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高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.

3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.

②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---

④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.

⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.

1、已知*2()156

n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1

+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）

； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是

（）（答：A ）

二、等差数列

1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，

那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).

2、（1）等差数列的判断方法：

①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。

② 中项法： a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。

③通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）?{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =

n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.

如1、等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；

2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833

d <≤）（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。公式变形为：Bn n A s n +=2，其中A=2d

，B=2

1d a -.注意：已知n,d, a 1,a n , s n 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

如数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）.

（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b A +=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

3.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 等差数列{a n }中，

n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2d x + (a 1－2

d )上（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

如1、等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；

2、在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）

(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差.若

{}n a 、{}n b 是等差数列，

则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S --（公差为d n 2）

．，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是

等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。（答：225）

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n

n s s 1+=奇偶. 项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶；n n s s 1-=奇

偶。如1、在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

2、项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）单调性：设d 为等差数列{}a n 的公差，则

d>0?{}a n 是递增数列；d<0?{}a n 是递减数列；d=0?{}a n 是常数数列