2016年上海市闵行区中考数学一模试卷

2016年上海市闵行区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE ∥BC的是（）

A．=B．=C．=D．=

2．（4分）将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）

A．y=（x﹣1）2+1B．y=（x+1）2+1C．y=（x﹣1）2﹣3D．y=（x+1）2+3

3．（4分）已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）

A．B．C．D．

4．（4分）抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）

A．a＞0，b＞0，c=0B．a＞0，b＜0，c=0C．a＜0，b＞0，c=0D．a＜0，b＜0，c=0

5．（4分）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）

A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m2

6．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）

A．3次B．4次C．5次D．6次

二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）

7．（4分）如果，那么=．

8．（4分）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．9．（4分）已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是厘米．

10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=．

11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=．12．（4分）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为．

13．（4分）过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=，=，那么=．

14．（4分）方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴是直线．

15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．16．（4分）已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于厘米．

17．（4分）闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

18．（4分）将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分）

19．（10分）如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．

20．（10分）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．

21．（10分）如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边

AB的中点，设=，=．

（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）

（2）画出向量分别在，方向上的分向量．

22．（10分）如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E 四点在同一条直线上）．

已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．

23．（12分）如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB 上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．

（1）求证：EB?BD=BM?AB；

（2）求证：AE⊥BE．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．

（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C 为菱形，求点P的坐标．

（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

25．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD 交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．

（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；

（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．

2016年上海市闵行区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1．（4分）（2016?闵行区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）

A．=B．=C．=D．=

【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．

【解答】解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；

∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；

∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；

=，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

2．（4分）（2016?闵行区一模）将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）

A．y=（x﹣1）2+1B．y=（x+1）2+1C．y=（x﹣1）2﹣3D．y=（x+1）2+3【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的规律，点（0，﹣1）平移后的对应点的坐标为（1，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：抛物线y=x 2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向右平移一个单位，向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x ﹣1）2﹣3．故选C ．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

3．（4分）（2016?闵行区一模）已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】利用平方关系得到cosα=，然后把sinα=代入计算即可．

【解答】解：∵sin 2α+cos 2α=1，

∴cosα==

=

．

故选D ．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系：sin 2A +cos 2A=1．

4．（4分）（2016?闵行区一模）抛物线y=ax 2+bx +c 的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）

A ．a ＞0，b ＞0，c=0

B ．a ＞0，b ＜0，c=0

C ．a ＜0，b ＞0，c=0

D ．a ＜

0，b ＜0，c=0

【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，

∵抛物线经过第一，二，三象限，

可推测出抛物线开口向上，对称轴在y 轴左侧∴a ＞0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴对称轴为x=＜0，

又因为a＞0，

∴b＞0．

故选A．

【点评】解决此类题目，可现根据条件画出函数图象的草图再做解答．

5．（4分）（2016?闵行区一模）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）

A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m2

【分析】先根据面积的比等于比例尺的平方求出实际面积，然后再进行单位转化．

【解答】解：设实际面积是x，则=（）2，

解得x=200000000cm2，

∵1m2=10000cm2，

∴200000000cm2=20000m2．

故选B．

【点评】本题主要考查了比例线段中的比例尺，利用面积的比等于比例尺的平方是解题的关键，本题单位换算容易出错，需要特别注意．

6．（4分）（2014?广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）

A．3次B．4次C．5次D．6次

【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可．

【解答】解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，

故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．

二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）

7．（4分）（2016?闵行区一模）如果，那么=．

【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．

【解答】解：∵，

∴==．

故答案为：．

【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．

8．（4分）（2016?闵行区一模）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是2：3．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．

【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，

∴两个相似三角形相似比是2：3，

故答案为：2：3．

【点评】本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．

9．（4分）（2016?闵行区一模）已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄

金分割点（AP＜BP），那么BP的长是﹣1厘米．

【分析】根据黄金比是进行计算即可．

【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，

∴BP=AB=﹣1厘米．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．

10．（4分）（2016?闵行区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC 的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=12．

【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．

【解答】解：∵FD⊥AB，

∴∠BDE=∠ADF=90°，

∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，

∴∠F=∠B，

∴△ADF∽△BDE，

∴，

即，

解得：DF=12，

故答案为：12．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

11．（4分）（2016?闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=4．

【分析】根据∠C=90°，得出cosA=，再根据AC=2，求出AB，最后根据勾股定理即可求出BC．

【解答】解：∵∠C=90°，

∴cosA==，

∵AC=2，

∴AB=6，

∴BC===4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．

12．（4分）（2016?闵行区一模）已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为1：0.75．

【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．

【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=4米，

则AB==3米，

则坡比===1：0.75．

故答案为：1：0.75．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．

13．（4分）（2016?闵行区一模）过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，

AC于点E，如果=，=，那么=﹣．

【分析】由过△ABC的重心作DE∥BC，可得=，再利用三角形法则求解即可求得答案．

【解答】解：∵过△ABC的重心作DE∥BC，

∴=，

∴==（﹣）=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用．

14．（4分）（2016?闵行区一模）方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1．

【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．

【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，

∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．

则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．

【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）

15．（4分）（2016?闵行区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13．

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，

【解答】解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，

点B在圆A外，则r＜13，

因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．

故答案为12＜r＜13．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

16．（4分）（2016?闵行区一模）已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于5或1厘米．

【分析】设⊙O2的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．

【解答】解：设⊙O2的半径为r，

∵⊙O1与⊙O2内切，

∴r﹣3=2或3﹣r=2，

∴r=5或r=1．

故答案为5或1．

【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r：两圆外离?d＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R﹣r＜d＜R+r（R ≥r）；两圆内切?d=R﹣r（R＞r）；两圆内含?d＜R﹣r（R＞r）．

17．（4分）（2016?唐河县一模）闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如

果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y

（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半

径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线与x轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果．

【解答】解：当y=0时，即﹣x2+4x+=0，

解得x1=，x2=﹣（舍去）．

答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数的应用，注意抛物线的解析式的三种形式在解决抛物线的问题中的作用．

18．（4分）（2016?闵行区一模）将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α

＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD

中利用正切的定义求解．

【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，

∴CD=AD=DB，

∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CPD=60°，

∴∠MPD=∠NCD，

∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），

∴∠PDM=∠CDN=α，

∴△PDM∽△CDN，

∴=，

在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，

∴=tan30°=．

故答案是：．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分）

19．（10分）（2016?闵行区一模）如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．

【分析】由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．

【解答】解：∵∠AOC=∠ACB=90°，

∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，

∴∠ACO=∠ABC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△ACO∽△CBO，

∴=，即OC2=OB?OA，

∵OA=1，OC=2，

∴OB=4，

则B（4，0），

∵A（﹣1，0），C（0，2）

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

将C（0，2）代入得：2=﹣4a，即a=﹣，

则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，

【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及用

待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．

20．（10分）（2016?闵行区一模）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．

【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE=60°，由直角三角形的性质可知OD=2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED 中根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．

【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，

∵∠BAD=30°，

∴∠DOE=60°，

∵CD⊥AB，

∴CD=2DE，∠ODE=30°，

∴OD=2OE，即r=2（r﹣2），解得r=4；

∴OE=4﹣2=2，

∴DE===2，

∴CD=2DE=4．

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

21．（10分）（2016?闵行区一模）如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是

对角线AC 、BD 和边AB 的中点，设=，=．

（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）

（2）画出向量

分别在，方向上的分向量．

【分析】（1）由点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，直接利用三

角形中位线的性质，即可求得=

=﹣

，

=

=

，再利用三角形法则

求解即可求得答案；

（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，

∴==﹣，==

，∴

=

+=﹣

+；

（2）如图：与即为所求．

【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．

22．（10分）（2016?闵行区一模）如图，一只猫头鹰蹲在树AC 上的B 处，通过

墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M 处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．

已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．

【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，可知∠E=37°，在△DEF中，已知DF的长度即可求得DE的长度，然后证得D是AE的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C点观察M点的俯角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得AM，在△AMC中，根据余切函数求得AC，即可求得BC．

【解答】解∵DF=3，∠E=37°，cot37°=，

∴DE=3?cot37°，

∵DF=3米，AB=6米，AC∥DF，

∴D是AE的中点，

∴AE=2DE=6?cot37°，

∵cot53°=，

∴DM=3?cot53°，

∴AM=AD+DM=3（cot37°+cot53°），

∵cot37°=，

∴AC=AM?cot37°，

∴BC=AC﹣6≈2.28（米）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．