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人教版初中九年级数学知识点30 直角三角形、勾股定理2018--2

一、选择题

1. （2018海南省，12，3分）如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，

得到△AB 1C 1，连接BC 1，则BC 1的长为（）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

【答案】C

【解析】根据旋转的性质，得AC 1=AC =6，∠CAC 1=60°，∴∠BAC 1=∠BAC +∠CAC 1=30°+60°=90°．在Rt △ABC 1中，BC 1212AC AB +=

=82＋62=10，故选择C ．

【知识点】旋转的性质，勾股定理

2. （2018山东省东营市，8，3分）如图所示圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是 ( )

A. B. C. D. 【答案】C.

【思路分析】将圆柱侧面展开得到一个矩形，可知蚂蚁爬行的最短距离就是展开图中线段AB 的长。利用勾股定理可求。

【解题过程】将圆柱沿AB 侧面展开，得到矩形如下：则有AB=3,BC=

，在RT △ABC 中，由勾股定理，得：

=2.

故选C.

【知识点】圆柱侧面展形，勾股定理，最小值。

2．4. （2018山东省东营市，10，3分）如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 的内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC,给出下列结论：①BD=CE ；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD ⊥CE ；④

22222()BE AD AB CD =+-.

其中正确的是（）

A.①②③④

B. ②④

C. ①②④

D. ①③④ 【答案】 A.

【思路分析】由△ABD ≌△ACE 可证得①②③正确，再利用勾股定理和等腰直角三角形的直角边与斜边的关系可证得第④个也正确。

【解题过程】∵∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC, ∴∠DAE+∠EAB=∠CAB+∠EAB,∠ABC=∠ACB=45°，即：∠DAB=∠EAC ∵AD=AE,AB=AC, ∴△DAB ≌△EAC

∴BD=EC,∠DBA=∠EAC ，故①正确

∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确 ∵∠ABC=45°，

∴在△EBC 中，∠EBA+∠ABC+∠ECB=90°， ∴∠BEC=90°，即BD ⊥CE,故③正确， ∴在RT △BEC 中，222

=BE BC CE - 在RT △DEC 中，222

CE DC DE =-

∴222=BE BC CE -=222()BC DC DE --=222

BC DE DC +-. ∵RT △ABC 与RT △ADE 都是等腰直角三角形

∴22

2BC AB =,22

2DE AD =,

∴222222BE AD AB DC =+-=222

2()AD AB DC +-,故④正确。

故选A.

【知识点】全等三角形，等腰直角三角形，勾股定理。

5. （2018四川乐山，7，3）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成

就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED =1寸），锯道长1尺（AB =1尺=10寸）”.问这块圆形木材的直径是多少？” 如图3所示，请根据所学的知识计算：圆形木材的直径AC 是（）

A .13寸

B .20寸

C .26寸

D .28寸

图3 【答案】C 【解析】本题主要考查圆的相关知识，解决本题的关键是掌握和运用垂径定理和勾股定理.如图，根据题意可知，ED =1寸，AB =1尺=10寸，∵OD ⊥AB ，∴AD =BD =5寸，不妨设⊙O 的半径为r ，在△AOD 中，()2

51r r =+-，

解得13r =，∴圆形木材的直径AC 的长为26寸，故答案为C . 【知识点】勾股定理；垂径定理

（2018江苏扬州，7，3）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（）

A ．BC=EC

B ．EC=BE

C ．BC=BE

D ．AE=EC

【答案】C

【解析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A ，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE ，再结合∠BEC=∠A+∠ACE 、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出∠BEC=∠BCE ，利用等角对等边即可得出BC=BE ，∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A ．∵CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．

又∵∠BEC=∠A+∠ACE ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∴∠BEC=∠BCE ，∴BC=BE ．故选C ．【知识点】直角三角形的性质，三角形外角的性质，余角，角平分线的定义以及等腰三角形的判定

二、填空题

1. （2018黑龙江省龙东地区，9，3分）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形．则这个等腰三角形的面积是________．【答案】

10825或185

或24

5．【思路分析】先画出基本图形△ABC ，考虑到分割后的要求，所以用圆规帮助找等腰三角形的顶点．由于其中只

有一个是等腰三角形，因此排除作AB 或BC 的垂直平分线．【解题过程】（1）如图1，以B 为圆心，AB 长为半径画圆，交AC 于点D 1，连接BD 1，则△ABD 1是等腰三角形，

且△BCD1不是等腰三角形．作BE⊥AC，则AD1＝2AE．∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC ＝22

＝5，∵S△ABC＝1

AB·BC＝1

AC·BE，∴BE＝AB BC

＝

，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE ＝

，∴AD1

＝18

，∴

ABD

S＝

AD 1·BE＝11812

255

??＝

108

．

（2）如图2，以A为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D2，连接BD2，则△ABD2是等腰三角形，且△BCD2

不是等腰三角形．作BF⊥AC，同（1）理可得BF＝12

，又AD

＝AB＝3，∴

ABD

S＝

AD2·BF＝112

??＝

．

（3）如图3，以C为圆心，BC长为半径画圆，交AC于点D3，连接BD3，则△ABD3是等腰三角形，且△BCD3

不是等腰三角形．作BG⊥AC，∴

ABD

S＝

CD3·BG＝112

??＝

．

综上，这个等腰三角形的面积是

108

或

．

图1图2图3

【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质与判定；三角形的面积公式；尺规作图

2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.

，1，的大小为__________（度）；

，2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应

点为.当最短时，请用无刻度

．．．的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）

__________，

B C

【答案】(1). ；(2). 见解析

【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接

交延长线于点，则点即为所求.

详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，

∴AC=，BC=，AB=,

∵

∴

∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°

故答案为90；

（2）如图，即为所求.

点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化

的思想思考问题.

3.（2018贵州铜仁，17，4）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平

分线段AD，CD平分∠BCE，BC=3AB= .

【答案】4，【解析】根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE=∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，所以∠ACD=∠ADC=∠A=60°，∠B=∠BCD=30°，∴AD=AC=CD，

BC，∴AB=2AC =4.

BD=CD，∴AB=2AD=2AC，在Rt△ACB中，∠B=30°，BC=3AC=tan302

4.（2018江苏徐州，15，3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝ .

【答案】35°

5. （2018黑龙江哈尔滨，19，3）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，点D 在BC 边上，连接AD ，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为_________________．

【答案】90°或130°，【解析】情况1当∠ADB ＝90°时，∠ADC ＝90°；情况2

当∠BAD ＝90°时，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ＝90°＋（180°－100°）÷2＝130°

6.（

2018湖北十堰，16，3分）如图，Rt，ABC 中，AB ＝3，AC ＝62，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则

DA ＋DE 的最小值为．

【答案】16

【解析】作A 关于BC 的对称点A ′，连接AA ′，交BC 于F ，过A '作AE ，AC 于E ，交BC 于D ，则AD ＝A ′D ，此时AD ＋DE 的值最小，就是A 'E 的长；（如答图）

Rt，ABC 中，，BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝62，，BC ＝32＋(62)2＝9， S ，ABC ＝12AB ?AC ＝1

BC ?AF ，

，3×62＝9AF ，解得 AF ＝22，

，AA '＝2AF ＝42，

，，A 'FD ＝，DEC ＝90°，，A 'DF ＝，CDE ，，，A '＝，C ，

，，AEA '＝，BAC ＝90°，，，AEA '，，BAC ，，AA ′A ′E ＝BC AC ，即42A ′E ＝962

，，A ′E ＝163，即AD ＋DE 的最小值是163；

故答案为：16

3．

7. （2018云南，6，3分）在△ABC 中，AB ＝34，AC ＝5．若BC 边上的高等于3，则BC 边的长为________．

【答案】1或9．

【解析】设边BC 上的高为AD ．

当边BC 上的高AD 在△ABC 的内部时，如答图1所示，在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD ＝22

AB AD -＝22(34)3-＝5，在Rt △ACD 中，由勾股定理得CD ＝

22AC AD -＝2253-＝4，所以BC ＝5＋4

＝9．

在边BC 上的高AD 在△ABC 的外部时，如答图2所示，同理BD ＝5，CD ＝4，所以BC ＝5－4＝1．

三、解答题

1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，24，10分）问题：如图①，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 为

BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为；

探索：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边

上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°．若BD =9，CD =3，求AD 的长．

【思路分析】（1）BD 与CD 在同一条直线上，且由于旋转使得AD 和AE 相等，且AB 和AC 相等，∴考虑三者是和的关系；（2）参考“问题”中的方法，旋转会出现全等三角形，∴考虑连接CE ，构造全等三角形进行探索；（3）图形类似，∴类比前面的方法，设法构造出类似的图形，则问题得解．

【解题过程】问题：BC ＝EC ＋DC 2分

因为△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝90°．又∵AD ⊥AE ， ∴∠EAD ＝90°．

∴∠EAD －∠CAD ＝∠BAC －∠CAD ． ∴∠BAD ＝∠CAE ．

又∵AB ＝AC ，AE ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACE ． ∴BD ＝CE ，

第24题图

B 图② E

C D

图①

图③

（第6题答图1） C

（第6题答图2）

∴BC ＝EC ＋DC ．

探索：线段AD ，BD ，CD 之间满足的关系是 BD 2＋CD 2＝2AD 2．证明：如图①，连接CE ．

∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°．

∵∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAC ＝90°，

∴∠BAD ＝∠CAE ． 3分在△BAD 和△CAE 中，

??===AE AD CAE BAD AC AB ,∠∠ ∴△BAD ≌△CAE ．

∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠ABC ＝45°． 4分 ∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝90°．

∴BD ⊥CE ． 5分 ∵∠EAD ＝90°，AE ＝AD ， ∴ED ＝2AD ．

在△ECD 中，ED 2＝CE 2＋CD 2，

∴BD 2＋CD 2＝2AD 2． 6分

应用：如图②，作AE ⊥AD 于点A ，交DC 的延长线于点E ，连接BE ． 7分 ∵∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，∠EAD ＝90°， ∴∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ． ∴ED ＝2AD ．

由“探索”的证明可知，

BE ＝CD ，BE ⊥CD ． 8分在Rt △BED 中，BD 2＝BE 2＋DE 2．

∴2AD 2＝BD 2－CD 2． 9分 ∵BD ＝9，CD ＝3， ∴2AD 2＝92－32＝72． ∴AD ＝6（负值舍去）． 10分

第24题答图①

【知识点】旋转，三角形全等，探索与归纳

2. （2018黑龙江哈尔滨，22，7）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD (不是正方形)，且点C 和点D 均在小正方形的项点上;

(2)在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为

22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上．连接CE ，请直接写出线段CE 的长．

【思路分析】（1）问利用小正方形找到直角，注意不能与AB 相等．

（2）AB 为腰，那么△ABE 中的腰是10，底边22，利用小正方形很容易找到。【解答过程】

CE ＝4

第24题答图②

中考数学勾股定理知识点总结及答案

中考数学勾股定理知识点总结及答案一、选择题 1．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA； ④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 4．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（） A．16 B．15 C．12 D．10 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为

（） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 9．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于 PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（） A ．5 B ．51- C ．51+ D ．51-+ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）

勾股定理全章知识点总结大全

C A B D 勾股定理全章知识点总结大全专题一：直接考查勾股定理及逆定理 1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。 3、（1）.已知?ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则?ABC 为三角形 4.在?ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则?ABC 是三角形，且∠ ?90 5、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。 6、.若?ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2a c b a c b 26241033822+ +=+++，试判断 ?ABC 的形状。 7.已知,0)10 (8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是 8.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．专题二勾股定理的证明 1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2 ＝＋．化简后即为c 2 ＝．． a b c

A B C 专题三网格中的勾股定理 1、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC 上的高为（） A. 2 2 3 B. 5 10 3 C. 5 5 3 D. 5 5 4 专题四实际应用建模测长 1、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？专题五梯子问题 1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？专题六最短路线 1、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A向顶点B爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ A A′ B B′ O 第20题图 B A

人教版九年级数学知识点总结

第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。

说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根

初中数学勾股定理知识点总结及答案

初中数学勾股定理知识点总结及答案一、选择题 1．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论： ①BD =CE ， ②BD ⊥CE ， ③∠ACE +∠DBC=30°， ④( )2 22 2BE AD AB =+．其中，正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．在ABC ?中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（） A ．4或14 B ．10或14 C ．14 D ．10 3．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ? ∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 4．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（）

A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm 5．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（） A ．10 B ．410 C ．13 D ．213 6．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A ．①④⑤ B ．③④⑤ C ．①③④ D ．①②③ 7．在ΔABC 中,211 a b c =+,则∠A( ) A ．一定是锐角 B ．一定是直角 C ．一定是钝角 D ．非上述答案 8．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（） A ．49 B ．25 C ．12 D ．10 9．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( ) A ．36 B ．9 C ．6 D ．18

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/7015186516.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/7015186516.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

初中数学九年级上下册知识点总结

[九年级(上册) 第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 2 2 c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

人教版七年级数学下册第十七章勾股定理练习题

第十七章勾股定理一、单选题 1．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（） A．5B．7C．5D．5或7 2．下列各组数为勾股数的是（） A．7，12，13B．3，4，7C．3，4，6D．8，15，17 3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为() A．4B．8C．16D．64 4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（） A．-2B．﹣1+2C．﹣1-2D．1-2 5．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm△ ，则ABC的面积是（） A．24cm2B．30cm2C．40cm2D．48cm2 6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前的高度是（）

A ．5m B ．12m C ．13m D ．18m 7．如图，圆柱底面半径为 4 cm ，高为 18cm ，点 A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A 、 B 在同一母线上，用一根棉线从 A 点顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 点，则这根棉线的长度最短为（） A ．24cm B ．30cm C ．2 21 cm D ．4 97 cm 8△．若 ABC 的三边长分别为 a 、b 、c 且满足（a+b ）（a 2+b 2﹣c 2）＝0△，则 ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 9．一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( )

(完整版)2018中考数学勾股定理

2018中考数学勾股定理一．选择题（共7小题） 1．（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5．故选：A． 2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A． 3．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，

勾股定理知识点与常见题型总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳 1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三,股四，弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A 3．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中，90C ∠=?, 则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时，以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<,时，以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ,c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ,b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数)； 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ,n 为正整数) ７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8．．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的

初中九年级数学知识点总结

初中九年级数学知识点总结【篇一】第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01时，1/a<1;D.积为1。

代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念分类： 1.代数式与有理式

201X版七年级数学上册第三章勾股定理单元练习五鲁教版五四制

2019版七年级数学上册第三章勾股定理单元练习五鲁教版五四制1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，则点C到AB的距离是（） A．B．12 C．9 D． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=（） A．2 B．4 C．6 D．10 3．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（） A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于D点，M，N是AC，BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论： ①AM=CN；②四边形MDNC的面积为定值；③AM2+BN2=MN2；④MN平分∠CND．其中正确的是（） A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④ 5．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=0 45，AB=3，CD=1，则BC的长为（） 90，∠A=0

A ． 3 B ．2 C ． 21+ D ．23- 6．以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形的是（） A ．a=3，b=5，c=7 B ．a=2，b=2，c= C ．a= ，b=，c= D ．a=，b=，c= 7．如图，Rt△ABC 中，BC=2，AC=2 ，则AB 长为（） A ．2 B ．2 C ．4 D ．4 8．如图，一架长为10m 的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6m ，如果梯子的顶端下滑了2m ，那么梯子底部在水平方向滑动了（） A ．2m B ．2.5m C ．3m D ．3.5m 9．以下列各组数为边的三角形不是直角三角形的是（） A ．24，10，26 B ．5，3，4 C ．60，11，61 D ．5，6，9 10．下列命题： ①如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么a 4，b 4，c 4仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；

202年九年级中考复习数学考点专项训练——专题十八：勾股定理

2021中考复习数学考点专项训练——专题十八：勾股定理一、填空题 1．直角三角形的两边长为3，5，且第三边是整数，则第三边的长度为______． 2. 一艘轮船以海里∕小时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一轮船以海里∕小时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距________． 3. 若三角形的边长分别为、、，则它的最长边上的高为________． 4. 像、、这样的正整数符合，又如、、符合，这样的数组我们叫做勾股数．（1）有一组数是勾股数，两个较小的数为和，则第三个数为________．（2）下列数组中勾股数有________． ①，，；②，，；③，，；④，，组组组组． 5. 一个圆桶儿，底面直径为，高为，有一只小虫从底部点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是取________． 6. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子顶端沿着墙下滑米，那么梯足也向外平移________米． 7. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行

且，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是________ 米．（精确到米） 8．如上图，在中，，将折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，若AC=6，BC=8，则线段CD 的长为______． 9．如图，在中，点、、分别在、、上，且，，，，，则 ______度． 10.如图，一圆柱高 8 cm ，底面半径 2 cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程(π取 3)是 . 二、选择题 1. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+ b 1=h 1 D. 21a +2 1b = 2 1h

勾股定理全章知识点总结大全46431

勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b +， 22b c a -，22a c b -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2