高等数学讲义-- 一元函数微分学
24 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义
设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限
x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim
0000
存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0
x x y ='
，
x x dx
dy
=，
)(x x dx
x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则
称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则
0000
()()
()l i m
x x f x f x f x x x →-'=
- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0
000000()()()()
()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +
+
+→?→-+?-'==-? 左导数：0
000000()()()()
()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x
-
-
-→?→-+?-'==-? 则有
)(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义
如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-
25
法线方程：00001
()()(()0)()
y f x x x f x f x '-=-
-≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数
)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连
续，却不可导。
4．微分的定义
设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ?时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?有下面的表达式
0()()y A x x o x ?=?+? （0→?x ）
其中)(0x A 为x ?为无关，()o x ?是0→?x 时比x ?高阶的无穷小，则称)(x f 在0x 处可微，
并把y ?中的主要线性部分x x A ?)(0称为)(x f 在0x 处的微分，记以0
x x dy =或0
)
(x x x df =。
我们定义自变量的微分dx 就是x ?。
5．微分的几何意义
)()(00x f x x f y -?+=?是曲线)(x f y =在点0x 处相应
于自变量增量x ?的纵坐标)(0x f 的增量，微分0
x x dy
=是曲线
)(x f y =在点))(,(000x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见
图）。
6．可微与可导的关系
)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导。
且0
00()()x x dy
A x x f x dx ='=?=
一般地，)(x f y =则()dy f x dx '=
26 所以导数()dy
f x dx
'=
也称为微商，就是微分之商的含义。
7．高阶导数的概念
如果函数)(x f y =的导数()y f x ''=在点0x 处仍是可导的，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为)(x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0
x x y =''，或0()f x ''，或
2
2x x dx y
d =等，也
称)(x f 在点0x 处二阶可导。
如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y ，
)()
(x y
n ，n n dx
y
d 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。
二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则
（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式
（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法
（6）用参数表示函数的求导公式
（乙）典型例题
一、用导数定义求导数
例 设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求()f a ' 解：()()()()0
()lim
lim ()x a
x a f x f a x a g x f a g a x a x a
→→---'===--
二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数
???>+≤=1
,1,)(2x b ax x x x f
试确定a 、b 的值，使)(x f 在点1=x 处可导。
解：∵可导一定连续，∴)(x f 在1=x 处也是连续的。
由 1lim )(lim )01(2
1
1
===--
-→→x x f f x x
27
b a b ax x f f x x +=+==++
+→→)(lim )(lim )01(1
1
要使)(x f 在点1=x 处连续，必须有1=+b a 或a b -=1
又 2111()(1)1
(1)lim lim lim(1)211
x x x f x f x f x x x ---
------'===+=-- 1
11()(1)1(1)
(1)lim lim lim 111
x x x f x f ax b a x f a x x x +
+++----+--'====--- 要使)(x f 在点1=x 处可导，必须(1)(1)f f -+''=，即a =2.
故当1211,2-=-=-==a b a 时，)(x f 在点1=x 处可导.
例2 设1
lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e b
ax e x x f ，问a 和b 为何值时，)(x f 可导，且求()f x '
解：∵1>x 时，+∞=-∞
→)
1(lim x n n e
， 1 →x n n e ∴ ?? ???? ?<+=++>=，x b ax ，x b a ， x x x f 1, 1,21 1,)(2 由1=x 处连续性，1lim )(lim 21 1 ==+ +→→x x f x x ，12 1 )1(=++=b a f ，可知1=+b a 再由1=x 处可导性， 21(1) (1)lim 1x x f f x ++→-'=-存在 1 ()(1) (1)lim 1 x ax b f f x - -→+-'=-存在 且(1)(1)f f +-''= 根据洛必达法则1 2(1)lim 21 x x f + +→'== 1(1)lim 1 x a f a - -→'==，∴ 2=a 于是11-=-=a b 28 ?? ???<-=>=,1,12,1,1,1,)(2x x x x x x f 2,1, ()2,1,x x f x x ≥?'=? 三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设)(x f 可微，)()(ln x f e x f y ?=，求dy 解：)(ln )(ln )()(x df e de x f dy x f x f += ()()1 ()(ln )(ln )f x f x f x e f x dx f x e dx x ''=+ ()1 [()(ln )(ln )]f x e f x f x f x dx x ''=+ 例2 设x x x y =)0(>x ，求 dx dy 解：x x y x ln ln = 对x 求导，得 11()ln x x y x x x y x ''=+ 再令x x y =1，x x y ln ln 1=，对x 求导， 11 1ln 1y x y '=+，∴ ()(ln 1)x x x x x '=+ 于是[] x x x x x x x x x dx dy 1ln )1(ln -++= （0>x ） 例3 设)(x y y =由方程x y y x =所确定，求 dx dy 解：两边取对数，得y x x y ln ln =， 对x 求导，ln ln y x y x y y x y ''+ =+ (ln )ln x y y x y y x '-=-，22n ln y xy y y x xy x -'=- 29 例4 设 ?? ? ??+==??t u t t u du u e y udu e x 20)1ln(sin 2 2 求dy dx 解：) 21ln(2sin sin 2222 4t e t e t te dt dy dt dx dy dx t t t +-= = 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线)(x f y =与2 arctan 0 x t y e dt -= ? 在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方 程，并求2lim ()n nf n →∞ 。 解：由已知条件可知0)0(=f ，2 (arctan ) 2 (0)11x x e f x -='= =+ 故所求切线方程为x y = 2 ()(0) 2 lim ()lim 22(0)22n n f f n nf f n n →∞→∞-'=?== 例2 已知曲线的极坐标方程θcos 1-=r ，求曲线上对应于6 π θ= 处的切线与法线的直角 坐标方程。 解：曲线的参数方程为???-=-=-=-=θ θθθθθ θθθcos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x 1sin cos 2sin sin cos cos 6 226 6 =+-+-= == = = π θπ θπ θθ θθθθθθ θd dx d dy dx dy 故切线方程)4323(14321+-?=+- x y 即 04 5 343=+- -y x 法线方程 13()24 y x - +=- 即 04 1 341=+-+y x 30 例 3 设)(x f 为周期是 5 的连续函数，在0=x 邻域内，恒有 (1s i n )3(1s i n )f x f x x x α+--=+。其中0) (lim =→x x x α，)(x f 在1=x 处可导， 求曲线)(x f y =在点（)6(,6f ）处的切线方程。 解：由题设可知)1()6(f f =，(6)(1)f f ''=，故切线方程为 (1)(1)(6)y f f x '-=- 所以关键是求出)1(f 和(1)f ' 由)(x f 连续性)1(2)]sin 1(3)sin 1([lim 0 f x f x f x -=--+→ 由所给条件可知0)1(2=-f ，∴ 0)1(=f 再由条件可知8)sin ) (sin 8(lim sin )sin 1(3)sin 1(lim 00=+=--+→→x x x x x x f x f x x α 令8) 1(3)1(lim ,sin 0=--+=→t t f t f t x t ，又∵0)1(=f ∴ 上式左边=) () 1()1(lim 3)]1()1([lim 00t f t f t f t f t t ---+-+→→ =(1)3(1)4(1)f f f '''+= 则4(1)8f '= (1)2f '= 所求切线方程为)6(20-=-x y 即 0122=--y x 五、高阶导数 1．求二阶导数 例1 设)ln(22a x x y ++=，求''y 解：'y x '= + 2 2 2 2 2 2 1)1(1a x a x x a x x += ++ ++= 32223 22) (2)(21''a x x x a x y +-=?+-=- 例2 设2ln(1) x arctan t y t =??=+? 求 2 2dx y d 31 解：t t t t dt dx dt dy dx dy 211122 2 =++== 2 222 ()()2 /2(1)11dy dy d d d y dx dx dx t dx dx dt dt t ====++ 例3 设)(x y y =由方程122=+y x 所确定，求''y 解：0'22=+yy x ，y x y - =' 222 1''x y y xy y y y y +'?-=-=- 2233 1 y x y y +=-=- 2．求n 阶导数（2≥n ，正整数） 先求出,,y y ''' ，总结出规律性，然后写出)(n y ，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1）x e y = x n e y =) ( （2）)1,0(≠>=a a a y x n x n a a y )(l n ) (= （3）x y sin = )2sin()(π n x y n += （4）x y cos = )2 cos() (π n x y n += （5）x y ln = n n n x n y ----=)!1()1(1)( 两个函数乘积的n 阶导数有莱布尼兹公式 )()()] ()([0 )() () (x v x u C x v x u n k k n k k n n ∑=-= 其中)! (!!k n k n C k n -= ，)()()0(x u x u =，)()() 0(x v x v = 假设)(x u 和)(x v 都是n 阶可导 32 例1 设k x y =（k 正整数），求)(n y （n 正整数） 解：?? ?>≤+--=-k n k n x n k k k y n k n , 0, ,)1()1() ( 例2 设x x y n -=1，求)(n y （n 正整数） 解：)1(11 11)1(21++++--=-+-= --x x x x x x y n n n 1 )(1)() 1(! ])1[(+--= -=n n n x n x y 例3 设2 132 y x x =-+，求) (n y （n 正整数） 解：11)1()2(1 1 21)2)(1(1-----=---=--= x x x x x x y 22[(2)(1)]y x x --'=---- 33(1)(2)[(2)(1)]y x x --''=----- …… ()(1)(1)(1)![(2)(1)]n n n n y n x x -+-+=---- 例4 设x x y 4 4 cos sin +=，求) (n y （n 正整数） 解：2 2)22cos 1()22cos 1( x x y ++-= x x 4c o s 4143)2c o s 22(412 +=+= )2 4cos(4)24cos(4411)(ππn x n x y n n n +=+?=- 例5 设x e x y 23=，求) (n y （n 正整数） 解：用莱布尼兹公式 )(2)(30 ) ()()(k n x k n k k n n e x C y -=∑= 33 ) 3(2)2(2)1(22)(23)(66 ) 2)(1()(62)1()(3)(---??--+-+ +=n x n x n x n x e n n n e x n n e nx e x )]2)(1()1(6128[22323--+-++=-n n n x n n nx x e x n §2.2 微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。 [注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理] 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。 （甲）内容要点 一、罗尔定理 设函数)(x f 满足 （1）在闭区间[b a ,]上连续； （2）在开区间（b a ,）内可导； （3）)()(b f a f = 则存在),(b a ∈ξ，使得()0f ξ'= 几何意义：条件（1）说明曲线)(x f y =在))(,(a f a A 和))(,(b f b B 之间是连续曲线；[包括点A 和点B]。 条件（2）说明曲线)(x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线[不包括点A 和点B ]。 条件（3）说明曲线)(x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。 结论说明曲线)(x f y =在点A 和点B 之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。 34 二、拉格朗日中值定理 设函数)(x f 满足 （1）在闭区间[b a ,]上连续； （2）在开区间（b a ,）内可导 则存在),(b a ∈ξ，使得 ()() ()f b f a f b a ξ-'=- 或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<< 有时也写成000()()()(01)f x x f x f x x x θθ'+?-=+???<< 这里0x 相当a 或b 都可以，x ?可正可负。 几何意义：条件（1）说明曲线)(x f y =在点))(,(a f a A 和点))(,(b f b B 之间[包括点A 和点B ]是连续曲线： 条件（2）说明曲线)(x f y =[不包括点A 和点B ]是光滑曲线。 结论说明：曲线)(x f y = 在A ，B 之间[不包括点A 和点B ]，至少有点，它的切线与割线AB 是平行的。 推论1 若()f x 在(,)a b 内可导，且()0f x '≡，则()f x 在(,)a b 内为常数。 推论 2 若)(x f 和)(x g 在（b a ,）内可导，且'()()f x g x '≡，则在],[b a 内C x g x f +=)()(，其中C 为一个常数。 （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当)()(b f a f =特殊情形，就是罗尔定理） 三、柯西中值定理 设函数)(x f 和)(x g 满足： （1）在闭区间[a ，b ]上皆连续； （2）在开区间（a ，b ）内皆可导；且()0g x '≠，则存在),(b a ∈ξ使得 ()()() ()()()() f b f a f a b g b g a g ξξξ'-= <<'- （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形x x g =)(时，柯西中值定 35 理就是拉格朗日中值定理） ?? ?∈==],[) () (b a t t f y t g x 点))(),((a f a g A ，点))(),((b f b g B 曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线____ AB . 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理1（带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设)(x f 在0x 处有n 阶导数，则有公式 ) ()(! )()(!2)()(!1)()()(00)(2 00''00'0x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= （0x x →） 其中00()[()]()n n R x o x x x x =-→ 称为皮亚诺余项。 （0)() (lim 0=-→n n x x x x x R ） 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ，所以对常用的初等函数如)1ln(,cos ,sin ,x x x e x +和a x )1(+（α为实常数） 等的n 阶泰勒公式都要熟记。 定理2 （带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式） 设()f x 在包含0x 的区间(,)a b 内有1n +阶导数，在[,]a b 上有n 阶连续导数，则对 ],[b a x ∈，有公式 )()(!)()(!2)()(!1)()()(00)(2 00''00'0x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= 其中10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ， （ξ在0x 与x 之间）称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以0x 为中心的n 阶泰勒公式。00=x 时，也称为麦克劳林公式。 如果0)(lim =∞ →x R n n ，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 36 （乙）典型例题 一、用罗尔定理的有关方法 例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f . 试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'= 证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值M 和最小值m .于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故 M f f f m ≤++≤)]2()1()0([31 . 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得 1)]2()1()0([3 1 )(=++=f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[c ，3]上连续，（c ，3） 内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(?∈c ξ使得()0f ξ'=。 例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且? =13 2 )0()(3 f dx x f 求证：存在)1,0(∈ξ使0)('=ξf 证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3 c ∈，使得 ? -=13 2)3 2 1)(()(c f dx x f 得到 ? ==13 2)0()(3 )(f dx x f c f 对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(?∈c ξ，使()0f ξ'= 例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有? -=k x dx x f xe k f 10 1)()1(， 求证存在)1,0(∈ξ使1 ()(1)()f f ξξξ-'=- 证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k ∈使得)01)(()(11 01-=--?k c f ce dx x f xe c k x 37 令)()(1x f xe x F x -=，可知)1()1(f F = 这样1110 (1)(1)()()()x c k F f k xe f x dx ce f c F c --====? ，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理 （三个条件都满足）存在)1,0()1,(?∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()x x x F x e f x xe f x xe f x ---''=-+ ∴ 11 ()[()(1)()]0F e f f ξ ξξξξξ -''=--= 又01≠-ξξe ，则1 ()(1)()f f ξξξ '=- 在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(x F ，它与)(x f 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F ξ'=就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。 模型Ⅰ：设)(x f 在],[b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(==b f a f 则下列各结论皆成立。 （1）存在),(1b a ∈ξ使11()()0f lf ξξ'+=（l 为实常数） （2）存在),(2b a ∈ξ使1 222()()0k f k f ξξξ-'+=（k 为非零常数） （3）存在),(3b a ∈ξ使333()()()0f g f ξξξ'+=（)(x g 为连续函数） 证：（1）令)()(x f e x F lx =，在],[b a 上用罗尔定理 ∵ ()()()lx lx F x le f x e f x ''=+ ∴ 存在),(1b a ∈ξ使()()()011111 ='+='ξξξξξf e f le F l l 消去因子1 ξl e ，即证. （2）令()()k x F x e f x =，在],[b a 上用罗尔定理 1()()() k k k x x F x kx e f x e f x -''=+ 38 存在),(2b a ∈ξ使2 212222()()()0k k k F k e f e f ξξξξξξ-''=+= 消去因子k e 2 ξ，即证。 （3）令)()()(x f e x F x G =，其中()()G x g x '= () () ()()() ()G x G x F x g x e f x e f x ''=+ 由3()0F ξ'= 清去因子) (3ξG e ，即证。 例4 设)(x f 在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==f f ，1)2 1 (=f ，试证： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f 。 （2）对任意实数λ，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--= 证明：（1）令x x f x -=Φ)()(，显然它在[0, 1]上连续，又 021)21(,01)1(>=Φ<-=Φ，根据介值定理，存在)1,2 1 (∈η使0)(=Φη即ηη=)(f （2）令])([)()(x x f e x e x F x x -=Φ=--λλ，它在],0[η上满足罗尔定理的条件，故存在),0(ηξ∈，使()0F ξ'=，即 (){()[]}01=---'-ξξλξλξf f e 从而 ()[ ()]1f f ξλξξ'--= （注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l 取为λ-，)(x f 取为 x x f x -=Φ)()(） 模型Ⅱ：设)(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，（b a ,）内皆可导，且0)(=a f ，0)(=b g ，则存在),(b a ∈ξ，使 ()()()()0f g f g ξξξξ''+= 证：令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b F a F ，显然)(x F 在[b a ,]上满足罗尔定理的条 件，则存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'=，即证. 39 例5 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，0)0(=f ，k 为正整数。 求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+= 证：令k x x g )1()(-=，1,0==b a ，则0)0(=f ，0)1(=g ，用模型Ⅱ，存在 )1,0(∈ξ使得 1()(1)(1)()0k k f k f ξξξξ-'-+-= 故()(1)()0f kf ξξξ'-+= 则()()()f kf f ξξξξ''+= 例6 设)(),(x g x f 在),(b a 内可导，且()()()()f x g x f x g x ''≠，求证)(x f 在),(b a 内任 意两个零点之间至少有一个)(x g 的零点 证：反证法：设b x x a <<<21，0)(1=x f ，0)(2=x f 而在)(2,1x x 内0)(≠x g ， 则令) () ()(x g x f x F = 在],[21x x 上用罗尔定理 [12121212()() ()()0,()0,()0()() f x f x f x f x F x F x g x g x ==∴= === ] （不妨假设0)(,0)(21≠≠x g x g 否则结论已经成立） 则存在),(21x x ∈ξ使()0F ξ'=，得出()()()()0f g f g ξξξξ''-=与假设条件矛盾。所以在),(21x x 内)(x g 至少有一个零点 例7 设)(),(x g x f 在[b a ,]二阶可导，且()0g x ''≠，又0)()()()(====b g a g b f a f 求证：（1）在（b a ,）内0)(≠x g ； （2）存在),(b a ∈ξ，使 ()()()() f f g g ξξξξ''='' 证：（1）用反证法，如果存在),(b a c ∈使0)(=c g ，则对)(x g 分别在[c a ,]和[b c ,] 上用罗尔定理，存在),(1c a x ∈使1()0g x '=，存在),(2b c x ∈使2()0g x '=， 40 再对()g x '在[21,x x ]上用罗尔定理存在),(213x x x ∈使3()0g x ''=与假设条件()0g x ''≠矛盾。所以在),(b a 内0)(≠x g （2）由结论可知即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=，因此 令)()(')(')()(x f x g x f x g x F -=，可以验证)(x F 在[b a ,]上连续，在),(b a 内可导，0)()(==b F a F 满足罗尔定理的三个条件 故存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'= 于是()()()()0f g f g ξξξξ''''-=成立 二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例1 设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且lim ()x f x e →∞ '=，)]1()([lim )( lim --=-+∞→∞ →x f x f c x c x x x x 求c 的值 解：由条件易见，0≠c c c c x x x x x e e e x c x c c x c x 2)1()1(lim )(lim ==-+=-+-∞→∞→ 由拉格朗日中值定理，有 ()(1)()[(1)]()f x f x f x x f ξξ''--=--= 其中ξ介于)1(-x 与x 之间，那么 ) (lim )]1()([lim ∞→∞→∞ →=--ξx x x f x f ()f e ξ'= 于是e e c =2，12=c ，则2 1= c 例2 设)(x f 是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且0)1(=f ，又设0>M 是) (x f 在[1，2]上的最大值，证明：存在)2,1(∈ξ，使得()2f M ξ'≥。 证：由周期性可知0)2()1()0(===f f f ，不妨假定)2,1(0∈x 而0)(0>=M x f ， 对)(x f 分别在[1, 0x ]和[0x , 2]上用拉格朗日中值定理， 存在),1(01x ∈ξ，使得010()(1) ()1 f x f f x ξ-'= - ① 41 存在)2,(02x ∈ξ，使得020 (2)() ()2f f x f x ξ-'= - ② 如果)23, 1(0∈x ，则用①式，得010()()21 f x f M x ξ'=≥-； 如果03[ ,2)2x ∈，则用②式，得020 ()()22f x f M x ξ-'=≥-； 因此，必有)2,1(∈ξ，使得()2f M ξ'≥ 例3 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明： （Ⅰ）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f （Ⅱ）存在,(0,1)ηζ∈，ηζ≠，使()()1f f ηζ''= 证：（Ⅰ）令1)()(-+=x x f x g ，则)(x g 在[0, 1]上连续，且01)0(<-=g ， 01)1(>=g ，用介值定理推论存在)1,0(∈ξ，使0)(=ξg ，即ξξ-=1)(f （Ⅱ）在[0, ξ]和[ξ，1]上对)(x f 用拉格朗日中值定理，存在),0(ξη∈，使 得()(0)1()0f f f ξξ ηξξ --'= =- 存在(,1)ζξ∈，ηζ≠，使(1)()1(1)()111f f f ξξξ ζξξξ ---'===--- ∴ ()()1f f ηζ''?= 例4 设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，且()0f x '>，若极 限a x a x f a x --+ →) 2(lim 存在，证明： （1）在),(b a 内0)(>x f ； （2）在),(b a 内存在ξ，使 ) (2)(2 2ξξ f dx x f a b b a = -? ； （3）在),(b a 内存在与（2）中ξ相异的点η，使 42 222()()()b a f b a f x dx a ξηξ'-= -? 证：（1）因为a x a x f a x --+ →) 2(lim 存在，故0)2(lim =-+ →a x f a x ，由)(x f 在[b a ,]上连续，从而0)(=a f . 又()0f x '>知)(x f 在),(b a 内单调增加，故 ),(,0)()(b a x a f x f ∈=> （2）设)()()(,)(2b x a dt t f x g x x F x a ≤≤= =? ， 则()()0g x f x '=>，故)(x F ，)(x g 满足柯西中值定理的条件，于是在),(b a 内 存在点ξ，使 22 2()() ()()() ()()(())x b a x a a a F b F a b a x g b g a f t dt f t dt f t dt ξ ='--= = -' -? ??， 即 ) (2)(2 2ξξ f dx x f a b b a = -? （3）因)()(0)()(a f f f f -=-=ξξξ，在[ξ,a ]上应用拉格朗日中值定理，知在 (,)a ξ内存在一点η，使()()()f f a ξηξ'=-，从而由（2）的结论得 22 2()() ()b a b a f a f x dx ξ ηξ-= '-? ， 即有 2 2 2()()()b a f b a f x dx a ξηξ'-=-?. 三、泰勒公式（数学一和数学二） 例1 设)(x f 在[-1，1]上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ，1)1(=f ，(0)0f '=. 求证：)1,1(-∈?ξ，使3)(='''ξf . 证：麦克劳林公式 ()()()()()3 2! 3!2000x f x f x f f x f η'''+''+ '+= 其中[1,1]x ∈-，η介于0与x 之间。 ∵ (0)0f '= 2311(0)1 0(1)(0)(1)()(1)(10)2!6 f f f f ηη'''''=-=+ -+--<< 43 2322(0)1 1(1)(0)1()1(01)2!6 f f f f ηη'''''==+ ?+?<< 后式减前式，得12()()6f f ηη''''''+= ∵ ()f x '''在[21,ηη]上连续，设其最大值为M ，最小值为m . 则121 [()()]2 m f f M ηη''''''≤ +≤ 再由介值定理，)1,1(],[21-?∈?ηηξ 使121 ()[()()]32 f f f ξηη'''''''''= += 例2 设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上具有二阶导数，且()()0f a f b ''==，试证：在) ,(b a 内至少存在一点ξ，使 2 ()() |()|4 () f b f a f b a ξ-''≥- 成立。 分析：因所欲证的是不等式，故需估计()f ξ''，由于一阶泰勒公式 200001 ()()()()()()2 f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+ -，（其中ξ在x x ,0之间） 含有()f ξ''，因此应该从此入手. 再由()()0f a f b ''==知，应在 ],2 [],2, [b b a b a a ++两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的()f x '项，同时又能出现2 )(a b -项. 证：在]2, [b a a +与],2 [b b a +上分别用泰勒公式，便有 2111( )()()()()(),222!22a b a b b a a b f f a f a a f a ξξ++-+'''=+-+<< . 2221( )()()()()(),222!22 a b a b b a a b f f b f b b f b ξξ++-+'''=+-+<<. 两式相减，得 |)('')(''|)(81 |)()(|212ξξf f a b a f b f --=- |))(''||)(''(|2 1 )(41212ξξf f a b +-≤ 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin + sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + ++→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - --→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值. 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 第五章一元函数积分学 5.1 原函数和不定积分的概念 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。 例：，sinx是cosx的原函数。 Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。 原函数存在定理： 如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。 简言之：连续函数一定有原函数。 问题：（1）原函数是否唯一？ （2）若不唯一它们之间有什么联系？ 例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx （C为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。 （2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x） =f（x）=f（x）=0 ∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数） 不定积分的定义： 函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。 ,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。 例：求。 【答疑编号11050101】 解： 例：求。 【答疑编号11050102】 解： 积分曲线 例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。 【答疑编号11050103】 解：设曲线方程为y=f（x）, 根据题意知 即f（x）是2x的一个原函数。 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为y =x2+1。 函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。 不定积分的性质 １. 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式: d ()d y f x x '= 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下： 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 一元函数积分知识点完整版 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知?+=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 一．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在 ]1,0[上连续，A dx x f =?20)cos (π，则 ==?π 20)cos (dx x f I _______。 二．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑?=∞→--+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑?=∞→---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑=∞→+=n i n i n n i n w 12tan lim 三．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 四．考察分项积分方法 讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。 问题6： 求下列不定积分： dx x x ?++2cos 1cos 12 五．考察定积分的分段积分方法 讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。 问题7： 计算以下定积分： {}?-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x 六．考察不定积分的分段积分方法 讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。 问题8： 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F 第二章一元函数微分学 导数的概念 定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)?f(xo),若果极限 点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。处不可导. 下面是两种等价形式： f'(Xo)= __________________ = ___________________ ? 当 Xo =0,W: r (0)= _____________ , 如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—. f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= ? 注意：f'(xo)工［f(x°)y ■.? /(兀0 +山)一/(旺) 如果y=f(x)在点X 。及其左侧邻域内有定义，当hm —T — 存在时，则称该极值为f(x)在点X 。处的 ______ 记为—.同理，定义右导数 性质 函数y=f(x)在点x 0处可导 ________ 左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_? 可导函数与连续性的关系 函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式). 导数的运算 3.1基本初等函数的导数公式 c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________ (e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________ (sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________ (cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________ 存在,则称此极限值为函数沪f(x)在 2. 常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +一元函数微分学典型例题
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