三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩

函数s i n ()y A x k ω

?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象???0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ?=+的图象()ωωω

?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

1

到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()

A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ?=++的图象．

先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><

x

y sin =)

3

sin(π

+

=x y )

3

2sin(π

+=x y )

3

2sin(3π

+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍

得sin y A x =的图象(01)(1)

1

()

ωωω

<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

???ω

>

个单位

得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)

k k k >

得sin()y A x k ω?=++的图象．

例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ?

?=+ ??

?的图象；②将所得

图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ?

?=+ ??

?的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得

π2sin 24y x ??=+ ???的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的

12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ?

?=+ ??

?的

图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?

?=++ ??

?的图象．

)

3

2sin(3π

+=x y x

y sin =x

y 2sin =)

3

2sin(π

+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位

横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍

说明：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin2

y x

=的图象向左平移π

8

个单位长度得到的函数图象

的解析式是

π

sin2

8

y x

??

=+

?

??

而不是

π

sin2

8

y x

??

=+

?

??

，把

π

s i n

4

y x

??

=+

?

??

的图象的横坐标缩小到原来的

1

2

，得到

的函数图象的解析式是

π

sin2

4

y x

??

=+

?

??

而不是

π

sin2

4

y x

??

=+

?

??

．

对于复杂的变换，可引进参数求解．

例2将sin2

y x

=的图象怎样变换得到函数

π

cos2

4

y x

??

=-

?

??

的图象．

分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．

解：

ππsin2cos2cos2

22

y x x x

????

==-=-

? ?

????

，

在

π

cos2

2

y x

??

=-

?

??

中以x a

-代x，有

ππ

cos2()cos22

22

y x a x a

????

=--=--

?

??

????

．

根据题意，有

ππ

222

24

x a x

--=-，得

π

8

a=-．

所以将sin2

y x

=的图象向左平移π

8

个单位长度可得到函数

π

cos2

4

y x

??

=-

?

??

的图象．

三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的平移、伸缩变换（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到， 该函数横坐标再经变换，得到． 故选B 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D

解题思路： 将变换的过程倒推， 函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的， 得到； 再将该函数图象向右平移个单位长度，得到 ． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到 ； 再经横坐标变换后，得到， 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换得到， 该函数再经平移，得到， 故选B． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换，

函数 图像的平移变换与伸缩变换

函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反

三角函数平移习题汇总带解析

1.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动π/3 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．( ) A．y＝sin(2x?π/3)，x∈R B．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R C．y＝sin(2x+π/3)，x∈R D．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R 解：y=sinx 所有的点向左平行移动π/3个单位长度y=sin（x+π/3）横坐标缩短到原来的1/2 倍(纵坐标不变)y=sin（2x+π/3）故答案为：y=sin（2x+π/3） 点评：本题主要考查三角函数的平移变换． 2.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动π/12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．( ) A．y＝sin(2x+π/3)，x∈R B．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R C．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R D．y＝sin(x/2+π/3)，x∈R 解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动π/12个单位长度，所得图象的解析式是y=sin（x+π/12） 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式是 y＝sin(1/2x+π/12) 故答案为：y＝sin(1/2x+π/12)． 点评:本题的考点是利用图象变换得函数解析式，主要考查三角函数图象的平移变换，周期变换．平移的原则是左加右减、上加下减，周期变换中横坐标变为原来的?倍时，与x的系数变为原来的1/ω倍相对应． 3.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π/3个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y＝sin(2x+π/3)，x∈R B．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R C．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R D．y＝sin(x/2+π/3)，x∈R 解：∵函数y=sinx（x∈R） 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， y=sin1/2x，y=sin1/2x（x∈R）图象上所有点向左平行移动π/3个单位长度y=sin1/2（x+π3）, x∈R． 4.把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动π/6个单位长度，得到的图象所表示的函数是（） A．y=sin（2x-π/3）（x∈R）B．y=sin（x/2+π/6）（x∈R） C．y=sin（2x+π/3）（x∈R）D．y=sin（2x+2π/3）（x∈R） 解：由y=sinx的所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍得到y=sin2x， 再把图象向左平行移动π/6个单位得到y=sin2（x+π/6）=sin（2x+π/3）， 故选C 点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x 或y来运作的． 5．将函数y＝sin(x+π/6)的图象上图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得函数图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，则所得到的图象的解析式为（） A．y＝sin(2x+5π/12)（x∈R）B．y＝sin(x/2+5π/12)（x∈R） C．y＝sin(x/2?π/12)（x∈R）D．y＝sin(x/2+7π/24)（x∈R）

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)

三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >

三角函数的平移与伸缩变换_整理

函数)sin(A ?ω+=x y 的图像 令狐采学 （1）物理意义：sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ω π 2，1 f T = 称为频率，x ω? +称为相位，?称为初相。 （2）函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系： ① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像； ② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数()sin y x ω?=+的图像； ③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图像； ④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图像。 要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像，则向左或向右平移应平移||?ω 个单位。 ?对)sin(?+=x y 图像的影响 一般地，函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________” ω对x y ωsin =图像的影响

函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω 1 倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响 函数x y sin A =， )1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的 由x y sin =到)sin(A ?ω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?? =++ ?? ? 的图象． 练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?? =- ?? ? 的图象． 例2、把)3 42cos(3π + =x y 作如下变换： （1）向右平移2 π 个单位长度； （2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31； （3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4 3 ； （4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)5 42sin(2++ =π x y 做下列变换： （1）向右平移2 π个单位长度； （2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；

三角函数的平移

三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><

得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的 纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >

由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 2π 3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为 ＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称， 所以f(2π3 ) ＝－f(π2)＝23. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6 π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。

【解析】由图象知最小正周期T ＝ 32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移 4π B.向左平移4 π

三角函数的平移、伸缩变换(一)(人教A版)(含答案)

三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有 的点( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有 的点( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )

A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )

2018年必修一-函数图象地平移和翻折

2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意： （1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减 （2）谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 课堂练习

1、把函数y ＝ 1 1 +x 的图像沿x 轴向右移动1个单位后所得图像记为C ，则图像C 的表 达式为( ) A. y= x -21 B. y=-x 1 C. y=x 1 D. y=2 1 -x 2、函数y=|x|-1的图像是( ) A. B. C. D. 3、函数y=| 2 1(x-1)2 -3|的单调递增区间是 4、某人骑自行车沿直线旅行,先前进了a km,休息了一阵,又沿原路返 回b km(b

三角函数图像的变换

1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页

6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数

三角函数的平移与伸缩变换

三角函数的平移与伸缩变换 1、为了得到函数)3 2sin(π-=x y 的图象，只需把函数)6 2sin(π +=x y 的图 象向____平移_____个单位长度. 2、设,0>ω函数2)3 sin(++=π ωx y 的图象向右平移 3 4π 个单位后与原图象重合则ω的最小值是__________. 3、将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是_____________. 4、将函数x x x f cos sin 3)(-=的图象向左平移m 个单位（m>0），若得到图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是_____________. 5、把函数)2 ||,0)(sin(π ?ω?ω<>+=x y 的图象向左平移3 π 个单位长度， 所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6 ,1π?ω== B. 6 ,1π ?ω-== C. 6 ,2π?ω== D. 6 ,2π ?ω-== 6、已知函数)0,0(2cos )(2>>+=?ωA x A x f 的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，求.________)20()6()4()2(=+???+++f f f f 7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=?ω在区间 )6 5,6(ππ- 上的图象，只要将 （1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 8、把x y sin =作何变换可得.1)6 3sin(8-+=π x y 17π12 π3 x y o 1-1 5π6 -π6y x o

三角函数图象平移问题的解题策略

三角函数图象平移问题的解题策略 三角函数图象的平移是图象学习中的一个要点，做题时往往容易搞错，究其原因主要是没有对其仔细的理解，没有形成解决问题的套路，下面对解决这类问题，给大家提供一个“四看”的解题策略。 一、看平移要求。 拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点，一般题目会有下面两种常见的叙述。 例1. （1）要得到函数的图象，只需将函数的图象（） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 （2）函数的图象经过下面哪个变化，可以得到函数的图象（） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 分析：上面两题是平移问题两种典型的叙述方法，粗看两题好像差不多，其实两 题的要求是不同的。第（1）题是要把函数移到，而第 （2）题是要把函数移到，两题平移的要求不同。第（1）题是我们教学中的基本形式，应该选D，而第（2）题是它的反向形式，故选C。

二、看函数形式 我们在解决这类问题时，一定要依赖的形式，如果题目给定的 函数不是这样的形式，那么我们首先要化为的形式，再考虑平移。所以二看函数形式。 例2. （1）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 （2）函数的图象可由的图象经下面变换得到（） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 分析：这两题主要是函数形式的变化，我们所研究的两个函数必须都是型如 等形式。当我们实际题目两个函数不都是这样的形式时，我们先利用函数公式进行转化。 第（1）题我们可以改变的形式为：

三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？

三角函数图像平移与伸缩变换(学生版)陈妍

三角函数图像题 异名三角函数平移变换 1．要得到函数x y cos 2= 的图象，只需将函数)4 2sin(2π + =x y 的图象上所有的点的 （ ）(A)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8 π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 4 π 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 8 π 个单位长度 2. 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图 形沿x 轴正向平移3π ，得到的新曲线与函数3sin y x =的图象重合，则()f x =（ ） A. 3sin(2)3x π+ B. 3sin()23x π+ C. 23sin(2)3x π- D. 23sin()23 x π + 3.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象（ ） A ．向右平移π 6个单位 B ．向右平移 π 3个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向左平移π 6 个单位 5.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） (A)向右平移 6π个单位长度 (B)向右平移3π 个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3 π 个单位长度

三角函数的平移伸缩变换练习题

三角函数的平移伸缩变换 题型一：已知开始和结果，求平移量?ω 【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3 y x π=+的图象，只需把 函数的图象上所有的点( ) （A ）向左平行移动3 π个单位长度 (B) 向右平行移动3 π个 单位长度 （C ） 向上平行移动3 π个单位长度 （D ） 向下平行移动3 π个 单位长度 【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3? ? 的图象（ ） （A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π 3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π 6 个单位 【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位

【】要得到sin(2)3 y x π =-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3 π个单位 （C ）向左平移6 π 个单位 （D ）向右平移6 π 个单位 【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π =- 的 图象，则这个平移变换可以是 （ ） A. 向左平移6π 个单位长度 B. 向左平移12 π 个单位长度 C. 向右平移6 π个单位长度 D. 向右平移12 π 个单位长度 【】为了得到函数 4sin(3)() 4 y x x R π =+∈的图象，只需把函数 4sin()()4 y x x R π =+∈的图象上所有点（ ） A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B 、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D 、纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变． 【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3 π ）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移 12 π 个单位 （B ）向右平移 12 π 个单位 （C ）向左平移3 π 个单位 （D ）向右平移3 π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ??=- ?? ? 的图像，只需把函数πsin 26y x ??=+ ?? ? 的