集合知识点及题型归纳总结(含答案)
集合知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示
R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*
N 或N +一正整数集 C 一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ?)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作?． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．
子集：如果对任意a A A B ∈?∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ?或B A ?，显然A A ?．规定：A ??．
（2）相等关系．
对于两个集合A 与B ，如果A B ?，同时B A ?，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．
对于两个集合A 与B ，若A B ?，且存在b B ∈，但b A ?，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B ü或
B A Y．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．
1．交集
由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ?，即
{}|A B x x A x B ?=∈∈且．
2．并集
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ?，即
{}|A B x x A x B ?=∈∈或．
3．补集
已知全集I ，集合A I ?，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作I A e，即{}|I A x x I x A =∈?且e．
四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．
A B B A ?=?，A B A ??，A B B ?? A I A ?=，A A A ?=，A ??=?． （2）并集的运算性质．
A B B A ?=?，A A B ??，B A B ?? A I I ?=，A A A ?=，A A ??=． （3）补集的运算性质．
()I I A A =痧，I I ?=e，I I =?e ()I A A ?=?e，()I A A I ?e
． 补充性质：I I
I A B A A B B A B B A A B ?=??=??????=?痧?．
（4）结合律与分配律．
结合律：()()A B C A B C ??=?? ()()A B C A B C ??=??． 分配律：()()()A B C A B A C ??=??? ()()()A B C A B A C ??=???． （5）反演律（德摩根定律）．
()()()I I I A B A B ?=?痧? ()()()I I I A B A B ?=?痧?．
即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*
(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数
A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．
3．容斥原理
()()()()Card A B Card A Card B Card A B ?=+-?．
题型归纳及思路提示
题型1 集合的基本概念
思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,
,b a b a b a ??
+=????
，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得
1b
a
=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。
变式1 （2012新课标理1）已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,A B x y x A y A ==∈∈，则B 中所含元素的个数为（ ）．
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
变式2 （2013山东理2）已知集合{}{}0,1,2,|,A B x y x A y A ==-∈∈中元素的个数为（ ）．
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
变式3 若集合{}{},,lg()0,||,x xy xy x y =，则x = ，y = ．
题型2 集合间的基本关系 思路提示
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 一、集合关系中的判断问题
例1.2 若{}{}{}|41,,|43,,|81,A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==-∈==+∈，则A ，B ，C 之间的关系为（ ）． A ．C B
A 苘
B ．A B
C ?ü C ．C A B =ü
D ．A B C ==
解析：解法一：集合B 中元素434(1)1,x n n n Z =-=-+∈，故集合A B =，而集合C 中元素
421,x n n Z =?+∈，故C A ü．
解法二：列举{}{},7,3,1,5,9,,,7,3,1,5,9,A B =--=--L L L L ，{},7,1,9,C =-L L ．因此C A B =ü，故选C ．
评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．
变式1 设集合1|,24k M x x k Z ??==
+∈????，1|,42k M x x k Z ??
==+∈????
，则 A ．M N = B ．M N ü C ．M N Y D ．M N ?=?
例1.3 设{}
{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.
（1）若1
5
a =
，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ?，求实数a 组成的集合C .
分析：（1）先求集合A ，再由1
5
a =求集合B ，确定A 与B 的关系.
（2）解方程10ax -=，建立a 的关系式求a ，从而确定集合C .
解析：（1）由2
8150x x -+=得3x =或5x =，所以{}3,5A =.
若15a =
，得1
105
x -=，即5x =，所以{}5B =，故B A ü. （2）因为{}3,5A =，又B A ?.
①当B =?时，则方程10ax -=无解，则0a =； ②当B ≠?时，则0a ≠，由10ax -=，得1x a =，所以13a =或15a =，即13a =或15
a = 故集合11035C ?
?=????
，，.
评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集. （2）含参数的一元一次方程ax b =解的确定：
当0a ≠时，方程有唯一实数解b x a
=
； 当0a b ==时，方程有无数多个解，可为为任意实数； 当0a =且0b ≠时，方程无解.
变式1 已知集合{}
2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x p x p =+≤≤-，若B A ?，求实数p 的取值范围.
二、已知集合间的关系，求参数的取值范围
例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合{{},1,,A B m A B A ==?=，则m =（ ）
A ．0
B ．0或3
C ．1
D ．1或3
解析：由A B A ?=，得B A ?，故3m =或m =
1m ≠，所以0m =或3.故选B.
变式1 已知集合{}{}|36,|,A x x B x x a a R =-<<=≤∈，若A B ?，则实数a 的取值范围是 . 变式2 已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≤=≥，且A B R ?=，则实数a 的取值范围是 . 变式3 已知集合{}
{}2
|1,P x x M a =≤=，若P M P ?=，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,1]-∞-
B ．[1,)+∞
C ．[1,1]-
D ．(,1][1,)-∞-?+∞ 三、集合关系中的子集个数问题
例1.5 已知集合{}
2|3100,A x x x x Z =--≤∈，则集合A 的子集个数为 . 分析：本题应首先确定集合A 中元素的个数，再求其子集的个数.
解析：集合{}
{}2|3100,2,1,0,1,2,3,4,5A x x x x Z =--≤∈=--，共8个元素，则集合A 的子集的个数为8
2256=.
例 1.6 已知集合{}
{}2|320,,|05,N A x x x x R B x x x =-+=∈=<<∈，满足条件A C B ??的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由{}{}1,2,1,2,3,4A B ==且A C B ??，得集合C 是集合{}1,2与集合{}3,4的任一子集的并集，即求集合{}3,4的子集的个数为224=，故选D.
变式1 已知集合M 满足{}{}
*1,2|10,N M x x x ?≤∈ü，求集合M 的个数.
题型3 集合的运算 思路分析
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 一、集合元素属性的理解
例1.7 已知集合{}
{2|1,,|M y y x x R N x y ==+∈==，则M N ?=（ ） A ．{}|13x x <≤ B ．{}|13x x ≤< C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|14x x <<
分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断M 、N 是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合M 代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合N 的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.
解析：{}
{}2|1,|1M y y x x R y y ==+∈=≥，{{}
2||90
N x y x x ===-≥，即
{}|33N x x =-≤≤，所以{}|13M N x x ?=≤≤，故选C.
评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合{}|(),y y f x x A =∈是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合{}(,)|(),x y y f x x A =∈是点集，表示函数()y f x =图像上所有点的集合.再如集合{
}
22
|1,,M x x y x y R =+=∈，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集
合{}|11y y -≤≤，表示的是数集[1,1]-；{}
2
(,)|0,,N x y x y x y R =-=∈表示的是曲线2
0x y -=，即
抛的线2
y x
=上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有M N ?=?.另如
{}{}
22(,)|4,|M x y x y N y y x =+===，
则
有
M N ?=?
，而易错为
{}
(M N ?=.
变式1 集合{}{}
2|03,|9P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M ?=（ ）. A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}|03x x ≤< D ．{}|03x x ≤≤ 变式 2 已知集合{}1||3||4|9,|46,0A x R x x B y R y x x x ??
=∈++-≤=∈=+
->????
，则集合A B ?= .
变式 3 设全集{}(,)|,I x y x y R =∈，集合{}3(,)|
1,(,)|2y M x y N x y y x x -?
?
===≠+1??-??
，那么()()I I M N ?=痧（ ）
A ．?
B ．{}(2,3)
C ．(2,3)
D ．{}(,)|1x y y x =+
变式4 已知集合{}
2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,0B x y x y x =-+=≤≤2，若
A B ?≠?，求实数m 的取值范围.
二、数轴在集合运算中的应用
例1.8 设集合{}{}||2|3,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+?=，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．[3,1]-- C ．([1,)-∞,-3]?-+∞ D ．((1,)-∞,-3)?-+∞ 分析：借助数轴表示集合S 和集合T ，根据集合的关系，求解参数的取值范围.
解析：因为{}
{}15,|8S x x T x a x a =<->=<<+或，集合S ，T 在数轴上的表示如图1-1所示.因为
S T R ?=，所以1
85a a <-??
+>?
，可得31a -<<-.故选A.
变式1 已知集合{}||2|3A x R x =∈+<，集合{}|()(2)0B x R x m x =∈--<，且(1,)A B n ?=-，则
m = ，n = .
变式2 已知全集U R =，集合{}{}
|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或，那么集合()U A B ?=e（ ）.
A. {}|24x x -≤≤
B.{}
|34x x x ≤≥或 C.{}|21x x -≤≤- D.{}|13x x -≤≤
变式3 已知集合{}3|
0,|31x M x N x x x -??
=<=≤-??-??
，则集合{}|1x x ≥=（ ）. A ．M N ? B ．M N ? C ．()R M N ?e D ．()R M N ?e 三、韦恩图在集合运算中的应用
例 1.9 设U 为全集，M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集{}|M P x x M x P -=∈?且，则
()M M P --=（ ）.
A ．P
B ．M P ?
C ．M P ?
D ．M
分析：本题可利用题中所给定义M P -表示从集合M 中去掉属于集合P 的元素解题.
解析：①当M P ?≠?时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，()M M P M P --=?. ②当M P ?=?时，()M M P M M M P --=-=?=?.
综上，()M M P M P --=?.故选B.
评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如
{}{}2,4,1,3,5M P ==，根据定义得出所求集合为空集.故选B.
变式1 设全集{}1,2,3,4,5U M N =?=，{}2,4U M N ?=e，则N =（ ）. A ．{}1,2,3 B ．{}1,3,5 C ．{}1,4,5 D ．{}2,3,4
变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有 人．
例1.10 如图1-3所示，I 是全集，,,A B C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．()A
B
C ?? B ．()I A B C ??e C ．()I A B C ??e
D ．()I B A C ??e 分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.
解析：图1-3中的阴影部分为A 与C 的公共部分，即A C ?中去掉属于B 的那部分元素后剩余元素组成
的集合，即()()()I I A C B A B C ??=??痧
，故选B. 对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集．
如图1-4所示分别表示：（a ）A B C ??；（b ）I A B C ??e；(c) ()()I I A B C ??痧
或()I A B C ??e.
变式1 已知,M N 为集合I 的非空子集，且,M N 不相等，若()I N M ?=?e，则M N ?=（ ） A ．M B ．N C ．I D ．?
四、以集合为载体的创新题
例1.11 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么称k 是A 的一个孤立元，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个. 解析：由孤立元的定义，若t 不是A 的孤立元，t 应满足1t A -∈或1t A +∈，即集合中元素连续，故满足
S 的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为{}1,2,3、{}2,3,4、{}3,4,5、{}4,5,6、{}5,6,7和{}6,7,8，
共6个.
评注：由S 的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个. 变式1 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ?∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ?=，且,,a b c T ?∈，有abc T ∈，,,x y z V ?∈，有xyz V ∈，
则下列结论恒成立的是（ ）
A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭
B.,T V 中至多有一个关于乘法是封闭
C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭
D.,T V 中每一个关于乘法是封闭
变式2 已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,3,,)i a Z i k ∈=L ，由A 中的元素构成两个相应的集合{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,)|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n .若对于任意的a A ∈，总有a A -?，则称集合A 具有性质P . （1）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P ，并对具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （2）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)
2
k k n -≤
. 变式3 （2012江苏23）变式3设集合{}*
1,2,3,,,N n P n n =∈L ，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数.
①n A P ?； ②若x A ∈，则2x A ?； ③若n P x A ∈e，则2n P x A ?e. (1)求(4)f ；
(2)求()f n 的解析式(用n 表示).
最有效训练题:
1．设集合{}
{}2|60,|13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ?等于（ ） A ．[2,3] B ．[1,2] C ．[2,3) D ．[1,2)
2．若{
{}2|,|1A x y B y y x ==
==+，则A B ?=（ ）
A ．(1,)+∞
B ．[1,2]
C ．[0,)+∞
D ．(0,)+∞
3．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =.集合{}2,4,5,7A =，{}1,4,7,8B =，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{}3,6
B ．{}2,4,6
C ．{}2,6
D ．{}3,4,6
4．已知全集I R =，集合{}{}|||2,,|M x x x R P x x a =<∈=>，并且I M P eü，那么a 的取值范围是（ ）
A ．{}2
B ．{}|2a a ≤
C ．{}|2a a ≥
D ．{}|2a a <
5．设集合{}{}|||1,,|15,A x x a x R B x x x R =-<∈=<<∈.若A B ?=?，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．{}|06a a ≤≤
B ．{}|24a a a ≤≥或
C ．{}
|06a a a ≤≥或 D ．{}|24a a ≤≤ 6．设全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈,{}{}(,)|20,(,)|0A x y x y m B x y x y n =-+<=+-≥ ，那么(2,3)()U P A B ∈?e的充要条件是（ ）
A ．1m >-且5n <
B ．1m <-且5n <
C ．1m >-且5n >
D ．1m <-且5n > 7．设集合{}{}
{}21,3,2,2,3A B a a A B =-=++?=，则实数a = . 8．已知集合A 满足条件：当p A ∈时，总有1
1
A p -∈+（0p ≠且1p ≠-）.已知2A ∈，则集合A 中所有元素的积等于 .
9．已知集合,A B 满足{}{}|27,|121A x x B x n x m =-≤≤=+<<-，且B ≠?.若()U A B ?=?e，则m 的取值范围是 .
10．已知集合{}
2|4260,A x x mx m x R =-++=∈.若(,0)A ?-∞≠?，则实数m 的取值范围是 . 11．已知集合{}
22|,,M m m x y x y Z ==-∈，若对任意的12,m m M ∈，求证：12m m M ∈.
12．已知集合{}*
1,2,3,,2(N )n n ∈L ，对于A 中的一个子集S ，若存在．．
不大于n 的正整数数m ，使得对S 中的任意．．
一对元素12,s s ，都有12||s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}|9B x A x =∈>和{
}*
|31,N
C x A x k k =∈=-∈是否具有性质
P ？请说明理由.
（2）若集合S 具有性质P ，那么集合{}21|T n x x S =+-∈是否一定具有性质P ？请说明理由.
参考答案
第一章集合与常用逻辑用语
例1.1变式1
解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。
因为所以
即
,B中所含元素的个数为10.故选D
例1.1变式2
解析：逐个列举可得，时，时，
时，
根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，故选C
例1.1变式3
解析：依题意得,故即，因此
若则故因此x=y=1与题意不符；
若则显然与题意不符,故，此时满足题意。
例1.2变式1
解析集合M中的元素，分子为奇数；集合N中的元素，分子为整
数，则M ≠?N，故选B.
例1.3变式1
解析由，得，若则
（1）当B=，即时，解得
（2）当B时，如图1-9所示，由，得，得
综上所述，实数的取值范围是
x
图1-9
5
2p-1p+1
-2O
评注：由，勿忘B=（空集是任何集合的子集）
例1.4变式1 解析 由
,如图1-10所示得
，故实数的取值范围是
A
B
图1-10
–1
–2–3–41
2
3
4
5
6
O
a
评注 端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。 例1.4变式2
解析 如图1-11所示，A 为
，B 为
，要使
，只需
，故实数的取值范围是
A B
图1-11
例1.4变式3 解析 由，得
，则
，故选C.
例1.6变式1 解析 由
知，集合M 是集合
的任一非空子集与集合
的
并集，所以集合M 的个数为28-1=255
评注求有限集的子集个数问题，有以下结论： 结论1 ：含有n 个元素的集合的子集个数为,真子集个数为2n -1，非空子集个数为2n -1，
非空真子集个数为2n -2 )
结论2设，则有， ①满足
的集合A 的个数是
②满足的集合A 的个数是-1
③满足的集合A的个数是-1
④满足的集合A的个数是-2
例1.7变式1
分析本题考查集合的概念与运算。
解析先化简再求交集，由已知得，故
，故选B
评注：本题若忽视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合
例1.7变式2
解析，利用零点分段法解绝对值不等式。
当时，;
当时,,恒成立；
当时,,
综上所述,
又因为，由基本不等式得,
当时取，所以，故
例1.7变式3
解析解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分，表示直线y=x+1上的点集，所以表示的点集中仅有点（2,3），即（2,3）。
解法二：，故选B
例1.7变式4
分析本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围。
解析解法一：问题等价于方程组在[0,2]上有解，即在[0,2]上有解，令，则由知，抛物线过点(0,1),
所以抛物线在[0,2]上与x轴有交点等价于
①
或②
由①得，由②得
所以实数的取值范围为
解法二：同解法一，问题等价于方程在[0,2]上有解，故可以转化为函数值域问题。
等价转化为，当时，方程不成立；当时，方程转化为；当时，函数，即当时原方程有解，
由，即所求实数的取值范围为.
例1.8变式1
解析先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。
因为，当时，不符合题意，所以，即，又，所以.
例1.8变式2
解析,故选D
例1.8变式3
解析解法一：,所以,得.
解法二：
. 故选D
例1.9变式1
解析由可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，故选B.
例1.9变式2
分析本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。
解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-人，喜爱足球不喜爱篮
球的有人，故有
.
U
图1-12
8x-7
15-x
x
足球
篮球
例1.10变式 1
解析 如图1-13所示，因为
，所以
，所以
，故选A
N
M
I 图1-13
例1.11变式1 解析 由于，故整数1一定在T,V 两个集合中的一个中，不妨设
，则
，由于
，
则
，即
，从而T 对乘法封闭；另一方面，当
时，T 关于乘
法封闭，V 关于乘法不封闭，故D 不对，当时，T,V 显然关于乘法都是封闭的，故
B,C 不对，故选A
例1.11变式2 解析 （1）因为，故集合
不具有性质P ，集合具有性质P ，其
相应的集合S 和T 是
. （2）首先，由A 中元素构成的有序数对 共有个，因为
，所以
又
因为
时，
，所以当
时，
，从而集合T 中元素的个
数最多为,即 .
例1.11变式3
解析（1）当n=4时，，满足条件的集合A 有。所以
.
（2）解法一：任取偶数
，则必有奇数
，使得
。若
，则
，即为偶数，为奇数；若，则，即为奇数，为偶数。所以，任意偶数是否属于集合A，完全由奇数确定。
设集合是由集合中所有奇数组成的集合，则等于集合的子集个数，即。解法二：易得,
当为奇数时，集合中满足条件的集合A有个,对于集合，考虑元素n，因为n为奇数，所以均可，故.
即，叠乘得.
当为偶数时，集合中满足条件的集合A有个。
对于集合，考虑元素n，因为n为偶数，所以，即n是否属于集合A,完全由确定。而集合中，对于每一个满足条件的集合A，元素是否属于集合A均是确定的，故为奇数，所以
综上，.
评注：①数列的核心是递推，先从特殊的几个数（n=1,2,3，…….）入手，关键在于发现与的
关系，从而发现一般规律，再给予证明。
②递推法是处理数列问题（乃至大学学习计算机等方面）的“杀手锏”，请读者深思体会，并能灵活运用。
最有效训练题1
1.D 解析因为，所以
，故选D.
2.B 解析因为，所以
，故选B
3.A 解析阴影部分所表示的集合为，而，故，
故选A. 4.C 解析 因为
，，如图1-14所示，利用数轴可
得.故选C.
M
C I P 图1-14
a
2-2O
5. C 解析 由
，即
，如图1-15所示，
x
x
图1-15
a +1
a-15
1
或
5
1a+1a-1
由图可知，所以
，故选C
6. D 解析 因为，所以，又
，所以
.故选D 7. -1 解析
，所以
，此时，不满足集合
元素的互异性，故舍去.若
，同样
舍去，当
时，
，满足题意，所以
.
8.1 解析 依题意 ，所以,
从而
故A 中只有三个元素，
它们的积为 .
9.解析由，得，则，解得，所以的取值范围是.
10.解析解法一（直接法）即原方程有一个负根或两个负根，所以
,解得,则实数的取值范围是
解法二：（间接法）设全集
} ,设方程
的两根为若方程的根式均非负，则,解得.因为，所以关于的补集即为所求.
11.解析
设,
因为. 所以,故.证毕
12.解析（1）当时，集合，集合不具有性质P，因为对任意不大于10的正整数，都可以找到集合B中两元素，使得成立。
集合具有性质P，
因为可取，对于该集合中任意一对元素,都有
（2）若集合S具有性质P ,那么集合一定具有性质P .
首先因为，任取，其中，因为，所以，从而，即，所以。由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数，使得对S中的任意一对元素，都有，对上述取定的不大于n的正整数，
从集合中任取元素，其中，都有，因为，所以有，即，所以集合具有性质P
高考数学集合专项知识点总结
高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
集合与函数知识点归纳
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