2
180A
∠-? 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常
用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点四、相似三角形（3~8分）
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
第二部分 解直角三角形
考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°
可表示如下： ?BC=
2
1AB ∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°
可表示如下： ?CD=2
1
AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2
2
2
c b a =+
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，
每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90° BD AD CD ?=2
? AB AD AC ?=2
CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式
由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 （3~5分）
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
2
2
c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即
c
a
s in =∠=
斜边的对边A A
②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b
cos =∠=
斜边的邻边A A
③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a
tan =∠∠=
的邻边的对边A A A
④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a
b
cot =∠∠=的对边的邻边A A A
2、锐角三角函数的概念
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系
1cos sin 22=+A A
（3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=
A
A
cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：2
2
2
c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：
b
a B a
b B
c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========
cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 第三部分 尺规作图
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB ，使AB = a . 作法：
（1） 作射线AP ；
（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.
求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：
（１）分别以M 、N 为圆心，大于
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ；
（２）连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ 与ＭＮ有何关系？）
题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：
（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ；
（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法：
（1）作线段AB = c；
（2）以A为圆心b为半径作弧，
以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C；
（3）连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
（1）作∠A=∠α；
（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3）连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.
作法：
（1）作线段AB=m；
（2）在AB的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
三角形的边角与尺规作图
12 3 A C B D E B1 2013年全国中考题汇编 三角形的边角与尺规作图 一、选择题 1．（2013凉山）如图，330 ∠=o，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，击打白球时，1 ∠的度数为( ) A．30o B．45o C．60o D．75o 2．（2013南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40° 3．（2013毕节）如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（） A．30°B．60°C．90°D．45° 4．（2013重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（） A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2013郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40° 6．（2013宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4 7. （2013长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（） B.4 8.（2013巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（）A．大B．伟C．国D．的 9.( 2013郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（） A．25°B．30°C．35°D．40°
尺规作图(作三角形)小结教案(教学设计)
华师大版数学八年级上册 第13章全等三角形 小结——尺规作图（作三角形） 一、课标依据： 1、利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 二、教材分析： 本节课重在发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能力，养成研究生学习的好习惯，为以后利用作辅助线的解几何题的学习打下基础。尺规作图与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。 三、学情分析： 学生学习本课前已经有一定的动手操作和口头表达能力。已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，积累了一定的尺规作图的学习经验，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理结合操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 四、教学目标： 知识与能力： 1、经历尺规作图实践操作过程，训练和提高尺规作图的技能，能根据条件利用尺规作出三角形：已知三边作三角形；已知两角及夹边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、会写出三角形的已知、求作，并能简要叙述作法。 3、能对所作三角形给出合理的解释。 过程与方法： 1、在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据。
尺规作图方法大全
七年级数学期末复习资料（七） 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本 图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 ,最常用的尺规作 2、五种基本作图： 1 、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使 AB = a . 作法： （1）作射线 AP； （2）在射线 AP上截取 AB=a . 则线段 AB就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段 MN. 求作：点O，使 MO=NO（即 O是 MN的中点） .作法： （１）分别以M、 N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两 弧相交于 P，Q； （２）连接PQ交 MN于 O． 则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠ AOB， 求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠作法： （1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA， OB于 M， N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线 OP就是∠ AOB的角平分线。 a A M AOB）。 M O B P P O N Q A P N B
（4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠ AOB。 求作：∠ A’ O’ B’，使 A’ O’ B’ =∠ AOB B B' N N'N' O MA O' M' A'O'M'A'O'M' A'① ②③ 作法： （1）作射线O’ A’； （2）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以 O’为圆心，以 OM的长为半径画弧，交 O’ A’于 M’；（4）以 M’为圆心，以 MN的长为半径画弧，交前弧于N’； （5）连接 O’ N’并延长到 B’。 则∠ A’ O’B’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图， P 是直线 AB上一点。 求作：直线 CD，是 CD经过点 P，且 CD⊥AB。 M A P B A 作法： （1）以 P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于 M、 N；C Q N P B D （2）分别以 M、 N 为圆心，大于 （3）过D、Q作直线CD。 则直线 CD是求作的直线。1 MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q；2 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 D 已知：如图，直线AB及外一点 P。 P P 求作：直线 CD，使 CD经过点P， 且CD⊥ AB。 A B A M N B Q C
三角形知识总结与尺规作图知识点
第一部分三角形 考点一、三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的尺规作图教学案
三角形的尺规作图教学案 课题：三角形的尺规作图 课型：新授课 课程标准： 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 教材分析： 在尺规作图知识的学习过程中，教材设计了许多让学生经历尺规作图的活动，解决了一些简单的问题感受到尺规作图在数学中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 学情分析： 学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 学习目标： （1）认识什么是尺规作图； 会利用基本作图作“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”三角形； （2）对尺规基本作图题，能写出已知，求作和作法或口头表述作法，并能正确作出图形（保留作图痕迹）（不要求写出证明过程）。 学习评价： 通过第一环节，检测目标一的达成 通过第二环节，检测目标二的达成 学习过程： 第一环节：基本作图回顾 活动内容：通过自主学习练习的方式复习尺规作图的四个基本作图。 活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。 活动过程： （1）已知：如图，线段AB A B
求作： :线段A`B`,使得A`B`=AB. 作法与示范： 作法 示范 （1） 作射线A ′C ′； A ′ C ′ （2）以点A ′为圆心，以A B 的长为半径画 弧，交射线A ′C ′于点B ′。A ′B ′就是所作的线段。 A ′ B ′ C ′ 实际教学效果：学生在六年级接触过作一条线段等于已知线段，但是由于相隔时间比较长，所以有一部分同学遗忘，这时通过小组的交流合作，互帮互助，学生在合作中回忆起了作图的步骤，同时也在其中体会到了交流合作的重要性。而在本节课当中，教师应在学生原有水平的基础上，规范学生的解题步骤，使得学生实现从原来的会按顺序作出图来到按照程序化的方式规范作图的转变。 （2）已知： ∠AOB 。 求作： ∠A`O`B` 使∠A`O`B`=∠AOB 。 作法与示范： 第二环节：尺规作三角形 活动内容：通过小组合作练习的方式复习运用尺规作三角形。 作法 示范 （1）作射线O ’A ’ A' O' （2）以点O 为圆心，以 任意长为半径画弧， 交OA 于点C ，交OB 于点D ； D B A C O A' O' （3）以点O ’为圆心，以 OC 长为半径画弧， 交O ’A ’于点C ’； D B A C O A' C'O' （4）以点C ’为圆心，以 CD 长为半径画弧， 交前面的弧于点D ’； D B A C O A' C' D' O' （5）过点D ’作射线O'B ’。 ∠A'O'B' 就是所求作的角。 D B A C O B' A' C'D' O'
三角形.doc尺规作图
第三章三角形 4 用尺规作三角形 一、教学目标是： 1、知识与技能：经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。 2、过程与方法：能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。 3、情感与态度：通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据。 二、教学设计分析 本节课设计了7个环节：情境引入——作三角形——合作分享——基础练习——拓展提高——课堂小结——布置作业。 第一环节情境引入 活动内容：首先提出检测68页第8题，自然地引发学生思考“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”与此同时引导学生回顾三角形的基本元素，以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。学生思考后独立回答。对于两种基本尺规作图，找两名学生板演示范，其他学生在练习本上做。完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言。 活动目的：通过学生处理身边经历过的事情，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时对两个基本尺规作图的复习是为后面的学习做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“如何利用尺规作一个三角形与已知三角形全等呢？” 第二环节作三角形 活动内容：师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容：（1）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形； （2）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形；
（3）已知三角形的三边，求作这个三角形。 首先，学生在教师的引导下分析、交流作三角形时作边与角的先后顺序，再作所求的三角形。 第一个作图教师给出作法，并演示作图过程，让学生进行模仿操作； 第二个作图只给出作法，不演示，让学生根据已知步骤独立作出图形； 第三个作图让学生自己探索作法，并独立作出图形。 学生在每个作图完成后，进一步思考“还有没有其他的作法？”，思考后进行操作，尝试表述作图过程，并组织全班进行交流。再提出“大家画出的三角形是否全等”的问题供学生讨论。 活动目的：本环节通过分析——操作——再分析的形式培养学生分析和解决问题的能力。学生通过经历从模仿、独立完成作图、到探索作图的过程，巩固尺规作图的技能，循序渐进的会书写“已知、求作和作法”。在完成三个作图后，都鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观方式观察所作出的三角形是否全等。在此基础上，还引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作出的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性。这实际上体现了只管操作与推理的相结合，并从中也使学生意识到这两种方法的不同。 第三环节合作分享 活动内容：以4人合作小组为单位，根据问题开展活动。 问题（1）你都知道有哪些常用的作图语言可以用于描述作图过程（即作法）？ 问题（2）我们是如何分析作图题的？它的步骤是什么？ 活动目的：学生通过前一环节的实践操作，已经有了一定的作图经验。在此基础上提出这两个问题是为了让学生对刚刚的作图过程进行回顾、总结，培养学生善于思考，善于归纳数学方法的能力；并加强学生的语言表达能力。这一环节无论是对已完成的实践操作，还是下面的实战练习都起到至关重要的作用——承上启下。 第四环节基础练习 活动内容：1、你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
6 三角形的尺规作图
13.4 三角形的尺规作图 学习目标： 知识与技能：1.了解尺规作图的含义及其历史背景；已知三边利用尺规作三角形. 2.在给出两边及其夹角的条件下，能够利用尺规作三角形. 3.在给出两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作三角形. 过程与方法：会画一个角等于已知角；作角平分线；给定边角条件下，求作三角形； 情感态度与价值观：培养学生作已知线段的垂直平分线；要了解作法的理由. 重 点：尺规作给定边角条件下的三角形. 难 点：探索作图过程. 预习过程： 1、如图,使用直尺作图,看图填空. ① ② ③ ④ ① 过点____和_______作直线AB （2）连结线段___________;（3）以点_______为端点, 过点_______作射线___________;（4）延长线段__________到_________,使得BC=2AB. 2、如图,使用圆规作图,看图填空: 在射线AM 上__________线段________=___________. ① 以点______为圆心,以线段______为半径作弧交_________于点___________. 以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB 两边,交_________于点___________, 交________于点__________. 活动一 做一做 已知线段c b a ,,，如何用直尺（没有刻度）和圆规作ABC ?使得c AB b AC a BC ===,,(三边符合三角形的条件) a b c 作法： 展示过程：略.
αα 活动二 做一做： 已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a ，c ，∠α. 求作：ΔABC ，使得BC= a ，AB=c ，∠ABC=∠α. 作法与过程： 展示过程：略 活动三： 做一做 已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c . 求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c. 作法：（1）作线段BC= (2) 在BC 的同旁，作∠ =∠α， 作∠______=∠β,________与_______交于 .ΔABC 就是所求作的三角形. ∠α+∠β应满足什么条件，才能作出ΔABC ？ [动脑筋] 例：已知一直角边和它相邻的一个锐角，如何作出这个直角三角形呢？ a 已知：锐角∠α 和线段a 如图. 求作：ABC Rt ?，使∠BCA=90度，AC=a ∠A=∠α 展示过程：略 反馈练习： 选一选
三角形相似及尺规作图资料
三角形相似及尺规作 图
A B C 图形的相似 【知识点归纳】 1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比. 2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3.若a:b=b:c 或c b b a =，则b 叫做a ，c 的比例中项. 4.比例的基本性质: b a =d c ?ad=bc(b d ≠0). 5.合比性质：b a =d c ?d d c b b a ±=±. 6.等比性质：.n ...d b m ...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=?≠+++=== 7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP 2=BP ·AB ，则这种分割叫做黄金分割. 8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定： （1）两个角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质： （1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方 11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比. 习题巩固 1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【 】 图1 A ． B ． C ． D ． 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 【 】 A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
三角形的尺规作图
第一章 三角形 “1.4三角形的尺规作图”导学案 课型：新授课 审核：初二数学教研组 学习目标：1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角 形。 2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。 学习过程： 一、自主学习(根据简单图形书写作法) 1如图,使用直尺作图,看图填空. ① ② ③ ④ ① 过点____和_______作直线AB; ② 连结线段___________; ③ 以点_______为端点,过点_______作射线___________; ④ 延长线段__________到_________,使得BC=2AB. 2如图,使用圆规作图,看图填空: ① 在射线AM 上__________线段________=___________. ② 以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠AOB 两边,交_________于点___________, 交________于点__________. 3已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形. 已知：线段a ，c ，∠α。 求作：ΔABC ，使得BC = a ，AB = c ，∠ABC =∠α。 作法与过程：（1）作一条线段BC=a ， （2）以B 为顶点，BC 为一边，作角∠DBC=∠a ； （3）在射线BD 上截取线段BA=c ； （4）连接AC ，ΔABC 就是所求作的三角形。
在右面完成作图。 4已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c 。 求作：ΔABC ，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。 先独立思考，探索作图的过程，用自己的语言表述作图过程。 5已知三角形的三边,求作这个三角形. 已知：线段a ，b ，c 。 求作：ΔABC ，使得AB=c ，AC=b ，BC=a 。 在完成二个作图后，比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等。 二、课堂检测 1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ） A 、已知三边 B 、已知两边及夹角 C 、已知两角及夹边 D 、已知两边及其中一边的对角 2、已知线段α∠,,b a ，用尺规作ABC ?使得 BC = 2a,AC = b,∠ACB = 2α a
三角形相似及尺规作图
A B C 图形的相似 【知识点归纳】 1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比. 2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3.若a:b=b:c 或c b b a =，则b 叫做a ， c 的比例中项. 4.比例的基本性质: b a =d c ?ad=bc(bd ≠0). 5.合比性质：b a =d c ?d d c b b a ±= ±. 6.等比性质：.n ...d b m ...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=?≠+++=== 7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP 2=BP ·AB ，则这种 分割叫做黄金分割. 8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定： （1）两个角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质： （1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方 11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比. 习题巩固 1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【 】 图1 A ． B ． C ． D ． 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 【 】 A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
三角形相似及尺规作图
三角形相似及尺规作图-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
A B C 图形的相似 【知识点归纳】 1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比. 2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 3.若a:b=b:c 或c b b a =，则b 叫做a ， c 的比例中项. 4.比例的基本性质: b a =d c ?ad=bc(bd ≠0). 5.合比性质：b a =d c ?d d c b b a ±= ±. 6.等比性质：.n ...d b m ...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=?≠+++=== 7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP2=BP ·AB ，则这种 分割叫做黄金分割. 8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定： （1）两个角对应相等的两个三角形相似； （2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似； （4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质： （1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方 11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比. 习题巩固 1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【 】 图1 A ． B ． C ． D ． 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 【 】 A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
《尺规作图作三角形》试题
《尺规作图作三角形》试题 1、用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 答案：C 解析：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段． 故选C 难度：容易 知识点：尺规作图作三角形 2、利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（）A．已知三条边 B．已知三个角 C．已知两角和夹边 D．已知两边和夹角 答案：B 解析：A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形； B、不正确，已知三个角可画无数个三角形； C、正确，符合ASA判定，画出的三角形是唯一的； D、正确，符合SAS判定，画出的三角形是唯一的． 故选B 难度：较易 知识点：尺规作图作三角形 3、利用尺规作图，下列条件中不一定能作出唯一三角形的是（） A．两角一边 B．三边 C．两边一角 D．一直角边一斜边
答案：C 解析：A 、正确，符合ASA 或AAS 判定，作出的三角形是唯一的； B 、符合全等三角形的判定SSS ，能作出唯一三角形； C 、不正确，若是两边和夹角，符合全等三角形的判断SAS ，能作出唯一三角形，若是两边和其中一边的对角，则不能作出唯一三角形； D 、正确，符合HL 判定，作出的三角形是唯一的． 故选C 难度：较易 知识点：尺规作图作三角形 4、回顾尺规作图法作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．AAS 答案：A 解析：根据作图过程可得， 在△ABC 与△DEF 中， AB DE AC DF CB EF =??=??=? ， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）， 故选：A 难度：中等 知识点：尺规作图作三角形
三角形的边角与尺规作图
A C B D E B1 2013年全国中考题汇编 三角形的边角与尺规作图 一、选择题 1．（2013凉山）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，击打白球时，的度数为( ) 点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（） A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5． （2013郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使 A.2 B.4 C.6 D.8 ） 沿CD折叠，使B 10．（2013鞍山）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°， 则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70° 13．（2013咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交 x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两 弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（） 330 ∠= 1 ∠
F E A B D C 14.（2013遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） =1：3． 二、填空题 15．(2013湖北荆门)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______ 16．（2013泰州）如图，△ABC 中，AB +AC =6cm, BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，则△ABD 的周长为_____cm .17．（2013江西）如图△ABC 中，∠A =90°点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=155°，则∠B 的度数为 18 .如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD =3，BC =10，则△BDC 面积是 19．（2013上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．若一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为______ 20.(2013烟台)如图，△ABC 中，AB =AC ．∠BAC =54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为________度. 21．（2013咸宁）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 ． 22.如图，在四边形ABCD 中，∠A=45 0，直线l 与边AB 、AD 分别相交于点M 、N 。则∠1 ＋∠2 = 三、解答题 1．（2013兰州）如图，两条公路OA 和OB 相交于O 点，在∠AOB 的内部有 工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路OA 、OB 的距离相等， 且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．（要求：写出结论） 2.(2013湖南邵阳)将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F . (1)求证：CF ∥AB ；(2)求∠DFC 的度数
三角形与尺规作图知识点
第一部分三角形 考点一、三角形（3~8分） 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
七年级上册数学鲁教版三角形的尺规作图参考教案
1.4 三角形的尺规作图 ●教学目标 （一）教学知识点 在给出三角形的一些要素后能利用尺规准确地作出三角形. （二）能力训练要求 1.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形. 2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性. （三）情感与价值观要求 在学生利用尺规作图的过程中，培养学生的动手能力和探索精神. ●教学重点 利用尺规作三角形. ●教学难点 如何利用尺规作三角形. ●教学方法 讲练结合法. ●教具准备 投影片四张 第一张：做一做（记作投影片§1.4 A） 第二张：作图过程（记作投影片§1.4 B） 第三张：做一做（记作投影片§1.4 C） 第四张：做一做（记作投影片§1.4 D） 学生用具：直尺、圆规 ●教学过程 Ⅰ.巧设现实情景，引入新课 ［师］在六年级我们已研究了用尺规作图.会用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.现在来回忆一下：用尺规作图的步骤：［生］用尺规作图的步骤有：已知、求作、分析、作法. ［师］很好.下面大家来画一条线段等于已知线段.
［生］已知：线段a,求作：一条线段，使它等于a. 图 作法：1.画射线AC. 2.在射线AC上截取AB=a. 则线段AB就是所求作的线段. 图 ［师］好，那如何作一个角等于已知角呢？ ［生］已知：∠AOB.求作：一个角，使它等于∠AOB. 图 作法：1.画射线O′B′. 2.以O为圆心，以任意长为半径画弧.交OA于D点，交OB于C点； 3.以O′为圆心，以OC的长为半径画弧.交O′B′于点C′. 4.以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于D′. 5.过D′作射线O′A′. 则∠A′O′B′就是所求作的角. 图 ［师］很好，从回答问题中知道大家基本掌握了用尺规作线段和角.边和角是三角形的基本元素.如果给了一些三角形的基本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗？这节课我们就来利用尺规作一个三角形与已知三角
《三角形的尺规作图》拔高练习
1.4三角形的尺规作图 1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图5—94所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( ) A．SSS D．SAS C．ASA D．AAS 2．已知：任画一条线段a．求作：等腰三角形(两腰长相等)，使底边长为2a，腰长为3a． 3．已知：任意画出一个∠α、一个∠β(都是锐角)和一条线段a．求作：ΔABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AC＝a． 4．已知：任画两条线段a，b(a>b)．求作：边长为a-b的等边三角形(三边长相等)． 5．已知：任意画出一个∠α、一个∠β(都是钝角)和一条线段a．求作：ΔABC，使∠A＝180°-∠α，∠B＝180°-∠β,AB＝a．
6．已知：如图5—95所示，线段a，m，h(m>h)，O为线段a的中点．求作：ΔABC，使它的一边等于a，这条边上的中线和高分别等于 m和h(m>h)．
参考答案 1．A[提示：由作法知，OC ＝OD ＝O ′C ′＝O ′D ′，CD ＝C ′D ′，由SSS 可知，ΔOCD ≌ΔO ′C ′D ′，从而说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．故选A ．] 2．作法：如图5—96所示．(1)作线段BC ＝2a ；(2)分别以B,C 为圆心，3a 长为半径在BC 同侧画弧，两弧的一个交点为 A ；(3)连接AC ，A B ．ΔAB C 就是所求 作的三角形．3．略． 4．提示：如图5—97所示．(1)作线段BC ＝a-b ；(2)分别以B ，C 为圆心，a-b 长为半径在BC 同侧画弧，两弧的一个交点为 A ；(3)连接AC ，A B ．ΔAB C 就是所求作的三角形． 5．略． 6．作法：如图5—98所示．(1)作ΔAED ，使∠AED ＝90°，AE ＝h ，AD ＝m(AD 在AE 右侧)；(2)延长ED 到B ，使DB ＝ 21a ；(3)在DE 上截取DC ＝ 21a ；(4)连接AB ，AC ．则ΔABC 即为所求作 的三角形．
尺规作图与解直角三角形
尺规作图与解直角三角形 25．（8分）（2013南京白下区二模）如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作CD ⊥AC ，交AB 于点D ． （1）作⊙O ，使⊙O 经过A 、C 、D 三点（尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 26．（8分）问题：已知线段AB 、CD 相交于点O ，AB ＝CD ．连接AD 、BC ，请添加一 1．（8分）（2013?白下区一模）（1）如图，已知直线AB 和直线外一点C ．利用尺规，按下面的方法作图： ①取一点P ，使点P 与点C 在直线AB 的异侧．以C 为圆心，CP 的长为半径画弧，与直线AB 交于点D 、E ； ②分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧交于点F （点F 与点C 在直线AB 的异侧）； ③过C 、F 两点作直线． （2）判断（1）中直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由． 2．（2013年鼓楼一模）（8分）已知A 、B 、C 三点均在O 上，且ABC △是等边三角形． A B C D （第25题）
（1）如图，用直尺和圆规作出ABC △；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若点P是 BC上一点，连接PA、PB、PC．探究PA、PB、PC之间的等量关系并说明理由． O 3．（9分）（2013?玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．现有一点D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB． （1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）；（2）连接CD，与AB交于点E，求∠BEC的度数； （3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件． 考 点： 圆的综合题． 专 题： 综合题． 分析：（1）由于∠CDB=∠CAB，点A与点D都在以BC为弦的同一圆上，则先作出Rt△ABC的外接圆⊙O，然后以B为圆心，BC为半径画弧交⊙O于点D，则点D为所求； （2）由DB=CB得∠DCB=∠CDB，而∠CDB=∠CAB，所以∠DCB=∠CAB，再利用∠CAB+∠CBA=90°得到∠DCB+∠CBA=90°，于是得到∠BEC=90°；
