股定理应用的建模过程。教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段以丰富课堂教学。 ③尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值； 与勾股定理有关的背景知识丰富，在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。

【教案二】勾股定理第二课时

勾股定理（二） 一、教学目标 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c 。 ⑵已知a=1,c=2, 求b 。 ⑶已知c=17,b=8, 求a 。 ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。 分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类 讨论思想。 例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求S △ABC 。 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。 D B A

2018年探索勾股定理第二课时评课稿-推荐word版 (13页)

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的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值。 3、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题。本堂课的教学重点： 勾股定理的探索过程 本堂课的教学难点： 将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积邹老师这节课的教学流程是：激趣引入——传授新知——习题练习——总结新课。 邹老 师本堂课能根据学生的认知结构采用“观察--猜想--归纳--验证--应用”的教 学方法，这一 流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、 验证的思想和 数形结合的思想。 在这堂课第一环节——引入中：邹老师从创设情境、提出问题很巧妙的用故事引入新课， 采用悬念导入法抓住学生的好奇心理，巧设悬念，以疑激学，促使学生在高昂 的求知欲望中 探求知识，引发学生学习知识的兴趣，如：“同学们想知道古人是用什么方法 得到的？”“你 想学吗”。等等一些“挑逗”的语言来激发学生的学习兴趣。为学生对新授知识的学习作了一个很好的铺垫。第二环节——教学过程：邹老师能采用探究发现式教学，提供适当的问题情境，给学生 自主探究交流的空间，引导学生有目的地探索，即与本堂课勾股定理相关的三 角形的边的关 系。同时邹建明老师在授课过程中让学生实践探索猜想归纳直角三角形三边数量关系，利用 图形探求三角形边长之间的关系转化为探求正方形面积之间的关系来探索勾股 定理的公式。 比如画出三角形与正方形的组合图让学生发现其中所包含的知识点。第三环节习题练习：习题的安排非常合理到位，有针对性，练习的设计有层次，有梯度。