全国高考数学复习微专题：直线与圆位置关系

直线与圆位置关系

一、基础知识：

1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：

()

()2

2

2x a y b r -+-=

3、圆的一般方程：圆方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++= （1）2

2

,x y 的系数相同 （2）方程中无xy 项

（3）对于,,D E F 的取值要求：22

40D E F +->

4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式： （1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离

（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：0Ax By C ++=，圆：2

2

0x y Dx Ey F ++++=，则：

22

Ax By C x y Dx Ey F ++=??++++=?消去y 可得关于x 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① 0?>，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0?=，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ 0?<，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交：

弦长计算公式：2AB AM == 6、直线与圆相切：

（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆

心到切线的距离等于半径

例：已知圆的方程为：2

2

4x y +=

及圆上一点(P ，求过P 的圆的切线

方法一：利用第一条性质：OP k =

k = ∴

切线方程为：)13

y x -=-

-

，整理后可得：4x += 方法二：利用第二条性质：设切线方程l

为：()1y k x -=-

即kx y k -+-

2O l d r -∴=

==

整理可得：)

2

2

31010k ++=?

+=

解得：3

k =-

):143

l y x y ∴-=-

-?+= （2）圆上点的切线结论：

① 圆222

x y r +=上点()00,P x y 处的切线方程为200x x y y r +=

② 圆

()

()2

2

2x a y b r -+-=上点

()

00,P x y 处的切线方程为

()()()()200x a x a y b y b r --+--=

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）

7、与圆相关的最值问题

（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N 为PC 延长线与圆的交点

（2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式

为

AB =AB 最小，则d 要取最大，在圆中CP 为定值，

在弦绕P 旋转的过程中， d CP ≤，所以d CP =时，AB 最小 （3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于N

（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM

解：PM =

PM 最小，则只需CP 最小即可，

所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时，CP 最小

∴过P 作圆的切线，则切线长PM 最短

8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含

（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,O O 的半径为12,r r ，12OO d = ① 12d r r >+?12,O O e e 外离 ② 12d r r =+?12,O O e e 外切

③ 1212r r d r r -<<+?12,O O e e 相交 ④ 12d r r =-?12,O O e e 内切 ⑤ 12d r r <-?12,O O e e 内含

（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。

N

二、典型例题：

例1：已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2

2

14x y a -+-=相交于,A B 两点，且

ABC V 为等边三角形，则实数a =（ ）

A. 3±

B. 1

3

± C. 1或7

D. 4±思路：因为ABC V 为等边三角形且C 为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的

C 到AB

，由圆方程可得：()1,C a ，所以利用点到直线

距离公式可得：()()2

22231C AB d a a -==?-=+

，解得：4a =±答案：D

例2：圆心在曲线()2

0y x x

=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A. ()()2

2

125x y -+-= B. ()()2

2

215x y -+-= C. ()()2

2

1225x y -+-= D. ()()2

2

2125x y -+-= 思路：不妨设圆心2,

a a ??

???

，其中0a >，半径为r ，因为直线与圆相切，所以

有d r =

=，若圆的面积最小，则半径最小，

则221r a a ?==++??

21??≥?=???

，

即min r =，此时1a =，所以圆方程为：()

()2

2

125x y -+-=

答案：A

例3：设点(),1M m ，若在圆2

2

:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=o

，则m 的取

值范围是（ ）

A. ??

B. 11,22??

-???? C. []2,2-

D. ?

???

思路：由圆的性质可知：圆上一点T ，与,M O 所组成的角OMT ∠，当MT 与圆相切时，

OMT ∠最大。所以若圆上存在点N ，使得30OMN ∠=o ，则30OMT ∠≥o 。由()

,1M m 和2

2

1x y +=可知过M 且与圆相切的一条直线为1y =，切点()0,1T ，所以在直角三角

形OMT 中，tan 3

OT OMT TM

=≥

，从而TM m ≤?≤≤答案：A

例4：设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22

111x y -+-=相切，则

m n +的取值范围是（ ）

A. 1?+?

B. (),11?-∞-++∞?

U

C. 2?-+?

D. (),22?-∞-++∞?U

思路：通过圆方程可知圆心()1,1C ，半径1r =，因为直线与圆相切，所以

()()()2

2

2

111C l d m n m n -=

=?+=+++，整理后可得：

1mn m n =++，即11m n m +=

-，所以12

1211

m m n m m m m ++=+=-++--，进而由“对

勾函数“性质可知(

)

,22m n ?+∈-∞-++∞?

U

答案：D

小炼有话说：本题由于m R ∈，所以对于2

121

m m -++-不能使用均值不等式，而要通过换元转换为常见函数求得值域

例5：若圆2

2

44100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:l y kx =的距离为

l 斜率的取值范围是___________

思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k 找到联系。通过图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：()()2

2

2218x y -+-=，即圆心

为()2,2，半径r =，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l 距离为

心到直线的距离应小于等于

，所以C l d -=

≤，即解不等式：

()

()2

22221k k -≤+，解得：2k ?∈-+?

答案：23,23??-+??

例6：直线y x m =+与圆2

2

16x y +=交于不同的两点,M N ，且3MN OM ON ≥+u u u u r u u u u r u u u r

，

其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（ ）

A. (

)

22,22,22??--??

U B. (

)

42,2222,42??--??

U

C. []2,2-

D. 22,22??-?

?

思路：不妨设MN 的中点为A ，则可知2OM ON OA +=u u u u r u u u r u u u r ，从而23MN OA ≥u u u u r u u u r

，在圆2216x y +=中，可知OA 为圆心O 到MN 的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距

的关系可得：2

22

1162MN OA r ??+== ???

，代入23MN OA ≥u u u u r u u u r 可得：

(

)

2

2

316OA

OA +≤，解得：2OA ≤，即22

O MN m

d -=

≤，所以22,22m ??∈-??

答案：D

例7：在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()2

2

:32C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，

,AP AQ 分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 的取值范围是（ ）

A. 14,23??

???? B. 214,223?????? C. 14,23????? D. 214,223????? 思路：如图设,AC PQ 交于M ，则有2PQ PM =，只需确认PM 的范围即可，由圆方程可得2r =，设PCM θ∠=，

所以sin 2sin PM PC θθ==

，在Rt PCA V 中，可得：2

22

2sin 1AC r AP AC

AC

AC

θ-=

=

=-

，所以

PM =2

221AC

?-

，下面确定2

AC 的范围。设(),0A x ，因为()0,3C ，所以

[)

2

299,AC x =+∈+∞，从而解得

14,23PM ??

∈???

?。则

23PQ PM ?=∈?? 答案：B

例8：已知圆()()2

2

:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =下面四个命题： （1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；

（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切; （4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________

思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半径的大小关系：由圆M 方程可知圆心()cos ,sin M θθ-，半径为1，所

以

M l d -=

，为了便于计算，不妨比较2

M l d -与1的大小关系，从而有：

()

2

222222

22

cos sin 1

cos 2sin cos sin 1

11

1

M l

k k k k k d

k k θθθθθθ-+--+?+---=

=++ ()()()

2

2

2

22

2

1cos 2sin cos 1sin sin cos 01

1

k k k k k θθθθθθ--?+-?-=-

=-

≤++

所以对任意的实数,k θ，直线l 和圆M 有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；

（3）（4）与相切有关，所以考虑2

1M l d -=，由上式可得：sin cos k θθ?=①，从而可得，

对于任意的实数θ，不一定会存在k ，使得等式成立。例如sin 0θ=时，①不成立；但对于任意的k ，总有cos 1

sin tan k θθθ

=

=

，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，综上所述，正确的是（2）（4）

思路二（数形结合）：通过观察()cos ,sin M θθ-，可知M 为单位圆上的点。则必有1OM =，

又因为M e 的半径为1，所以可得M e 过原点。而直线:l y kx =过定点()0,0，所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为()0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意的一个圆M ，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）

正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心M 位于x 轴上时，此时切线为y 轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为y kx =的形式。所以（3）错误 答案：（2）（4）

例9：:设)1,0(),0,1(B A ，直线,:ax y l =圆()1:2

2

=+-y a x C .若圆C 既与线段AB 又

与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．

思路：本题a 的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C 与l 有公共点：由圆方程可知圆的圆心为(),0a ，半径1r =

，若圆与直线有公共点，则4211C l d a a -=

≤?≤+，解

得：2

10,2a ?+∈???

，所以a ??∈??。另一方面，考虑圆C 与AB 有公共点，因为该圆半径不变，圆心在x 轴上移动，所以可根据a 的符号进行分类讨论：0a =显然成立，当0a >时，由图像可知圆心的最远端为在A 的右侧且到A 的距离为1，即02a <≤，当0a <时，可知圆最左端的位置为与线段AB 相切的情况，:10AB x y +-=，

所以1C AB d -=

=，

解得：1a =

所以10a -≤<，综上所述：圆与线段AB

有公共点时，12a -≤≤

，从而12

1a a a ?≤≤??-≤≤?≤≤??

答案：1???? 例10：已知ABC ?的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ． （1）求圆H 的方程；

（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；

（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围

解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中抓住()()1,0,1,0A B -，关于y 轴对称。从而得到圆心在y 轴上，设其坐标为()0,H y 再

根据BH CH =，即可解出y 值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程 由ABC ?外接圆为圆H 可得：

H 在AB 垂直平分线上 ()()1,0,1,0A B -Q H ∴在y 轴上 设()0,H y

BH CH =Q ()222

22132BH CH y y ∴=?+=+-，解得：

3y = ()0,3H ∴

r BH ==()2

2:310H x y ∴+-=e

（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过C 从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可

设():23230l y k x kx y k -=-?-+-= 由弦长为2

和r =

可得：3H l d -=

=

()()2

231391H l d k k -=

=?+=+，解得：43

k =

()4

:2343603

l y x x y ∴-=

-?--= 当斜率不存在时，:3l x =，联立方程：()2233

310,423

x x x y y y x ?==??+-=?????===????

∴弦长为2，符合题意

综上所述：l 的方程为4360x y --=和3x =

（3）思路一：（代数方法）由,B H 坐标可求出BH 的方程：330x y +-=，其线段上一点(),P m n ，设(),N x y ，则中点,2

2m x n y M ++??

???，由,M N 在圆C 上可得（设圆C 的半径为r ）：()()222

222

32322

2x y r m x n y r ?-+-=?

?++????-+-=?

? ??????，则存在,M N 即方程组有解。方程组中的

方程为两个圆()()()()2

2

2

2

2

2

32,644x y r x m y n r -+-=+-++-=，只需两个圆有公

共点即可。所以

3r r ≤

≤，再由330m n +-=整理后可

得：222

1012109r m m r ≤-+≤对任意[]0,1m ∈恒成立。可得：2232

5910r r ?≤???≥?

，

再有线段BH 与圆C 无公共点，即()()22

232m n r -+->在[]0,1m ∈恒成立。解得：2

32

5

r <

，从而21032

95

r ≤<，即可求得r 的范围 解：()()1,0,0,3B H Q ∴BH 的方程为：13303

y

x x y +=?+-= 设(),P m n P Q 在线段BH 上

330m n ∴+-=且[]0,1m ∈ 33n m ∴=-

设(),N x y M Q 为PN 中点 33,,2222m x n y m x m y N +++-+????

∴=

? ?????

设圆()()2

2

2

:32C x y r -+-=，由,M N 在圆上可得：

()()222

22232333222x y r m x m y r ?-+-=?

?+-+????-+-=? ? ??

????，整理后可得： ()()()()22

2222

326314x y r x m y m r

?-+-=?

?+-+--=??，若,M N 存在，则方程组有解 即圆心为()3,2C ，半径为r 的圆与圆心为()'

6,31C m m -+，半径为2r 的圆有公共点

根据两圆位置关系可知：'22r r CC r r -≤≤+，即：

3r r ≤≤在[]0,1m ∈恒成立

()()22

223319r m m r ∴≤-+-≤，整理后可得：

22221012109101210r m m r m m ?≤-+??≥-+??在[]0,1m ∈恒成立 ()()22

min

22

max 1012109101210r m m r m m ?≤-+?∴?≥-+??

设()2

23321012101055f m m m m ?

?=-+=-+ ??

?

()32,105f m ??

∴∈????

22232

1032595910

r r r ?≤

?∴?≤≤??≥?

r ≤≤ 若M 为PN 中点，则P 在圆C 外

()()2232m n r ∴-+->即()()22

2331m m r -++>在[]0,1m ∈恒成立

(

)

22min

321012105r m m r ∴<-+=

?<

综上所述：3

5r ∈?? 思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段BH 上任意一点P 均满足题意，则需达到两个条件：第一，P 在圆外，可先利用坐标判定出,CBH CHB ∠∠为锐角，从而C 在BH 上的投影位于线段BH 上，

所以C BH r d -<；第二，P 到圆上点的最小距离（记为min d ）应小于或等于到圆上点最大距离（记为max d ）的一半，即min max 1

2

d d ≤

，否则，若min max 1

2d d >当圆上取其他,M N 点时，min max ,PM d PN d ≥≤，

由不等式的传递性可知：1

2

PM PN >，M 不可能为PN 中点。因为P 在圆外，所以可知在圆上任意一点中，

min d PC r =-，max

d PC r =+，代入可得3PC r ≤恒成立。综上max

3C BH

r d r PC -

≥??即可求出r 的范围

解：()()()1,0,0,3,3,2B H C ，若对任意P 点，已知条件均满足 则P 在C e 外

()()()()1,3,2,2,1,3,3,1BH BC HB HC =-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r

0,0BH BC HB HC ∴?>?>u u u r u u u r u u u r u u u r

∴,CBH CHB ∠∠为锐角

∴C 在BH 上的投影位于线段BH 上

C BH r d -<=

=

依题意，若对任意P 点，均存在,M N 使得1

2

PM PN =

设P 到圆上点的最小距离为min d ，到圆上点最大距离为max d ，则有：

min max 1

2

d d ≤

否则若min max 1

2d d > min max ,PM d PN d ≥≤Q

1

2

PM PN ∴>，导致不存在满足条件的,M N

P Q 在圆外 min max ,d PC r d PC r ∴=-=+，代入可得： ()1

32

PC r PC r PC r -≤+?≤ ()max 1

3

r PC ∴≥

由图可知：CH =

=Q BC =

=

CH BC ∴> 即max PC CH ==

3

r ∴≥

综上所述：35r ∈??

三、历年好题精选

1、设圆2

2

:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得

60OPQ ∠=o （O 为坐标原点），则0x 的取值范围是（ ）

A. 1,12??-????

B. 60,5??

????

C. []0,1

D.

2、已知()()(){}(){}2

2,|11,,|A x y x x y y B x y x

y a =

-≤-=+≤，若A B ?，则实数a

的取值范围是（ ）

A. (

B. 1

,2??

+∞???? C. [)2,+∞ D. ,2?

+∞????

3、（2015，广东）平行于直线210x y ++=且与圆22

5x y +=相切的直线的方程是（ ）

A. 20x y -+=或20x y --=

B. 20x y ++=或20x y +-=

C. 250x y -+=或250x y --=

D. 250x y ++=或250x y +-= 4、（2015，江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线

()210mx y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

5、（2014，湖北）直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆2

2

:1C x y +=分成长度相等

的四段弧，则22

a b +=_______

6、（2014，全国卷）直线1l 和2l 是圆2

2

2x y +=的两条切线，若1l 与

2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 夹角的正切值等于_______

7、(2016，吉安一中高三期中)已知圆

C ：

222(62)4560x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,1)，若

对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为________ 8、已知()(),0M a b ab ≠是圆2

2

2

:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m

和直线2

:l ax by r +=，则（ ）

A. m l ∥，且l 与圆相交

B. m l ⊥，且l 与圆相交

C. m l ∥，且l 与圆相离

D. m l ⊥，且l 与圆相离

9、（2015，广东）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点

,A B

（1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.

习题答案： 1、答案：B

解析：依题意可知2

22

00

OP x y =+，由()00,P x y l ∈可得：0

063

x y -=。 Q OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值

若OP 变长，则OPQ ∠的最大值将变小

∴当60OPQ ∠=o 且PQ 与圆相切时，2PO =

若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=o

，则2PO ≤

00220

0634

x y x y -?=?∴??+≤?，解得：060,5x ??∈????

2、答案：C

解析：22

2

2

111:0222A x x y y x y ?

???-+-≤?-+-≤ ? ??

???即A 为以11,22?? ???

2为半径的圆A 的内部，集合B 为圆心在原点，

的圆B 的内部。则A B ?表示圆A 在圆B 的内部，在坐标系中作出圆A ，数形结合即可得到圆B

半径的范围为)

+∞，则

a 的范围为[)2,+∞

3、答案：D

解析：由平行关系可设切线方程为20x y c ++=

，则d ==，解得：5c =±，所

以切线的方程为250x y ++=或250x y +-= 4、答案：()2

2

12x y -+=

解析：方法一：()()210210mx y m x m y ---=?--+=可知动直线过定点()2,1-，

，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以

r =()2

212x y -+=

方法二：

由相切可知

r =

=

=≤，所以半径最大的圆方

程为()2

212x y -+= 5、答案：2

解析：由直线方程可知12l l ∥，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为

2

π

，所以1

2

2O l O l d d --==

，所以1

2

22O l O l d d --?==????==??

解得1a b ==，所以222a b += 6、答案：

4

3

解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设()1,3P

，则

PO =

r =

sin 5

BO BPO PO ∠=

=，所以

可

得

1

tan 2

BPO ∠=

，则所

求

22tan 4

tan tan21tan 3

BPO BPA BPO BPO ∠∠=∠==

-∠

7、答案：230x y +-=

解析：圆标准方程：()()2

2

329x m y m -++-=，圆心为()3,2C m m -，半径为3，可知C 在直线26y x =-+。点(1,1)到直线26y x =-+

的距离3d =

=

<，所以过(1,1)且与26y x =-+平行的直线与圆相交，因为圆的半径3r =，所以截得的弦长为定值。所以2k =-，即():121230l y x x y -=--?+-=

8、答案：C

解析：由圆的性质可知可知中点弦与OM 垂直，所以斜率1OM

b

k k a

=-

=-，中点弦m 方

程为：()22a

y b x a ax by a b b

-=-

-?+=+，可得m l ∥，另一方面

，2O l d -=

，因为(),M a b 在圆内，所

以

r <，所

以

22

2

O l d r a b

-=

>+，直线l 与圆相离

9、解析：（1）圆()2

2

2

2

1:65034C x y x x y +-+=?-+=

∴圆心坐标为()3,0

（2）设(),M x y ，则可知1C M AB ⊥

1113C M AB

y y k k x x ∴?=-??=--，整理可得：2

23924x y ?

?-+= ??

?

当动直线与圆相切时，设直线方程：y kx =

则()2222650

1650x y x k x x y kx ?+-+=?+-+=?=? ()2243620105

k k ∴?=-+=?=

∴切点的横坐标为2165213

x k =

?=+ 由圆的性质可得：M 横坐标的取值范围为5,33?? ???

所以轨迹方程为2

2393,,3245x y x ????

-+=∈ ? ?????

（3）由（2）可得曲线C 为圆2

2395,,3243x y x ????

-+=∈ ? ?????

的一部分圆弧EF （不包括,E F ），其中

525525,,,3333E F ????- ? ?????

直线():4L y k x =-过定点()4,0

① 当直线与圆相切时：25

33224

1

C l k d k k -=

=

?=±+ ② 当直线与圆不相切时，可得250253543DE

k -==--，2503255743

DF k ??-- ???==-

数形结合可得：当7

7k ?∈-

???时，直线与圆有一个交点

综上所述：33,7744k ???

∈--?????

??U 时，直线L 与曲线C 只有一个交点

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

冲刺高考 复习必备 2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 倾斜角与斜率 例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030 【答案】 A 【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为3 3 - =k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3 3 tan -=α，∴?=150α． 故选：A ． 【易错点】基础求解问题注意不要算错 【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2 π ，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练 例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9 2=a 【解析】5 97,35a k a k CB AB += -= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即 59735a a += -，解得2=a 或9 2 =a ． 题型二 直线方程 例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）． A. 2x y += B. 1x y += C. 1x =或1y = D. 2x y +=或x y =

【答案】D 【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m +=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。 题型三 直线位置关系的判断 例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ） A. 2-或1- B. 2或1- C. 2-或1 D. 2或1 【答案】D 【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为2 3201k k k -+=?= 或2 故选择D 【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在 若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题 【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解 题型四 对称与直线恒过定点问题 例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________． 【答案】()2,2- 【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++?? ??? ，

高考理科数学常考题型训练考点一直线与圆

第11题 考点一 直线与圆 1、P 为圆221x y +=上任一点，则P 与点(3,4)M 的距离的最小值是（ ） A ．1 B ．4 C ．5 D ．6 2、已知圆22:40C x y mx ++-=上存在两点关于直线30x y -+=对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定 3、若x y 、满足2 2 24200x y x y +--=+，则2 2 x y +的最小值是（ ） A 5 B ．5 C ．30- D ．无法确定 4、直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[2,6] B ．[4,8] C ． D ． 5、在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6、在圆225x y x +=内，过点53,22?? ??? 有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首 项1a ，最大弦长为n a ，若公差11,63d ?? ∈???? ，那么n 的取值集合为（ ） A.4,5,{6,7} B.{4,5,6} C.3,4,{5,6} D.3,4,5{,6,7} 7、过点(1,)1-的圆2224200x y x y +---=的最大弦长与最小弦长的和为( ) A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8、设直线过点()0,a ，其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为( ) A ．B ．2± C ．± D ．4± 9、已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）

(完整版)高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；

高三数学考前知识点赏析-直线与圆

高三数学考前知识点赏析 直线和圆（续） 9、简单的线性规划： （1）二元一次不等式表示的平面区域： ①已知点A （—2，4），B （4，2），且直线:2l y kx =-与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是__________（答：(][)31∞∞－，－，＋） ②已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A (0,1) B (0,5) C [1,)+∞ D [1,5) （2）线性规划问题中的有关概念： （1）实数x 、y 满足不等式组250 350251x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? ，则22(1)(1)x y +++的最小值：13 要首先比较 ||||PA PH 与大小或者评估垂足H 落在A 点的上方还是下方。 （2）点（－２，t ）在直线2x －3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_________（答：23t > ）； （3）不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积是_________（答：8）； （4）已知抛物线22(0)x py p =->上一点p 到直线 3x+4y-12=0 最小距离是1, 求抛物线方程。 2112.9x y =- 本题处理2 123125t d t p =--的绝对值符号时，利用了线性规划中区域概念，避开了分情 况说明的麻烦。 10、圆的方程： （1）过(1,2)总能作出两条直线和已知圆2222150x y kx y k ++++-=相切，求k 的取值范围 （2）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ （3）已知圆04422 2=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b= （4）设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为 _________ 83(3)(2,k ∈-); C;[0，2]；4;22(1)2x y -+=）；B; A;81125； 11、点与圆的位置关系： ①从圆22 2210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A ．12 B ．35 C ．0 12、直线与圆的位置关系： （1）直线0ax by b a ++-=与圆2230x y x +--=的位置关系是( ) A ．相交 B 相离 C 相切 D 与a 、b 的取值有关 （2）若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆22 4280x y x y +---=的周长，则12a b +的最小值 10、圆的方程： （1）过(1,2)总能作出两条直线和已知圆2222150x y kx y k ++++-=相切，求k 的取值范围

高考数学专题直线和圆练习题

专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。

解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当30,b>0） ∴)0,(a A 、),0(b B 。 ∵⊥ ∴b a b a 2100)4()4()2()2(-=?=-?-+-?- ∵a>0 0

高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x

2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆

2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））设 m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=m x n y ++-与圆 22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是 （ ） A ．[1 B ．(,1)-∞∞ C ．[2- D ．(,2)-∞-∞ 2 ．（2012年高考（浙江理））设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0 平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222 =+y x 的位置关系一定是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直 线过圆心 4 ．（2012年高考（陕西理））已知圆2 2:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 5 ．（2012年高考（大纲理））正方形ABCD 的边长为1,点 E 在边AB 上,点 F 在边BC 上,3 7 AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 二、填空题 6 ．（2012年高考（天津理））如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的 延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点 F ,=3AF ,=1FB ,3 = 2 EF ,则线段CD 的长为______________. 7 ．（2012年高考（浙江理））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2 +a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x 2 +(y +4) 2 =2到直线l :y =x 的距离,则实数a =______________. 8 ．（2012年高考（上海理））若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 __________(结果用反三角函数值表示). 9 ．（2012年高考（山东理））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 D

高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0, )2 π θ∈时，0k ≥； （2）2 πθ=时，k 不存在；（3）( ,)2 π θπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0? 增加到90? 时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90? 增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式： 1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式： 1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点 00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d = （3）平行线间的距离： 10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所 有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：2 2 2 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：2 2 0x y Dx Ey F ++++=（22 40D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θ θ =+?? =+?（θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222 ()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆2 2 2 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d =R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆可判断直线与圆相交．

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目（附答案） 一、两直线的位置关系 1．求直线斜率的基本方法 (1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1 x 2－x 1. 2．判断两直线平行的方法 (1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2?l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法 (1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1?l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. 1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)； (2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 解①②组成的方程组得??? a ＝2， b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，

即4 b ＝－(－b )．④ 由③④联立，解得??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ，b ＝2. 经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ??? a ＝2， b ＝－2或????? a ＝23 ， b ＝2. 注： 已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 (1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去． (2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D. 3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0 D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝3 2.故选A. 二、直线方程 1．直线方程的五种形式

高考数学复习直线与圆的位置关系

7.6 直线与圆的位置关系 ●知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基 1.设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d = 2 1m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=2 1（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C 2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为 22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6. 答案：A 3.圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一： x 2+y 2－4x =0

高考数学直线与圆

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练] 一、选择题 1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3 3或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2 ＋(－1) 2 ＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D. 2．(2019·宁波模拟)直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：选C 因为圆心(0,0)到直线的距离为d ＝ |23|3＋1 ＝3，圆的半径为2， 所以可知直线截圆所得弦长为2，所以可知该直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为π 3，故选C. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直 线l 的距离等于22，即有 1 k 2＋(－1) 2＝2 2，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”

的充分不必要条件． 4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有() A．2个B．3个 C．4个D．6个 解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线 相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－1 4；若l2∥l3，则m的值不存 在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－5 3.故实数m的取值最多有4个，故 选C. 5．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝() A.1 4 B. 3 4 C．1 D.4 3 解析：选B设直线AC的倾斜角为β，直线AB的倾斜角为α， 即有tan β＝tan 2α＝ 2tan α1－tan2α . 又tan β＝1 a，tan α＝ 1 2， 所以1 a＝ 2× 1 2 1－ 1 4 ，解得a＝ 3 4. 6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是() A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2

高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)

专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。

4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 （4）圆C 1关于点P 对称的圆C 2：两圆圆心关于点P 对称，且半径相等。

高考数学专题复习直线与圆

高考数学专题复习直线 与圆 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

2017高考数学专题复习:直线与圆 直线方程： 直线名称已知条件直线方程使用范围 点斜式()k y x P, , k存在 斜截式b k,k存在 两点式()()2 2 1 1 , , ,y x y x 2 1 2 1 ,y y x x≠ ≠ 截距式()()b a,0 , 0,0 ,0≠ ≠b a 一般式R C B A∈ , , 1.倾斜角定义: 取值范围：斜率定义：= k== 2 1 //l l? 2 1 l l⊥? 2.平面两点()()2 2 1 1 , , ,y x B y x A距离：，空间两点()()2 2 2 1 1 1 , , , , ,z y x B z y x A距离： 3.点()0 ,y x P到直线0 := + +C By Ax l的距离为： 4.两平行线 ? ? ? = + + = + + 2 1 C By Ax C By Ax 之间的距离： 5.直线系方程:过两直线0 : ,0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + = + +C y B x A l C y B x A l交点的直线满足 方程 1.写出下列直线的方程 （1）倾斜角为, 450在y轴上的截距为3 角度000 300 600 1350 150 弧度 4 π 2 π 3 2π 斜率

（2）在x 轴上的截距为,5-在y 轴上的截距为6 （3）经过点(),2,1-倾斜角为0120 （4）经过两点()()5,4,3,1-B A （5）经过点(),3,2-且在两坐标轴截距相等 2.求过点(),4,1-且与直线0532=++y x 平行的直线方程 3.求过点(),1,2且与直线0103=-+y x 垂直的直线方程 4.直线l 过点(),2,1-且斜率是直线023=+-y x 斜率的四倍l ,方程为 5.直线l 过点(),1,2-且倾斜角是直线023=+-y x 倾斜角的四倍l ,方程为 6.直线l 过点(),1,2-且倾斜角是直线032=--y x 倾斜角的两倍l ,方程为 7.点M 是直线033:=--y x l 与x 轴的交点,求把直线l 绕点M 逆时针方向旋转045得到的 直线方程 8.(1)直线()()063223=-+++-t y t x t 恒过定点坐标为 (2)求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且平行于直线0743=-+y x 的 直线方程 9.当=a 时，两直线1:,22:21+=++=+a y ax l a ay x l 平行 10.求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 6 5 的直线的方程 11.求点到直线距离：

2020年高考数学试题分类汇编——直线与圆选择

2020年高考数学试题分类汇编——直线与圆选择 一、选择题 〔2018江西理数〕8.直线3y kx =+与圆()()22 324x y -+-=相交于M,N 两点，假设23MN ≥么k 的取值范畴是 A. 304??-????， B. []304??-∞-+∞????，， C. 3333?-???， D. 203??-????， 【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合 的运用. 解法1：圆心的坐标为〔3.，2〕，且圆与y 轴相切.当|MN |3=时，由点到直线距离公式，解得3[,0]4 -； 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取+∞， 排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A 〔2018安徽文数〕〔4〕过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 〔A 〕x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 〔D 〕x+2y-1=0 4.A 【解析】设直线方程为20x y c -+=，又通过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，因此设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也能够用验证法，判定四个选项中方程哪一个过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行. 〔2018重庆文数〕〔8〕假设直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+?? =?〔[0,2)θπ∈〕有两个不同的公共点，那么实数b 的取值范畴为 〔A 〕(22,1)- 〔B 〕[22,22] 〔C 〕(,22)(22,)-∞++∞ 〔D 〕(22,22)-+ 解析：2cos ,sin x y θθ =+??=?化为一般方程22(2)1x y -+=，表示圆， 21,2b -<解得2222b <<

高考数学《直线与圆》试题汇编

2008年全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所 成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ．15 D ．13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为－1 3 ，则点B 分有向线段PA u u u r 所成的比是 （ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ． 12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范围为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ）

高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇 《直线与圆》篇 经 典 试 题 大 汇 总

目录 【题型归纳】 题型一倾斜角与斜率 (3) 题型二直线方程 (3) 题型三直线位置关系的判断 (4) 题型四对称与直线恒过定点问题 (4) 题型五圆的方程 (5) 题型六直线、圆的综合问题 (6) 【巩固训练】 题型一倾斜角与斜率 (7) 题型二直线方程 (8) 题型三直线位置关系的判断 (9) 题型四对称与直线恒过定点问题 (10) 题型五圆的方程 (11) 题型六直线、圆的综合问题 (12)

高考数学《直线与圆》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 倾斜角与斜率 例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0150 B. 0120 C. 060 D. 030 【答案】 A 【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为3 3 - =k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3 3 tan - =α，∴?=150α． 故选：A ． 【易错点】基础求解问题注意不要算错 【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2 π ，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练 例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9 2=a 【解析】5 97,35a k a k CB AB += -= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a += -，解得2=a 或9 2 =a ． 题型二 直线方程 例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）． A. 2x y += B. 1x y += C. 1x =或1y = D. 2x y +=或x y = 【答案】D 【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m +=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．