信息论与编码试卷及答案2

一、（11’）填空题

（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

（2）必然事件的自信息是0 。

（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。

（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。

（5）若一离散无记忆信

源的信源熵H（X）

等于2.5，对信源进

行等长的无失真二

进制编码，则编码

长度至少为

3 。

（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。

（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关

二、（9'）判断题

（1）信息就是一种消息。（?）

（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（√）

（3）概率大的事件自信息量大。（?）

（4）互信息量可正、可负亦可为零。（√）

（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。

（?）

（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（√）

（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（?）

（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。

（√）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ?)

三、（5'）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A 表示“大学生”这一事件，B 表示“身高1.60以上”这一事件，则

P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）

故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375

（2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）

四、（5'）证明：平均互信息量同信息熵之间满足

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)

证明：

()()()()

()()()()()()

Y X H X H y x p y x p x p y x p x p y x p y x p Y X I X X Y j i j i Y i j i X Y i j

i j i -=?

?

?

???

---==∑∑∑∑∑∑log log log

; （2分） 同理 ()()()X Y H Y H Y X I -=; （1分）

则

因为 ()()()X Y H X H XY H += （1分）

故

即

()()()()XY H Y H X H Y X I -+=; （1分）