三角函数图像的平移、变换
一、 引入
以简单函数为例,讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ;
二、三角函数图像的平移之历年高考真题
1、(2010全国卷2理)(7)为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4
π个长度单位 (C)向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2
π个长度单位 2、(2010四川理)(6)将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A )sin(2)10y x π=- (B )sin(2)5
y x π
=- (C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220
y x π=- 3、(2010天津文)(8) 5y Asin x x R 66ππω???=∈????
右图是函数(+)()在区间-,上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y sin x x R =∈()的图象上所有的点
(A)向左平移
3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
倍,纵坐标不变 (B ) 向左平移3
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(C ) 向左平移
6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 (D ) 向左平移6
π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D 。22sin y x =
5、(2009全国卷Ⅱ理)若将函数()tan 04y x πωω??=+> ???的图像向右平移6π个单位长度后,与函数tan 6y x πω??=+ ??
?的图像重合,则ω的最小值为 A .16 B. 14
C. 13
D. 12 解析:6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω????=+??????→=-=+ ?
+? ????向右平移个单位 164()662k k k Z π
πωπωπ
+=∴=+∈∴-,又min 102
ωω>∴=。故选D 答案 D 6、(2009湖南卷理)将函数y=sinx 的图象向左平移?(0 ≤?<2π)的单位后,得到函数y=sin ()6x π-的图象,则?等于 ( ) A .
6
π B .56π C 。 76π D.116π sin()y x ?=+可化为函数sin()6y x π=-,易知比较各答案,只有11sin()6y x π=+sin()6
x π=- 7、(2009天津卷理)已知函数()sin()(,0)4f x x x R π??=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ?=的图象,只要将()y f x =的图象
A 向左平移8π个单位长度
B 向右平移8
π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π个单位长度8、(2009湖北卷理)函数cos(2)26
y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时,向量a 可以等于
.(,2)6A π
-- .(,2)6B π- .(,2)6
C π- .(,2)6
D π 二、 三角函数图像的平移之历年模拟题 1、(2009福建省)为了得到函数y=x x x cos sin 3sin 2+的图象,可以将函数y=sin2x 的图象( )
A.向左平移
6
π个单位长度,再向下平移21个单位长度 B.向右平移6
π个单位长度,再向上平移21个单位长度 C.向左平移12π个单位长度,再向下平移2
1个单位长度 D.向右平移12π个单位长度,再向上平移21个单位长度
2.(2009厦门一中)把函数2(cos3sin 3)2y x x =-的图象适当变化就可以得到sin3y x =-的图象,这个变化可以是 ( )
A.沿x 轴方向向右平移4π B 。沿x 轴方向向左平移4
π C.沿x 轴方向向右平移12π D 。沿x 轴方向向左平移12
π 3、(浙江省衢州市2010年4月高三年级教学质量检测试卷理科)要得到函数sin y x =-的图像,只需将函数cos y x =的图像 ( )
A .右移2π个单位
B .右移π个单位
C .左移π个单位
D .左移2π个单位 4、(浙江省金华十校2010 年 高 考 模 拟 考 试文理科)函数cos sin y x x =-的图象可由函数2sin y x =的图象
( ) A .向左4π平移个长度单位 B .向左34
π平移个长度单位 C .向右4π平移个长度单位 D .向右34
π平移个长度单位 5、(浙江省嵊州一中2010年3月高三月考试卷理科)将函数cos 2y x =的图象作平移变换,得到函数sin(2)6
y x π=-的图象,则这个平移变换可以是 ( ) A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移3
π个单位长度 C 。 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移3
π个单位长度 6、(湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测理科A 试题)将函数()sin 2cos 2f x x x =-的图象按向量a 平移后所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为( )
A 。 38π B. 8π C 。 34
π D 。 4π 7、(湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科)为得到函数cos(2)3y x π
=+的图象,只需将函数
sin 2y x =的图象
( )
A .向左平移512π个长度单位
B .向右平移
512π个长度单位 C .向左平移56π个长度单位 D .向右平移56π个长度单位 8、(江苏通州市2010年3月高三素质检测)将函数sin 2y x =的图象向左平移
4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ 。
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由 ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换 称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. x y sin =) 3sin(π +=x y ) 3 2sin(π +=x y ) 3 2sin(3π +=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?? =++ ?? ? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π 4个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的图 象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 2,得πsin 24y x ??=+ ?? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标 伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ?? =+ ?? ? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长 度得到π2sin 214y x ??=++ ?? ? 的图象. ) 3 2sin(3π +=x y x y sin =x y 2sin =) 3 2sin(π +=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位 横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍
三角函数的平移、伸缩变换(人教A版) 一、单选题(共14道,每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到, 该函数横坐标再经变换,得到. 故选B 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,则为( ) A. B. C. D. 答案:D
解题思路: 将变换的过程倒推, 函数横坐标经变换,即横坐标缩短为原来的, 得到; 再将该函数图象向右平移个单位长度,得到 . 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 由题意, 函数经平移,得到 ; 再经横坐标变换后,得到, 故选D. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的,再将所得图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换得到, 该函数再经平移,得到, 故选B. 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍,再将所得图象向右平移个单位长度,纵坐标不变,得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 由题意, 函数横坐标经变换,
三角函数图像的平移与伸缩问题 【问题探究】 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中,我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容,主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A 0, 0)的图像是由sin y x 的图像怎样变换得来的,这 要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时,也要增加函数()y f x 的图像变换的内 容。三角函数也属于函数,因此一般函数()y f x 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了 使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性,我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识,能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文,供大家借鉴使用,提出建设性意见。 大家知道,sin y x 的图像向上(下)平移10个单位,可得到10sin y x (10sin y x ),即 sin 10y x (sin 10y x )的图像;sin y x 的图像向右(左)平移 10 π ,可得到sin()10y x (sin()10y x )的图像;sin y x 的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的1 2), 可得到1sin 2y x (sin 2y x )的图像;sin y x 的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的1 3), 可得到1sin 3y x (3sin y x ),即3sin y x (1sin 3y x )的图像;我们可用表格把上述小题的变换内容 10 x 10 x 10y 10y 12 x x 2x 13y 3y 从上面的表格,我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点: 左加右减,下加上减;横向变换变x ,纵向变换变y ;各种变换均在x 、y 头上直接变;x 、y 的变化总与我们的感觉相反。例如,向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ;向上平移或向下平
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得πsin 24y x ? ?=+ ???的图象;③将所得图象的 纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ?=+ ?? ?的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1个单位长度得到π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 1 2 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移
三角函数图像题 ---图像求解析式及平移变换 一.根据图像求解析式 1.图 1 是函数π2sin()2y x ω??? ?=+< ???的图象上的一段,则( ) A.10π116ω?= =, B.10π116ω?==-, C.π 26ω?==, D.π 26 ω?==-, 2.已知函数()sin()f x A x ω?=+,x ∈R (其中2 2 ,0,0π π ω< <->>x A ),其部 分图像如图5所示.求函数()f x 的解析式; 3.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是( ) A.sin()6y x π=+ B.cos(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.sin(2)6y x π=- 4.已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右图所示,则( ) A. 6 ,1π ?ω= = B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω= = D. 6 ,2π ?ω- == 5.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 A.sin 6y x π?? =+ ?? ? B.sin 26y x π?? =- ?? ? C.cos 43y x π?? =- ?? ? D.cos 26y x π?? =- ?? ? 6.函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图,求y 的解析式。(其中 π?πω<<->>,0,0A ) 7.已知函数)sin(?ω+=x A y (0>A , 0ω>,π?<||)的一段图象如图所示,求函数的解析式; 二.图像平移变换问题 1.为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像,只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( ) A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移2π D.向右平移2 π 图5 y x 2 -1-0 1 -1 1 2345 6
三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象 ( ) A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后,再作关于x 轴的对 称变换,得到函数x y 2sin 21-=的图象,则)(x f 可以是_______。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象,只需将函数x y 2sin 3=的图象( ) (A )向左平移 4π个单位 (B )向右平移4π 个单位 (C )向左平移8π个单位 (D )向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 (A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 (C )向右平移18π 个单位 (D )向左平移18 π 个单位 3.将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 (纵坐标不变),再把 所得图象向左平移6π 个单位,得到的函数解析式为( ) ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移4 π 个单位长度,得到新的函数图象,那么这个新函数的解析式为 (A )??? ??+=42cos πx y (B )??? ??+=42cos πx y (C )x y 2sin = (D )x y 2sin -= 5.要得到函数x y cos 2=的图象,需将函数)42sin(2π +=x y 的图象( ) (A)横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4 π个单位长度
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D
1 三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象 (1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x = 的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ? =+ + ??? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4 个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得πsin 24y x ? ? =+ ?? ? 的图象; ③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ? =+ ??? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?? =+ + ?? ? 的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移 π8 个单位长度得π2sin 28y x ? ?=+ ?? ? 的图象;④最 后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ?? =+ + ?? ? 的图象. 说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8 个单位长度得到的函数图象的解析 式是πsin 28y x ? ?=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???, 把πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的图象的横坐标缩小到原来的12 ,得到的函数图象的
三角函数图像的平移、变换 一、 引入 以简单函数为例,讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ; 二、三角函数图像的平移之历年高考真题 1、(2010全国卷2理)(7)为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像, 只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4 π 个长度单位 (C )向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2π 个长度单位 2、(2010四川理)(6)将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A )sin(2)10y x π=- (B )sin(2)5y x π =- (C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220 y x π =- 3、(2010天津文)(8) 5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数(+)()在区间-,上的图象,为了得到这个函数的图象,只 要将y sin x x R =∈()的图象上所有的点 (A)向左平移3 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移3 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍,纵坐标不变 (C) 向左平移6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 4、(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解 析式是( ).A.cos 2y x = B.2 2cos y x = C.)4 2sin(1π++=x y D.2 2sin y x =
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ?,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由?引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象 (1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的 纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >??????→向左或向右平移个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ? ? =+ + ??? 的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4 个单位长度,得πsin 4y x ??=+ ?? ? 的 图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12 ,得πsin 24y x ?? =+ ?? ? 的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ? ?=+ ??? 的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1个单位长度得到π2sin 214y x ? ? =+ + ?? ? 的图象. (方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移 π8 个单位长度得π2sin 28y x ? ?=+ ?? ? 的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到 π2sin 214y x ? ?=++ ?? ?的图象. 说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8 个单位长 度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ? ?=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???,把πsin 4y x ? ?=+ ?? ?的 图象的横坐标缩小到原来的 12 ,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ?? =+ ?? ? 而不是 πs i n 24y x ? ?=+ ?? ?. 对于复杂的变换,可引进参数求解. 例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?? =- ?? ? 的图象. 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. 解:ππsin 2cos 2cos 22 2y x x x ????==-=- ? ??? ? ? , 在πcos 22y x ??=- ?? ? 中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ????=--=-- ???? ? ? ? .