【尚择优选】七年级数学培优讲义(完整版)

考点·方法·破译

1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典·考题·赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义

⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克

【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.

【变式题组】

01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）

A ． －18%

B ． －8%

C ． ＋2%

D ． ＋8%

02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )

A ． －5吨

B ． ＋5吨

C ． －3吨

D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.

如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____

【例２】在－227

，π，0.033.

3这四个数中有理数的个数（ )

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???

????

????????

正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；

按整数、分数分类，有理数?????????????????

正整数

整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小

数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.

3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，

所以都是有理数，故选C ．

【变式题组】

01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－1

8

，100.l ，－3 001中，负分数为 ，

整数为 ，正整数 .

02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置

15，－19，215，－13

8

，0.1．－5.32，123, 2.333

【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，1

6，…，找规律到第2007

个数是 .

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－

1

2007

. 【变式题组】

01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝

3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .

02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？

填____.

03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.

【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m

2

的相反数是－3，则m 的相反数是

____.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两

个点所表示的数叫互为相反数，本题m

2

＝－4,m＝－8

【变式题组】

01．（四川宜宾）－5的相反数是( )

A．5 B．1

5

C．－5 D．－

1

5

02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝______

03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、

B、C内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互

为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )

A．－1 ,2，0 B．0，－2，1 C．－2，0，1 D．2，1，0

【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b 的大小顺序是( )

A．b＜－a＜a＜－b B．–a＜b＜a＜－b C．–b＜a＜－a＜b D．–a＜a＜－b＜b

【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的

点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝

0)

0(0)

(0)

a a

a

a a

>

?

?

=

?

?-<

?

(

.本题注意数形结合思想，画

一条数轴

标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．【变式题组】

01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；

④若|a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则|a|

a＋

|b|

b＋

|c|

c

＝ .

03．a、b、c为不等于O的有理散，则a

|a|

＋

b

|b|

＋

c

|c|

的值可能是____.

【例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则a+b

ab的值.

【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.

解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－

8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故a+b

ab＝

12

32

＝

3

8

【变式题组】

01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．

02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )

A．－4 B．－1 C．0 D． 4

03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值

【例７】（第l8届迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．

【解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.

解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥O

∴(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m

∴m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0

∴m＋n＝O①

又∵|2m－n－2|＝0

∴2m－n－2＝0 ②

由①②得m＝2

3

，n＝－

2

3

，∴mn＝－

4

9

【变式题组】

01．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－B．

02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a ≤x≤96,求y的最大值.

演练巩固·反馈提高

01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,1

42

…根据其规律可知第9个数是( )

A ．

156 B ． 172 C ． 190 D ． 1

110

02．（芜湖）－6的绝对值是( )

A ． 6

B ． －6

C ． 16

D ． －16

03．在－227

,π,8..

0.3四个数中，有理数的个数为( )

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )

A ． a －b

B ． b －a

C ． –a ＋b

D ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )

A ． 0和6

B ． 0和－6

C ． 3和－3

D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )

A ． 是正数

B ． 不是负数

C ． 是负数

D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )

①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b

A ． ①②

B ． ③④

C ． ①④

D ． ②③

08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小

关系正确 的是( )

A ． |b |＞a ＞－a ＞b

B ． |b | ＞b ＞a ＞

－a

C ． a ＞|b |＞b ＞－a

D ． a ＞|b |＞－a ＞b

09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应

点，则这个数是____.

10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____. 11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求

|a |

a

＋

|b |

b

＋

|abc |

abc

＋

|c |

c

12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b a

的

形式，试求a 、b 的值.

13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．

14．|a |具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l |＋|x －

3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.

15．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当

A 、

B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b | 当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况:

①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；

②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－

a )＝|a －

b |；

③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－

a ）＝|a －

b |；

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |．

回答下列问题:

⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；

⑵数轴上表示x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 ， 如果|AB |＝2，那么x ＝ ；

⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，相应的x 的取值范围是 ．

培优升级·奥赛检测

01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919

的线段，则此线段在这条

数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )

A ． 1998

B ． 1999

C ． 2000

D ． 2001

02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置

如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －

b ）(b －

c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )

A ． 4个

B ． 3个

C ． 2个

D ． 1个

03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么

a |a |

＋

b |b |＋

c |c |＋abc

|abc |

的所有可能的值为（ ）

A ． －1

B ． 1或－1

C ． 2或－2

D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )

A ． －1

B ． 1

C ． 2m －3

D ． 3－ 2m

05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最

小值( )

A ． 30

B ． 0

C ． 15

D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .

07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数

组(m ，n )共有 组

09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp |3mnp |＝ .

10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.

11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋

3的最大值和最小值.

12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.

13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.

第02讲有理数的加减法

考点·方法·破译

1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典·考题·赏析

【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）

A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．

【变式题组】

01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）

A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃