高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析

关键词：高考数学易错题

全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表：

正

文

数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素.

解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关.

1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍.

2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少.

1.数学概念的理解不透

数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对概念本质的不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错. 例1.若不等式ax 2

+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 2

1

【错解】选A.由题意，方程ax 2

+x+a=0的根的判别式2

0140a ?

2

1或a

≥

2

1

，所以选A. 【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握，忽视了开口方向对题目的影响.

【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上

且与x 轴无交点，所以a>0且20140120

a a a ??≤?-≤?≥?>?.

例2. 命题“若△ABC 有一内角为

3

π

，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是（ ） A ．与原命题真值相异 B ．与原命题的否命题真值相异 C ．与原命题的逆否命题的真值不同 D ．与原命题真值相同 【错解】选A.因为原命题正确，其逆命题不正确.

【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误：逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定，逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定，原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题，互为逆否的命题是等价的.

【正确解析】选D.显然，原命题正确；其逆命题为：“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为

3

π

”.也正确，所以选D. 例3.判断函数f(x)=(x －1)

x

x

-+11的奇偶性为____________________

【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以

()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.

【错因分析】上述解法有两个错误：1未考虑函数的定义域；2.x-1<0，放入根号内后根号前应添负号.

【正确解析】非奇非偶函数

.y=f(x)的定义域为：

(1)(1)01011101x x x

x x x +-≥?+≥??-≤

，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇

非偶函数.

例4.(2011四川)1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ?

（B ）12l l ⊥，3//l l ?13l l ⊥ (C)123////l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面

【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；

【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.

【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.

例5.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .

【错因分析】对等比数列的定义理解不透.

【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；

反之，若a 、x 、b 成等比数列，则2

x ab x =?=，所以x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.

例6．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.

(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率. 分析: （1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.8

1

【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,8

3

=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n

m

P =

自然就是错误的. （2） 【错解】由题意知，这种产品的次品率为5%，且每次抽取相互独立，由独立重复实

验概率公式，得：6件产品中恰有1件次品的概率为：2321.0)100

51(1005)1(5

1

6

6=-=C P . 【正解】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽

了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式，正确解法应为：2430.06100

5

9515==C C C P .

2.公式理解与记忆不准

数学公式众多，学生在应用公式解决数学问题时，由于理解不准确（例如公式成立的条件未考虑）或记忆不准确，极易导致运算失误.

例如公式0,0,a b a b +≥>>当且仅当a=b 时“=”成立）中极易忽略数a,b 均为正和取等号的条件，还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式：x x =2，

111>?

，2)(v v u v u v u '

+'=

'，y x y x a a a log log )(log ?=+等等.

例7.若1,0,0=+>>y x y x ，则y

x 4

1+的最小值为___________. 【错解】

y x 4

1+8)2

(1

4422=+≥≥y x xy

，错解原因是忽略等号成立条件.

【正解】

y

x 41+=945)

(4≥++=+++y x x y y y x x y x 例8. 函数y=sin 4x+cos 4x －

4

3

的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________. 【错解】y=sin 4x+cos 4x －

43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2

π

，增区间为…. 【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数.教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.

【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π

，周期为2

π

，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈.

3.审题不严

审题，是解题的第一步，考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误. （1）读题不清

例9.(2011四川)已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1

()()12

x

f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是

【错解】选B.因为1()2

x

y =在0x >内递减，且1()()12

x

f x =+过点（0，2），所以选B. 【错因分析】考生未看清楚题目是求()f x 的反函数的图像.

【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122

x

x y ><时递减，所以选A.

例10.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为（ ）

A ．120 B.119 C.110 D.109

【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”， 三个

号码一致有32

52C A 种，四个号码一致仅一种，所以所求的坐法种数为532552199A C A --=，

无选项.

【错因分析】三个号一致时，另两个号则不能一致，例如已经选择了1、2和3号一致，则4号人只能坐5号位且5号人坐4号位，仅一种坐法而不是2

2A 种.读题不清导致解题出错. 【正确解析】选D .“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个（即五个）号码一致”，三个号码一致有3

5C 种（若三个号一致，另外两个不在自己号位仅一种方法），四个号

码一致仅一种，所以所求的坐法种数为53

551109A C --=.选D.

例11. 一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 . 【错解】一箱磁带有一盒次品的概率24

0.01(10.01)

?-，一箱磁带中无次品的概率

25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)?-+25(10.01)-.

【错因分析】由于这一箱磁带共25盒，则一箱磁带有一盒次品的概率应为

124250.01(10.01)C ??-.

【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124

250.01(10.01)C ??-，一箱磁带中无次品的概率

02525(10.01)C ?-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ??-+02525(10.01)C ?-.

【点评】在做文字较多的排列组合或概率题时应特别细心读题，读懂题目中的关键词的含义. （2）忽视隐含条件

数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点”，这就隐含着“联立直线与圆的方程消元后的二次方程的判别式0?≥”，又如“求函数1

sin 2

y x =

-的值域”隐含

着“1sin 1x -≤≤”这个有界性条件…….审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.

例12.设βα、是方程0622

=++-k kx x 的两个实根，则2

2

)1()1(-+-βα的最小值是

（ ）

不存在)D (18)C (8)B (4

49)A (-

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα

2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++

2349

4().44

k =--选A.

【错因分析】受选择答案（A ）的诱惑，一看到2

3

494()4

4k --

则立即选了答案494

-.这正是思维缺乏反思性的体现.忽视了一元二次方程有根，则判别式0?≥这个隐含条件. 【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα

2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++

2349

4().44

k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=? ?

.3k 2k ≥-≤或

当3≥k 时，2

2)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，2

2)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 例13.已知(x+2)2

+ y 2

4

=1, 求x 2+y 2

的取值范围.

【错解】由已知得 y 2

=－4x 2

－16x －12，因此 x 2

+y 2

=－3x 2

－16x －12=－3(x+38)2+3

28

， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2

的取值范围是(－∞, 283

].

【错因分析】没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制.

【正确解析】由已知得 y 2

=－4x 2

－16x －12，因此 x 2

+y 2

=－3x 2

－16x －12=－3(x+38)2+3

28 由于(x+2)2

+ y 2

4 =1 ? (x+2)2

=1－ y 2

4 ≤1 ? －3≤x ≤－1，

从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2

的取值范围是[1, 283

].

【点评】注意一些代数式的有界性，例如 x 2

≥0，－1≤sinx ≤1， a x

>0等及圆锥曲线有界性等.

例14. 方程1

122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________-

【

错

解

】

111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=?----= 11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-?-=-?--=

1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.

【错因分析】产生了增根x=1.实际上当1

310x --=时，132x --<0导致对数的真数为负数

则原方程无意义. 【

正

解

】

111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=?----=

111111221954(32)

log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------?-=-?

-=-?->?-=?=??->?

所以解集为{2}.

例15. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率.

分析:错解一: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出,表示前4次中有2次取到正品和2次

取到次品，故所求概率为4

62424A A A =51

..

错解二: 经过4次测试恰好将2个次品全部找出表示第4次正好取到次品，故所求概率为

4

6

3

3

2412A A C C =5

1

正解:若仔细审题，我们会发现：经过4次测试恰好将2个次品全部找出，不仅包括4次正好取到次品，前3次中有一次取到次品，还有前4次正好都取到合格品的情况，即此时剩下

2个都是次品，所以，经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率为15

44

6

44

332412=

+A A A C C （3）字母意义含混不清

例16.若双曲线22221x y a b -=-的离心率为5

4

，则两条渐近线的方程为（ ）

A.

0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043

x y

±= 【错解】选D.

222222222

52593310416164443

c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==?===+?=?=±?=±?±=，选D.

【错因分析】审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义.

【正确解析】2222

222211x y y x a b b a

-=-?-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.

4.运算错误

运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形中各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．而计算出错，已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.运算出错主要有以下几种： （1）数字与代数式运算出错

数字运算，移项、合并同类项、因式分解等整式变形、繁分式化简、无理式变形等式子的等价变形是考生最容易出错的地方.

例17. 若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ

，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________. 【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r

，

则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥?+?=?-+-+=?=r r r r

.

【错因分析】计算过程中数字运算出错，(5)(1)λ-?-仍等于5λ-导致出错.

【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r

，

（b a ρρλ+）19()052(72)05

b a b b λλλλ⊥?+?=?-+-+=?=r r r r

例18. 已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线1l：3x－y－1=0和2

l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________

【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的

1

2

k

=?=-，所以所求直线为x+2y-5=0.

【错因分析】显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论（或平方）求解，一般有两根.

【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线

1

l：3x－y－1=0和

2

l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在）

11

,

62

k k

=?==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.

（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错

在同样的题目条件下，不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确度.

例19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQ

OP?的值为.

【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22

(1)650

m x x

+-+=，令

1122

(,),(,)

P x y Q x y，则

1212

22

65

,

11

x x x x

m m

+=?=

++

，则

2

2

12122

5

1

m

y y m x x

m

==

+

，由于向量OP

uuu r

与向量OQ

uuu r

共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以

2

121222

55

5

11

m

OP OQ OP OQ x x y y

m m

?=?=+=+=

++

u u u r u u u r

.

【分析】上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂.下面的解法简洁明了.

【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222

325

OP OQ OT

?==-=.

例20.长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为

【运算繁杂的解法】在正四面体S-ABC内任取一点P，则

134S ABC P ABC P ABS P ACS P BCS V V V V V -----=+++??=

123412341)343

d d d d d d d d ?+++?+++=. 【分析】上述解法正确，但如果采用下面的特殊值（特殊点）法，运算更为简洁.

【正确解析】

.令P 为正四面体的中心（显然，P 的位置不影响正确答案），则

1234d d d d r ====（r 为内切球半径），而棱长为1的正四面体的内切球半径为

所以所求值为 （3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错 例21.曲线

x 2－

12

2

=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4=AB ，则这样的直线有___________条.

【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.

【错因分析】实际上，通过计算可知，过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为

2222

41

b a ?==，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于A 、B 两点时，仅有一条满足条件.

【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为2222

41

b a ?==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条.

（4）计量单位缺乏量纲意识

例22．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元，它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式x Q x P 5

3,51==

.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？

【错解一】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y

元.

则将利润总额为y 的单位换算成元有：]30000,0[,300005

351∈-+=

x x x y ，如法炮制，令

2,30000,t x t t ==-∈则

?t t y 53)30000(512+-=

].3100,0[,20

9

6000)23(512∈+--=t t （元）元）25.230000,(75.299972

3

=-=?=

?x x t . 【错解二】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元.

把利润总额单位转化为元，则]30000,0[,300005

31000051∈-+?=

x x x y 令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则

?57221029

106)200003(200053)30000(2000-?+?+--=+-?=t t t y ，].3100,0[∈t

200003=

?t .时y 最大，此时对甲商品资金投入量为9999999775.29999)20000

3(300002

=-=x 元，对乙商品资金投入量为0.0000000225元.，此时甲商品获得利润60000000.000045元.（不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票！）

【错解三】设对甲种商品投入金额x 元，则乙种商品投资为30000-x 元，获得利润总额为y 元.

由于利润总额单位为万元，故)300005

3

51(100001x x y -+=

， 令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则 t t y 500003)30000(5000012+--

=].3100,0[],20

9

6000)23[(5000012∈+--=t t （元）元）25.230000,(75.299972

3

=-=?=

?x x t . 【错因分析】量纲不统一，对经验公式x Q x P 5

3,51==

的单位理解不清.从量纲角度看，长度立方为体积、长度平方为面积（正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样），

x Q 5

3

=

的单位由经验公式给出的前提是变量x 的单位万元确定，因此，

【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元，是乙种商品投资为（3-x ）万元，获得的利润总额为y 万元. 由题意，得]3,0[,35

351∈-+=

x x x y ,设]3,0[,3,32∈-==-t t x t x 则，则 t t y 53)3(512+-=

].3,0[,20

21

)23(512∈+--=t t 20

21

,]3,0[23max =

∈=

∴y t 时当,即43493=-=x ，494333=-=-x .

因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万 元，获得的最大利润为1.05万元.

【正解二】设对甲种商品投入金额x 元，则目标函数应该为

100003531000051x x y -+?=

=x x -+30000500

3

500001

令]3100,0[,300000,300002∈-==-t t x t x 则 则20

21

)150(5000015003)30000(50000122+

--=+-=

t t t y 7500300002=-=?t x （余与解一同） 5.数学思维不严谨

（1）数学公式或结论的条件不充分

例23.已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b

)2

的最小值.

【错解】 (a+

a 1)2+(b+

b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4≥2ab+ab 2+4≥4ab

ab 1?+4=8. ∴(a+

a 1)2+(b+b

1)2

的最小值是8. 【错因分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2

+b 2

≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=

2

1,第二次等号成立的条件是ab=ab 1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8

不是最小值.

【正确解析】原式= a 2

+b 2

+

21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +2

1b

)+4=[(a+b)2

－2ab]+[(a 1+b 1)－ab 2]+4= (1－2ab)(1+221b a )+4，由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b

a ≥16，1+221b

a ≥17，∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21

时，等号成立)，

∴(a + a 1)2 + (b + b

1)2

的最小值是252 .

例24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=1

1

()()x y x y

++

的最小值为 . 【错解一】因为对a>0,恒有1

2a a

+

≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4.

【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小

值是1).

【错因分析】解法一中，等号成立的条件是11

,11,1x y x y x y x y

=

===+=且即且与相矛

盾；解法二中，等号成立的条件是

2,xy xy xy ==即1

04

xy <≤相矛盾. 【正解】z=11()()x y x y ++=1y x

xy xy x y

+

++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210(

)24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???

上单调递减,故当t=1

4时 2()f t t t =+

有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值33

4

. （2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性.

例25．(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________

(2)函数y =的定义域为 . 解析：

（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2

x ∈+∞ 【错因分析】忽略了当x=－1时|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1为不等式的解. 【正确解析】}1{),2

1[-?+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为

1

[,){1}2

x ∈+∞?-.

(2) 【错解】10(1)(1)011x

x x x x

+≥?+-≥?≥-或1x ≤-. 【错因分析】两个错误：一是解分式不等式（方程）时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错.

【正解】

(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x

x x x x +-≥+-≤??+≥???-≤

例26.过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42

=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条

【错解】设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1

42kx y x y ，得()x kx 412

=+，

即：01)42(2

2=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.

【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条.

【正确解析】C.由上述分析，y 轴本身即为一切线，满足题意；解方程

01)42(22=+-+x k x k 时，若k=0，即直线y=1也与抛物线x y 42=仅有一个公共点，又

k=1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C. （3）解题时忽视等价性变形导致出错 例27. （1）已知f(x) = a x +

b

x

，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. （2）已知集合}1|||{≤-=a x x A ，}03

30

|

{2≥---=x x x x B ，且Φ=B A I ，求实数a 的取值范围.

解析：（1）【错解】由条件得??

?

??≤+≤≤+≤-62230

3b

a b a ②① 由②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32

338-≤≤-

b ④ ③+④得 .3

43

)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即

【错因分析】采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) = a x +

b

x

，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.

【正确解析】由题意有??

?

??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：

)],2()1(2[3

2

)],1()2(2[31f f b f f a -=-=

).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3

37

)3(316≤≤f

（2）【错解】由题意，A ：11a x a -≤≤+

B ：

230

0(6)(5)(3)0{|63

x x x x x x x x --≥?-+-≥?≥-或53}x -≤≤……(后面略) 【错因分析】求集合B 时，未考虑分式不等式中分母为零这一条件（若B 中不等式为()0

f x >

或()0f x <形式而不是()0f x ≥或()0f x ≤则不需要考虑此问题）. 【正确解析】由题意，A={|11}x a x a -≤≤+

B ：2(6)(5)(3)030

0{|6303x x x x x x x x x -+-≥?--≥??≥?-≠-?

或53}x -≤<

由Φ=B A I 则(,6)[4,5)a ∈-∞-U .

例28.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n

n S ，求.n a

【错解】 .22

2)12()12(11

11----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【错因分析】 显然，当1=n 时，12

31

111=≠==-S a ，不满足上述公式.

没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是n 2≥. 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，

1

1

1

1(21)(2

1)22

2

n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)

n n n a n -?=?=?

≥??

.

例29.实数a 为何值时，圆0122

2

2

=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2

1

2

=

有两个公共点. 【错解】 将圆0122

2

2

=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 2

1

2

=

联立，消去y ， 得 ).0(01)2

12(2

2

≥=-+--x a x a x ①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得??

??

???>->-=?.

01021202a a ， 解之得.817=a

【错因分析】如下图（1）（2）.显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点.

【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得???<->?.

0102

a 解之，得.11<<-a

因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2

12

=有两个公共点.

例30.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .

【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --?=--+--∴1)

1(21)1(1)1(916131，

.012(363）＝整理得

--q q q

1q 2

4

q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3

3

3

3

6

=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.

【错因分析】在错解中，由q q a q q a q q a --?=--+--1)1(21)1(1)1(916131，

01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和.

在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形.

【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .

又依题意 9

63S 2S S =+ ? q

q a q q a q q a --?=--+--1)

1(21)1(1)1(916131 ?

01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123

=+q 解得 .2

4

3

-

=q 【点评】本题为1996年全国高考文科试题，不少考生的解法与错误解法相同，根据评分标准而痛失2分. （4）空间识图不准

数学运算能力包括空间想象能力.空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形，根据图

形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质． 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多. 例31．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，则∠BAC= . 【

错

解

】

如

右

图

.

由

最

小

角

定

理

，

12221cos cos cos 23

BAC BAC π

θθ∠=?=

?=?∠=. 【错因分析】错解中忽视了AC 的另一位置OD ，此时23

BAD π

∠=. 【正确解析】

3

π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，

12221cos cos cos 2

3

BAC BAC π

θθ∠=?=?=?∠=；当AC 在另

一边DA 位置时，23

BAC π

∠=. （5）推理方向的盲目性

根据题的已知条件及所求的特征，有时直接从已知出发，运用公式、定理等得结论，这是综合法；有时需要从结论出发，分析它的必要条件，直到得到一个明显成立的命题，这是分析法.这是两种不同的推理方向，如果解题时失主理方向不正确，可能导致解题思路受阻或出错.

例32. 设f ( x ) = x 3－

2

1x 2

－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .

【错解】m>

72.令2'()320f x x x =-->，得f(x)的增区间为2(,),(1,)3-∞-+∞，f(-1)=11

2

（区间左端点），7(1)2f =(极小值点)，所以]2,1[-∈x 时min 7()2f x =所以m>7

2

.

【错因分析】推理方向的不正确，f ( x ) < m 恒成立应理解为max ()m f x >而不是min ()m f x >.

【正确解析】m>7.由题意，f ( x ) < m 恒成立即max ()m f x >.令2'()320f x x x =-->，得f(x)

的增区间为2(,),(1,)3-∞-+∞，且f(2)=7，2

()73

f -<，结合f(x)的草图知，max ()7f x =，所

以m>7.

（6）限域求值端点取值不正确 例33.若31<<-x ,则

_____________;__________1

1

2∈∈-x x

【错解】31<<-x ?????

∈-∈-?

<-<-?)9,1(),21,21(112122x x x

【正解】31<<-x ??

???

∈+∞--∞∈-?

<-<-?)9,0[),2

1()21,(112122x x x Y 例34.已知[0,]4x π∈,则()2sin(2)6f x x π

=+的取值范围是 .

【错解】

.2120022,sin ,sin 4

2

6

6

3623x x x π

π

π

π

πππ≤≤

?≤≤

?

≤+

≤

==

，所以12sin(2)6

x π

≤+≤.

【错因分析】当

226

6

3x π

π

π≤+

≤

时，根据正弦函数的图象，sin(2)6x π+的范围应为1

[,1]2

而

不是1[2.

【正确解析】[1,2].20022,4

2

6

6

3x x x π

π

π

π

π≤≤

?≤≤

?

≤+

≤

sin(2)6x π+1

[,1]2

∈，所以12sin(2)26

x π

≤+≤.

（7）说一套做一套，粗枝大叶，心里想的和手上写的不一致

比如分数结果不约分或不化简、解集不用集合表示、将非常明确的限定条件遗漏（比如形式二次、对数真数为正等）、写错运算符号、写错数据，有时把关键字母写错等等. 例35.设A 、B 是ABC ?的两个内角，且B A tan ,tan 是方程01562=+-x x 的两根，则A+B =____.

分析：由韦达定理易知1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+B

A B

A B A ，又π<+

π=+B A .

部分学生非常遗憾地把结论写成了A+B 的正切值1.

数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，其演算、推理有一定的规则，就连符号、图形都有一定的要求.如果平时缺乏严格训练，解题时丢三落四，书写不规范，只求三言两语，不求推理有据，更谈不上整齐、清洁、美观，高考丢分就在情理之中了. 所以，在第一轮复习过程中，要注意：

（1）学生个人的错题的收集与整理

（2）错题的原因分析

（3）针对某个学生而言，反复出现的某种类型的错题，即可归为该学生的易错题 （4）不同学生的易错题可能是不同的，要教会学生针对自己的易错题建立数学学习过程中的“警戒点”.

高中数学易错题举例解析

高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是

80个高中数学易错题

2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I

高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表：

数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析

高考数学易考易错点总结

高考数学易考易错点总结 高考数学易考易错点总结? 1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的? 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化?是否保证等价转化? 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身” 进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)?在集合运算时是否注意空集和全集? 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定 义域了吗? 8.映射的概念你了解吗?对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素)? 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论)?

10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗?(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论? 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗?是否能利用数列 性质解题? 13.你还记得三角变换化简的通性通法吗(“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等)? 14.利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件?如果等号取不到经常采用哪些办法(利用单调性、配凑、图像法等)? 15.分式不等式的一般解法是什么(移项、通分、合并同类项、分式化整式)? 16.理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗?在设直线方程解 题时是否忽略斜率不存在的情况? 17.直线的截距概念如何理解(截距可以是正数、负数、零)? 18.会求球面距离吗?它的基本类型有哪些?你能把它们转化为熟悉的图形吗(经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角)?

高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα

高中数学】高中数学18个易错知识点e

【高中数学】高中数学18个易错知识点汇总，看完拿高分！ Part 1 集合与简单逻辑 01易错点：遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任意非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=?，B≠?两种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B=?这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面。 02易错点：忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解决问题。 03易错点：四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A 则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。

04易错点：充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 05易错点：逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q 假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假) Part 2 函数与导数 06易错点：求函数的定义域时忽视细节致误 错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时要注意下面几点： (1)分母不为0; (2)偶次被开放式非负; (3)真数大于0;

高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.

高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如

果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。

(完整)高一数学必修一易错题(提高篇)

集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0

(完整版)高中数学易错题(含答案)

高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且

35种高中数学易错题失分题汇总解析

35种高中数学易错题失分题汇总解析 关键词：高考数学易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表： 正文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中

有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关. 1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 1.数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对

高中数学37个易错知识点汇总分析

高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到

高中数学易错题精选

高中数学错题精选一：三角部分 1．△ABC 中，已知cosA= 135，sinB=5 3 ，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65 16 - 2．为了得到函数??? ? ? -=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( ) A. ]3, 0[π B. ]127, 12[ ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、)2,1( D 、)1,1(- 6．已知53sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ <<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12 543--或 7．曲线y=2sin(x+)4 πcos(x-4 π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、 P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得 函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+ π 3 ) B ． y=sin(－2x － π3 ) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π 3 ) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4 ,4 [π ππ π+- k k （z k ∈） B 、)](43 ,4[z k k k ∈++ πππ π C 、)](2 2,4 2[z k k k ∈+ + π ππ π D 、)](2 ,4 [z k k k ∈+ + π ππ π 11．已知奇函数()[]上为，在01 -x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 高中数学错题精选二：不等式部分 1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤- 21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2 1 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 2、已知函数y =㏒2 1(3x )52 +-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤-6 B -60＜a ＜-6 C -8＜a ≤-6 D －8≤a ≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 3、f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2 a -＜2c D 22+a c ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 4、已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值 2 1 ，也有最大值1 B.有最小值 4 3 ，也有最大值1 C.有最小值 4 3 ，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值 正确答案：B 。 错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 5、已知21,x x 是方程)(0)53()2(2 2R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2 22 1x x +的最大值为 （ ）

高中数学易错题知识讲解

高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-2 1或a ≥2 1 B.a ＜2 1 C.-2 1≤a ≤2 1 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ?0且20140120 a a a ??≤?-≤?≥?>?. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥?+≥??-≤

最全高中数学易错点

数学 高中数学易错、易混、易忘问题备忘录（留着） 1.在应用条件A∪B＝B <=> A∩B＝A <=> A B时，易忽略A是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 3.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 4.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(任取, 作差, 判正负.) 5.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” 6.单调区间不能用集合或不等式表示.两个单调区间之间要用逗号相连 7.用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件. 8.函数(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对号函数，对号函数是奇函数，图像关于原点对称)在上单调递增；在 上单调递减） 9.函数的单调区间：在上单调递增；是奇函数，图像关于原点对称. 10.对数函数真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数需要讨论 11.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围 12.用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０. 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 13.等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则;（反之不成立） 14.等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则. （反之不成立）

15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况. 16.已知求时, 易忽略n＝1的情况. 17.等差数列的一个性质：设是数列{}的前n项和, {}为等差数列的充要条件是： (a, b为常数)其公差是2a. 18.数列求和之“错位相减”法——若其中{}是等差数列，{}是等比数列，求{}的前n项的和 19.数列求和之“裂项求和”（如） 20.在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了，并且在求解三角函数的题目时，要时刻注意角范围 21.三角化简的通性通法（切化弦、降幂扩角、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名） 22.在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？——） 23.在三角函数中的“1”代换 这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用. 24.与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定. 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直. 25.，则，但不能得到或. 有. 26.时，有. 反之不能推出 27.一般地，即向量运算中不存在分配率 28.在中，

(完整版)高中数学易错重点知识点梳理

高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

高中数学必修易错题精选(含部分答案)

必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥?，有下列命题： ①//l m αβ?⊥ ；②//;l m αβ⊥?； ③//.l m αβ?⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④

高中数学易混易错知识点大全

高中数学易错、易混、易忘备忘录 1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件 7 你知道函数(0,0)b y ax a b x =+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和 上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？ （真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０ 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立） 等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况 13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是： 2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a 14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列， {n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1 n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的 有界性了吗？ 17 你还记得三角化简的通性通法吗？（ 异角化同角，异名化同名，高次化低次）