2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科).docx

2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）

一、：本大共12 个小，每小 5 分，共 60 分.在每小出的四个

中，只有一是符合目要求的.

1．（5分）已知复数 z=1+2i，=（）

A．5B．5+4i C． 3 D．3 4i

2 2x 3＜0} ，， A∩B=（）2．（5分）已知集合A={ x| x

A．{ x| 1＜x＜3} B．{ x| 1＜ x＜ 3}

C．{ x| 1＜x＜0 或 0＜x＜3}D． { x| 1＜x＜ 0 或 1＜x＜3}

．（分），均数，“a＞33）

35a b| b|”是“a＞b ”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5 分）若点P 抛物上的点， F 抛物 C 的焦点， | PF|

的最小（）

A．2B．C．D．

5．（5分）已知数列 { a } 足 a a =2，a = 5， | a |+| a |+ ?+| a | =（）

n n+1n1126

A．9B．15 C．18 D．30

6．（5 分）在平面内的点（ x，y）足不等式，z=2x+y的最大

是（）

A．6B．4C．2D．0

7．（5 分）某几何体的三如所示，其体（）

A．4B．C．D．

8．（5 分）将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则 n 的最小值为（）

A．4B．5C．6D．7

9．（5 分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）

A．B．C．D．

10．（ 5 分）若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则 x1+x2 =（）

A．B．C．D．

11．（ 5 分）已知向量，，（m＞0，n＞0），若 m+n∈ [ 1，2] ，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

12．（ 5 分）已知定义在 R 上的函数x+mx2﹣m（m＞ 0），当 x1 2时，f（x）=e+x =1

不等式 f（x1）

+f （）＞（2）

+f

（）恒成立，则实数

x

1 的取值范围是（）0f x1

A．（﹣∞， 0） B．C．D．（1，+∞）

二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

13．（ 5 分）现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得

的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．

14．（ 5 分）函数 f （x） =e x?sinx 在点（ 0，f （0））处的切线方程是．

15．（ 5 分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数．

16．（ 5 分）过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直

线与两条渐近线相交于A，B 两点，若，则双曲线的离心率为．

三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤 .）

17．（12 分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值；

（2）若 A 为△ ABC的内角， f（A）=4，BC=3，求△ ABC的周长的最大值．18．（ 12 分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间

频数2040805010

男性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间

频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90

分的人数的分布列和期望．

19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为正方形， PA⊥底面 ABCD，AD=AP，E 为棱 PD 中点．

（ 1）求证： PD⊥平面 ABE；

（ 2）若 F 为 AB 中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣ B 的余弦值为．

20．（ 12 分）已知点 P 是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点M 为线段 PA的中点，且直线 PA与 OM 的斜率之积恒为．

（1）求椭圆 Q 的方程；

（2）设过左焦点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，线段 CD 的垂直平分线与x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是，求| CD|的最小值．

21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．

（ 1）若 f （x）是（ 0，+∞）的单调递增函数，求实数 a 的取值范围；

（ 2）当时，求证：函数f（ x）有最小值，并求函数f（ x）最小值的

取值范围．

[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]

22．（ 10 分）已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ =4cos，θ直线l的参数方程

为（t 为参数）．

（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；

（ 2）若曲线 C2的参数方程为（α为参数），曲

线 1 上点

P

的极角为，

C

Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值．

[ 选修 4-5：不等式选讲 ]

23．已知 a＞0， b＞0，函数 f（x）=| x+a|+| 2x﹣b| 的最小值为 1．（1）求证： 2a+b=2；

（2）若 a+2b≥tab 恒成立，求实数 t 的最大值．

2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5 分）已知复数 z=1+2i，则=（）

A．5B．5+4i C．﹣ 3 D．3﹣4i

【解答】解：∵ z=1+2i，∴=| z| 2=．

故选： A．

2．（5 分）已知集合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＜0} ，，则A∩B=（）A．{ x| 1＜x＜3} B．{ x| ﹣ 1＜ x＜ 3}

C．{ x| ﹣1＜x＜0 或 0＜x＜3} D． { x| ﹣1＜x＜ 0 或 1＜x＜3}

【解答】解：∵集合 A={ x| x2﹣2x﹣ 3＜ 0} ={ x| ﹣ 1＜ x＜ 3} ，

={ x| x＜0 或 x＞ 1} ，

∴A∩ B={ x| ﹣1＜x＜0 或 1＜ x＜ 3} ．

故选： D．

．（分）设，均为实数，则“a＞33）

| b|”是“a＞b ”的（

3 5 a b

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

33

【解答】解：由 a＞ | b| ”能推出“a＞b ”，是充分条

件，反之，不成立，比如 a=1， b=﹣2，不是必要条件，

故选： A．

4．（5 分）若点 P 为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则| PF|的最小值为（）

A ．2

B ．

C ．

D ．

【解答】 解：点 P 抛物

上的 点， F 抛物 C 的焦点， | PF|

的最小 ： ．

故 ： D ．

5．（5 分）已知数列 { a n } 足 a n +1 a n =2，a 1= 5， | a 1|+| a 2|+ ?+| a 6| =（ ）

A ．9

B ．15

C ．18

D ．30

【解答】 解：∵ a n +1 a n =2，a 1= 5，∴数列 { a n } 是公差 2 的等差数列． ∴ a n （） ．

= 5+2 n 1 =2n 7

数列 { a n 的前 n 和 n 2

6n ．

} S = =n

令 a n ≥ ，解得 ．

=2n 7 0

∴ n ≤ 3 ， | a n | = a n ．

n ≥4 ， | a n | =a n ．

| a 1|+| a 2|+ ?+| a 6| = a 1 a 2 a 3+a 4+a 5+a 6 =S 6 2S 3=62 6×6 2（32 6× 3）

=18．

故 ： C ．

6．（5 分）在平面内的 点（ x ，y ） 足不等式 ， z=2x+y 的最大

是（

） A ．6

B ．4

C ．2

D ．0

【解答】 解：根据不等式

，画出可行域，

由

，可得 x=3， y=0

平移直 2x+y=0，∴当直 z=2x+y 点 A （ 3，0） ， z 最大 6．

故选： A ．

7．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）

A ．4

B ．

C ．

D ．

【解答】 解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，

底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2，

所以四棱锥的体积 ．

故选 D ．

8．（5 分）将一枚硬币连续抛掷，则 n 的最小值为（ ）

n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于

A ．4

B ．5

C ．6【解答】 解：由题意，

D ．7 1﹣

≥

，∴ n ≥4，

∴ n 的最小值为故选 A ．

4，

9．（5 分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）

A．B．C．D．

【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是

用二分法求函数f（ x）=x2﹣2 在区间 [ 1，2] 上的零点，且精确到0.3；

模拟如下；

m==时，f（1）?f（）=（﹣1）×＜0，

b=，| a﹣b| =≥d；

m==时，f（1）?f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，

a=，| a﹣b| =＜d；

程序运行终止，输出m=．

故选： B．

10．（ 5 分）若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则 x1+x2 =（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵ x∈[ 0，] ，∴ 2x+∈[，] ，

方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，

∴=，

则x1+x2= ，

故选： C．

11．（ 5 分）已知向量，，（m＞0，n＞0），若 m+n∈ [ 1，2] ，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解答】解：根据题意，向量，，

=（ 3m+n，m﹣3n），

则==，

令t=，则=t ，

而 m+n∈ [ 1，2] ，即 1≤ m+n≤2，在直角坐标系表示如图，

t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，

分析可得：≤t ＜2，

又由=t，

故≤＜2；

故选： B．

12．（ 5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=e x+mx2﹣m（m＞ 0），当 x1 +x2=1 时，不等式f（x1） +f （0）＞f （x2）+f（ 1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞， 0）B．C．D．（1，+∞）

【解答】解：∵不等式 f（x1） +f（0）＞ f （x2）+f （1）恒成立，

∴不等式 f（ x1）﹣ f（x2）＞ f（1）﹣ f（0）恒成立，

又∵ x1+x2=1，

∴不等式 f（ x1）﹣ f（1﹣x1）＞ f（1）﹣ f（1﹣1）恒成立，

设 g（x） =f（x）﹣ f（1﹣x），

∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞ 0），∴

g（ x）=e x﹣e1﹣x+m（ 2x﹣1），

则 g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴ g（x）在 R 上单调递

增，∴不等式 g（ x1）＞ g（1）恒成立，

∴x1＞1，

故选： D．

二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

13．（ 5 分）现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得

的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．

【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4× 2=8 种情况，其余 3 人，有=6 种情况，

∴共有 8× 6=48 种不同的分法．

故答案为 48．

14．（ 5 分）函数 f （x） =e x?sinx 在点（ 0，f （0））处的切线方程是y=x．【解答】解：∵ f（x）=e x?sinx， f （′ x） =e x（ sinx+cosx），（2 分）

f（′0）=1，f（ 0） =0，

∴函数 f（x）的图象在点 A（0，0）处的切线方程为

y﹣0=1×（ x﹣ 0），

即y=x（4

分）．故答案为：

y=x．

15．（ 5 分）我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数128．

【解答】解：我们首先需要先求出三个数：

第一个数能同时被3和 5整除，但除以 7余 1，即 15；

第二个数能同时被3和 7整除，但除以 5余 1，即 21；

第三个数能同时被5和 7整除，但除以 3余 1，即 70；

然后将这三个数分别乘以被7、 5、 3 除的余数再相加，即：15× 2+21× 3+70×2=233．

最后，再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍，可得：233﹣ 105× 2=23．或

105k+23 （ k 为正整数）．

由于物数量在 100 至 200 之间，故当 k=1 时，105+23=128

故答案为： 128

16．（ 5 分）过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直

线与两条渐近线相交于A，B 两点，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，

设焦点 F（c，0），与 y= x 垂直的直线为 y=﹣（x﹣c），

由可得 A（，）；

由可得 B（，﹣），

再由，可得 0﹣（﹣）=2（﹣0），

化为 a2=3b2=3（c2﹣ a2），

即为 3c2=4a2，

则e= =．

故答案为：．

三、解答题（本大题共 5 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤 .）

17．（12 分）已知点，Q（ cosx，sinx），O 为坐标原点，函数．（1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值；

（2）若 A 为△ ABC的内角， f（A）=4，BC=3，求△ ABC的周长的最大值．

【解答】解：（1）∵，

∴，

∴当时， f（ x）取得最小值2．

（ 2）∵ f（ A） =4，∴，

又∵ BC=3，∴，

∴ 9=（b+c）2﹣bc．，

∴，

∴，当且仅当∴三角形周长最大值为b=c 取等号，

．

18．（ 12 分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：

女性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间

频数2040805010

男性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间

频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90

分的人数的分布列和期望．

【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：

由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．

（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其

中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X，则 X 取值为 1， 2， 3，

，

，

．

所以 X 的分布列为

X123

P

或．

19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为正方形， PA⊥底面 ABCD，AD=AP，E 为棱PD 中点．

（ 1）求证：（ 2）若 F 为PD⊥平面 ABE；

AB 中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM

﹣ B 的余弦值为．

【解答】解：（I）证明：∵ PA⊥底面 ABCD， AB? 底面 ABCD，∴ PA⊥ AB，又∵底面 ABCD为矩形，∴ AB⊥AD，PA∩AD=A，PA? 平面 PAD，AD? 平面 PAD，∴AB⊥平面 PAD，又 PD? 平面 PAD，∴ AB⊥ PD，AD=AP，E 为 PD 中点，∴ AE⊥PD，AE∩ AB=A，AE? 平面 ABE，AB? 平面 ABE，∴ PD⊥平面 ABE．

为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系（ II）以 A 为原点，以

A﹣BDP，令 | AB| =2，

则 A（0，0，0），B（ 2， 0， 0），P（0，0，2），C（2，2，0）， E（0，1，1），F （ 1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）

设平面 PFM 的法向量，，即，

设平面 BFM 的法向量，，

即，

，解得．

20．（ 12 分）已知点 P 是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点M 为线段 PA的中点，且直线 PA与 OM 的斜率之积恒为．

（1）求椭圆 Q 的方程；

（2）设过左焦点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，线段 CD 的

垂直平分线与x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是，求| CD|的最小值．

【解答】解：（1）∵椭圆Q 的长轴长为，∴．

设 P（x0，y0），

∵直线 PA与 OM 的斜率之积恒为，∴，

∴，∴ b=1，

故椭圆的方程为．

（ 2）设直线 l 方程为 y=k（x+1）（ k≠ 0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

设 A（x1，y1），B（x2， y2）， AB中点 N（ x0，y0），

∴．

∴

∴ CD的垂直平分线方程为，

令y=0，得

∵，∴，∴．=

，．

21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．

（ 1）若 f （x）是（ 0，+∞）的单调递增函数，求实数 a 的取值范围；

（ 2）当时，求证：函数f（ x）有最小值，并求函数f（ x）最小值的取值范围．

【解答】解：（1）f'（ x） =e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，

∵函数 f（x）在区间（ 0，+∞）上单调递增，∴ f'（ x）≥ 0 在（ 0，+∞）上恒成立．

∴ e x+（ x﹣2）e x+2ax+4a≥0，∴，

令，

，

∴，∴．

（2） [ f'（x）] ′=x?e+2a＞0，

∴y=f'（x）在（ 0，+∞）上单调递增又 f'（ 0） =4a﹣1＜0，f' （1）=6a＞0，

∴存在 t∈（ 0， 1）使 f'（t ）=0

∴x∈（ 0， t ）时， f'（x）＜ 0，x∈（ t，+∞）时， f'（x）＞ 0，

当 x=t 时，且有 f'（t ）=e t（﹣）（）

? t1+2a t+2 =0，

∴．

由（ 1）知在 t ∈（ 0，+∞）上单调递减，，且，

∴ t∈（ 0， 1）．

∴，

，

∴f（1）＜ f（t ）＜ f（0），﹣ e＜f（ t）＜﹣ 1，

∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣ e，﹣ 1）．

[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]

22．（ 10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为ρ =4cos，θ直线 l 的参数方

程

为（t 为参数）．

（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；

（ 2）若曲线 C2的参数方程为（α为参数），曲线

C1上点 P 的极角为，

Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值．

2

【解答】解：（1）曲线 C1的极坐标方程为ρ2ρ，θ

，θ即ρ

=4cos=4cos

可得直角坐标方程：．

直线 l 的参数方程为（t为参数），

消去参数 t 可得普通方程： x+2y﹣ 3=0．

（2），直角坐标为（2，2），

，

∴ M 到 l 的距离≤，

从而最大值为．

[ 选修 4-5：不等式选讲 ]

23．已知 a＞0， b＞0，函数 f（x）=| x+a|+| 2x﹣b| 的最小值为 1．

（1）求证： 2a+b=2；

（2）若 a+2b≥tab 恒成立，求实数 t 的最大值．

【解答】解：（1）法一： f（x）=| x+a|+| 2x﹣b| =| x+a|+| x﹣|+| x﹣| ，

∵ | x+a|+| x﹣| ≥| （x+a）﹣（ x﹣）| =a+且| x﹣| ≥ 0，

∴ f（x）≥ a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，

∴ a+=1， 2a+b=2；

法二：∵﹣ a＜，∴ f（x）=| x+a|+| 2x﹣b| =，

显然 f （x）在（﹣∞，] 上单调递减， f（ x）在 [，+∞）上单调递增，

∴f（x）的最小值为 f（）=a+ ，

∴a+ =1， 2a+b=2．

（ 2）方法一：∵ a+2b≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，

= + =（ +）（2a+b ）? = （ 1+4++ ），当 a=b= 时，取得最小值，

∴ ≥t，即实数 t的最大值为；

方法二：∵ a+2b≥tab 恒成立，

∴≥t 恒成立，

t ≤=+ 恒成立，

+= +≥= ，

∴ ≥t，即实数 t的最大值为；

方法三：∵ a+2b≥tab 恒成立，

∴a+2（2﹣a）≥ ta（2﹣a）恒成立，

∴2ta2﹣（3+2t ）a+4≥0 恒成立，

∴（ 3+2t）2﹣326≤ 0，

∴≤t≤，实数 t 的最大值为．