勾股定理教学设计

人教版七年级数学上册《勾股定理》教学设计

一、课题：

勾股定理

二、课型：

新授课

三、课时：

一课时

四、教材分析：

（一）主要内容

本章是人教版《数学》八年级下册第17章第一节，本节的主

要内容是勾股定理的探究，教材从实践探索入手，给学生创设

学习情境。

（二）相关要求

掌握勾股定理的证明方法，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用

（三）教材的地位和作用

在本节课以前，学生学习了一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。

这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习怎样解直角三角形和二次根式做铺垫。通过探索还掌握新的数学证

明方

法——等面积法。

（四）数学思想和方法

掌握等面积方法和数形结合的数学思想。

五、学情分析：

由于该堂课采用了“等面积”方法来证明勾股定理，这种方法在以前的学习中不常用，如果只是老师讲授，学生不会留下深刻印像。因此，我们采用分组探索的方式。又考虑到学生的情况不同，将学生进行合理分配，在活动前对学生进行鼓励，告诉他们该节课的学及以前的基础知识联系不大，并且要求学生多动口、动手、动脑，以学生自主探究为主。

六、教学目标：

（一）知识及技能：

了解勾股定理的面积证法和数形结合的思想，理解和掌握勾股定理内容及简单应用；培养学生动口、动手、动脑和合作探究的综合能力，提升学生自主学习能力、思考能力和创新能力。

（二）情感及价值：

学生动手探究出数学的奥妙，感受到数形结合的美，达到学生爱学、会学、学会的目标。

七、教学重点和难点：

（一）教学重点：

勾股定理的在解决数学问题中的灵活应用

（二）教学难点：

勾股定理的证明

八、教学方法：

学生自己探究，将课堂以学生为主，进行分组讨论。学生利用新的数学思想来证明本节课的定理。学生能够灵活的掌握勾股定理的应用，感受等面积法和数形结合的美。

九、教学资源及教学手段：

主要的教学资源：教科书，PPT，剪子，红色和白色的纸；

教学手段：多媒体辅助教学

十、教学过程：

主动探索给学生进行分组，让学

生自己准备材料

步骤如下：

（1）随意确定两条线段

a、b

（2）剪八个以a、b为直

角边的直角三角形

（3）分别以a、b、c为

边各剪一个正方形

然后引导学生将裁剪的

图形拼成一个大的正方

形

启发学生，比较两个大

的正方形面积是否相

中的正方形

○1

等，比较

的正方形面积

○2

面积和

之间的关系，用等面积

法推出

对先得出结论的小组进

行表扬。

动手按步骤裁

剪。然后进行

分组，探讨如

何拼成大的正

方形，动手操

作。

进行小组讨

论，动脑思考，

○1

得出结论：

中两个小正方

中小正

○2

形及

方形面积相等

渗透从特殊到

一般的数学思

想，为学生提

供参及数学活

动的时间和空

间，发挥学生

的主体作用；

培养学生的类

比迁移能力及

探索问题的能

力，使学生在

相互争辩、合

作中得到提

高；

得出结论用准确的语言给出勾股

定理的内容并以板书形

式给出。

联系之前的探

究问题加深对

定义的理解。

锻炼学生语言

及思维的严谨

性。

习题加固关于勾股定理的简单应

用：

（1）带领学生运用定

理解决实际问题

（2）让学生做变式练

习

思考分析，自

己动手进行联

系；总结沟谷

定理内容，对

本节课进行反

思。

加深对勾股定

理的理解，灵

活掌握其变式

辨析题，做到

举一反三。

总结归纳让学生分组总结本节课

所学的内容和收获。

学生分小组互

相讨论后，主

动举手进行归

纳总结。

通过小结为学

生创造交流的

空间。从能力、

情感、态度等

方面关注学生

对课堂整体感

受。

布

课后习题：

ABC

Rt

如图，在

已知：

中

AC

是

,D

中，

学生在其作业

本上认真完成

布置的作业，

进一步巩固重

点及难点，真

正掌握并灵活

置 作 业

求证：E,于点，

第二天上交。 应用勾股定

理。

十一、教学反思：

（一） 时间分配的合理度反思：

从整堂课的课程来看，时间基本上达到了预计的效果。但是，由于是第一次接触到“等面积法”，证明起来会比较慢，用时超出了预期的时间，进而导致了后面的习题思考和领会时间较少，还应该对课堂的时间进行合理控制。这个问题应该得到教师们的重视，把课堂还给学生，教师更多的负责引导及启发，学生动手操作，在过程中领悟勾股定理的产生意义，自己练习思考勾股定理习题。 （二） 重点突出不明显

在动手操作的过程中，学生没有感受到勾股定理的重点，教师没有反复强调，这在课堂内容中是一个缺憾。在习题讲授过程中，教师应该着重强调勾股定理的重点，慢慢渗透，学生在解决习题的时候找到重点。在以后的教学里，要避免类似问题，讲授内容时，突出重点。

B

A

E

C

D

B

勾股定理

勾股定理的定义学生板演

b

a2+b2 =c2

勾股定理(第一课时)教学设计

勾股定理（第一课时）教学设计 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。

人教版-数学-八年级下册-18.1 勾股定理 第一课时 教案

第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

1.1 第1课时 认识勾股定理(教学设计——精品教案)

1.1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 教学目标 【知识与能力】 1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想. 2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题. 【过程与方法】 1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程. 2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力. 3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法. 【情感态度价值观】 通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验. 教学重难点 【教学重点】 勾股定理的探索及应用. 【教学难点】 勾股定理的探索过程. 课前准备 【教师准备】分发给学生打印的方格纸. 【学生准备】有刻度的直尺. 教学过程 第一环节：创设情境，引入新课 内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本 届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾 建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们 就来一同探索勾股定理．（板书课题） 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：

问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积． 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫. 效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．） 图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一： 如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 131322 1 4=+???=C S ． 方法二： 如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减

勾股定理的应用教学设计20

勾股定理在实际生活中的应用 学习目标 1通过本科的学习，掌握利用勾股定理理解：决实际问题的方法分析———画图———解答。 2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。 3在互助学习中进一步了解数学源于生活，有服务于生活的道理。 教学重点 如何利用勾股地理解决实际问题。 教学难点 将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。 教学手段 多媒体课件 教学准备 课件五个生准备门框框架 教学方式 互助学习 教学过程 —，温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读了非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 一、温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2. 二、互助学习 （一）出示课件2、3结合课件小组进行互助学习。师友互学，教师巡视指导。 生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。 生2讲解例2，师友展示例2解答过程。 （二）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？ 教师板书:分析---------画图---------解答 （RTΔ）（勾股定理） 三、探究提升 （一）出示课件4（思考题）

《17.1 勾股定理》教学设计(第1课时)

《17．1 勾股定理》教学设计（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 勾股定理的探究、证明及简单应用. 2.内容解析 勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 .它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题. 勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明. 我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感;围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理. 二、目标和目标解析 1.教学目标

(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感. (2)能用勾股定理解决一些简单问题. 2.目标解析 (1)学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的 关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理.了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就. (2)学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度. 三、教学问题诊断分析 勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论.在正方 形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积.因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理.

17.1.1勾股定理教学设计

17.1勾股定理 第一课时 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是人教2011课标版八年级下车册第十七章第一节《勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质、二次根式以及整式运算中的完全平方公式。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) （三）、教学目标分析 【教学目标】 1、知识与技能目标 体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。 2、过程与方法目标

在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。发展学生的合情推理、归纳和概括能力。 3、情感态度与价值观目标 通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 （四）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。拟定本节课的教学重点和难点） 【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】通过面积计算探索勾股定理。 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的提出问题，与学生合作交流，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。） 三、学法指导

优秀教案：勾股定理第1课时

14.1 勾股定理第1课时直角三角形三边的关系 社旗县二初中丁云锋 2012年10月

14.1勾股定理直角三角形三边的关系 教学目标： 知识与技能：掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法 过程与方法：探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想。 情感、态度与价值观：发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，激发热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感。 教学重点、难点： 重点：掌握勾股定理及其简单应用 难点：用测量和拼图法说明勾股定理 教学过程： （一）创设情境，导入新课 导语：同学们，中华民族有五千年悠久的历史，我们创造了灿烂的文化。在数学方面，有大家熟悉的祖冲之对圆周率的贡献，以及刚刚接触过的杨辉三角等。在平面几何方面，我们国家也有突出的成就，大家想不想了解呢？（板书课题——14.1 勾股定理直角三角形三边的关系） （二）提出问题，引入探究 某楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼房

高3米，消防队员搬来一架6.5米长的梯子，要求梯子的底部离墙脚2.5米，请问消防队员能否顺利进入三楼灭火？ 学生猜想。那么怎样用数学的方法解决这个问题呢？学完本节课大家就能解决了。 活动一：探究等腰直角三角形三边之间的关系 出示课件图一，让学生完成表格，最后得出结论：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 猜想：一般的直角三角形的三边有这样的关系吗？ 活动二：探究一般的直角三角形三边的关系 出示课件图二和图三，让学生小组合作完成表格，强调用分割法或拼图法求最大的，即以斜边为边的正方形的面积。 在学生充分探究的基础上得出结论：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知） ∴a2+b2=c2（勾股定理） 做一做：在课本后边的网格中画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3cm和4cm,测量出斜边的长度，计算一下两条直角边的平方和以及斜边的平方，看看是否相等。 进一步验证勾股定理的正确性。 那么，如果改为∠B=90°，用几何语言该怎样描述呢？ 向学生介绍勾股史话，特别是课本47页，我国古代数

公开课勾股定理教学设计

公开课教学《勾股定理》教学设计 颍州区马寨乡中心学校刘洪贺 一、教学目标 1、知识与技能 （1）、了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程。 （2）、掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 （3）、应用勾股定理解决简单问题。 2、过程与方法 （1）、在勾股定理的探索过程中，体会数形结合的思想。 （2）、通过探究勾股定理（正方形方格中）过程，体验数学思维的严谨性。 （3）、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 3、情感态度与价值观 （1）、通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。 （2）、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。 二、教学重点难点 1、教学重点：探索和证明勾股定理。 2、教学难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 三、教学设计思路 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 四、教学流程安排

活动一：了解历史，探索勾股定理。 活动二：拼图验证并证明勾股定理。 活动三：例题讲解。 活动四：巩固练习。 活动五：归纳小结。 活动六：布置作业 五、教学活动内容及目的 1、通过勾股定理的发现，了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。 2、观察、分析方格图，得到直角三角形的特殊性质——勾股定理，发展 学生分析问题的能力。 3、通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 六、教学过程设计 【活动一】 (一)、问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ （1）、勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理 为“毕达哥拉斯”定理。 （2）、我国著名的古算书《周髀算经》中记载有“勾广三，股修四，径隅 五”，这作为勾股定理特例的出现。 2、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某些特性。 （1）、现在请你观察一下，你能发现什么？ （2）、一般直角三角形是否也有这样的特点？ （二）、师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学图 A B C A B C B C A

勾股定理(1)教学设计

《勾股定理（一）》教学设计 教学目标 （1）、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生合情推理意识，体会数学与现实生活的紧密联系。 （2）、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 （3）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的探究过程，并体会由特殊到一般、数形结合以及转化的思想方法。 （4）、在探究活动中，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，通过解决实际问题，增强自信心，激发学习数学的兴趣在教师的介绍下，体会勾股定理的文化价值。 教学重点：勾股定理的发现、探索过程。 教学难点：将边不在格线上的图形转化边在格线上的图形，以便于计算图形的面积。 课前准备：方格纸、课件 教学过程： 一、创设情景 导入新课： 活动内容：情境一：情境1：出示章前图，通过“怎样与外星人联系”的话题激发学生的探究欲望，明确本章的学习内容。 情境二：如图，强大的台风使的一根旗杆在离地面9米处断 裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？ 想一想：你需要求哪些线段长度，这些长度确定吗？ 活动目的：教师引导学生把实际问题转化成数学问题， 也就是“已知直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。再结合“想一想”中的问题，让学生认识到在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定了，三条边之间确实存在一个特定的数量关系，从而引出对直角三角形三边关系的探索。 注意事项：学生能够获取信息，但对于直角三角形中已知任意两边，第三边也就随之确定了理解比较困难，教师可让学生尝试画图并充分的交流自己的想法。 二、尝试猜想 探索验证： 活动内容：活动1：尝试猜想 在纸上任意画若干个直角三角形，测量它们各边的长度，看看三边长的平方有什么关系？ 活动目的：让学生画直角三角形，通过测量得出结论，猜想出了直角三角形三边长平方的关系 9 12

(完整版)勾股定理专题复习(经典一对一教案哟)

卓越教育教案专用 学生姓名授课时间：授课科目：数学 教学课题勾股定理知识点解析（二） 重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。 教师姓名年级：初二课型:复习课 一、作业检查 作业完成情况：优□良□中□差□ 二、课前回顾 对上次家庭作业进行检查并评讲 三、知识整理 知识点1.勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2） 注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2 例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长； （2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长 （3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值 A C B 图1 C B A 图2

知识点2.勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 思路： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可 证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 知识点3.直角三角形的判别条件 （1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形. 例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

《勾股定理》教学设计1

勾股定理 主题解读： （1）课标比较 2011版：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 实验版：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 新版更注重知识的生成过程，注重学生从无到有的体验。 （2）不同版本教材的比较 人教版： 北师大版：华师版：

三个不同版本都突出了探索勾股定理的过程，人教版还原了几何勾股定理的历史原貌，体现了欧式几何的思想.华师版和北师版均从直角三角形三边的数量关系上寻找勾股定理，符合中国的数学思想与方法. （3）在数学史上的发展轨迹 勾股定理是一个古老的数学问题，起源于实际测量和计算，只要有文明的地方，就有勾股定理的存在形式.从勾股定理的发现和证明的历史发展看，定理有其实际应用价值且蕴含了丰富的数学思想，如特殊到一般、归纳猜想、转化和数形结合的思想。古代中国和古希腊人对定理的证明也彰显了东西方不同的数学文化和精神.不同的是，东方以中国为代表的称勾股定理，体现直角三角形三边数的运算规律，以西方希腊为代表的毕达哥拉斯定理，体现直角三角形三边的几何规律，这从他们的叙述就能看出来，并且从证明的角度，也体现了文化上的差异.但是，在中国，梅文鼎集东西方文化的大成，给予了融汇东西的证明方法. 而随着数学的进一步发展，勾股定理成为了余弦定理的特殊形式，并在三维或n维空间存在勾股定理的推广.并且随着非欧几何的产生，勾股定理在这些学科中具有相似的表现形式

（4）课程内容的纵向发展轨迹 勾股定理在小学阶段呈现的是数的计算以及特殊的直角三角形—等腰直角三角形的面积计算.进入中学以后，随着无理数及平方根的引入，以及欧式几何深入学习，学生可以逐渐理解代数下222a b c +=的运算以及演绎逻辑下的推理，开始进行系统的定理学习与简单应用.随后，学生还要在高中进行余弦定理的进一步学习，体会斜三角形转化为直角三角形的数学思想。如果进入大学，还要体验三维空间或n 维空间的勾股定理的形式，甚至在数学系，还要学习非欧几何的勾股定理形式. （5）课程内容的横向联系 勾股定理作为一个阶段性知识点的载体，可以作为代数形式的发展，一是从元的个数形式的发展，如2222a b c d ++=等等四元二次等式的研究；二是从次数增加的形式的发展，如n n n a b c +=的整数解. 教学目标 （1）结合阅读材料，通过课前查找资料，课本自学，了解勾股定理的表述与证明； （2）通过网络平台交流学习心得、提出问题，掌握勾股定理的证明方法； （3）通过与历史对话，体会数学大家的数学智慧. 教学重点与难点 教学重点：勾股定理的不同证明 教学难点：从历史与文化的背后，理解勾股定理，并提出问题. 教学内容： 请同学们带着以下几个问题，认真阅读所给资料，并查阅其它相关资料，尝试回答这些问题和提出你的问题。 1．勾股定理是怎么叙述的？《几何原本》中毕达哥拉斯定理是怎么叙述的？ 2．请试图说明赵爽、刘徽如何证明勾股定理？

勾股定理(1)教学设计与反思

2.1勾股定理（1）教学设计及反思 江西省东乡县实验中学黄树华 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 勾股定理（1）是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）教学目标 基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。 1、知识目标：了解勾股定理的文化背景，掌握勾股定理的内容，体验勾股定理的探索过程及定理简单应用，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 2、能力目标：让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，在定理的证明中培养学生的拼图能力，体会“从特殊到一般”和“数形结合”的数学思想； 3、情感目标：通过对勾股定理历史的了解，发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，感受数学价值，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，培养他们的民族自豪感； （三）教学重、难点 重点：探索勾股定理及定理的简单应用；难点：用拼图方法证明勾股定理； 二、学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。 三、教学策略 本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。 四、教学流程

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证

（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F

八年级数学下册 17.1 勾股定理教案 (新版)新人教版

17．1 勾股定理 一、教学目的 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132 ，那么就有勾2+股2=弦2 。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2 。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4× 2 1ab ＋（b －a ）2=c 2 ，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

17.1 勾股定理 第2课时 教学设计

人教版初中数学八年级下册 第十七章《勾股定理》 17.1 勾股定理 第2课时 教学设计 教学目标： 1.知识与技能： (1) 利用勾股定理解决实际问题. (2) 从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想. 2.过程与方法：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题. 3.情感态度与价值观： (1) 通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． (2) 通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 教学重点：勾股定理的应用． 教学难点：勾股定理在实际生活中的应用． 教学流程： 第一环节：复习旧知，情景引入 （1）复习勾股定理的内容、变型公式及作用. （2）练习 1）求出下列直角三角形中未知的边． 6 10 A C B 8 A 15 C B

回答： ①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？ 2）在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长． 解：在Rt △ ABC 中，∠B=90°,由勾股定理可知： AC=5212222=+=+BC AB 第二环节：探索新知 1．探究活动1：小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m ，高2 m ，如图所示，那么长3 m ，宽2.2 m 的薄木板能否 2 45° 30° 2 A C B D

顺利通过门框呢？ 分析：木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试能否斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC的长，再与木版的宽进行比较，就能知道木版能否通过. 解：∵在Rt△ABC中，∠B=90° ∴AC=22 =5≈2.236 12 ∵AC≈2.236>2.2 ∴木板能从门框内通过 小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长. ∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理) 探究活动2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时

18、1勾股定理教案

18．1 勾股定理 教学内容与背景材料 本节课主要内容是学习勾股定理及其应用．（课本P72～P76） 课型：合作展示课. 教学目标（三维目标） 知识与技能 经历探索勾股定理的过程，理解其意义及内涵，掌握其应用方法，发展几何思维．过程与方法： 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识． 情感态度与价值观： 以我国古代在勾股定理的研究方面所取得辉煌成就，激发学生的爱国热情，培养严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值． 重难点、关键 重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用． 难点：理解勾股定理的推导过程． 关键：通过网格拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵． 教学准备 教师准备：制作投影片，设计好拼图（用纸片制作）：“探究”1、2的教具． 学生准备：预习本节课内容． 学法解析 1．认知起点：直角三角形（含等腰直角三角形）． 2．知识线索： 3．学习方式：采用合作探究、展示交流的方式掌握本节课内容． 教学过程 一、采用组内互查、组长检查、教师抽查或教师提前收上来全部检查的方式检查学生预习生 成的情况，并据此确定本节课的教学目标。 二、明确目标任务（用多面体投影显示或教师口述或采用发纸条的方式）（1分钟） 1、教学目标 ①探索勾股定理，理解勾股定理的意义及内涵． ②掌握勾股定理的应用方法，感受应用意识，体会应用价值． ③激发爱国热情，培养严谨的数学学习态度， 2、任务分配： Ⅰ组：能通过网格拼图的办法探索出命题1.（P72-73） Ⅱ组：能用我国赵爽的证法证明勾股定理，并分析其内涵．（P73-74） Ⅲ组：能用毕达哥拉斯的证法证明勾股定理.（P80） Ⅳ组：能用弦图的证法证明勾股定理.（P80） Ⅴ组：能用美国第20任总统茄菲尔德的证法证明勾股定理.（P80） Ⅵ组：能通过探究1掌握勾股定理的应用方法及在生活中的简单应用.（P74-75） Ⅶ组：能通过探究2掌握勾股定理在多个三角形中的应用方法及用来解决复杂问题.（P75-76） Ⅷ组：能通过探究3掌握利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.并会解决和等腰三角形、等边三角形的性质综合的问题.（P76-77） 三、分组合作探究（6分钟） 各小组把分配到的任务进行合作探究，把自学生成的重点、难点、疑点，通过说、谈、讲、演、辩达到组内统一，形成共识，人人过关.并把合作探究的结果写到黑板上（可一人或多人完成）.教师巡回指导或参与讨论.

17.1 勾股定理 第1课时 教学设计

西藏萨迦县中学电子教案 单位：西藏萨迦县中学年级：八年级学科：数学课题 18.1勾股定理（第1课时）主备教师达娃加参 单元第十八章教学课时一节课时授课教师达娃加参备课时间2017.6 教学目标1、通过观察、分析方格图，经历探索勾股定理的过程，会运用勾股定理进行简单的计算. 2、在勾股定理探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，激发学习热情. 教学重点1.重点：探索勾股定理. 教学难点 2.难点：探索勾股定理. 考点分析勾股定理的应用题 教学准备直尺 教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：同学们听说过外星人吗？ 生：（齐答）听说过. 师：外星人就是生活在别的星球上的智慧生物.长期以来，人类一直在寻找外星 人，并试图与他们交流.那么怎么寻找外星人？又怎么与外星人交流呢？主要 的办法是向处太空发射探测器，希望有朝一日外星人能接收到探测器发出的 信号，最好能直接收到探测器.为什么要直接收到探测器？因为在探测器里有 很多图片，这些图片反映了地球的情况、地球人的形象、生活和文明成果. 师：在这些图片中，有一张图片特别有意思，它所反映的恰好是我们这节课要 学习的内容.这是一张什么样的图片呢？ （师出示下图） 教学补充

（二）尝试指导，讲授新课 师：（指准图）在这张图片上，中间画的是一个直角三角形，这个直角三角形的一条直角边等于3，另一条直角边等于4，斜边等于5.在直角三角形的外面画了三个正方形，这三个正方形的边长分别是3、4、5，所以这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面积是25. 师：现在要问大家的是，通过这个图形地球人想告诉外星人什么呢？如果你是外星人，你看到这个图形能发现什么呢？ （让生观察思考，要给学生充足的观察思考时间） 师：（指图）谁来说说从这个图形你发现了什么？ 生：……（多让几名同学发表看法） 师：（指准图）这个正方形的面积是9，这个正方形的面积是16，这个正方形的面积是25，9+16恰好等于25，可见，这个正方形的面积加上这个正方形的面积恰好等于这个大正方形的面积（板书：一个正方形的面积+另一个正方形的面积=大正方形的面积）. 师：（指准图）从这三个正方形面积的关系，我们可以进一步发现这个直角三角形三边的关系. 师：（指准图）看到没有？这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，这个正方形的面积实际上就是这条直角边的平方，而这个正方形的面积实际上就是这条斜边的平方.可见，这条直角边的平方加上这条直角边的平方恰好等于这条斜边的平方（板书：一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方）. 师：以上我们通过观察分析图形，发现这个直角三角形的三边有这样的关系：（指准式子）一条直角边的平方+另一条直角边的平方=斜边的平方. 师：发现了这个关系，我们会进一步想到一个问题，什么问题？（稍停后边讲边指准图）这个直角三角形的三边有这样的关系，那么别的三角形的三边是否也有这样的关系呢？ 师：下面我们就来看别的直角三角形的情况. （师出示下图）

人教版八年级下册17.1.1勾股定理教案

《勾股定理》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）了解关于勾股定理的一些文化历史背景。 （2）能用勾股定理解决一些简单问题。 2.过程与方法 发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。【教学重点】 勾股定理的推导 【教学难点】 利用勾股定理解决问题。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、情景导入 【过渡】如图所示为2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽，它标志着我国古代数学的成就。这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？今天我们就来探究一下，关于这个图形，究竟有哪些知识。

二、新课教学 1．勾股定理 【过渡】相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，我们也来观察一下，从图形中能发现什么知识呢？ 【过渡】大家来看P22页的思考内容，我们发现，这个图形与上边的图形是一致的，今天，我们也来当一回科学家，来思考一下，这个图形到底有什么奥秘呢？ 【过渡】我们能够看到，在这个图中，有三个正方形A、B、C，现在，我们假设小方格的边长为1。正方形A、B、C的面积各为多少？ （学生回答）引导学生通过小方格的个数计算。 【过渡】通过观察，我们发现，三个正方形，S A=6，S B=6，S C=12。由此，我们能够回答思考内容中的第一个问题，即三个正方形的关系是S A+S B=S C。 【过渡】现在，我们来看第二个问题，结合正方形的知识，我们知道三个正方形所围成的，即蓝色部分是一个等腰直角三角形。我们假设A、B、C三个正方形对应的边长分别为a、b、c。则通过正方形面积的计算，大家能得到什么呢？ （学生回答） 【过渡】大家都是很优秀的科学家，就是这样，我们能够得到a2+b2=c2，而从图中，我们又能发现，a、b、c刚好是等腰直角三角形的三条边。那么，现在谁能来总结一下，等腰直角三角形中三边的关系呢？ 对于等腰直角三角形有这样的性质：斜边的平方等于两直角边的平方和。 【过渡】既然等腰三角形中有这样的性质，那大家就可能会说，其他一般的三角形中会不会也有

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例 一、利用勾股定理解决立体图形问题 勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。 一、长方体问题 例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（） A、41cm B、34cm C、50cm D、75cm 分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△ BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。 解：在Rt△ABC 中，AB=5 ，AC=4，根据勾股定理， 得BC= AB2 AC2 = 41 ， 在Rt△BCD 中，CD=3，BC= 41 ， 22 BD= BC2 CD2 = 50 。所以选C。说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。二、圆柱问题 例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？

分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知，S、 F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3 的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。 解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm），FB=18―1―1=16 （cm），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34（cm），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。 说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想转化思想。 二、利用勾股定理确定最短问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1（恩施自治州）如图 1 ，长方体的长为15，宽为10 ，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（） 图1 ①