谈数学归纳法及应用
目录
摘要 (1)
1.数学归纳法的定义 (2)
1.1数学归纳法的理论依据 (2)
1.2第一数学归纳法 (3)
1.3第二数学归纳法 (4)
2.数学归纳法使用时易错点剖析 (5)
3.数学归纳法的解题应用 (6)
3.1 恒等式 (6)
3.2 不等式 (7)
3.3 数列 (8)
3.4 平面几何 (10)
3.5 整数的整除性 (11)
3.6 排列组合的计数 (11)
3.7行列式与矩阵 (12)
4.结论 (14)
参考文献 (14)
致谢词 (15)
【摘要】数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种数学推理方法，是一种形式独特的完全归纳推理，在数学解题中有着广泛的应用。本文从数学归纳法的理论依据---皮亚诺（Peano）的自然数的序数理论的归纳公理入手，给出数学归纳法的证明，由此得到其完整的定义，并对数学归纳法使用时易错点进行探讨，重点讨论数学归纳法在初等数学和高等数学的多种应用。
【关键词】数学归纳法证明应用
【ABSTRACT】Mathematical induction is used to prove some natural number, related mathematical proposition of a mathematical reasoning methods, is one kind of form unique completely inductive reasoning, in mathematics problem-solving in a wide range of applications. Based on the theoretical basis of the mathematical induction - Peano (Peano) of the specified number theory of inductive justice given mathematical induction of proof, thus obtained the full definitions, and the mathematical induction easy wrong points discussed emphatically discussed mathematical induction in elementary mathematics and the higher mathematics the many applications.
【KEY-WORDS】Mathematical induction ; natural；Proof
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。论证的第一步是证明命题在1=n (或0n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在k n =时命题成立，再证明1+=k n 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或0n n ≥且N n ∈）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，在数学教学中常用在证明下列命题：与自然数n 有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数等等。
1. 数学归纳法的定义
数学归纳法可以分别从两个原理出发：一个是最小正整数原理，另一个就是直接从皮亚诺（Peano ）的自然数的序数理论的归纳公理。本文下面就从皮亚诺（Peano ）的自然数的序数理论的归纳公理推导数学归纳法。进一步介绍第一数学归纳法和第二数学归纳法。
1.1 数学归纳法的理论依据
皮亚诺（Peano ）的自然数的序数理论的归纳公理：
设M ?N 且 a. M ∈1；
b. 如果M n ∈M n ∈+?1.则M 包含一切自然数，即M N =
这个归纳公理就是数学归纳法证明的根据。设P 是与自然数有关的的某一性质，使P 成立的自然数的集合记作M ，如果要证明性质P 对于全体自然数都成立，只要证明M N =，而归纳公理就提供了证明的方法的基础，并由此派生出适应不同条件和要求的数学归纳法，常用的有第一数学归纳法与第二数学归纳法。
1.2 第一数学归纳法原理：
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，采用下列步骤：
第一步，验证命题)1(P 是成立的；（奠定基础步骤）
第二步，假设命题)(k P 是成立的，导出命题)1(+k P 也成立，那么这个命题对于一切正整数n 都成立。（归纳总结步骤）
证明：假设M 是由满足命题)(n P 的自然数组成的集合,N M ?,因为1P 成立， 所以M ∈1.由皮亚诺的归纳公理第二步可知，M n ∈M n ∈+?1，
根据归纳公理，M N =.即)(n P 对任意自然数都成立
这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。其使用的步骤类似下例：
例1．用数学归纳法证明：na a n +≥+1)1( )(R a ∈
证明： （1）当1=n 时
a a +=+111）（，显然命题成立 （2） 假设k n =时命题成立，即ka a k +≥+1)1(
当1+=k n 时
21)1(1)1)(1()1)(1()1(ka a k ka a a a a k k +++=++≥++=++
因为 0>a ， 所以 02>ka 于是 a k ka a k a k )1(1)1(1)1(21++≥+++≥++
当1+=k n 时命题成立
由（1）和（2）可知，命题对于任何自然数都成立。
1.3 第二数学归纳法原理：
对于某个与自然数N 有关的命题，采用下列步骤：
第一步，验证命题)1(P 是成立的；（奠定基础步骤）
第二步，假设命题对于正整数k n <<1时)(n P 成立，并在此基础上，推出)(k P 成立。那么命题对于一切正整数n 来说都成立。（归纳总结步骤）
证明：设 )(|{n P n M =成立，}N n ∈，又M N T -=. 假设?≠T 根据自然数的最小数原理，T 有最小数0t . 由条件第一步知，M ∈1，故10≠t . 因此，1,2，…，0t -M ∈1. 又根据条件第二步M t ∈0这和T t ∈0矛盾，所以?≠T ，故M N =，因此，)(n P 对于任意自然数都成立.
通常把上述数学归纳法叫做第二数学归纳法。一般使用步骤类似下面一个例题， 例2．设有a a r ++=1. 其中a 为某一正整数
求证：222-+-n n r r 对于任意正整数n 都是4的整倍数
证明：(1)由已知易得a a a a r -+=++=-111
1
所以 22r r -+-2=12()r r --=2=4a
移项后两边平方，即
222()r r -+=2(42)a +
因此 44r r -+-2=42(42)a +
可见当n =1、2时命题成立
(2) 设)2(≥≤k k n 时，命题成立
即 4P =2)1(2)1(2-+---k k r r ；4Q =222k k r r -+- （其中P 、Q 为整数）
所以 2)1(2)1(2-++-+k k r r =2222()()k k r r r r --++-（2)1(2)1(2-+---k k r r ）-4 =（4a +2）（4Q +2）-4P -4=16a Q +8a +8Q -4P
是4的整数倍，即当1+=k n 时，命题成立
由（1）、（2）可知，对于任意的自然数命题都成立 从上面我们得知第一数学归纳法和第二数学归纳法的理论依据是皮亚诺的自然数的序数理论的归纳公理。第一数学归纳法合第二数学归纳法用法上第一步都是验证命题)1(P 是成立，结论也相同。
但是它们存在一定的差异，主要表现在第二步的归纳假设上，从两个假设可以看到第一数学归纳法是假设k n =时命题成立，第二数学归纳法是假设命题对于正整数)2(≥≤k k n 成立。就是讲第二数学归纳法在证明的要求上更严格，不仅要求命题在k n =时成立，还要求列举出所有小于k 的自然数都成立。因为有些命题仅仅由k n =成立推出1+=k n 成立的基础不够清晰和扎实，所以才有第二数学归纳法。当然，第一数学归纳法能论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明。
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们对不同的要求的数学命题而使用。
2.数学归纳法使用时易错点剖析
数学归纳法是一种完全归纳推理，在应用数学归纳法时不能忽视完全归纳推理，只是做部分归纳，从而得出错误的结论。如法国数学家费马曾考查了
51212=+，171222=+，2571232=+，655371242=+
而5,17,257,65537都为素数，于是，他就断言：对于自然数n ，122+n 都
为素数。但是，他的猜想是错误的。瑞士数学家欧拉发现，当5=n 时
5
22＋1=4294967297=641×6700417就是一个合数，这就说明不完全归纳法存在严重的缺陷。
在数学归纳法使用证明过程中的两步都是必不可少，否则，就会在没有验证第一步的情况下，而得出错误的结论的问题。例如：
数学归纳法证明：2+4+6+…+2n =12++n n
假设当k n =时，等式成立，
当1+=k n 时， 2+4+6+…+2n +)1(2+n =1)1()1(2++++n n ，验证等式
也成立.从而得出对任何自然数，等式成立的结论，但是 当1=n 时，左边等于2，右边等于3，命题不成立.
在数学归纳法使用过程中更多出错的在于第二步骤。一个常见的错误是：在
k n =时命题成立的假设下，
形式上得出1+=k n 成立结论，并没有在前个假设的基础上进行有效地实质上的推导，而仅仅是形式上的推导。
例如，设 0>i a (=i =1,2,…,n ),且21a a ++…+n a =1 证明：
222121...(2)n a a a n n
+++≥≥ 当1=n 时 11=a ，121=a 命题成立
假设当k n =时，等式成立，即k a a a k
122221≥+???++ 当1+=k n 时， 1
111212122221+≥≥+≥
++???++++k k a k a a a a k k k 命题成立.
但应注意k n =和1+=k n 时的前提条件分别为：11=∑=k i i a 和 11
1=∑+=k i i a
既然当1+=k n 时的前提条件变化了，就不能直接套用222121...k a a a k
+++≥的结论，而应设法改造前提条件，使之符合归纳假设的要求。 3.数学归纳法的解题应用
数学归纳法在数学解题中有着广泛的应用，可以证明与自然数有关的命题。本文选取数学教学中几类命题使用数学归纳法证明：与自然数n 有关的恒等式、不等式、数列、几何、整除性、计数及行列式与矩阵，加深对数学归纳法的认识。
3.1 恒等式
在涉及到与自然数有关的恒等式中多数都可以用数学归纳法证明，在初等数学教学中的许多代数式，三角式的恒等变换的命题用数学归纳法可以有效地证明。在证明过程中要注意式子的恒等变换和法则的正确使用。下面就举三角式的恒等证明来说明：
例3．用数学归纳法证明：对于正整数2≥n ，
tan arg tan 2tan 2arg tan3αα++…tan(1)arg tan()n n α+- =()n n -α
αtan tan 分析：本题第一步的验证要取2n =，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式
证明： (1)当2n =时，右边=tan 22tan αα-=2221tan α
--=222tan 1tan αα- =tan arg tan 2α=左边，等式成立
(2)假设当n k =时，等式成立，就是
tan arg tan 2tan 2arg tan3αα++…tan(1)tan()k arg k α+-=tan()tan k k αα
- 则当n ＝k ＋1时， tan arg tan 2tan 2arg tan3αα++
…tan(1)tan()k arg k α+-+])1tan[(arg tan α+k k =tan()tan k αα+[]tan(1)tan()(1)tan (1)k k k k k αααα+--++-=tan(1)(1)tan k k αα
+-+ 本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即
]
)1tan[()tan()1tan()tan(arg )1tan(1αααααk k k k k k -+-+=-+ 在用数学归纳法证明三角命题时，应针对1n k =+时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法。
3.2 不等式
在上面我们看到数学归纳法在等式的应用，那么在不等式中数学归纳法是怎么样的呢？以下用例题说明：
例4: 设i a >0(i =1,2,…,n),且12a a ++…+n a =1。证明：
222121...(2)n a a a n n
+++≥≥ 证明：(1)当2n =时，因121a a +=，故22121221a a a a ++=
又2212122a a a a +≥，所以
12a a +≥12
(2)假设当n k =时命题成立，即在12a a ++…+k a =1且a>0(i =1,2, …,k)
的条件下有
2212a a ++…+2k a ≥1k
则当1+=k n 时，因为
2212a a ++…+2k a +21k a +=1，且各i a >0
根据2212a a ++…+2k a +21k a +=1，且各i a >0，0<1k a +<1，故1-1k a +>0因而满足归纳假设2212a a ++…+2k a ≥1k
所应满足的条件， 所以 221211()()11k k a a a a +++--+…+21()1k k a a +-≥1k
2212a a ++…+2k a ≥21(1)k a k
+- 2212a a ++…+2k a +2
1k a +≥2
1(1)k a k +-+21k a +
因为 21(1)k a k +-+21k a +-11
k +=2211(1)2(1)1(1)k k k a k a k k +++-+++ =[]211(1)10(1)
k k a k k ++-≥+ 所以 2212a a ++…+2k a +21k a +≥1(1)
k + 因此，原命题对大于1的自然数都成立.
用数学归纳法证明不等式，宜先比较k n =与1+=k n 这两个不等式间的差异，以决定k n =时不等式做何种变形，一般地只能变出1+=k n 等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由k n =成立推出1+=k n 不等式成立的证明．
3.3 数列
数列在数学教学和实际生活中有着广泛的应用，它与函数、方程、不等式、三角、复数、立体几何和解析几何都有着密切的关系，涉及数列的应用性问题也屡见不鲜，以下例题仅从数学归纳法去解题。
例5: 设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于所有的自然数n ，都有n S ＝2
)(1n a a n +，证明{n a }是等差数列。 分析：要证明{n a }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：n a ＝1a ＋(n －1)d 。命题与n 有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
证明： 设2a －1a ＝d ，猜测 n a ＝1a ＋(n －1)d
当n ＝1时，n a ＝1a ， 所以 当n ＝1时猜测正确
当n ＝2时，1a 1
＋(2－1) d ＝1a ＋d ＝2a ， 所以 当n ＝2时猜测正确 假设当n ＝k （k ≥2）时，猜测正确，即：k a ＝1a ＋(n －1)d
当n ＝k +1时，1+k a ＝S k +1－S k ＝2
))(1(11+++k a a k －k a a k ()12+
将k a ＝1a ＋(k －1) d 代入上式， 得到
21+k a ＝(k ＋1)( 1a ＋1+k a )－2k 1a －k (k －1)d
整理得 (k －1)1+k a ＝(k －1)1a ＋k (k －1)d
因为 k ≥2, 所以 1+k a ＝1a ＋k d ，即n ＝k ＋1时猜测正确
综上所述，对所有的自然数n ，都有n a ＝1a ＋(n －1)d ，从而{n a }是等差数列。
将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题。在证明过程中1+k a 的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式n S ＝n a a n ()12+、数列中通项与前n 项和的关系1+k a ＝1+k S －k S 建立含1+k a 的方程，代入假设成立的式子k a ＝1a ＋(k －1)d 解出来1+k a 。另外本题注意的一点是不能忽视验证n ＝1、n ＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n ＝2时等式成立， 因为， 由(k －1)1+k a ＝(k －1)1a ＋k (k －1)d 得到1+k a ＝1a ＋k d 的k ≥2.
3.4 平面几何
数学归纳法的应用在几何里也有着独特的应用，关键要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在)(k P 基础上净增多少，于是就找出了相应的递推关系，下面让我们来看两个例题。
例6：平面上n 条直线 把平面分成若干个区域。证明，用两种颜色给这些区域染色，使任意两个相邻的区域（即有公共边界的区域）所染颜色不同。
证明：对直线的条数n 归纳。
(1) 当1=n 时，平面分成两个半平面，显然命题成立.
(2) 设k n =时命题成立，对于1+k 条直线12,,l l …1,k k l l +，先将1k l +去掉，由归纳假设可知，被12,,l l …k l 分割成的区域可以用两种颜色正确染色（即按踢给条件），再将1k l +添进去，这时一些区域被1k l +分成两个区域。将位于 某一侧的半平面内的所有区域改染相反的颜色，另一个半平面内的区域染色不变，这样我们仍然得到正确的染色。这说明n =k +1时，命题成立
由（1）、（2）可知，对所有的N n ∈，命题成立
例7．证明，当3≥n 时，n 边形的内角和等于)2(-n π.
对于这个命题2,1=n 来说是没有任何意义.因此我们从3=n 开始用数学归纳法证明.
（1）当3=n 时，命题成立，因为三角形的内角和等于π=(3-2)π.
（2）假设)3(>k k n =时命题成立.我们看任意一个
1+k 边形1A 21...K K A A A +(图1).连结1A 3A ，那么
1A 21...K K A A A +的内角和等于三角形1A 2A 3A 的内角和再加
上k 边形1A 3A 1...K K A A +的内角和.前者等于π，后者由学
归纳法假定，等于π)2(-k .因此1+k 边形1A 21
...K K A A A +的内和等于π+π)2(-k =π)1(-k =π)2)1((-+k .命题得证. 图1
运用数学归纳法证明几何问题，一般从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解，证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点，增加的交点会导致几何那些方面的的改变。解此类问题常运用几何图形的性质，可注意加以运用。
3.5 整数的整除性
设b a ,均为整数，如果存在一个整数c ，使得ac b =，则称a 整除b ，通常记为b a |，由于整除性问题本身是在整除的范围内考虑的，所以处理整除性问题时可以尝试用数学归纳法来解决
例8. 设18-=n n a ，证明:n a |7 )(N n ∈
证明：(1) 当1=n 时，71=a ，命题成立；
(2) 设k n =时命题成立，即k a |7，于是N s s a k ∈=,7
因为 k k k k k k k a a 8788)18()18(111*=-=---=-+++
所以 )8(71s a k k +=+
1|7+k a
由（1）、（2）知对所有的N n ∈，命题成立.
用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明整数的整除性问题的一个技巧。
3.6 排列组合计数
求出一个有限集s 中元素的个数（记为|s |）称为计数。排列组合问题就属于计数问题之列。在这一列问题中，数学归纳法也得到广泛的应用。
例9. 设有2n 张卡片，上面分别写着1，2, …,n 2这n 2个数。现在从中任意取出两张，设其号码为x 和y ，且y x <。设满足n y x 2≥+的取法),(y x 共n T 种，证明：12-+=n n T n
证明：（1）当1=n 时，共2张卡片，221>+，所以11=T ，命题成立；
（2）设12-+=k k T n . 当1+=k n ，从22+k 张卡片：1，2, …,k 2，12+k ，22+k 中任取两张，两张中包含22+k 的取法为)22,1(+k ，)22,2(+k ，…，)22,12(++k k ，显然，12+k 种取法均满足x +y ≥)1(2+k 。在其余的取法中，依归纳假设共有k T =2k +k-1种，满足x +y ≥2k ，其中满足x +y =k 2的为 （1, 2k -1），（2, 2k -2），…，（k -1, k +1），共k -1种，满足x +y =2k +1的为（1, 2k ），（2, 2k -1），…，（k , k +1），共k 种。
综上所述可得
1k T +=[2k +k -1-（k -1）-k ]+(2k +1)+2k = 2(1)k ++(k +1)-1
由（1）、（2）可知，对所有的N n ∈，命题成立.
排列组合计数知识、方法、技能组合计数就是计算集合的元素个数。它是组合数学的重要组成部分 . 在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A ，已非易事，要确定A 的元素个数就更难了 . 这正是研究计算问题的原因。解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法，数
学归纳法就是一种。
3.7 行列式与矩阵
行列式与矩阵的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n ！项，计算量很大，一般情况下不用此法。如果选择好的方法，从而达到化繁为简的功效。
例10. 证明范得蒙)(e Vandermond 行列式：
∏≤<≤-----==n i j j i n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V 11131211
2232221
321
)(...::::
......1 (111)
其中
)()())(())(()(1223113121-≤<≤-???-???--???--=-∏n n n n n i j j i x x x x x x x x x x x x x x
证明 ：（1）当2=n 时，)(11
211221j i i j n x x x x x x V -=-==∏≤<≤，等式成立
（2）假设等式对1-n 阶范得蒙行列式成立，即∏-≤<≤--=
111)(n i j j i n x x V
对n 阶范得蒙行列式： )
(...)()(0::::
)(...)()(0...01...11112132312221133122113122,,1,11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x V n n n n n n n n r x r n n i n i i -------------???-=-= 按第一列1c 展开并提取公因子，得
22322
3211312...:::
...1 (11)
)())((----???--=n n
n n n n n x x x x x x x x x x x x V
后面的行列式是一个1-n 阶范得蒙行列式1-n V ，
由归纳假设可写作∏≤<≤--=
n i j j i n x x V 21)(，代入上式便得∏∏∏≤<≤≤<≤=-=--=n i j j i n i j j i n i i n x x x x x x V 1221)()()
(.
由（1）、（2）可知，对所有的N n ∈，命题成立.
例11． 求证：
??????
? ??-=????? ??---n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ0002)1(0010
01121 证明 ：（1）当1=n 时，结论显然成立
（2）假设1-n 命题成立，即
??????
? ??----=????? ?
?-------121321100)1(02)2)(1()1(0010
01n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλ 当取n 时 ????
? ????????? ??----=????? ??------λλλλλλλλλλλλ00100100)1(02)2)(1()1(0010
01121321n n n n n n n n n n n ??????
? ??-=---n n n n n n n n n n λλλλλλ000
2)1(121 由（1）、（2）可知，对所有的N n ∈，命题成立.
在解决行列式与矩阵问题时，选择一种好的方法不仅能达到事半功倍的效果，更能体现学习高等数学的功底。计算行列式与矩阵的方法比较灵活，同一行
列式与矩阵可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，再考察它是否能用常用的几种方法，如果行列式与矩阵中有与自然数N有关，我们可考虑用数学归纳法去证明，再利用它们的性质对它进行变换，然后求解。
4. 结论
数学归纳法主要是针对一些自然数N的相关命题,所以在证明和自然数N 有关的式子中有着不可替代的作用，对于一些和自然数N有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效。用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征，如k
n 时的假设是第二步证明的“已知”步证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法。从上面不难看出，在数学中，数学归纳法是一种相当成熟的数学证明方法，因此它的应用也是极其广泛的，它有着其他方法不可取代的地位。
参考文献
[1] 蒋文蔚，杨廷龄.数学归纳法[M]. 北京：北京师范大学出版社,1985
[2] 张明志, 数学归纳法[J].四川：四川教育出版社，1985
[3] 张禾瑞，郝鈵新，高等代数[M].第五版，北京：高等教育出版社.2007.6
[4] 李长明，周焕山.初等数学研究[M]. 北京：高等教育出版社.1995
致谢词
感谢我的指导老师xxx，对我论文的构思和悉心指导。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。两年多来，数学教研室的课任老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上影响着我，在此谨向全体课任老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学归纳法的应用习题
第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)
高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
数学归纳法在离散数学中的应用
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
课题：数学归纳法及其应用举例 教材：人民教育出版社A版 一、教学目标 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 二．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
板书设计 1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机． 数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束． 把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。 例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由. 证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1）， 由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k － 1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36. 二、用数学归纳法证明恒等式问题 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12 )1()1(32212222c bn an n n n n +++=+?++?+?对一切自然数n 成立？并证明你的结论． 解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得 ???? ?????++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11 ,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立： )10113(12)1()1(32212222+++= +?++?+?n n n n n n 令222)1(3221+?++?+?=n n S n 假设k n =时上式成立，即)10113(12 )1(2+++= k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12 )1(++++++=k k k k k k
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立， 再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 一、运用数学归纳法证明整除性问题 例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。 证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名甘国优指导教师赵慧炜 中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛。本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力。 关键词：数学归纳法;步骤；证明方法. Ａbstｒact：Maｔhｅmatical inｄuｃtioｎ is a ｃommon evidencｅｍｅt ｈod iｎ mathematics， it is have very broａd appliｃation。 In this pａｐｅr，aｕｔhor researｃh ｉntｏ the ｓtep oｆｔhｅ Mathematica ｌ indｕctiｏn , it includes sｕmmaｒiz，ｅvideｎce ａnｄｇuess embod ｙ thｅ idea oｆtｈe eｖidｅnce oｆmatｈｅmatｉcaｌｉndｕctiｏn． Aｌso at herｅ ,we summaｒiz tｈｅmethoｄoｆ the mａthｅmat ｉcal induｃtioｎapplicaｔion iｎsolvｅａlgebra iｄenｔities ， g ｅoｍetric ,ordｅr anｄ porｔfolio ，and so on .ａlso analyze the c ｏmmoｎerrorｓ on ａｐpｌｉcation and into duct sｋｉｌl of tｈe ｐroof ,ｐroｏf ｏｆskills iｎtｒｏｄuceｄ. Iｔ is ｈelp to inｃr ｅａsed tｈe leｖeｌ of the Mathematiｃal indｕction’s appｌicａtion．Key woｒｄs：Maｔｈematical induction; Steps ; Proｏf． 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法。我们在学习
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题 摘要 在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题. 关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限 数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。 数学归纳法一般分为以下几种常见的方式： （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤 （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立， （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （四）螺旋式归纳法
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿
说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时） （选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节） 一、教材分析 1．内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全 归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新 能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜 欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】