八年级初二数学平行四边形单元测试及答案

一、选择题

1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）

A ．13cm

B ．12cm

C ．5cm

D ．8cm

3．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )

A ．仅小明对

B ．仅小亮对

C ．两人都对

D ．两人都不对

4．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=?，4=AD ，2AB =，点E 是折线

BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )

A 3

B ．1

C ．32

D ．23

5．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且

45GAH ∠=?，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）

A ．62

B ．122

C ．6

D ．12

6．下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线相等的四边形是矩形； ②三条边相等的四边形是菱形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

7．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S △FGC =

72

5

.其中正确结论的个数是（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

8．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（ ）

A ．3

B ．5

C ．6cm

D ．5

9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、

F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=?，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；

④23MB =( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论

中：①OH∥BF，②GH=1

4

BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．

12．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)

，顶点D坐标为

(0,4)，点E在y轴上，线段//

EF x轴，且点F坐标为(8,6)，若菱形ABCD沿x轴左右运动，连接AE、DF，则运动过程中，四边形ADFE周长的最小值是_______．

13．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=3E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．

14．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=?，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．

15．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．

16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使

2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ?和DCE ?全等．

17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________

18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令

AF

n BC

=，EC

m BC

=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．

19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝

1

2

AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．

20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.

常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.

三、解答题

21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，

8BC AD ==．

()1P 为边BC 上一点，将

ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)

①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写

作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；

②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；

()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将

ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点

'D 处，则DQ =______；

22．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于

F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECF

G ．

（1）求证：四边形ECFG 是菱形；

（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=?，则BDG ?是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=?，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 23．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ?的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；

（2）如图②，在Rt ABD ?中，90,BAD AD AB ?

∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两

点，且45MAN ?∠=，将ABM ?绕点A 逆时针旋转90度至ADH ?位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；

（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．

24．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．

（1）求证：四边形BFEP 为菱形；

（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；

②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围． 25．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点

,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ?∠=.

（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ?的周长；

（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ?的面积为1S ，DOE ?的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.

26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由； （2）求证：CP AE =；

（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．

27．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；

（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222

()2BE DF EF AB ++=是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=?，2246B BP PD +=时，求PD 之长.

28．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE． （1）如图1，①∠BEC=_________°；

②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；

（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．

29．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ． （1）求证：AG AE =

（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM

30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32

5

t =

时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以

AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=1

2 DC，

∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，

∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，

∴BE=FC

∴△BCE≌△CDF，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF，故①正确；

连接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵CE⊥DF，

∴△CGD为直角三角形，

∴HG=HD=1

2 CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD=DC，

在Rt△CGD中，DG≠DC，

∴AG≠DG，故②错误；

∵AG=AD, AH垂直平分DG

∴∠DAG=2∠DAH,

根据①，同理可证△ADH≌△DCF

∴∠DAH=∠CDF，

∴∠DAG=2∠CDF,

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠GHC=∠DAG，故③正确，

所以①和③正确选择C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明

△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.

2．C

解析：C

【分析】

由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．

【详解】

∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥FC．BC＝2DE，

又EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

∴DC＝EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB＝2DC，

∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，

∴BC＝18﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，

解得：AB＝10cm，

∴AD＝5cm，

故选C ． 【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

3．C

解析：C 【分析】

分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ． 【详解】

如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，

∵四边形ABCD 是正方形， ∴EG=MP ， 对于小明的说法： 在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，

MN EF

EG MP ??

?

＝＝， ∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ）， ∴∠MNP=∠EFG ， ∵MP ⊥CD ，∠C=90°， ∴MP ∥BC ，

∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ， 又∵∠MNP+∠NMP=90°， ∴∠EQM+∠NMP=90°，

在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°， ∴MN ⊥EF ， 故甲正确． 对小亮的说法：

∵MP ⊥CD ，∠C=90°， ∴MP ∥BC ， ∴∠EQM=∠EFG ， ∵MN ⊥EF ，

∴∠NMP+∠EQM=90°， 又∵MP ⊥CD ， ∴∠NMP+∠MNP=90°， ∴∠EQM=∠MNP ， ∴∠EFG=∠MNP ， 在△EFG 和△MNP 中，

90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠??

∠∠????

＝＝＝＝ ， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ）， ∴MN=EF ，故小亮的说法正确， 综上所述，两个人的说法都正确． 故选C ． 【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．

4．D

解析：D 【分析】

分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 【详解】 解：分三种情况：

①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，

过A 作AF ⊥BC 于F ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠C+∠B=180°，

∵∠C=120°， ∴∠B=60°，

Rt △ABF 中，∠BAF=30°， ∴BF=

1

2

AB=1，AF=3， ∴此时△ABE 的最大面积为：

1

2

×4×3=23； ②当E 在CD 上时，如图2，此时，△ABE 的面积=

12S ?ABCD =1

2

×4×3=23；

③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，此时，△ABE 的面积3 综上，△ABE 的面积的最大值是3 故选：D ． 【点睛】

本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．

5．A

解析：A 【分析】

设B x ∠=，先根据平行四边形的性质可得,180,D B x BAD x AB CD ∠=∠=∠=?-=，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得45x =?，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得22AB =22CD =，最后利用平行四边形的面积公式即可得． 【详解】 设B x ∠=，

四边形ABCD 是平行四边形，

,180180,D B x BAD B x AB CD ∴∠=∠=∠=?-∠=?-=， ,AG BC AH CD ⊥⊥，

9090,9090BAG B x DAH D x ∴∠=?-∠=?-∠=?-∠=?-，

又

180,45BAG DAH BAD GAH x GAH ∠+?-∠+∠=∠∠=?=，

909100458x x x ?-+?-=∴?+?-，

解得45x =?， 即45B ∠=?，

Rt ABG ∴是等腰直角三角形，

2,BG AG AB ∴====

CD ∴=，

∴

平行四边形ABCD 的面积是3AH CD ?=?=，

故选：A ． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．

6．C

解析：C 【分析】

正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断. 【详解】

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确； 故选：C . 【点睛】

此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键.

7．D

解析：D 【分析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；根据角的和差关系求得∠GAF =45°；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证CE =2DE ；通过证明

∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；求出S △ECG ，由S △FCG =3

5

GCE S ?即可得出结论． 【详解】 ①正确．理由：

∵AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）； ②正确．理由：

∵∠BAG =∠FAG ，∠DAE =∠FAE ． 又∵∠BAD =90°，∴∠EAG =45°； ③正确．理由：

设DE =x ，则EF =x ，EC =12-x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，

得：（12﹣x ）2+62=（x +6）2，解得：x =4，∴DE =x =4，CE =12-x =8，∴CE =2DE ； ④正确．理由：

∵CG =BG ，BG =GF ，∴CG =GF ，∴∠GFC =∠GCF ．

又

∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =2∠AGB =∠GFC +∠GCF =2∠GFC =2∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ；

⑤正确．理由： ∵S △ECG =12GC ?CE =1

2

×6×8=24． ∵S △FCG =

35GCE S ?=3245?=725

． 故选D ． 【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．

8．D

解析：D 【分析】

连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题． 【详解】

解：如图，连接DE ．

由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，

由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45． 过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ． 连接DE ，交MG 于点I ．

由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，

∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等）， ∴∠NMG ＝∠EDC ． 在△MNG 与△DEC 中，

90NMG EDC MG CD

MGN DCE ∠=∠??

=??∠=∠=??

∴△MNG ≌△DEC （ASA ）． ∴MN ＝DE ＝4

5cm ． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．

9．B

解析：B 【分析】

连接BD ，先证明△BOC 是等边三角形，得出BO=BC ，又FO=FC ，从而可得出FB ⊥OC ，故①正确；因为△EOB ≌△FOB ≌△FCB ，故△EOB 不会全等于△CBM ，故②错误；再证明四边形EBFD 是平行四边形，由OB ⊥EF 推出四边形EBFD 是菱形，故③正确；先在Rt △BCF 中，可求出BC 的长，再在Rt △BCM 中求出BM 的长，从而可知④错误，最后可得到答案． 【详解】 解：连接BD ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分， ∵O 为AC 中点，∴BD 也过O 点， ∴OB=OC ， ∵∠COB=60°，

∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC ， 又FO=FC ，BF=BF ， ∴△OBF ≌△CBF （SSS ），

∴△OBF 与△CBF 关于直线BF 对称， ∴FB ⊥OC ，∴①正确；

∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，

∵△OBF ≌△CBF ，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF ， ∵AB ∥CD ，∴∠OCF=∠OAE ，

∵OA=OC ，易证△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ， ∵OB=OD ，

∴四边形EBFD 是平行四边形． 又∠EBO=∠OBF ，OE=OF ， ∴OB ⊥EF ，∴四边形EBFD 是菱形， ∴③正确；

∵由①②知△EOB ≌△FOB ≌△FCB ， ∴△EOB ≌△CMB 错误， ∴②错误；

∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF ，

∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴，

∴CM=

1

2

BM=3，故④错误． 综上可知其中正确结论的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】

本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

10．B

解析：B 【分析】

①只要证明OH 是△DBF 的中位线即可得出结论； ②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=

1

2CF ，由GH ＜14

BC ，可得出结论； ③易证得△ODH 是等腰三角形，继而证得OD=

1

2

BF ； ④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论． 【详解】

解：∵EC=CF ，∠BCE=∠DCF ，BC=DC ， ∴△BCE ≌△DCF ， ∴∠CBE=∠CDF ，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH ， ∴∠DEH+∠CDF=90°， ∴∠BHD=∠BHF=90°， ∵BH=BH ，∠HBD=∠HBF ，

∴△BHD≌△BHF，

∴DH=HF，∵OD=OB

∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；

∴OH=1

2

BF，∠DOH=∠CBD=45°，

∵OH是△BFD的中位线，

∴DG=CG=1

2

BC，GH=

1

2

CF，

∵CE=CF，

∴GH=1

2

CF=

1

2

CE

∵CE＜CG=1

2 BC，

∴GH＜1

4

BC，故②错误．

∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分线，

∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，

∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，

∴∠ODH=∠OHD，

∴OD=OH=1

2

BF；故③正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．

二、填空题

11．52

【分析】

连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到

AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】

连接DM ，如下图所示，

∵90BAC EDF ∠=∠=? 又∵M 为EF 中点 ∴AM=DM=

12

EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立） ∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线 ∴DN=

1

2AB=52

∴AM MN -的最大值为5

2

故答案为52

． 【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围． 12．18 【分析】

由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值． 【详解】