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微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换

2、关于邻域:邻域的定义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）；左右邻域、空心邻域、

有界集。

3、初等函数：正割函数sec是余弦函数cos的倒数；余割函数是正弦函数的倒数；反三角

函数:定义域、值域

4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几

何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。

5、无穷小量与无穷大量：无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比

较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。

6、极限的性质：局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。

7、极限的四则运算法则。

8、夹逼定理（适当放缩）、单调有界定理(单调有界数列必有极限）。

9、两个重要极限及其变形

10、等价无穷小量替换定理

11、函数的连续性：定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续

12、函数的间断点：第一类间断点和第二类间断点，左、右极限都存在的是第一类间断

点，第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点.

13、连续函数的四则运算

14、反函数、复合函数、初等函数的连续性

15、闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。

16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续.

17、求导法则与求导公式：函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数

的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式

18、隐函数的导数。

19、高阶导数的求法及表示。

20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。

21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0）Δx.

22、微分形式的不变性

23、微分近似公式:

24、导数在经济问题中的应用（应用题）:

（1）边际（变化率，即导数)与边际分析：

总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页）及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、

26、洛必达法则求极限（89页）

27、函数单调性

28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别，最大利润、最小平均成本、最大收益

问题,经济批量问题。（注意书100页）

29、曲线的凹凸性的定义及判定（二阶导数）、拐点。

30、曲线的渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线

31、利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、定义域、奇偶性、根及

其他变化趋势作图

32、不定积分（积分号、被积函数、积分变量被积表达式、积分常数）、原函数、连续

则有原函数、不定积分的几何意义及性质

33、基本积分表

34、换元积分法:第一换元法(凑微分法）和第二换元法（变量替换法）

35、分部积分法

36、有理数的积分

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

微积分知识点小结

第一章函数一、本章提要基本概念函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数第二章极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章导数与微分一、本章提要

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数．第四章微分学的应用一、本章提要 1. 基本概念未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．第五章不定积分一、本章提要 1. 基本概念原函数，不定积分．

大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数）（3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数）（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法数乘运算加减运算线性运算（8）

①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u) 说明：（11）分段函数的积分例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一（16）隐函数求不定积分例题说明：（17）三角有理函数积分的万能变换公式（18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换（19）其他形式的不定积分

大一上微积分知识点重点(供参考)

大一（上）微积分知识点第一章函数一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。

一元微积分多元微积分高等数学复习提纲(同济大学版)

（1） 1，补集的记号 2，什么是笛卡尔乘积 3，什么是邻域，记号，中心，半径 4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域 5，两个闭区间的直积 6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数 8，逆映射，复合映射 9，多值函数，单值分支 10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义 12，奇偶性、周期性 13，初等函数，基本初等函数（2） 1，数列极限的定义，用符号语言 2，收敛数列的四个性质 3 (3) 1,函数在某点的极限定义，符号语言 2，函数在无穷大处的极限，符号语言 3，函数极限的性质（4） 1，无穷小的定义 2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大 4，无穷大和无穷小的定义（5） 1，有限个无穷小的和 2，有界函数与无穷小的乘积 3，极限的四则运算 4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是（6） 1，极限存在的夹逼准则 2，单调有界的数列是否存在极限 3，（1+1/x）^x的极限 4，柯西审敛准则

1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小 2，等价无穷小的充要条件 3，两组等价无穷小之间的比例关系（8） 1，函数连续性的定义，左连续，右连续 2，什么是连续函数 3，间断点的三种情况 4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点（9） 1，连续函数的四则运算后的连续性 2，反函数和复合函数的连续性 3，初等函数的连续性（10） 1，有界性与最大最小值定理 2，零点定理 3，介值定理和推论第二章（1） 1，导数的定义 2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示 3，可导和连续的关系（2） 1，函数的和差积商如何求导 2，tanx、secx的导数，cscx和cotx 3，反函数的求导法则是什么 4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数 5，复合函数求导法则（3） 1，二阶导数的微分表示法 2，莱布尼兹公式 3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导 4，隐函数的求导 5，对数求导法的应用 6，参数所表示的函数怎样求导 7，什么是相关变化率

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

教育类别+ 241 第四章矢量代数与空间解析几何微积分二大纲要求了解两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法. 第一节矢量代数一、内容精要（一）基本概念 1.矢量的概念定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。定义4.2两个矢量a 与b ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ，则 .||0a a a 若},{321a a a a ，知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、

专升本高等数学知识点汇总情况

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。极限一、求极限的方法 1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ，其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法分积元换一第换元公式积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

微积分B知识点

微积分B2复习要点一题型 1.填空题( 3×7=21分)； 2.单项选择题(3×6=18分)； 3.计算题(51分)； 4.解答题(10分) 二知识点第七章向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面) 例求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程例平面直角坐标系中 224x z +=的图形是圆，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是圆柱面。例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为。第八章多元函数微分学 1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D . 解要使z = 有意义, 应有22440x y --?, 即2 2 14y x + ?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .

解要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3 求函数z = 的定义域D 。解要使z =, 应有 22224010 x y x y ì?--??í?+->??, 即 2214x y <+?, 故 {} 22(,)14D x y x y =<+? 2.二元函数的极限的计算；定义如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当 δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。记作 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 或 A y x f =→),(lim 0 ρ 例求 2 222001 y x y x y x ++→sin )(lim ) ,(),( 解当00→→y x ,时022→+y x ，11 2 2≤+y x sin 由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以 2 222001 y x y x y x ++→sin )(lim ) ,(),(0= 3.多元函数偏导数计算；（1）一阶偏导数的计算；（2）全微分的计算；

高等数学知识点归纳知识讲解

第一讲: 极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ?

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

微积分上重要知识点总结

多元函数微分学知识点梳理

高等数学知识点总结 (1)

微积分知识点小结

大学微积分知识点总结

大一上微积分知识点重点(供参考)

一元微积分多元微积分高等数学复习提纲(同济大学版)

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微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

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专升本高等数学知识点汇总情况

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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

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微积分B知识点

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多元函数微分学总结

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