三角函数的平移伸缩变换
题型一:已知开始和结果,求平移量
?ω
【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3
y x π
=+的图象,只需把函数y=sinx 的图象上
所有的点( )
(A )向左平行移动
3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π
个单位长度 (C ) 向上平行移动3π个单位长度 (D ) 向下平行移动3
π
个单位长度
【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象,只需把函数sin y x =的图象上所有的点( ) A .向左平行移动1个单位长度 B .向右平行移动1个单位长度 C .向左平行移动π个单位长度 D .向右平行移动π个单位长度
【】要得到函数cos y x =的图象,只需将函数cos y x π?
?=- ?3?
?的图象( )
(A ).向右平移
π6个单位 (B ).向右平移π
3个单位 (C ).向左平移π3个单位 (D ).向左平移π
6
个单位
【】要得到函数(21)y cos x =+
的图象,只要将函数2y cos x =的图象( ) A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移12个单位 D .向右平移1
2个单位
【】要得到sin(2)3
y x π
=-的图象,只需将sin 2y x =的图象 ( )
(A )向左平移
3π个单位 (B )向右平移3π
个单位 (C )向左平移6π个单位 (D )向右平移6
π
个单位
【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换,得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象,则这个平移
变换可以是 ( )
A. 向左平移
6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12
π
个单位长度
【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象,只需把函数4sin()()4
y x x R π
=+∈的
图象上所有点( )
A 、横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
B 、横坐标缩短到原来的1
3倍,纵坐标不变
C 、纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
D 、纵坐标缩短到原来的1
3
倍,横坐标不变.
【2015山东】要得到函数4y sin x =-
(3
π
)的图象,只需要将函数4y sin x =的图象( ) (A )向左平移
12
π
个单位 (B )向右平移
12
π
个单位
(C )向左平移
3π个单位 (D )向右平移3
π
个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ??=- ???的图像,只需把函数πsin 26y x ?
?=+ ??
?的图像
A .向左平移π4个长度单位
B .向右平移π
4
个长度单位
C .向左平移π2个长度单位
D .向右平移π
2个长度单位
【】要得到cos(2)4y x π
=-的图像,只需将sin 2y x =的图像( )
A 向左平移8π个单位
B 向右平移8π
个单位
C 向左平移4π个单位
D 向右平移4
π
个单位
【】已知函数()sin 4
πf x x ω??
=+ ??
?
()R 0x ω∈>,
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )
A .向左平移8
π
个单位长度 B .向右平移8
π
个单位长度 C .向左平移
4
π
个单位长度
D .向右平移
4
π
个单位长度
题型二:已知开始,平移量,求结果
【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A )sin(2)10y x π=-
(B )sin(2)5y x π
=-
(C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220
y x π
=-
【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ) (A )sin(2),3y x x R π=-∈ (B )sin(),26x y x R π
=+∈
(C )sin(2),3y x x R π=+∈ (D )2sin(2),3
y x x R π
=+∈
【】函数3sin(2)3
y x π
=+的图象,可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )
(A )向右平移3
π
个单位,横坐标缩小到原来的21倍,纵坐标扩大到原来的3倍
(B )向左平移3
π
个单位,横坐标缩小到原来的21倍,纵坐标扩大到原来的3倍
(C )向右平移6
π
个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的31倍
(D )向左平移6
π
个单位,横坐标缩小到原来的21倍,纵坐标缩小到原来的31倍
【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图
象上所有点向左平移
3
π
个单位,所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数
解析式是____________▲________________ .
【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度,再将横坐标压缩到原来的1
2,
所得函数的解析式为( )。
A sin 4y x =
B cos4y x =
C sin(4)8y x π=+
D sin(4)32
y x π
=+
【】将cos y x =的图象作关于x 轴的对称变换,再将所得的图象向下平移1个单位,所得图象对应的函数是( )
(A)、cos 1y x =+ (B)、cos 1y x =- (C)、cos 1y x =-+ (D )、cos 1y x =-- 【】将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
(A ). 22cos y x = (B ). 2
2sin y x =
(C ).)4
2sin(1π
+
+=x y (D ). cos 2y x =
【】已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ωω=+
∈>的最小正周期为π,为了得到函数
()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象
A 向左平移8π个单位长度
B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度
【2016高考新课标1文】若将函数2sin(2)6
y x π
=+的图像向右平移14个周期后,所得图像
对应的函数为( )
(A )2sin(2)4y x π=+ (B )2sin(2)3
y x π
=+
(C )2sin(2)4y x π
=-
(D )2sin(2)3
y x π
=- 【】要得到函数2y x =的图象,只需将函数2)4y x π
+的图象上所有的点的
( )
A 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π
个单位长度
B 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动4
π
个单位长度
C 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4π
个单位长度
D 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动8
π
个单位长度
题型三:综合练习
【】画出函数3sin(2),3y x x R π
=+∈的简图,并说明此函数图形怎样由sin y x =的图像变
化而来。
【】试述如何由1sin 233y x π??
=+ ???
的图象得到sin y x =的图象。
【2015高考湖北,文18】某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,||)2f x A x ω?ω?=+><在某
一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
x ω?+
0 π2 π
3π2 2π
x
π3
5π6
...........)x 的解析式; (Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动π
6
个单位长度,得到()y g x =图象,求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.
【】把函数4cos()3
y x π
=+
的图像向右平移φ个单位,所得到的图像正好关于y 轴对称,则φ的最小正值是___________。
【】设0ω>,函数πsin 23y x ω?
?=++ ??
?的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合,则ω
的最小值是
A .2
3
B .43
C .3
2 D .3
【2014·福建】将函数sin y x =的图象向左平移π
2个单位,得到函数()y f x =的图象,
则下列说法正确的是( )
A .()y f x =是奇函数
B .()y f x =的周期为π
C .()y f x =的图象关于直线2
x π
=对称
D .()y f x =的图象关于点(,0)2
π
-
对称
【2014·浙江】为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图象,可以将函数y =2cos 3x 的图象( )
A .向右平移π4个单位
B .向左平移π
4个单位 C .向右平移π12个单位 D .向左平移π
12个单位
【】 将函数3sin(2)3y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度,所得图象对应的函数( )
A .在区间7[,]1212ππ上单调递减
B .在区间7[,]1212
ππ
上单调递增
C .在区间[,]63ππ
-
上单调递减 D .在区间[,]63
ππ
-上单调递增 【】已知函数()sin()f x A x ω?=+(0A >,0ω>,2
π
?<
)的图象在y 轴上的截距为1,
它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和()03,2x π+-.
(1)求()f x 的解析式;
(2)将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的13
,(纵坐标不变),然后
再将所得图象沿x 轴正方向平移3
π
个单位,得到函数()y g x =的图象.写出函
数()y g x =的解析式并用“五点法”画出()y g x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.
【】已知函数()sin (Z)4πf x a x a b ?
?
=+∈ ???,,当02πx ?
?
∈????
,时,()f x 的最大值为
1.
⑴求()f x 的解析式;
⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象?若能,请写出变换过程;若不能,请说明理由.
高考数学(文)难题专项训练:三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m ( ) A .θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ,若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈,有 D l x ∈+,且)()(x f l x f ≥+,则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题: ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数; ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数; ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数,那么实数m 的取值范围是),2[+∞; ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数,当30< 4. 在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>, bc a c b 3222+=+,若0,则C B sin cos +的取值范围是( ) A.)23,23( B.)23,23(- C.)3,23( D.)23,23(- 5. 复数( )在坐标平面中对应的点分别是 ,若函 数 ( 为坐标原点),则下列命题正确的是() A .)(x f 最大值为2 B .)(x f 的图像向左平移 4 π 个单位后对应的函数是奇函数 C .)(x f y =的周期为π2 D .)(x f 的图像向左平移 4 π 后对应函数图像关于0=x 对称 6.给出下列的四个式子:①b a -1,②b a +1,③a b +1,④a b -1;已知其中至少有两个式子的值与 的值相等,则( ) A .θθ2sin ,2cos ==b a B .θθ2cos ,2sin ==b a C .2cos ,2sin θθ ==b a D .2 sin ,2cos θ θ==b a 7. 已知集合{})(|),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈)(1,1,存在M y x ∈)(2,2,使得 02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合: ①? ?????= =x y y x M 1|),( ②{}2|),(-==x e y y x M 三角函数的平移、伸缩变换(人教A版) 一、单选题(共14道,每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到, 该函数横坐标再经变换,得到. 故选B 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,则为( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 将变换的过程倒推, 函数横坐标经变换,即横坐标缩短为原来的, 得到; 再将该函数图象向右平移个单位长度,得到 . 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到 ; 再经横坐标变换后,得到, 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的,再将所得图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换得到, 该函数再经平移,得到, 故选B. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍,再将所得图象向右平移个单位长度,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换, 平面内曲线平移伸缩变换的技巧 平移变换是在向量中提出来的,而伸缩变化是在三角函数介绍的,因为有了初中的“左加右减,上加下减”的结论,在教学过程中,很多同学往往会简单的套用这个结论,导致得到和正确答案完全相反的结论,我在近几年教学中,总结了一套简单且容易操作的处理方法,以供参考。 曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理:所有的平移和放缩都是x,y在变,且变化的规律与习惯相反。 一、平移 规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征,即左右平移是x在变化,且向左变小,向右变大;上下平移是y在变,且向下变小,向上变大。下面举例说明。 例1 将函数的图象向左平移2个单位,向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。 解:向左平移2个单位,“习惯”是越左越小,而变化的结果将原来解析式中的x变成;向上平移1个单位,“习惯”是越上越大,而变化的结果是将原来解析式中的y变成。 所以平移后的函数解析式是。 例2 求向右平移个单位,向下平移2个单位后的得到的函数解析式。 解:依据以上规律,就是将原来的解析式中的x变成,y变成, 所以平移后的函数解析式是, 化简后得。 例1也可以用“左加右减,上加下减”来处理,但如果不能从本质上弄清问题,就会出现错误,如例2还是套用“左加右减,上加下减”来处理,得到的结论就可能是。 二、放缩 课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律,笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。 具体的规律是:纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成;横坐标不变纵坐标变为原来的A倍就是将原来解析式中的y变成。 例3 (2000年理科全国卷)经过怎样的平移和伸缩得到。 解:。 (变化一) (1)y变成了2y,故横坐标不变,纵坐标变为原来的; (2)x变成了2x,故纵坐标不变,横坐标变为原来的; (3)x变成了,故将图象右移个单位,需要将写成; 两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征;2?灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ;(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin : cos:; cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a; 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)=':::[a2+ 函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中,我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容,主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的,这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时,也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数,因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性,我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识,能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文,供大家借鉴使用,提出建设性意见。 大家知道,sin y x =的图像向上(下)平移10个单位,可得到 10sin y x -=(10sin y x +=),即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像;sin y x =的 图像向右(左)平移 10π,可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像;sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 ),可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像;sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13),可得到1sin 3y x =(3sin y x =),即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像;我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反 1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换 目标:平移变换与伸缩变换的应用与理解 一.直角坐标系 1.直线上,取定一个点为原点,规定一个长度为单位长度,规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。 2.平面上,取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴,它们的交点作为坐标原点,并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。 3.在空间中,选择三条两两垂直且交于一点的直线,以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴,它们的交点作为坐标原点,并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。 事实上,直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应;平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应;空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应. 二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换 在平面内,将图形F 上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度,我们也称图形F 按向量a 平移. 在平面直角坐标系中,设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ,向量),(k h a = ,平移后的对应点为),(y x P '''. 则有:),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有:?? ?' =+'=+y k y x h x . 因此,我们也可以说,在平面直角坐标系中,由???' =+'=+y k y x h x 所确定的变换 是一个平移变换。 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换; 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征;2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键. 知识点回顾 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (C α-β) cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (C α+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β (S α-β) sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β (S α+β) tan(α-β)=tan α-tan β 1+tan αtan β (T α-β) tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β (T α+β) 2. 二倍角公式 sin 2α=ααcos sin 2; cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; tan 2α=2tan α 1-tan 2α . 3. 在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如 T α±β可变形为 tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan_αtan_β), tan αtan β=1-tan α+tan βtan α+β=tan α-tan β tan α-β-1. 4. 函数f (α)=a cos α+b sin α(a ,b 为常数),可以化为f (α)= a 2+ b 2sin(α+φ)或f (α)=a 2+b 2cos(α -φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定. 三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得πsin 24y x ? ?=+ ???的图象;③将所得图象的 纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ?=+ ?? ?的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1个单位长度得到π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 1 2 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移 函数)sin(A ?ω+=x y 的图像 (1)物理意义:sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0),x ∈[0,+ ∞)表示一个振动量时,A 称为振幅,T = ωπ 2, 1 f T = 称为频率,x ω?+称为相位,?称为初相。 (2)函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系: ① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左(?>0)或向右(?<0)平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像; ② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的 1 ω ,得到函数 ()sin y x ω?=+的图像; ③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数 sin()y A x ω?=+的图像; ④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ω?=++的图像。 要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像,则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位。 ?对)sin(?+=x y 图像的影响 一般地,函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的 注意:左右平移时可以简述成“______________” ω对x y ωsin =图像的影响 函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ,的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω 1 倍(纵坐标不变)。 A 对x y sin A =的影响 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1.掌握两角和与差的三角函数公式,掌握二倍角公式; 2.能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值. 3.能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 【双基诊断】 (以下巩固公式) 1、163°223°253°313°等于 ( ) A.-2 1 B.2 1 C.- 2 3 D. 2 3 2、在△中,已知2,那么△一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 ( ) A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α-β=2 1,α-β=3 1,则(α-β). 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα,则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ,其中α是第二象限的角,则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 ( ) ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= ( ) ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和(4 π-α)是方程2 0的两个根,则a 、b 、c 的关系是 ( ) B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°,16°16°, 6 6,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) <b <c <c <b <c <a <a <c 12、△中,若2a ,60°,则. 13、f (x )= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 ( ) A.(-3 -1,-1)∪(-1, 3 -1) B. (21 3-- ,2 13-) C.[2 1 2--,-1]∪(-1, 2 12-) D. [21 2-- ,2 12-] 14、已知∈(0,2 π),β∈(2 π,π),(α+β)=65 33,β=- 13 5 ,则α. 15、下列各式中,值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π- 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32,那么θ的值为,2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系讨论角: 角的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 (2)①与α角终边相同的角的集合:},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合: ; 与α角终边关于x 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于y 轴对称的角的集合: ; 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合: ; ②一些特殊角集合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: ; 终边在一、三象限的平分线上角的集合: ; 终边在二、四象限的平分线上角的集合: ; 终边在四个象限的平分线上角的集合: ; (3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: ;第三象限角: ; 第一、三象限角: ; ②写出图中所表示的区间角: (4)正确理解角: 要正确理解“o o 90~0间的角”= ; “第一象限的角”= ;“锐角”= ; “小于o 90的角”= ; (5)由α的终边所在的象限,通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断 3 α 所在的象限 (6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α,其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 (7)弧长公式: ;半径公式: ; 扇形面积公式: ; 二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则=αsin ;=αcos ; =αtan ;=αcot ;=αsec ;=αcsc ; 如:角α的终边上一点)3,(a a -,则=+ααsin 2cos 。注意r>0 (2)在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线; 比较)2 , 0(π ∈x ,x sin ,x tan ,x 的大小关系: 。 (三、同角三角函数的关系与诱导公式: (1)同角三角函数的关系 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合,角的始边与 重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是 . 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则L= . S= 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 220r r x y =+>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限 余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、同角三角函数的基本关系:(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式: ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ???.()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ???. 口诀:奇变偶不变,符号看象限. 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+); ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-). 2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到;)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意: (1)可以将平移变换化简成口诀:左加右减,上加下减 (2)谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面的部分,及与x 轴的交点,将的)(x f y =图象中位于下半平面的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面的部分及与y 轴的交点,去掉左半平面的部分,而利用偶函数的性质,将右半平面的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 课堂练习三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
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