备战2022年上海高考数学一轮复习考点微专题考向07 对数函数(解析版)
考向07 对数函数
1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6
【答案】C
【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则1
0.1
10
10
1110
10
0.81.25910
V -
-===≈≈. 故选：C.
2．（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2
n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若
对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()
lg()
b b b b b b b b =________
【答案】2
【详解】由2
n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，
则2()n n a b n b a b ==，则2222
1429311641()(),(),,()b b b b b b b b =====
所以2
149161234()b b b b b b b b =，
所以
21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()
lg )
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===
1.对数值取正、负值的规律
当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0.
2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
1.对数的概念
一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log a(MN)＝log a M＋log a N；
②log a M
N＝log a M－log a N；
③log a M n＝n log a M(n∈R)；
④log a m M n＝n
m log a M(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：log b N＝log a N
log a b(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>10 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x >1时，y >0； 当0 在(0，＋∞)上是减函数 一、单选题 1．（2021·全国高一专题练习）若7 log x y z =，则x ，y ，z 之间满足（ ） A ．7z y x = B ．7z y x = C ．7z y x = D ．7x y z = 【答案】B 【分析】根据指对互化，再化简. 【详解】7 log x y z =，7z y x ∴=，()7 7z z y x x ∴==. 故选：B 2．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a C ．b D ．c 【答案】A 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b < ，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出4 5 c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()2 2 2 528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫ ++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得4 5 b <； 由13log 8 c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得4 5 c >. 综上所述，a b c <<. 故选： A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题 3．（2021·河南高三其他模拟（文））已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()10n n a a n N ++=∈，前n 项和 为n S 满足()2 211 ,102 n n n S n N n + -+=-∈≤；数列{}n b 满足：()12n n b b n N ++=∈，且11b =，11n n n b b n +=+，(),12n N n +∈≤，则数列{}n n a b ⋅的第2020项的值为______. 【答案】 1 4 【分析】根据()10n n a a n N ++=∈可知数列{}n a 周期为10，并根据n S 求得{}n a 在10n ≤时的通项公式.又 ()12n n b b n N ++=∈可知数列{}n b 周期为12，再求出1 n b n = ，分析{}n n a b ⋅的周期再求解即可. 【详解】当1n =时,1121119 22 a -+=- =； 当2n ≥时, ()()2 2 112111 21122 11n n n n n n n a n S S ----+-+=-=+=--, 故19 ,1 2 11,210 n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-≤≤⎩, 又∵11b =,11 n n n b b n +=+,∴()111n n nb n b +=+=(),12n N n +∈≤， 所以1 n b n = (),12n N n +∈≤, 又数列{}n a ,{}n b 的公共周期为60,所以202020204040a b a b ⋅=⋅, 而40101a a ==,4041 4 b b ==,所以20202020404014a b a b ⋅=⋅= 故答案为： 14 【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题. 4．（2020·北京高考真题）函数1 ()ln 1 f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得0 10x x >⎧⎨+≠⎩ ，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 一、单选题 1．（2021·上海华师大二附中高三三模）若()23()x f x x =+∈R ，则1()y f x -=的定义域是（ ） A ．R B ．(5,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(0,)+∞ 【答案】C 【分析】由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域 【详解】解：因为20x >，所以233x +>， 所以()23()x f x x =+∈R 的值域为(3,)+∞， 所以1()y f x -=的定义域为(3,)+∞， 故选：C 2．（2021·上海高三二模）函数()2 0y x x =≤的反函数为（ ）． A ．()0y x x =≥； B ．()0y x x =-≥； C ．()0y x x =≤； D ．()0y x x =-≤． 【答案】B 【分析】求得原函数值域，并用y 表示x ，由反函数定义可直接得到结果. 【详解】当0x ≤时，20y x =≥，又x y =-， ()20y x x ∴=≤的反函数为()0y x x =-≥. 故选：B. 3．（2020·上海高三一模）下列函数中，值域为()0 ,+∞的是（ ） A ．2y x B ．2 y x = C ．2x y = D ．2log y x = 【答案】C 【分析】由题意利用基本初等函数的值域，得出结论． 【详解】解：函数2y x 的值域为[0，)+∞，故排除A ； ∴函数2 y x = 的值域为{|0}y y ≠，故排除B ； 函数2x y =的值域为(0,)+∞，故C 满足条件； 函数2|log |y x =的值域为[0，)+∞，故排除D ， 故选：C ． 4．（2021·上海华师大二附中高三三模）设D 是(0,)+∞的一个子集，称函数()()y f x x D =∈为“机智”的，若存在奇函数()y g x =，使得(lg )()10g x f x =，有两个命题：①若对任意x D ∈，都成立1D x ∈，11() f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()y f x =是“机智”的；②若对任意1,x D x ∈，都成立11() f x f x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭，则()y f x =是“机智”的；则下列判断 正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①､②都是假命题 D ．①､②都是真命题 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性定义，直接判断求解即可 【详解】()y g x =为奇函数，()()g x g x -=-， ()() ()()()()1lg lg lg 11110 ,10101010g g x g x g lgx x g lgx f x f x f x ⎛⎫ ⎪--⎝⎭⎛⎫ ====== ⎪⎝⎭ 故选：D 5．（2021·上海市控江中学高三三模）已知()y f x =与()y g x =皆是定义域、值域均为R 的函数，若对任意 x ∈R ，()()f x g x <恒成立，且()y f x =与()y g x =的反函数1()y f x -=、1()y g x -=均存在，命题P ：“对任 意x ∈R ，11()()f x g x -->恒成立”，命题Q ：“函数()()y f x g x =+的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ） A ．命题P 真，命题Q 真 B ．命题P 真，命题Q 假 C ．命题P 假，命题Q 真 D ．命题P 假，命题Q 假 【答案】D 【分析】利用反函数的定义和原函数与反函数关于直线y x =的对称性，通过列举的方式加以说明即可 【详解】由题，可设，与0,0()1,0x y f x x x =⎧⎪==⎨≠⎪⎩，与1,0()1 1,0x y g x x x =⎧⎪ ==⎨+≠⎪⎩ 其反函数1 0,0()1,0x y f x x x -=⎧⎪==⎨≠⎪⎩，1 0,1 ()1,11 x y g x x x -=⎧⎪==⎨≠⎪-⎩均存在， 命题p ：对任意x ∈R ，11()()f x g x -->恒成立” 由图象关于y x =直线对称可知P 是错误的． 如图： 对命题Q ： 可 设(),1,2,33,11,22 ,3 x x x f x x x ≠⎧⎪=⎪ =⎨ =⎪⎪=⎩，()3,2,3 ,21,3x x g x x x -≠⎧⎪ ==⎨⎪-=⎩ 令()()()h x f x g x =+，存在()()23=1h h =，根据反函数特征，若函数存在反函数， 则不能存在一个y 值对应两个x 的情况，说明()h x 不存在反函数 故命题P 假，命题Q 假 故选：D ． 6．（2020·上海高三一模）已知a b R ∈、，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ． 11 a b < B ．ln ln a b > C ．22a b > D ．22a b > 【答案】D 【分析】对A ，C 利用特殊值即可判断；对B ，由对数函数的定义域即可判断，对D ，由指数函数的单调性即可判断. 【详解】解：对A ，令1a =，2b =-， 则满足a b >，但 11 a b >，故A 错误； 对B ，若使ln ln a b >， 则需满足0a b >>，但题中a b R ∈、，故B 错误； 对C ，同样令1a =，2b =-， 则满足a b >，但2214a b =<=，故C 错误； 对D ， 2x y =在R 上单调递增， ∴当a b >时，22a b >，故D 正确. 故选：D. 二、填空题 7．（2021·上海高三其他模拟）已知()f x 的图象经过点()2,3，()f x 的反函数为()1 f x -，则()12f x --的图 象必经过点___________. 【答案】()5,2 【分析】求出函数()1 f x -的图象所过定点的坐标，进而可求得函数()12f x --的图象所过定点的坐标. 【详解】由题意可得()23f =，则()132f -=，即()1 522f --=，故函数()12f x --的图象必过点()5,2. 故答案为：()5,2. 8．（2021·上海高三三模）函数()()1 3,0f x x f -=+=__________. 【答案】3- 【分析】由原函数解析式写出反函数解析式，注意定义域，进而求()1 0f -. 【详解】由题设知：12()3(0)f x x x -=-≥， ∴()1 03f -=-. 故答案为：3-. 9．（2021·上海市建平中学高三三模）已知集合{}2log 1A x x =≤，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =_________. 【答案】{}1,2 【分析】由对数函数单调性，求出集合A ，再根据交集的定义即可求解. 【详解】解： {}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{1,0,1,2,3}B =-， {}1,2A B ∴=， 故答案为：{}1,2. 10．（2021·上海高三二模）若函数()f x x a =-的反函数的图象经过点(2,1)，则a =___________. 【答案】3- 【分析】由条件可知函数过点()1,2，代入后即可求得a 的值. 【详解】根据反函数的定义可知，函数()f x x a =-的反函数的图象经过点(2,1)， 则函数()f x 经过点(1,2)， 所以21a =-，解得3a =-. 故答案为：3-. 11．（2021·上海高三二模）方程42log 13x +=的解x =___________． 【答案】4 【分析】根据对数的定义可得． 【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =． 故答案为：4． 12．（2021·上海高三二模）已知常数m ∈R ，若函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)，则m =________ 【答案】0 【分析】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果. 【详解】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)， 所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =. 故答案为：0. 13．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知函数()2log (1)a f x x =++ （0a >，且1a ≠）．若()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)，则a =_____________． 【答案】13 【分析】函数与其反函数图象关于直线y x =对称，则(2,1)在已知函数图象上，代入求解a . 【详解】 ()f x 与其反函数图象关于直线y x =对称，()y f x =的反函数的图像经过点(1,2)， 则()2log (1)a f x x =++的图像经过点(2,1)，所以12log (21)a =++， 即log 31a =-，解得1 3a =. 故答案为：1 3 . 【点睛】函数与其反函数的图象关于直线y x =对称. 14．（2020·上海高三一模）设集合(){} 2 lg 45A x y x x ==-+，则A =__________. 【答案】R 【分析】求解函数()2 lg 45y x x =-+的定义域，即只需满足2450x x -+>即可. 【详解】要使函数( ) 2 lg 45y x x =-+有意义，则只需2450x x -+>，又∆<0, 所以不等式2450x x -+>的解集为R ，故A R =. 故答案为：R . 【点睛】求解有关对数型复合函数的定义域时，只需满足真数部分大于零，然后求解关于x 的不等式得到答案. 15．（2021·上海格致中学高三三模）已知数列{}n a 是公比q 不等于1的正项等比数列，1109a a a ⋅=，则 ()1012 9log a a a a ⋅=_________. 【答案】 27 8 【分析】先求得21a =，再求得27129a a a q ⋅⋅⋅=，810a q =，进而可得结果. 【详解】依题意可知，正项等比数列{}n a 的公比0q >，且1q ≠. 由等比数列性质可得11029a a a a ⋅=⋅，又1109a a a ⋅=，所以21a =. 所以()()9 9 32712952a a a a a q q ⋅⋅ ⋅==⋅=，88 102a a q q =⋅=， 从而，()()8102727 1298lg 27 log log =lg 8 a q q a a a q q ⋅⋅⋅==. 故答案为： 278 . 16．（2021·上海格致中学高三三模）函数2()1(0)f x x x =+≥的反函数为1()y f x -=，1(3)f -=__________. 【答案】22 【分析】根据互为反函数的函数间的关系，求反函数值问题可转化为原函数求自变量求解. 【详解】由2()1(0)f x x x =+≥的反函数为1()y f x -=， 令2()1=3(0)f x x x =+≥， 解得22x =， 所以1(3)22f -= 故答案为：22 17．（2021·上海高三三模）不等式22ln ln 0x x -<的解集是________. 【答案】()2 1,e 【分析】由对数运算法则得2ln 2ln x x =，把ln x 作为一个整体解一元二次方程，再由对数函数性质得解． 【详解】由2 2 ln ln 0x x -<得，() 22 0ln 21,(ln )2ln 0 x x x e x x >⎧⇒<<⇒∈⎨-<⎩． 故答案为：()2 1,e 18．（2021·上海位育中学高三三模）已知全集{} 2U x x =<，集合{}2log 1P x x =<，则U P =________. 【答案】(]2,0- 【分析】求出集合U 、P ，利用补集的定义可求得集合 U P . 【详解】因为集合{} ()22,2U x x =<=-，{}()2log 10,2P x x =<=，因此，(]2,0U P =-. 故答案为：(]2,0-. 19．（2021·上海市大同中学高三三模）函数2tan y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 的反函数为_________. 【答案】arctan y x =((0,)x ∈+∞) 【分析】先求出tan x ，再由反函数定义即可得解. 【详解】因0,2x π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，则tan (0,)x ∈+∞，tan ,arctan x y x y ==， 所以所求反函数为arctan y x =((0,)x ∈+∞). 故答案为：arctan y x =((0,)x ∈+∞) 20．（2021·上海高三二模）方程()()55log 4111log 23x x --=-的解为x =___________． 【答案】2 【分析】结合对数运算以及指数运算，解方程求得x 的值. 【详解】依题意()()55log 4111log 23x x --=-， ()55411log log 235x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 411 2305 x x -=->， ()2 25240x x -⋅+=， ()() 2 1240x x --=， 即21x =或24x =， 解得0x =或2x =， 当0x =时，2320x -=-<，不符合题意，舍去. 所以2x =. 故答案为：2 21．（2021·上海高三二模）方程2 39(log )log 32x x +=的解集为__________. 【答案】33,9⎧⎫⎪ ⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 【分析】对()2 39log log 32x x +=变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可． 【详解】 () 2 39log log 32x x +=， ∴()()()()22 3333311log log 3log log 3log 222 x x x x +=++= 即：()2 3313log log 022 x x +-=，令3log t x =， 则方程可化为2 13022t t +-=，解得：1t =或32 t =-， ∴3x =或()3 23x -= ∴3x =或39 x = ∴方程()2 39log log 32x x +=的解集是：33,.9⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 故答案为：33,9⎧⎫⎪ ⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ . 【点睛】关键点睛：本题的关键一是对数运算性质及转化思想，二利用换元方法求解． 22．（2021·上海高三二模）已知奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x ∈时，2()log f x x =，则(7.5)f 的值为_______． 【答案】1 【分析】由条件可得()()(7.5)0.50.5f f f =-=-，然后可得答案. 【详解】因为奇函数()y f x =的周期为2，且当(0,1)x ∈时，2()log f x x = 所以()()2(7.5)0.50.5log 0.51f f f =-=-=-= 故答案为：1 三、解答题 23．（2021·上海华师大二附中高三三模）已知()212 ()log 610f x x x =-+. （1）解不等式：()1f x ≤-； （2）若()y f x =在区间[,1]a a +上的最小值为2-，求实数a 的值. 【答案】（1）4x ≥或2x ≤；（2）23+或33-. 【分析】（1）由对数函数的性质求解不等式即可； （2）由题意可得()y f x =在区间[,1]a a +上的最小值22(3)1t x -⇔=-+，在[,1]∈+x a a 上的最大值为4，然后分3a >和13a +<讨论即可得答案 【详解】（1）() 2610222 1 12 2 log 1log 6100,61024x x x x x x x -+≤-=⇒-+>-+≥⇒≥或2x ≤； （2）令22610(3)1t x x x =-+=-+，则 ()y f x =在区间[,1]a a +上的最小值22(3)1t x -⇔=-+，在[,1]∈+x a a 上的最大值为4， 当15 3,22a a +≥≥时，2(3)1t x =-+，2max (13)1423t a a =+-+=⇒=+； 当15 3,22 a a + <<，2(3)1t x =-+，2max (3)1433t a a =-+=⇒=-. 综上，23a =+或33- 24．（2020·上海高三一模）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v （单位：/m s ）和燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）满足2000 1v M e m ⎛⎫=+ ⎪ ⎝ ⎭（e 为自然对数的底）. （1）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/m s ）结果精确到0.1）； （2）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8000/m s （结果精确到0.1）. 【答案】（1）2197.2 /v m s =；（2）53.6M m ≈. 【分析】（1）将2000 1v M e m ⎛⎫=+ ⎪ ⎝ ⎭化为：2000 ln 12000ln 1M M v m m ⎛⎫ ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，然后将2M m =代入2000 1v M e m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中求解v 即可； （2）将8000v =代入得ln 14M m ⎛⎫ + = ⎪ ⎝⎭ ，然后进行指对互化求解M m 的值. 【详解】解：因为2000 1v M e m ⎛⎫ =+ ⎪ ⎝ ⎭，所以2000 ln 12000ln 1M M v m m ⎛⎫ ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭ ， 当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，将2M m =代入得： 2000ln32197.2 /v m s =≈； （2）令8000v =，即80002000ln 1M m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得ln 14M m ⎛⎫ + = ⎪⎝ ⎭ ，解得4153.6M e m =-≈. 一、单选题 1．（2021·上海高三二模）在平面直角坐标系中，角θ（32 π πθ<< ）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过函数()2x f x =-与12()log ()g x x =--的交点，角(0,)4 πα∈，则（ ） A ．2 1cot()2θα-<+<- B ．21tan()2θα-<+<- C ．21cos()2 θα-<+<- D ．21sin()2 θα-<+<- 【答案】D 【分析】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54 πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 再判断函数值的范围，判断选项. 【详解】因为 122 ()2()log ()log (),x f x g x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上， 又32ππθ<< ，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，所以53, 42ππθα⎛⎫ +∈ ⎪⎝⎭ ， 所以()()2tan()1,,cot()0,1,sin()1,2θαθαθα⎛⎫+∈+∞+∈+∈-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 故选:D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小. 二、填空题 2．（2021·上海高三其他模拟）若函数()2245 x a f x x x +=-+的反函数的图象关于点()1,2对称，则a =___________. 【答案】3- 【分析】由反函数的性质可得函数()f x 的图象关于点()2,1对称，则()21f =，由此即可求解. 【详解】由2450x x -+>恒成立，可得函数的定义域为R ， 由反函数的性质可得函数()f x 的图象关于点()2,1对称， 则()21f =，即22212425 a +=-⨯+，解得3a =-， 故答案为：3-. 3．（2020·上海高三一模）对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12,x x ≠，使得 221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ，若函数2()|log 1|,g x x =-且(0,]x a ∈有性质M ，则 实数a 的最小值为_____. 【答案】222+ 【分析】设12x x <，由()()2212f x f x =，可得22124x x =，结合()()()2 1221221222log 2log 2 f x x x x x x +=+-=+-可得42 11448x x ++=，进而求得1x ，2x ，由此得解． 【详解】解：设12x x <，由()()22 12f x f x =得，222122log 1log 1x x -=-， 则22 21221log log 1x x -=-，故22212log 2x x =， ∴()2222 12122,42x x x x =<>， 又()()()2 1221221222log 2log 2f x x x x x x +=+-=+-， ∴()2 221221log 21log x x x +-=-， ∵21224x x = ，∴2221212 14log 421log x x x ⎛⎫ ++-=- ⎪⎝⎭ ， 则()42211log 443x x ++=，∴42 11448x x ++=， 1222x ∴=-，故2222x =+， 222a ∴≥+，则实数a 的最小值为222+． 故答案为： 222+． 【点睛】本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题． 4．（2020·上海高三一模）设集合(){}(){} ,4,,,62 8,x x A x y y x R B x y y x R = =∈==⨯-∈，则 A B =__________． 【答案】()(){}1,4,2,16 【分析】先分析集合A 的元素是曲线4x y =上的点，集合B 的元素是曲线628x y =⨯-上的点，A B 的元素 是两个曲线的交点，所以解方程4628x x y y ⎧=⎨=⨯-⎩ 即可求解 【详解】由题意可知曲线4x y =上的点构成集合A ，曲线628x y =⨯-上的点构成集合B ， 所以A B 的元素是两个曲线的交点的坐标， 由4628x x y y ⎧=⎨=⨯-⎩可得4628x x =⨯-， 则() 2 2 6280x x -⨯+=，解得22x =或24x =，所以14x y =⎧⎨=⎩或2 16 x y =⎧⎨=⎩， 所以()(){}1,4,2,16A B ⋂=， 故答案为：()(){}1,4,2,16 5．（2021·上海高三其他模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[)2,2x ∈-时，()143x f x x ⎛⎫ =-- ⎪⎝⎭ ， 则()()33log 6log 54f f -+=______． 【答案】 32 【分析】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解． 【详解】解：因为函数()f x 的周期为4，当[2x ∈-，2)时，1()()43 x f x x =--， 3163333111 (log 6)(log )()log 42log 6636 log f f ∴-==--=+； 2 33333333321233 (log 54)(3log 2)(log 21)(log )()log 4log 214log 2333322 log f f f f =+=-==--=-+-=--； 333333 (log 6)(log 54)2log 6log 2322 f f ∴-+=++ --=； 故答案为：3 2 ． 【点睛】本题主要考查函数函数周期性的应用以及对数值的运算，属于中档题． 三、解答题 6．（2021·上海高三其他模拟）已知函数()()()2log log 2a a f x x n n x =---，其中0a >且1a ≠，n ∈Z . （1）若6n =，求不等式()0f x >的解集； （2）若存在x ∈Z 使()0f x >，求n 的取值范围. 【答案】（1）()6,8；（2）6n ≥且n Z ∈. 【分析】（1）分01a <<和1a >两种情况，利用对数不等式的运算性质以及单调性进行分析求解即可； （2）分01a <<和1a >两种情况，分别研究()221220x n x n n +-+-<和()22 1220x n x n n +-+->有解问题， 即可得到答案. 【详解】（1）函数()()()2log log 2a a f x x n n x =---，其中0a >且1a ≠，n ∈Z ， 若6n =，不等式()0f x >，即()()2log 6log 120a a x x --->， 即()()2log 6log 12a a x x ->-， ∴当1a >时，()()2 612x x ->-，且612x <<， 解得812x <<，故不等式的解集为()8,12； 当01a <<时，()()2612x x -<-，且612x <<， 解得68x <<，故不等式的解集为()6,8. （2）因为存在0x ∈Z 使()0,2x n n ∈，故2n ≥或2n ≤-， 存在x ∈Z 使()0f x >，即()()2 log log 2a a x n n x ->-能成立， 当01a <<时，()2 2x n n x -<-，即()22 1220x n x n n +-+-<有解， 当1a >时，()2 2x n n x ->-，即()22 1220x n x n n +-+->有解， 令()()22 122h x x n x n n =+-+-，则存在1x ，2x ∈Z 且1x ，()2,2x n n ∈， 所以()10h x <，()20h x >且()()2 2 12420n n n ∆=--->，因为()220h n n =>， 则1 4n >-，故2n ≥，又()0h n n =-<，故()h x 在(),2n n 中有唯一的零点t ， 则1412t n n =++-，此时需要1t n ->，21n t ->，解得5 72 n >+，又n Z ∈， 所以n 的取值范围为6n ≥且n Z ∈. 7．（2021·上海格致中学高三三模）“弗格指数log a x b f x b +=-”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标，其中b 是该地区的最低保障收入系数，a 是该地区收入中位系数，x 是该地区收入均值系数，经换算后，a 、b 、x 都是大于1的实数，当(1,2)f ∈时，该地区收入均衡性最为稳定. （1）指出函数()log a x b g x f x b +==-的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经测算，某地区的“弗格指数”为0.89，收入均值系数为3.15，收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01）？ （2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a 、b 表示）. 【答案】（1）定义域为(),b +∞，()g x 在(),b +∞上 单调递减，实际意义见解析，1.04；（2）22 (,)11 a b b ab b a a ++--. 【分析】（1）由 0x b x b +>-及1x >且1b >可得函数()g x 的定义域；由复合函数的单调性可得函数()g x 的单调性；将0.89f =， 3.15x =， 2.17a =代入函数()g x ，用计算器可求得b ； （2）解不等式1log 2a x b x b +⎛⎫ << ⎪-⎝⎭ 可得结果. 【详解】（1）要使函数()g x 有意义，则 0x b x b +>-，又1x >且1b >，解得x b >， 所以，函数()g x 的定义域为(),b +∞； 令()x b t x b x b += >-，则log a f t =. 因为21x b b t x b x b += =+--，所以当(),x b ∈+∞时，函数t 单调递减； 又1a >，所以log a f t =在()0,∞+上单调递增， 故log a x b f x b +=-在定义域(),b +∞上是减函数. 其实际意义是：当该地区收入均值系数x 大于该地区的最低保障收入系数b 时，收入均 值系数x 越大，弗格指数f 越小. 将0.89f =， 3.15x =， 2.17a =代入函数得 2.17 3.150.89log 3.15b b +⎛⎫ = ⎪-⎝⎭ ， 所以()0.89 0.890.892.171 3.153.15 2.173.15 2.171 b b b -⨯+=⇒= -+，用计算器可解得 1.04b ≈. （2）要使该地区收入均衡性最为稳定，则(1,2)f ∈， 即1log 2a x b x b +⎛⎫ << ⎪-⎝⎭ ，又1a >，所以2x b a a x b +< <-， 即2211b a a x b -<<--，又x b >，1a >，所以211 121x b a b a -<<--， 解得2211 a b b ab b x a a ++<< --， 即该地区收入均值系数x 的取值范围是22,11a b b ab b a a ⎛⎫ ++ ⎪--⎝ ⎭. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是解不等式1log 2a x b x b +⎛⎫ << ⎪-⎝⎭ . 8．（2021·上海高三二模）设0a >且1a ≠，t R ∈，已知函数()log (1),()2log (2)a a f x x g x x t =+=+. （1）当1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解； （2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间1,2上有零点，求t 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）2t ≤-或22 4 t +≥ . 【分析】（1）根据题意得log (1)2log (21)a a x x +≤-，进而分01a <<和1a >两种情况求解即可； （2）由题知2 ()22F x tx x t =+-+，进而根据已知条件得2122(2)422x x t x x -⎡ ⎤=-=-+++⎢⎥++⎣⎦ ，再结合对勾函数性质即可得11 02t -≤<或10422t <≤-，进而求得答案. 【详解】解：（1）1t =-，不等式()()f x g x ≤可化为log (1)2log (21)a a x x +≤- 若01a <<，则21(21)210 x x x ⎧+≥-⎨->⎩，解得15 24x <≤， 所以不等式()()f x g x ≤的解集为1524⎛⎤ ⎥⎝⎦ ，. 第6节对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2 的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数. 1.对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝n log a M(n∈R). (3)换底公式：log b N＝log a N log a b(a，b均大于零且不等于1，N>0). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>10 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0) 当x >1时，y >0；当0 第07讲 三角函数图像与性质 【考点梳理】 一、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫3π2，－1， (2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象 定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2 } 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫k π2，0 对称轴方程 x ＝k π＋π2 x ＝k π 无 二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质 1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － φ ω － φω＋π2ω π－φ ω 3π2ω－φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) A －A 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2π ω f ＝1T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径 4.三角函数应用 (1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流. (2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数. (3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案. 【解题方法和技巧】 1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质. 3.数形结合是本节的重要数学思想. 专题10 对数与对数函数 【考点预测】 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N a ，读作以a 为底N 的对数； ②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则： ①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠； ②log N a a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c b b a = ； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log a a a M M N N =-； ⑥log log (m n a a n b b m m = ，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1 log log a b b a = ； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象 【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图) 【题型归纳目录】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331 log 2327lg 50lg 2+++； （2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求2 315 1 log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35 例3．（2022·全国·高三专题练习）（1 ）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=； （2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值． 例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（ ） A ．a ＋b ＝100 B ．b －a ＝e a 增大 a 增大 考向07 对数函数 1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6 【答案】C 【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则1 0.1 10 10 1110 10 0.81.25910 V - -===≈≈. 故选：C. 2．（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若 对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg() lg() b b b b b b b b =________ 【答案】2 【详解】由2 n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项， 则2()n n a b n b a b ==，则2222 1429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2 149161234()b b b b b b b b =， 所以 21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()() lg ) b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b === 1.对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲对数与对数函数 练好题·考点自测 1.[2019某某,5分]在同一直角坐标系中,函数y=,y=log a(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是( A B C D 2.[2020全国卷Ⅰ,5分]设alog34=2,则4-a= ( A. B. C. D. 3.[2020全国卷Ⅱ,5分]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( A.是偶函数,且在(,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(-,)单调递减 C.是偶函数,且在(-∞,-)单调递增 D.是奇函数,且在(-∞,-)单调递减 4.[2020全国卷Ⅲ,5分]已知55<84,134<8 5.设a=log53,b=log85,c=log138,则( A.a 考向12 函数的图象 【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦ ， 则()()()() ()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ； 又当0,2x π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A. 【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ） A ．3231x x y x -+=+ B ．321 x x y x -=+ C ．22cos 1 x x y x = + D ．22sin 1 x y x = + 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】 设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 时，0cos 1x <<， 所以()2 22cos 2111 x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则 ()2sin 33010 g =>，故排除D. 故选：A. 1.函数图象的画法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 第六节 对数与对数函数 【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，把握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2，10，1 2的对数函 数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 假如a x ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alog a N ＝N ；②log a a b ＝b(a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝ log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)． (3)对数的运算性质：假如a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M·N)＝log a M ＋log a N ， ②log a M N ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 4.反函数 指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 1．(质疑夯基)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x.( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (4)当x ＞1时，若log a x ＞log b x ，则a ＜b.( ) 专题10 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用 ★★★ ○○○○ 1．对数函数的图象 函数y＝log a x，a>1y＝log a x,0 研究对数型函数图象的思路 研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0 高考数学一轮总复习学案： 第8讲 对数函数 1．对数函数的图象与性质 a >1 01时，y >0； 当0 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( ) (2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏 常见误区| (1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误． 1．函数f (x )＝log 2x 2 的单调递增区间为____________． 解析：设t ＝x 2 ，因为y ＝log 2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2 的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当00，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象 大致是( ) (2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦ ⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________． 【解析】 (1)由于y ＝a |x | 的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项 新高考数学复习考点知识与题型专题讲解 21 对数函数的概念 1．对数函数的概念 函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________． 温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的． (2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1. 2．对数函数的图象及性质 注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0 答案：x (0，＋∞) 题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2 ln 2()|| x f x x x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2 2 22ln ()||ln x x x f x f x x x x ---= ==---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11 ()2ln 024 f =<，故排除D. 故选：B 题型二 对数函数的图像问题 2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 题型三 对数函数的单调性 3．函数()12 log f x x =的单调递增区间是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．(]1,2 C ．[)1,+∞ D ．()0,∞+ 【答案】C 【解析】由11 2211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩ ， 而对数函数 12 log y x =在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数， 所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C 题型四 对数函数的最值及参数问题 4．已知()()2 ln 1f x x =+，()12x g x m ⎛⎫ =- ⎪⎝⎭ ，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,4⎡⎫ +∞⎪⎢⎣⎭ 2021年高三数学一轮复习 专项训练 指数函数、对数函数（含解析） 1．(12分)已知函数f (x )＝2x －1 2x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数． (1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－2 2x ＋1 ，所以f (－x )＋f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－22x ＋12x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1 第二章 函数、导数及其应用 授课提示：对应学生用书第247页 [A 组 基础保分练] 1．(2021·重庆第一次模考)已知log 23＝a ，log 35＝b ，则lg 6＝( ) A.11＋ab B ．a 1＋ab C.b 1＋ab D ．a ＋11＋ab 答案：D 2．(2021·济南模拟)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋1 2，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．2 答案：C 3．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝2 3，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 解析：∵3log 32＝log 38＜2，∴log 32＜2 3，即a ＜c . ∵3log 53＝log 527＞2，∴log 53＞2 3，即b ＞c . ∴a ＜c ＜b . 答案：A 4．已知a ＞b ＞0，且a ＋b ＝1，x ＝⎝⎛⎭⎫1a b ，y ＝log ab ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，z ＝log b 1a ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x ＞z ＞y B ．x ＞y ＞z C ．z ＞y ＞x D ．z ＞x ＞y 答案：A 5．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎦⎤0，1 2 C.⎝⎛⎭⎫1 2，＋∞ D ．(0，＋∞) 答案：A 6．(多选题)(2021·山东潍坊五县联考)已知a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则( ) A ．∃x ，y ＞0，使得a ＜b ＜c ＜d B ．∀x ，y ＞0，都有c ＝d C ．∃x ，y 且x ≠y ，使得a ＝b ＝c ＝d D ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1 解析：a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则lg a ＝lg 2x ，lg b ＝lg 2y ，lg c ＝lg x lg y ，lg d ＝lg x lg y ，则∀x ，y ＞0，都有c ＝d ，故B 正确，A ，C 不正确；对于D ，假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若x ＞10，y ＞10，则a ＞1，b ＞1，c ＞1，d ＞1，则假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确． 答案：BD 7．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1 y ＝2，则A 的值是________． 答案：7 2 8．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为________． 答案：(－4,4] 9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦ ⎤0，3 2上的最大值． 解析：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，所以a ＝2. 2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数 一．选择题（共7小题） 1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( ) A ．[0，3] B ．(0，3] C ．[0，)+∞ D ．(-∞，3] 2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ． 3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，8] B ．21(,)4-∞ C ．(,8)-∞ D ．21(,]4 -∞ 5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．c b a << D ．a b c << 6．已知1 2a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正 确的是( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 7．若1a >，则1()x y a =与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ． 二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( ) A ．3y x = B ．1y x x =+ C ．1y x x =- D ．22x x y -=+ 9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( ) A ．12x y -= B ．21y x = C ．(1)y ln x =+ D ．||y x = 10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( ) A ．()f x x = B ．()||f x x x = C ．()22x x f x -=- D ．2()f x x = 三．填空题（共5小题） 11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ． 12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ． 课时规范练 (授课提示：对应学生用书第225页) A 组 基础对点练 1．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( D ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝ 1 x 2．(2017·滨江区校级期末)已知a ＝， b ＝log 91 3，c ＝，则a ， b ， c 的大小关系是( B ) A ．c >b >a B ．c >a >b C ．b >c >a D ．b >a >c 3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( D ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1 4．函数y ＝⎩⎨⎧ 3x ，x ∈(－∞，1)， log 2x ，x ∈[1，＋∞) 的值域为( D ) A ．(0,3) B ．[0,3] C ．(－∞，3] D ．[0，＋∞) 5．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( B ) 6．(2016·高考全国卷Ⅰ)若a >b >1,0 A ．a c log 0.8130＝log 0.81＝0. ∴b ＜a ＜c .故选A. 8．(2017·城固县校级期中)已知函数f (x )＝2log 12 x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是 ( A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤12，2 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤ －∞，22∪[2，＋∞) 解析：∵函数f (x )＝ 的值域为[－1,1]， 化简可得1 2≤x 2≤2. 再由x ＞0可得22≤x ≤2，故函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 22，2，故选A. 9．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C ) A ．a 1b C ．ln(a －b )＞0 D ．3a －b ＜1 解析： 第0７讲函数的图象－--讲 1. 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2。高考预测: (1）函数图象的辨识 (2）函数图象的变换 （3）主要有由函数的性质及解析式选图;由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题.常常与导数结合考查。 3．备考重点 (1）基本初等函数的图象 (2）两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用 知识点1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1）确定函数的定义域；(2)化简函数解析式;（3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；（４）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线． 【典例1】【20１８年全国卷Ⅲ理】设函数． （1)画出的图象; （2)当，,求的最小值. 【答案】(1)见解析;（２) ﻬ【解析】 （1）的图象如图所示. (2）由（1）知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅 当 且 时, 在 成立，因此 的最小值为． 【规律方法】 函数图象的画法 (1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出． （2）转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象． 【变式1】【北京海淀十一学校2０1７—２018学年高一上期中】对、,记 ,函数 . (1)求,. （２）写出函数的解析式，并作出图像． ﻬ （3)若关于的方程有且仅有个不等的解,求实数的取值范围.(只需写出结论) 【答案】见解析． a b ∈R (0)f (4)f -()f x x ()f x m =3 m 专题2.6 对数及对数函数 真题回放 1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数 在上是增函数.若 ，则的大小关系为 （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】 【考点】1。指数，对数；2.函数性质的应用 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据 奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。 2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ． 在(0，2）单调递增 B ．在（0，2）单调递减 C ．y =的图像关于直线x =1对称 D ．y =的图像关于点(1，0）对称 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又 （),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ． 【考点】函数性质 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 () f x R 0.8 22 1(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abc a b c < ，那么函数的图象有对称轴 ；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 3。 【2017高考全国卷文第8题】函数 的单调递增区间是 A 。 B. C 。 D. 【答案】D 4。【2015高考上海卷文第8题】 方程的解为 。 【答案】2 【解析】依题意,所以， 令 ，所以,解得或， 当时，，所以，而，所以不合题意，舍去； 当时，，所以，，，所以满足条件， 所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。 【名师点睛】利用，将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，再利用换元法求解。与对数有关的问题,应注意对数的真数大于零。 5。【2015高考湖南卷文第8题】设函数，则是（ ） A 、奇函数，且在（0，1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 2 a b x += ()f x x D ∀ ∈x D ∀∈()()fa x f b x -=-+()f x ( ,0) 2 a b +2 ()l n (28)fx x x =--(,2)-∞-(,1)-∞-(1,)+∞(4,) + ∞2)23(log )59(log 1 21 2+-=---x x )834(log )59(log 1 21 2-⋅=---x x 834591 1-⋅=---x x )0(31>=-t t x 0342 =+-t t 1=t 3=t 1=t 131=-x 1=x 0591 1<- -1=x 3=t 33 1 =-x 2=x 045912>=--01231 2>=--2=x 2=x 24log 2=)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a x ()l n (1)l n (1)f x x x =+--()f x 考向11 对数与对数函数 【2022·全国·高考真题（文）】已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >> 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】 由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()22 2lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()22 2lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A. 【2022·全国·高考真题】设0.1 10.1e ,ln 0.99 a b c ===-，，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】 设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x ' = -=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<， 所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110 ln ln 0.999 >=-，即b c >， 所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故110 9e 10-<，所以1 1011e 109 <， 故a b <， 设()e ln(1)(01)x g x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11 x x x g x x x x -+'=+= --, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-， 当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减， 当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =， 所以当021x <<-时，()0h x <， 所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、 商、幂再运算.| 3.log (0b a a N b N a =⇔=>，且1)a ≠是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当1a >时，是增函数；当01a <<时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.比较对数值的大小2023年高考数学(文科)一轮复习——对数与对数函数
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