解三角形正弦定理(参考模板)
解三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等
于外接圆的直径，即 R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的
半径）
2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C ++===
A +
B +A B ． 2）化边为角：
C B A c b a sin :sin :sin ::=；
;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C
A c a = 3）化边为角：C R c
B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===
4）化角为边：
;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c
a
C A = 5）化角为边： R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =
== 二.三角形面积
B ac A bc
C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===?
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即
A bc c b a cos 2222-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
2.变形：bc a c b A 2cos 2
22-+=
ac
b c a B 2cos 2
22-+=
ab
c b a C 2cos 2
22-+=
注意整体代入，如：2
1cos 222=?=-+B ac b c a
一、选择题（题型注释）
1．设ABC ?的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
2．已知ABC ?的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222a c b ab -+=，则角C 等于 （ ）
A.
3π B.4π或34π C.23π D.6
π
3．在ABC ?中，60,43,42o
A a b ===，则
B = A.30o B.45o C. 120 D. 135
4．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 5．在ABC ?中，已知22tan tan a B b A =，则ABC ?的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 6．设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．若
，
，
，且
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC △是 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
8．在ABC ? 中，2a = ,23b =,30A = , 则B =（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150
9．在ABC ?中，60B ?=，2
b a
c =，则此三角形一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
10．在△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知a=7，5=c ，则C
A
sin sin 的值是
A ．
75 B ．75 C ．127± D ．12
5 11．在△ABC 中，2a =，30A =?， 135C =?，则边c =
A ．1
B ．2
C ．．12．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ） A ．60° B ．120° C ．30°
D ． 150°
13．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若则c 等于( )
14．在△ABC 中,a=3,b=5,sinA=
1
3
,则sinB 等于( )
(A)
15 (B) 5
9
15．在ABC ?中，45a b B ===?，则A 等于 A ．30° B ．60°
C ．60°或120°
D ．30°或150
16．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( )．
A ．[－2,2]
B ．[0,2]
C ．(0,2]
D ．)
17．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2
2
2
a c
b =-，则∠C=( ) A ．π
6 B ．
5π6
C ．
π4
D ．
3π4
18．在△ABC 中，若
c
C
b B a A sin cos cos =
=，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形
C ．有一内角为30°的等腰三角形
D ．等边三角形
19．在ABC ?中，若B a c cos 2=，则ABC ?的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．锐角三角形
20．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ） A.
23 B.2-3 C.1-3 D.1-4
二、填空题（题型注释）
21．已知方程2
(cos )cos 0x b A x a B -+=的两根之积等于两根之和，且,a b 为ABC ?的两边，,A B 为两内角，则ABC ?的形状为______
22．已知ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，1a =，c =
30A ∠=，则b 等于__________.
23．在△ABC 中，若3
2,3,1π
=
∠=
=C c b ，则=a . 24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D
在西偏北的方向上，行驶600m 后到达
处，测得此山顶在西偏北
的方向上，仰
角为
，则此山的高度
________m ．
25．已知△ABC 中，2a =，2=
b ，1
c =，则cos B = .
26．已知ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 .
27．若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里．
28．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB 3，则角A 等
于________．
29．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若2
2
,3cos a c b b c A -==且，则b= .
30．在ABC ?中，若1
5,,sin ,43
b B A π
==
= 则 a = 31．在ABC ?中，
60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的大值为 .
32．在钝角ABC ?中角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,， 若2=a ，3=b ，则最
大边c 的取值范围是_________.
33．ABC ?的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，且a c 2=，则_____________________cos =B 34．在△ABC 中，3b =，5c =，1
cos 2
A =，则= . 35．若ABC ?的面积为3
42
22c b a S -+=，则角C =__________.
三、解答题（题型注释）
36．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=，cosB=．
（Ⅰ）求cosC 的值； （Ⅱ）若c=，求△ABC 的面积．
37．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos （B －C ）－1＝6cosBcosC ． （1）求cosA ；
（2）若a ＝3，△ABC 的面积为22b 和c ．
38．已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= (Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。
39．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2B b
C a c
=-
+. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若13,4b a c =+=，求△ABC 的面积.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：C A B +=2,060=B ,根据正弦定理，ac b C A B ===22sin sin sin ，所以再根据余弦定
理()00260cos 2222220222=-?=-+?-+=?-+=c a ac c a ac c a ac ac c a b ，
即c a =，又060=B ，所以这个三角形是等边三角形，故选C.
考点：正余弦定理
2．A
【解析】 试题分析：2
122cos 222==-+=ab ab ab c b a C ，则角C 等于060，故选A. 考点：余弦定理
3．B
【解析】
试题分析：由sin sin a b A B =4sin 4560sin 2B B B
=∴== 考点：正弦定理解三角形
4．D
【解析】
试题分析：根据正弦定理sin sin a b A B =有44sin 30
=，解得sin B =，所以60B =或120，因为b a >，所以B A >，因此都符合题意，故选D.
考点：正弦定理.
5．D
【解析】 试题分析：由22tan tan a B b A =变形为22sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos B A A B A B B A B A
=∴=sin2sin2A B ∴= 22A B ∴=或22180A B A B ∴+=∴=或90A B +=，三角形为等腰三角形或直角三角形 考点：正弦定理，三角函数公式
6．B 【解析】
试题分析：由222cos
2b c a A bc +-=得222b ==
考点：余弦定理
7．B
【解析】∵()()3a b c b c a bc +++-=，即[()][()]3b c a b c a bc +++-=，∴22()3b c a bc +-=，222a c bc b =+-,根据余弦定理有A bc c b a cos 2222-+=，∴222222cos b bc c a b c bc A -+==+-，即A bc bc cos 2=，即21cos =A ，∵
0180A <<，∴ 60=A ，又由C B A cos sin 2sin =，得sin 2cos sin A C B =，即
222
22a a b c b ab +-=?，化简可得2222a a b c =+-，即b c =，∴ABC △是等边三角形，故选B ．
8．B
【解析】 试题分析：由正弦定理sin sin a b A B =得22sin 30
=sin 60B
B ==或120 考点：正弦定理解三角形
9．D
【解析】
试题分析：由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ，
又b 2=ac ，
∴a 2+c 2-ac=ac ，
∴（a-c ）2=0，
∴a=c ，
∴A=B=C=60°，
∴△ABC 的形状是等边三角形
考点：余弦定理 10．A
【解析】
试题分析：由正弦定理sin sin a c A C =可得sin 7sin 5A a C c == 考点：正弦定理 11．C
【解析】 试题分析：由正弦定理，
22135
sin 30sin 2sin sin =?=?=c c C c A a 考点：正弦定理
12．B
【解析】
试题分析：根据A bc c b a cos 22
2
2
-+=,有2
1
cos -=A ,所以?=120A . 考点：余弦定理. 13．B
【解析】由正弦定理,得sin a A =sin b B
, ∵
,
∴
1sin A
=sin 2A
=2sin cos A A
, ∵sinA ≠0, ∴
A=π6,B=π3,C=π2
. ∴
故选B. 14．B
【解析】由正弦定理得sin a A =sin b B ,sinB=1
533
?
=59.故选B. 15．C
【解析】
试题分析：由正弦定理得：sin sin A B =
，∴sin 2
A =，∴A =60°或120°. 考点：正弦定理. 16．D
【解析】由题意得032
022
A A πππ
?
<-
由正弦定理sin sin AC BC
B A
=
得AC ＝2cos A . ∵A ∈(
,)64
ππ
，∴AC ∈
)． 17．C 【解析】
试题分析：因
为2
2
2
a c
b =-+，所
以2
2
2
a b c +-=，所
以
222cos 222a b c C ab ab +-∠===，因为0C π<∠<，所以4
C π
∠=。
考点：余弦定理。 18．B 【解析】
试题分析：cos cos sin sin sin sin ,A B C A B C
a b c a b c
====
sin cos sin cos ,sin cos ,sin cos 0,0.
4
A A
B B A A B B
A B A B a a b b π
ππ∴==∴==<<<<∴==
∴△ABC 为等腰直角三角形
考点：正弦定理 19．B 【解析】
试题分析：222
222cos 202a c b c a B c a
a b a b ac
+-=∴=∴-=∴=，所以三角形为等腰三角形
考点：余弦定理解三角形 20．D 【解析】
试题分析：根据正弦定理sin :sin :sin ::A B C a b c =，所以不妨设
()
2,3,40a k b k c
k k ===>，
则
根据余弦定理：
D.
考点：1、正弦定理；2、余弦定理.
21．等腰三角形 【解析】 试题分析
：由题意可得
()cos cos sin cos cos sin 0sin 0a B b A A B A B A B A B =∴-=∴-=∴=，三角形为等腰三角形
考点：三角函数基本公式 22．1
或2 【解析】
试题分析：由余弦定理
222cos 2b c a A bc +-=得2122b ==或
考点：余弦定理解三角形
23．
1 【解析】
试题分析：由余弦定理222
cos 2a b c C ab
+-=得2
22
11122a a a +--=
∴=
考点：余弦定理解三角形
24．【解析】
试题分析：设此山高h （m ），则，
在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得
600
sin 30sin 45
=，
解得h= m ） 考点：解三角形的实际应用 25．
3
4
【解析】
试题分析：由题意，由余弦定理知222222213
cos 22124
a c
b B a
c +-+-===??.
考点：1.余弦定理. 26．
23
π
【解析】
试题分析：因为2220a ab b c ++-=，所以222a b c ab +-=-，由余弦定理可得
2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又因为(0,)C π∈，所以23
C π
=.
考点：余弦定理.
27．
【解析】由正弦定理，知
601806075BC AB
sin sin ????＝
（－－）
，解得BC ＝(海里)． 28．
3
π
【解析】
试题分析：因为2asinB b ，所以22sin sin asinB A B B ?=
sin 60A A ?=
?=?或120?，又由于△ABC 为锐角三角形所以=60A . 考点：正弦定理的应用. 29．3
【解析】
试题分析：由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，所以，22232b c a b c bc
+-=?，又22
,a c b -=
所以，(3)0,3b b b -==，故答案为3. 考点：余弦定理的应用
30【解析】
试题分析：根据正弦定理
3252
2
31
5sin sin sin sin =?
==?=B
A
b a B b A a ,考点：正弦定理 31．72
【解析】
试题分析：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有
2sin sin sin sin 60
AB BC AC C A B ====， 所以AB=2sinC ，BC=2sinA ．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin （120°-A ）+4sinA =2（sin120°cosA-cos120°sinA ）+4sinA
= （A+φ），（其中sin
??=
=
所以AB+2BC 的最大值为 考点：正弦定理解三角形及三角函数性质 32．)5,13( 【解析】
试题分析：因为角C 是最大边，并且是角C 是钝角，所以???<+>+????<+>+2
2229432c
c
c b a c b a ，解得513< 考点：余弦定理 33． 34 【解析】 试题分析：若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，所以22sin sin sin B A C b ac =∴= 2 2 222c a b a b a =∴=∴= 222222423 cos 2224 a c b a a a B a c a a +-+-∴=== 考点：余弦定理及等比数列 34．7 【解析】 试题 分析：由题意，由余弦定理 222221 2cos 35235()492 a b c bc A =+-=+-???-=，得7a =. 考点：1.余弦定理的应用. 35． 6 π 【解析】 试题分析：∵2221sin 243 S ab C ==，又222cos 2a b c C ab +-=，∴3 tan C =，∴角C 等于 6 π . 考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式. 36．（Ⅰ）2-（Ⅱ）37 【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用诱导公式()cos cos C A B =-+可将问题转化为A,B 两角的三角函数求解；（Ⅱ）正弦定理 sin sin a c A C = 可求得a 边，由1 sin 2 S ac B =可求得面积 试题解析：（Ⅰ）△ABC 中，∵，∴sinB==，又 A= ， ∴ = ． …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知．由正弦定理知： ，∴ ， ∴ ． …………………12分 考点：正余弦定理解三角形 37．（1）13（2）23b c =??=? 或32 b c =??=? 【解析】 试题分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos （B+C ）的值，将cosA 用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos （B+C ）的值代入即可求出cosA 的值；（2）由cosA 的值及A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，将已知的面积及sinA 的值代入，得出bc=6，记作①，再由a 及cosA 的值，利用余弦定理列出关于b 与c 的关系式，记作②，联立①②即可求出b 与c 的值 试题解析：（1）由3cos （B －C ）－1＝6cosBcosC 知3（cosBcosC ＋sinBsinC ）－1＝6cosBcosC ，2分 3（cosBcosC －sinBsinC ）＝－1， 即cos （B ＋C ）＝－ 13 ，又A ＋B ＋C ＝π，4分 ∴ cosA ＝－cos （B ＋C ）＝13． 6分 （2）由0 13知sinA ，7分 又S △ABC ＝ 12 bcsinA ＝ ， ∴ bc ＝6． 8分 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2＝13， ∴22613bc b c =??+=? ，10分 ∴23b c =??=? 或32 b c =??=? 12分 考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理 38．（1）60°；（2）2b c == 【解析】 试题分析：（1）由正弦定理得： cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?=+ sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ???? ?+=++?-=?-= ?-=?= （2 ）1sin 42 S bc A bc ==?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+= 解得：2b c == 考点：正弦定理、余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的面积。 点评：中档题，涉及三角形中的问题，往往需要边角转化，并运用和差倍半的三角函数进行化简。在边角转化的过程中，灵活选用正弦定理或余弦定理，需要认真审题，预测变形结果，以达到事半功倍的目的。 39．（1）23B π= （2）1sin 2ABC S ac B ?== 【解析】 试题分析：解：（Ⅰ）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C === 得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===.…2分 将上式代入已知 cos ,cos 2B b C a c =-+ 得. cos sin ,cos 2sin sin B B C A C =+即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++= 就是2sin cos sin()0A B B C ++= ４分 ∵A B C π++=，∴sin()sin ,2sin cos sin 0.B C A A B A +=∴+= ∵1sin 0,cos ,2A B ≠∴=-∵B 是三角形的内角，所以23B π= . 6分 （Ⅱ）将24,3 b a c B π=+==代入余弦定理得 221()22cos ,13162(1), 3.2 b a c ac ac B ac ac =+--∴=--∴= 8分 ∴1sin 2ABC S ac B ?==. 10分 考点：解三角形 点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，求解三角形以及面积问题，属于基础题。 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。 解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b 4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求 (文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案： 证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷 题型：解答题，难度：中档 (文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。 答案： （1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5， 从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷 题型：解答题，难度：容易 在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且 第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b 教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心 【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】 主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理 一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识.自主学习 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以 变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余 弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并 可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠B ＝135°，AC ＝2，则BC sin A ＝ ( ) A ．2 B ．1 C ． 2 D ．2 2 2．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433 ，则∠A 的大小为 ( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝ ( ) A ．32 B ．12 C ．34 D ． 3 4．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．22 B ．24 C ．32 D ．3＋14 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为 ( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 6．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝ ( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶6 7．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 *8．[2013·辽宁理，6]在△ABC 中，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a >b ，则B ＝ ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π 6 二、填空题 9．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，cos A ＝5 5，则sin A ＝________；a ＝________． 10．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________； (2)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________． 11．(1)在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 是___________三角形； (2)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是______________三角形； 正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理： a b c 2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C a b c ＝ ＝＝2R的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a b ＝＝ sin A sin B c ＝ sin C a＋b＋c ＝2R； sin A＋sin B＋sin C (3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C； a b c (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式：S＝1 2 ab sin C＝ 1 1 bc sin A＝ca sin B. 2 2 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式：. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 高三文科数学：三角函数与正余弦定理专题 一、选择题： 1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2 2 B.22 C.3 2 D ．1 2．(2013·江西高考)若sin α 2＝3 3，则cos α＝( ) A ．－2 3 B ．－1 3 C.1 3 D.2 3 3．已知tan ????α－π 6＝3 7，tan ????π 6＋β＝2 5，则tan(α＋β)的值为( ) A.29 41 B.1 29 C.1 41 D ．1 4．把y ＝sin 1 2x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( ) A ．1 B ．4 C.1 4 D ．2 5．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1 2个单位 D ．向右平移1 2个单位 6.若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题： 7．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________. 8.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角为________． 9．函数y ＝cos ????2x ＋π 6的单调递增区间为________． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ， 则角C ＝________. 三、解答题： 11. (2015·山东高考)设2()sin cos cos ()4f x x x x π =-+ （1）求()f x 的单调区间 （2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02A f =，1a =， 求ABC ?面积的最大值 12.已知2tan =θ， 求（Ⅰ）θ θθθsin cos sin cos -+；（Ⅱ）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. 2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，2=a ，2=c ，则=C （ ） A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答：0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到： 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ，C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 （Ⅰ）求C B sin sin ； （Ⅱ）若1cos cos 6=C B ，3=a ，求ABC ?的周长。 本题解答：（Ⅰ）ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 （Ⅱ）61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ，3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到：921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据（Ⅰ）得到：898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到：3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为：333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答：根据射影定理得到：b A c C a =+cos cos ，b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2 2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定 理夯基提能作业本文 1.在△ABC中,若=,则B的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(xx广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b 利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B. 解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°， 正弦定理和余弦定理【考点梳理】 1．正弦定理和余弦定理 (1)S＝1 2a·h a(h a表示边a上的高)； (2)S＝1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【考点突破】 考点一、利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π 4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上， AD＝BD，求AD的长． [解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4 ＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝b sin∠BAC a＝ 3 310 ＝ 10 10， 由题设知0＜B＜π 4， 所以cos B＝1－sin 2B＝1－1 10＝ 310 10. 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得 AD＝AB·sin B sin(π－2B)＝ 6sin B 2sin B cos B＝ 3 cos B＝10. 【类题通法】 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的． 2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． (2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 【对点训练】 1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B ＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为() A．30°B．45° C．60°D．120° [答案]A §4.1 弧度制及任意角的三角函数 知识梳理： 1．弧度制 (1)弧度与角度的换算：360°＝ rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad ≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′. (2)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_____；扇形面积公式S 扇＝________＝__________． 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________ (x≠0)． (3)三角函数值在各象限的符号 sin α cos α tan α 基础自测： 如果sin α＞0，且cos α＜0，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 已知α是锐角，那么2α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 若点P 在2π 3 的终边上，且|OP |＝2，则点P 的 横坐标为( ) A ．1 B ．－1 C .3 D ．－3 若点P ()x ，y 是30°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为________． 半径为R 的圆的一段弧长等于23R ，则这段 弧所对的圆心角的弧度数是____________． 例题分析： 如图所示，已知扇形AOB 的圆心角 ∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求： (1)AB ︵ 的长；(2)弓形ACB 的面积． 扇形AOB 的周长为8 cm .若这个扇形的面 积为3 cm 2，求圆心角的大小． 已知角α的终边经过点P (3m －9，m ＋2)． (1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围． 作业： 1．若sin θcos θ<0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角 2．(2014·全国)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A .45 B .3 5 C ．－3 5 D ．－45 3．已知角α的终边经过点P (－4a ，3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25 B .2 5 C ．0 D .25或－2 5 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C .2 sin1 D ．sin2 5．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值域是( ) A ．{－1,1} B ．{1,3} C ．{1,－3} D ．{－1,3} 6．点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针 高考数学专题--正余弦定理及解三角形 高考考点：1、利用正、余弦定理解三角形 2、解三角形的实际应用 3、解三角形与其他知识的交汇问题 解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3 cos sin 3b a C a C =+ . (1)求A ; (2)若3a = ,2bc =,求ABC △的周长. 【解析】(1) 3cos sin 3b a C a C =+ ,3 ,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得, 3 sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+ ,tan 3A =即, ()0πA ∈又，,∴ π 3A = . (2) 22π,32cos 3b c bc =+-由余弦定理得, ()2 33b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=, 故33ABC +△的周长为. 调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C c B b = . (1)求角B 的大小; (2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,2 5CD AD a θ<<=== ,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c B b =,得3sin sin cos sin C C B B =, 因为sin 0 C >,所以sin 3tan cos 3B B B == , 因为0πB <<,所以 π 6B = . (2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC a B BD C θ== ∠,所以 85 25sin sin B BDC = ∠,所以 25sin 5θ=, 因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以 ()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-= , 在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-?-=+-?? =, 所以5b = . ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化． 若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”； 若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab 等． 题组二 与三角形面积有关的问题 调研3 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ． (1)求AD 的长；解三角形(1)---正弦定理
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