2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题07平面向量试题及答案
专题07 平面向量
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5
a =，||6
b =，6a b ?=-，
则cos ,=+a a b （ ） A. 31
35
-
B. 1935
-
C.
1735
D.
1935
【答案】D 【解析】
5a =，6b =，6a b ?=-，()
2
25619a a b a a b ∴?+=+?=-=.
(
)
2
22
22526367a b a b
a a
b b +=
+=+?+=-?+=，
因此，(
)1919
cos ,5735
a a b
a a
b a a b
?+<+>=
=
=??+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ? 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-
【答案】A 【解析】
AB 的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，
可知AP AB ?等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ?的取值范围是()2,6-，
3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1
()2
AP AB AC =
+，则||PD =_________；PB PD ?=_________．
【答案】 (1). 5 (2). 1-
【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，
()
()()()111
2,02,22,1222
AP AB AC =
+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()
2
2215PD =
-+=，()021(1)1PB PD ?=?-+?-=-.
4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ?
∠==，6BC =，且
3,2
AD BC AD AB λ=?=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，
且||1MN =，则DM DN ?的最小值为_________．
【答案】 (1). 1
6
(2). 132
【解析】
AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，
cos120AB AD BC AB BC AB λλ?=?=? 1363922λλ??
=???-=-=- ???
，
解得1
6
λ=
， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，
()66,0BC C =∴，,
∵3,60AB ABC =∠=?，∴A 的坐标为3332A ? ??
, ∵又∵1
6AD BC =,则5332D ? ??，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ?=-- ??，333,22DN x ?=-- ??
，
()2
22
53332113422222DM DN x x x x x ?????=--+=-+=-+ ????
?????， 所以，当2x =时，DM DN ?取得最小值
13
2
. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】
2829
【解析】12|2|2e e -≤，
124412e e ∴-?+≤，
1234e e ∴?
≥
， 2
22
12122
2
121212
(44)4(1)()cos (22)(106)
53e e e e a b e e e e e e a b
θ+?+??∴==
=
+?+?+??
12
424228(1)(1)3332953534
e e =-≥-=
+?+?
. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==?，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，
使得AP =9，若3
()2
PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．
【答案】
185
【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵3
2
PA mPB m PC ??=+- ???
，
∴32PD mPB m PC λ??=+- ???
，即32m m PD PB PC λλ
??- ???=+， 若0m ≠且3
2
m ≠
，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ
??-
???+
=，即3
2
λ=
， ∵9AP =，∴3AD =，
∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=?， ∴5BC =，
设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26
AD CD AC x
AD CD θ+-=
=?，()()()
2
22257
cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==?-，
∵()cos cos 0θπθ+-=，
∴()()2
57
0665x x x --+=-，解得185
x =，
∴CD 的长度为
18
5
. 当0m =时， 3
2
PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32
m =
时，3
2PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.
7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.
【答案】
2
【解析】由题意可得：211cos 452
a b →→
?=??=
， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→
??-?= ???
，
即：2
02
k a a b k →→→
?-?=-
=，解得：2k =. 8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.
【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2
22
2221a b a b a a b b a b +=
+=+?+=+?=
解得：21a b ?=- 所以(
)
2
22
23a b a b
a a
b b -=-=-?+=
【2019年】
1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为
A ．π
6 B ．
π3
C ．2π3
D ．5π6
【答案】B
【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2
()-?=?-a b b a b b =0，所以2?=a b b ，所以
cos θ
=22||12||2?==?a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π
3
，故选B ． 2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →
= A ．?3 B ．?2 C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，
(2,3)(1,0)21302AB BC ==?+?=．故选C ．
3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以
2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++?>+-?，即
22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；
当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ??AC >0，又因为点A ，B ，
C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是
“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．
4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】
2
3
【解析】因为2=c a ，0?=a b ，
所以22?=-?a c a b 2=，
222||4||5||9=-?+=c a b b ，所以||3=c ，
所以cos ,=a c 22
133
?==??a c a c ． 5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD
中，
,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥，点E 在线段CB 的延长线上，且
AE BE =，则BD AE ?=_____________．
【答案】1-
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB
=30°，5,AB AD ==
则B
，
5
(
)22
D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=?，所以30AB
E ∠=?， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=?， 所以直线BE
y x =-， 直线AE
的斜率为
y x =.
由y x y x ?=-????=??
得x =1y =-，
所以1)E -.
所以35
(
,)(3,1)122
BD AE =-=-.
6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?，则
AB
AC
的值是_____.
【答案】3.
【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．
()
()()3
632
AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，
()
223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ????
=
+-=-+- ? ???
??
222232113
23322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ??=-+=-+= ???
， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故
3AB
AC
=【2018年】
1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．31
44AB AC - B ．
13
44AB AC - C ．31
44
AB AC +
D ．13
44
AB AC +
【答案】A 【
解
析
】
根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以31
44EB AB AC =-. 故选A.
2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
【答案】B
【解析】因为()()2
2
222||1213
?-=-?=--=+=a a b a a b a 所以选B.
3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为
π
3，向量b 满足b 2?4e ·b +3=0，则|a ?b |的最小值是 A ．3?1 B ．3+1 C ．2 D ．2?3
【答案】A
【解析】设，则由得
，
由b 2
?4e ·b +3=0得
因此|a ?b |的最小值为圆心
到直线
的距离
23
=32
减去半径1，为选A.
4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，
,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?的
最小值为
A ．21
16 B ．
3
2
C ．2516
D ．3
【答案】A
【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =设
()
01DE tDC t =≤≤
AE BE ?
()()()
2
23
2
AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+?+=?+?++=+?+ =233
322t t -
+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值21
16
，故选A.
5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】
222
222
699+63333-=+-=??-++?=?+a a b a b a b a b a b b a a b b ，
因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-?+=?+???a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.
6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则
λ=___________．
【答案】
1
2
【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12
λ=，故答案为
12
. 7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ?的最小值为___________． 【答案】-3
【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2；
且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ?=-+；
当a =b +2时，()2
2222AE BF b b b b ?=-++?=+-；
∵b 2
+2b ﹣2的最小值为
84
34
--=-； ∴AE BF ?的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ?的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．
8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，
()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标
为___________．
【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +??
???
易得
()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +?
?
=--=-
- ???
， 由0AB CD ?=得()()()2
551220,230,32a a a a a a a +?
?--+--=--== ???
或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =
【2017年】
1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3
B ．22
C ．5
D ．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5
r =
，即圆C 的方程是()2
2425x y -+=，
()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，
则
2
1
x
y
μ
λ=
?
?
-=-
?
，,1
2
x
y
μλ
==-，所以1
2
x
y
λμ
+=-+，
设1
2
x
z y
=-+，即10
2
x
y z
-+-=，点(),
P x y在圆()224
2
5
x y
-+=上，
所以圆心(20)
,到直线10
2
x
y z
-+-=的距离d r
≤，即
2
15
1
4
z
-
≤
+
，解得13
z
≤≤，所以z的最大值是3，即λμ
+的最大值是3，故选A．
2．【2017·全国II卷】已知ABC
△是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()
PA PB PC
?+的最小值是
A．2
-B．
3
2
-
C．
4
3
-D．1-
【答案】B
【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则3)
A，(1,0)
B-，(1,0)
C，设(,)
P x y，所以(3)
PA x y
=-，(1,)
PB x y
=---，(1,)
PC x y
=--，所以(2,2)
PB PC x y
+=--，22
()22(3)22(
PA PB PC x y y x y
?+=-=+-2
333
222
-≥-，当
3
(0,
2
P时，所求的最小值为
3
2
-，故选B．
3．【2017·北京卷】设m,n为非零向量，则“存在负数λ，使得λ
=
m n”是“0
<
?
m n”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若0λ?<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180?，那么
cos180?=?=m n m n
0- 在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A. 4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23 【解析】方法一：2 2 2 |2|||44||4421cos 60412+=+?+=+???+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b . 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23. 5．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2， OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________． 【答案】3 【解析】由tan 7α= 可得sin α= ，cos α=，根据向量的分解， 易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα??+=???-=?? 210 0n m +=? -=，即510570n m n m +=??-=? ，即得 57 ,44 m n ==， 所以3m n +=． 6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =?∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =， AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ?=-，则λ的值为___________． 【答案】 3 11 【解析】由题可得12 32cos603,33 AB AC AD AB AC ?=???==+， 则 12()33AD AE AB AC ?=+2123 ()34934333311 AC AB λλλλ-=?+?-?-?=-?=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 是互相垂直的单位向量， 12-e 与12λ+e e 的夹角为60?，则实数λ的值是___________． 【解析】∵2 2 1212112122)()λλλλ-?+=?-?-=e e e e e e e ， 12|2-===e ， 12||λ+===e e ∴cos60λ=?= λ= ． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________， 最大值是___________． 【答案】4， 【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b +==a b 则++-=a b a b 令y = []21016,20y =+， 据此可得：() ()max min 4++-==++-==a b a b a b a b ， 即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】 1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos 3 .若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ） 9 4 （D ）– 94 【答案】B 【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所 以 2 2221()cos ,34(4)4160 3 t t n n t t k k k tk k ?+=?+?=?+=???+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B. 2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0?+-?-=，解得m 8=，故选D. 3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(,22BA = ，31 ()22 BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30? (B)45? (C)60? (D)120? 【答案】A 【解析】由题意， 得112222cos 112|||| BA BC ABC BA BC +?∠===?，所以30ABC ∠=?， 故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由2 2 ||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-?+=-??=?⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D. 5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则?的值为（ ） （A ）8 5 - （B ） 8 1 （C ） 4 1 （D ） 811 【答案】B 【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a = =-，33 ()24 DF DE b a ==-， 1353 ()2444 AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴ 253531 44848 AF BC a b b ?=-?+=-+=，故选B. 6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ?DB =DB ?DC =DC ?DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ， 则2 BM 的最大值是( ) （A ） 434 （B ）494 （C ）374+ （D ）374+ 【答案】B 【解析】甴已知易得12 20,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠== == ∠= ?.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()() 2,0,1,3,1,3. A B C ---设() ,, P x y由已知1 AP=，得()22 21 x y -+=，又 13133 ,,,,, 2222 x y x y PM MC M BM ???? -+++ =∴∴= ? ? ???? ()()2 2 2 +133 4 x y BM ++ ∴=，它表示圆()22 21 x y -+=上的点() x y ，与点 () 1,33 --的距离的平方的 1 4， ()()2 2 2 2 max 149 3331 44 BM ?? ∴=++= ? ?? ，故选B. 7.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= . 【答案】－2 【解析】由222 |||||| +=+ a b a b,得⊥ a b,所以1120 m?+?=,解得2 m=-. 8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ?中，D是BC的中点，,E F是,A D上的两个三等分点，4 BC CA ?=，1 BF CF ?=-，则BE CE ?的值是▲ . 【答案】 7 8 【解析】因为 2222 11436 =4 2244 AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD -- ?=-?--== （）（）， 22 11114123234 FD BC BF CF BC AD BC AD -?=-?--==-（）（）， 因 此 22513 ,82 FD BC == ， 2 2 2 2 114167 .22448 ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --?=-?--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均 有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤ ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】 12 【解析】 221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2 e e e +?≤?+?≤?+≤?++?≤??≤，即最大值为12 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x > （江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12） 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案：18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将500袋牛奶按000，001，┉，499进行编号，如果从随机数表第８行第４列的数开始按三位数连续向右读取，请你依次写出最先检测的５袋牛奶的编号____________________________________________；答案：163，199，175，128，395； 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ，则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案：2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案：15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩，用这100个数据来估计该区的总体数学成绩，各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生，则这名学生的数学成绩及格（60≥的概率为；若同一组数据用该组区间的中点 （例如，区间[60，80)的中点值为70)表示，则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案：0.65，67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4， 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本容量n= 答案：72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案：6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不 低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。 答案：由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8?++?=＝80％， 及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220?==％. 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ）高考数学试题分类汇编集合理
2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何
历年中考真题分类汇编(数学)
高考数学试题分类大全
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
历年高考数学试题分类汇编
全国高考理科数学试题分类汇编—统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余高考数学试题分类汇编(导数)
2019-2020高考数学试题分类汇编
高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案
中考数学试题分类汇编
全国百套高考数学模拟试题分类汇编001
高考数学试题分类汇编集合
全国高考理科数学历年试题分类汇编
2020年高考数学试题分类汇编之立体几何
2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量
相关文档
- 高考数学试题分类汇编
- 中考数学试题分类汇编
- 中考数学试题分类汇编
- 2019年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合,推荐文档
- 中考数学试题分类汇编应用题(可以用)
- 高考数学试题分类汇编 统计
- 高考数学试题分类汇编个专题
- 2015年高考数学试题分类汇编-----专题九(导数及应用)
- 高考数学试题分类汇编
- 2018中考数学试题分类汇编
- 高考数学试题分类汇编(导数)
- 2019年高考数学试题分类汇编——集合
- 2018高考数学试题分类汇编
- 高考数学试题分类汇编
- 2017-2020年广东省学考数学真题分类汇编(WORD文档专题)
- 全国中考数学试题分类汇编
- 中考数学试题分类汇编统计
- 高考数学试题分类汇编完整版
- 最新-2018年中考数学试题分类汇编 精品
- 历年高考数学试题分类汇编