三角函数应用【公开课教案】

§1.4 船有触礁的危险吗

课题

§1.4 船有触礁的危险吗

教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

(二)能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

(三)情感与价值观要求

1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.

2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.

教具重点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.

教学难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.

教学方法

探索——发现法

教具准备

多媒体演示

教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

下面我们就来看一个问题(多媒体演示).

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)

Ⅱ.讲授新课

[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?

[生]应该是“上北下南，左西右东”.

[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.

[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长度，然后与10海里比较.

[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?

[生]已知BC °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°.

[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD.你能在哪一个三角形中求出AD 呢?

[生]在Rt △ACD 中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.

[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD.

[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?

[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC ＝BD-CD.BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系. [师]有何联系呢?

[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝

AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △ACD 中，tan25°＝AD

CD

，CD ＝ADtan25°.

[生]利用BC ＝BD-CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.

[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完.

[师生共析]解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=

?

-?25tan 55tan 20

≈20.79(海里).

这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示

想一想你会更聪明：

如图，小明想测量塔 CD 的高度.他在A 处 仰望塔顶，测得仰角 为30°，再往塔的方

向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?

[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC ，60°的仰角指∠DBC.

[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)

[生]首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在Rt △ADC 中，tan30°=AC

CD

， 即AC ＝

?30tan CD 在Rt △BDC 中，tan60°=BC CD

,

即BC ＝?60tan CD

，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得

?30tan CD -?

60tan CD

=50.

解得CD ≈43(m)，

即塔CD 的高度约为43 m.

[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时应考虑小明的身高.

[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? [生]示意图如 右图所示，由前面的 解答过程可知CC ′≈ 43 m ，则CD ＝43+

1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.

[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.

多媒体演示： 某商场准备改善原来 楼梯的安全性能，把 倾角由40°减至35°， 已知原楼梯长为4 m ，

调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法

)

[生]在这个问题 中，要注意调整前后 的梯楼的高度是一个 不变量.根据题意可 画㈩示意图(如右

图).其中AB 表示楼梯的高度.AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：

如图，AB ⊥DB ，∠ACB ＝40°，∠ADB ＝35°，AC ＝4m.求AD-AC 及DC 的长度.

[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧! [生]解：由条件可知，在Rt △ABC 中,sin40°＝AC

AB

，即AB ＝4sin40°m ，原楼梯占地 长BC ＝4cos40°m.

调整后,在Rt △ADB 中，sin35°＝AD AB ，则AD ＝?

?

=?35sin 40sin 435sin AB m.楼梯占地长 DB=

?

?

35tan 40sin 4m.

∴调整后楼梯加长AD-AC ＝?

?

35sin 40sin 4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC ＝

DB-BC=

?

?

35tan 40sin 4 -4cos40°≈0.61(m).

Ⅲ.随堂练习

1.如图，一灯柱AB 被 一钢缆CD 固定，CD 与地面 成40°夹角，且DB ＝5 m ， 现再在C 点上方2m 处加固 另一条钢缆ED ，那么钢缆 ED 的长度为多少?

解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m ，sin40°= DB

BC

，BC=DBsin40°=5sin40°(m).

在Rt △EDB 中，DB=5 m ， BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m).

根据勾股定理，得DE=2

2

2

2

)40sin 52(5?++=+BE DB ≈7.96(m). 所以钢缆ED 的长度为7.96 m. 2.如图，水库大坝的 截面是梯形ABCD ，坝顶AD ＝6 m ，坡长CD ＝8 m.坡底 BC ＝30 m ，∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小：

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3

) 解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足

.

(1)在梯形ABCD 中.∠ADC ＝135°，

∴∠FDC ＝45°，EF ＝AD=6 m.在Rt △FDC 中，DC ＝8 m.DF ＝FC ＝CD.sin45°=42 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m). 在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 (m). tanABC ＝2

62242424-=

-=BE AE ≈0.308. ∴∠ABC ≈17°8′21″.

(2)梯形ABCD 的面积S ＝2

1

(AD+BC)×AE =

2

1(6+30)×4 2=722 (m 2

). 坝长为100 m ，那么建筑这个大坝共需土石料100×722 ≈10182.34(m 3

). 综上所述，∠ABC ＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m 3

土石料. Ⅳ.课时小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和 解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣. Ⅴ.课后作业

习题1.6第1、2、3题. Ⅵ.活动与探究 (2003年贵州贵 阳)如图，某货船以 20海里／时的速度 将一批重要物资由A 处运往正西方向的B

处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，

3 ≈1.7)

[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.

[结果](1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D. 依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=2

1

×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响

.

(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603.

AE=AD-DE=1603 -120，

∴

40120

3

160

=3.8(小时).

因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.

板书设计

§1.4 船有触礁的危险吗

一、船布触礁的危险吗

1.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题.

2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题.

3.解释最后的结果.

二、测量塔高

三、改造楼梯

初中数学《锐角三角函数的应用》教案

初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？

2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形

《二倍角的三角函数》教案(1)(1)

二倍角的三角函数 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）能够由和角公式而导出倍角公式； （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； （3）能推导和理解半角公式； 4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法 教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？ 3、让学生板演得下述二倍角公式：

α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= [展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=4 245sin 21=ο ②．=-π18 cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22 224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)12 5cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22 =π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α -α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例3、已知),2 (,135sin ππ∈α= α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α

全国高中数学优质课 余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。 正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。 纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。” 从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形

切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。 从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 教材的编排，就是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。 基于以上分析，本节课的教学重点是： 通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理。 二、教学目标设置 结合《课程标准》和教材编排，本节课的教学目标确定为： 1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。 2.通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。

初中数学九年级《锐角三角函数：正弦》公开课教学设计

28.1 锐角三角函数（教案） 第 1 课时正弦 【知识与技能】 1. 让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实； 2. 掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算. 【过程与方法】通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力. 【情感态度】在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力. 【教学重点】了解正弦函数定义，理解当锐角一定时它所对的直角边与斜边的比固定不变这一事实.【教学难点】加深直角三角形中，当它的某一锐角固定时这角的对边与斜边的比是个定值”的理解. 一、情境导入，初步认识 问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°， 为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？ 【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论. 教师应重点关注学生获取结论的过程，即是否运用 30 的对边1 “ 斜边= 2 ” 这一结论。 二、思考探究，获取新知 探究 1 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？ 思考 1 通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现？ 【教学说明】在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知 识积累感性认识. 最后教师与学生一道进行简要总结. 【归纳结论】在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如 何，这个角的对边与斜边的比值都等于1，是一个固定值. 2 ∠ C=90°，∠ A = 45°，计算∠ A的对边BC与斜思考 2 如图，在Rt△ACB中，

《三角函数模型的简单应用(第2课时)》教学教案2

1.6 三角函数模型的简单应用 学习目标 1．能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型． 2．通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系． 重点难点 学习重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题． 学习难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题． 学习过程 导入新课 思路1．通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等． 思路2．(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用． 提出问题 ①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？ 活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的．教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业．教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中． 应用示例 例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐．在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:

1.2.1 三角函数线 教案 (1)(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.1 三角函数线 一、教学目标： 知识与技能： 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 过程与方法： 掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 情感、态度与价值观 通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数形结合的思想方法，帮助学生形成科学的世界观、 价值观。 二．重点难点 重点：正弦、余弦、正切线的概念。 难点：正弦、余弦、正切线的利用。 三、教材与学情分析 利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境. 四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教学． 五、教学过程 1.导入新课 思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样 的相依关系呢? 思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容

的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来. 新知探究 （1）提出问题：问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用 几何中的方法来表示,应怎样表示呢? 问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段? 活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段: 如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向), 规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x. 如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y. 引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有 sin α=r y =1 y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线. 类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义 和相似三角形的知识,就有tan α= x y =OA AT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.

人教版初三数学下册三角函数及其应用

2017年中考数学复习解直角三角形及其应用 【课前热身】 1. 某坡面的坡度为1 _______度． 【考点链接】 2．如图（1）解直角三角形的公式： （1）三边关系：__________________． （2）角关系：∠A+∠B ＝_____， 图1 （3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 4．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____． （图2） （图3） （图4） 【典例精析】 例1 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北 偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． O A B C

1．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的 仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______. 1.73，结果精确到0.1m） 2．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号) ﹡3．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）

高中数学第一章三角函数第16课时1.3.4三角函数的应用2教案苏教版必修4

第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2） 【教学目标】 一、知识与技能： 会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法 从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用 三、情感态度价值观： 培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活 教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾 1、 回顾课本 “三角函数的周期性” 2、 求函数的解析式 二、例题分析： 例1、（教材P46的11） sin()y A x k ω?=++

点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。 例2、 (教材P44例3) 点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定的解析式即可。 三、课堂小结： 通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样 的好的解决办法? 四、课后思考： 1、下表是某城市1973－2019年月平均气温（华氏 ） 若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ） sin()y A x k ω?=++° F x y

A ． B ． C ． D ． 2、某港口水的深度y （米）是时间t （0t 24，单位：时）的函数，记作y=f （t ），下面是某日水深的数据： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 10.1 13.0 9.9 7.0 9.9 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，y=f （t ）的曲线可以近似地看成函数的图象. （1）试根据以上数据，画出函数的草图，并求其近似表达式； （2）试说明的图象可由 的图象经过怎样的变换得到； （3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间） 26cos 6 y x π =(1) 26cos 466 x y π-=+(1) 26cos 466 x y π-=-+26sin 266 y x π =+≤≤y Asin(t )k =ω+?+y f (t)=y f (t)=y sin t =3691215182124 10

杨启刚1.3三角函数的诱导公式-公开课教案

公开课教案 教学课题： 1.3三角函数的诱导公式 教学时间：2014.11.20第七节课教学地点：北楼一楼授课班级：高一（2）班执教人：杨启刚●三维目标 1．知识与技能 (1)理解正弦、余弦的诱导公式． (2)培养学生化归、转化的能力． 2．过程与方法 (1)能运用公式一、二、三推导公式四． (2)掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 3．情感、态度与价值观 通过公式四的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． ●重点、难点 重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识． 难点：发现圆的几何性质(特别是对称性)与三角函数性质的联系.式的关系．●教学建议 1．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路．利用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担．2．诱导公式应当在理解的基础上记忆，而且应当使学生学会利用单位圆帮

助记忆．教科书对诱导公式的特点进行了概括，教学中要留有时间让学生思考、讨论、归纳，引导学生建立各组公式与相应图形的联系，并对各个公式的异同进行比较，以此加深公式的理解． ●教学过程 设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，π＋α的角的终边与单位圆交于点P2. 1．点P2的坐标是什么？ 【提示】P2(－x，－y) 2．根据三角函数的定义，你能得出角π＋α与角α的三角函数值间的关系吗？ sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α. 任意角α与－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？ 你能用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系吗？ sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α. 任意角α与π－α的终边与单位圆的交点有怎样的位置关系？ 1．公式四：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α. 2．公式一～四可以概括为：

任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时） 教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下： （情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习

锐角三角函数教学设计数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课.docx

锐角三角函数教学设计 §28?1锐角三角函数（一） 一. 指导思想 建构主义学习理论的核心是：以学生为屮心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。 《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的纽织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、冇意义的、富冇挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理打交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在木节课的每个教学活动屮，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动屮的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到白己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学牛的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。 二. 教学背景分析 （一）教学内容分析： 1.地位及作用 《锐角三角函数概念》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册笫28章第一节的内容。 锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数屮已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。锐角三角函数的概念，既是本章的重点，也是难点.又是学好本章内容的关键?因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角Z间的关系，从而才能利川这些关系解直角三角形。此内容乂是数形结合的典范.因此，学好本节内容是十分必要的，对本单元的学习必须引起足够的重视. 2.课时安排 本节教材共分三课时完成,:第-?课时是正弦概念的建立及其简单应用；第二课时是余弦、正切概念的建立及其简单应用；笫三课时是综合应用。 （二）学生情况分析： 学生前面已经学习了三角形、四边形、和似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习

公开课教案解直角三角形

解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3

ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。

高考数学总复习教案：三角函数的综合应用

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页 ) 考情分析考点新知 理解和掌握同角三角函数的基本关系 式、三角函数的图象和性质、两角和与差的 正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定 理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角 函数的综合问题． 2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式 ②二倍角公式 ③三角函数的图象和性质 ④正弦定理和余弦定理 1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 a cosA＝ c sinC，则A＝________． 答案： π 4 解析：由 a cosA＝ c sinC， a sinA＝ c sinC，得 a sinA＝ a cosA，即sinA＝cosA，所以A＝ π 4. 2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin? ? ? ? x－ π 6的图象，则φ＝________． 答案： 11 6π 解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝ 11 6π时有y ＝sin? ? ? ? x＋ 11 6π＝sin? ? ? ? x－ π 6. 3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tan π 12－ 1 tan π 12 ＝________． 答案：－2 3 解析：原式＝ sin π 12 cos π 12 － cos π 12 sin π 12 ＝ －? ? ? ? cos2 π 12－sin2 π 12 sin π 12cos π 12 ＝ －cos π 6 1 2sin π 6 ＝－2 3.

2021年高中数学新北师大版必修第二册 第四章 2.3 三角函数的叠加及其应用 教案

三角函数的叠加及其应用 【教学目标】 1．掌握三角函数的辅助角公式. 2．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 【教学重难点】 三角函数的辅助角公式及其应用. 【教学过程】 一、基础铺垫 辅助角公式： a sin x ＋ b cos x 其中tan φ＝b a ，φ所在象限由a 和b 的符号确定，或者 sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、合作探究 利用辅助角公式研究函数性质： 【例】已知函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6＋2sin 2? ?? ??x －π12(x ∈R ). （1）求函数f (x )的最小正周期； （2）求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解 （1）∵f (x )＝3sin ? ????2x －π6＋2sin 2? ?? ??x －π12 ＝3sin ??????2? ????x －π12＋1－cos ???? ??2? ????x －π12 ＝2?????? ????32sin ??????2? ????x －π12－12cos ??????2? ????x －π12＋1 ＝2sin ??????2? ????x －π12－π6＋1 ＝2sin ? ?? ??2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. （2）当f (x )取得最大值时，sin ? ?? ??2x －π3＝1，

有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为 ???? ??xx ＝k π＋5π12，k ∈Z . 【规律方法】 （1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. （2）解此类题时要充分运用两角和(差)、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 【训练】已知函数f (x )＝cos ? ????π3＋x ·cos ? ?? ??π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. （1）求函数f (x )的最小正周期； （2）求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解 （1）f (x )＝? ????12cos x －32sin x ·? ?? ??12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3（1－cos 2x ）8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. （2）h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ? ?? ??2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )， 即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22 . 此时x 的集合为???? ??xx ＝k π－π8，k ∈Z . 三、课堂总结 1．在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.

北师大版1.5 三角函数的应用 教案

第一章直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 一、知识点 1.用三角函数解决实际问题. 2.借助于计算器进行有关三角函数的计算. 二、教学目标 知识与技能： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 过程与方法： 1.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想. 2.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法），力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸 情感态度与价值观： 1.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. 2.能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）. 3.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. 三、重点与难点 重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决. 四、回顾与思考（出示幻灯片2） 1.直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？ 2.互余两角之间的三角函数关系？ 3.同角之间的三角函数关系？ 4.30°、45°、60°角的三角函数值是多少？ 五、创设情境，导入新知 问题情景：请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》（出示幻灯片3） 问题1：大家看到了什么？ 问题2：有什么感受？

引导学生交流，并提出本节课要探究的课题. 学生回答老师提出的问题. 活动目的：从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性. 六、探究新知 （一）探究一：船是否有触礁（出示幻灯片4） 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 1.在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用. 2.教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习. 3.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解. （出示幻灯片5） 活动目的：同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑. （二）探究二：塔有多高（出示幻灯片6、7） 小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m) 2.学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备. 3.学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）（出示幻灯片8） 交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.

(优质课)锐角三角函数教案

教学设计： §28.1 锐角三角函数 授课人：和金平 编号： 48号

§28.1 锐角三角函数（一） 一、教学目标： 1、理解直角三角形中锐角正弦函数的意义，并会求锐角的正弦值； 2、掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形其他边长的方法； 3、经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力。 教学重点： 理解正弦（sinA）概念，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值．教学难点： 在直角三角形中当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 二、教学过程： 1、创设情景，提出问题:（PPT演示） 在唐僧师徒取经的路上，遇到了一座山，这座山有多高呢？这可难住了唐僧。大徒弟孙悟空目测山的顶部，视线与水平线的夹角为30度，然后从地面飞到山顶，路程是1000米。 你能帮孙悟空计算出山的高度吗？ 1000米 B A C 情境探究: 分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，AB＝1000m，求BC 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得BC＝AB ＝500m，也就是说，这座山的高度是500m 思考1：在上面的问题中，如果孙悟空从山底部飞到山顶1500米，那么山的高度是多少？ 可得B’C ＝AB’ ＝750m 仍有 1 2 A BC AB ∠ == 的对边 斜边 1 2 ''1 , A B C ∠ == 的对边 1 2

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比值都等于 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？ 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，假设 BC= ，由勾股定理得: A 因此 C B 45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90° 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是个固定值； 当∠A=45°时，∠A ，也是一个固定值． 2、【探究】当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A’B’C ，使得∠C ＝∠C ’＝90°,∠A ＝∠A’＝ ， 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ 由于∠C ＝∠C ’＝90°， ∠A ＝∠A ’＝ 所以Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’ 【为了更直观地验证这一结论，教师几何画板演示：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比不变；当锐角A 的度数增大时，不管三∠A 的对边与斜边的比值变大。】 1 2 a 22222 22AB AC BC BC a =+==AB =2BC AB ===a a 2 αAB BC ' '' 'B A C B α,'''' BC AB B C A B ∴=B'C' .AB '' BC A B =即

全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数4 含答案

1．2．1任意角的三角函数 【教学内容解析】 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。 三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。 本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。因此本节内容具有承上启下的作用。 任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法． 【教学目标设置】 1、通过大量实例，认识到定义任意角三角函数的必要性； 2、借助单位圆上的圆周运动，抽 象概括出任意角正弦、余弦定义，并体会命名的合理性；能根据定义求特殊角的三角函数值。 3、在抽象概括三角函模型的过程中，体会数形结合等数学思想。 【学生学情分析】 初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。 三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。 教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。 【教学重点、难点】 重点：借助单位圆上点的圆周运动生成理解任意角的正弦、余弦的定义；能根据定义求特殊角的三角函数值。 难点：从单位圆上点的圆周运动这一模型中寻找变量并抽象概括出函数。 【教学策略分析】 “任意角三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，学生的学习是下位学习（一般函数概念下的具体函数），为了更好地突出“任意角三角函数的函数性”和“三角函数作为