参数方程化成普通方程

§3 参数方程化成普通方程

1．曲线?

???? x ＝2cos θ－1y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( ) A ．y ＝0 B ．x ＋y ＝0

C ．x －y ＝0

D ．2x ＋y ＝0

解析：选D.曲线????? x ＝2cos θ－1y ＝2sin θ＋2

(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.

2．与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )

A.????? x ＝sin t y ＝cos 2t

B.?????

x ＝cos t y ＝sin 2t C.??? x ＝1－t y ＝t D.?????

x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析：选D.A 化为普通方程为

x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]．

B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]．

C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]．

D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1]．

3．若曲线?

???? x ＝1＋cos2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线x ＋2y －2＝0

B ．以(2,0)为端点的射线

C ．圆(x －1)2＋y 2＝1

D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段

解析：选D.x ＝1＋cos2θ＝1＋(1－2sin 2θ)

＝2－2y ，∴x ＋2y －2＝0.

又∵x ＝1＋cos2θ∈[0,2]，y ＝sin 2θ∈[0,1]．

∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．

4．参数方程?????

x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( ) A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1

C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)

D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)

解析：选C.x 2＝????sin α2＋cos α22＝1＋sin α， y 2＝2＋sin α，∴y 2－x 2＝1.

又x ＝sin α2＋cos α2

＝2sin ????α2＋π4∈[－2，2]，即|x |≤ 2.故应选C. 5．椭圆?

????

x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A ．(－2,0)，(2,0) B ．(0，－2)，(0,2)

C ．(0，－4)，(0,4)

D ．(－4,0)，(4,0)

解析：选D.利用平方关系化为普通方程x 225＋y 2

9

＝1，c 2＝16，c ＝4，焦点在x 轴上，∴焦点为(－4,0)，(4,0)，故选D.

6．(2013·咸阳质检)已知过曲线?????

x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4

，则点P 坐标是( ) A ．(3,4) B.???

?322，22 C ．(－3，－4) D.????125，125

解析：选D.设|OP |＝t ，则P 点坐标????22

t ，22t ，代入方程x 29＋y 216＝1，解得t ＝1225， 所以P 点坐标????125，125.

7．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：?

???? x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ. (θ为参数)，则它们的公共点个数为________．

解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，

其圆心为C (－1,2)，半径为2.

由于圆心到直线l 的距离

d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42

＝75<2， 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.

答案：2

8.（2013陕西卷）

9.（2013重庆卷）

10．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．

(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；

(2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．

解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，

可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，

∴图象为抛物线，

设其顶点为(x ，y )，则有????? x ＝4cos θy ＝3sin θ

， 消去θ得顶点轨迹就是椭圆x 216＋y 2

9

＝1. (2)联立?

????

x ＝14y 2－16y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.

弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ.

当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.

11.（2013福建卷） 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为???

x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)．

①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半

轴为极轴)中，点P 的极坐标为???

?4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； ②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

解：①把极坐标系下的点P ???

?4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．

②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为

d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ????α＋π6＋42

＝2cos ???

?α＋π6＋22， 由此得，当cos ???

?α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.

2.2常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化

§2.2.3直线的参数方程及应用(第2课时)1

§2.2.3直线的参数方程及应用（第2课时） 【学习目标】 1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 【学习重点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习难点】 1. 直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2. 利用直线的参数方程解决有关数学问题； 【学习过程】 一、学前准备： 1、若由a b →→ 与共线，则存在实数λ，使得 ， 2、设e → 为a → 方向上的 ，则a → =︱a → ︱e → ； 3、经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的普通方程为 。 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 35～P 39，找出疑惑之处） 1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ， 而直线l 的单位方向向量e → =（ ， ）,因为0MM e → ，所以存在实数t R ∈， 使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点 00(,)M x y ，倾斜角为()2 π αα≠ 的直线的参数方程的标准式为： ???= = y x 2.方程中参数t 的几何意义是什么？ 直线上任意动点到定点P 0的距离________||0=P P 3. 直线参数方程的一般式： （1）过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线，记直线倾斜角α，则=αtan ，直线参数方程的一般式是 ? ? ?+=+ =t y y t x x （）（）00 （t 为参数），直线上任意动点到定点P 0的距离||________||0t P P =, （2）直线参数方程的一般式是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 直线上任意两点A,B 对应参数分别为21,t t ，则它们到P 0的 距离分别为： |t -t |________|B P -A P ||AB ||,|________|||,|________||21002010====弦长t B P t A P ||________||________||________||||212100t t t t B P A P =?=? （3）中点公式：)M(),,(),,(20201010则中点bt y at x B bt y at x A ++++ |2 |________||2 10t t M P += 二、直线参数方程的应用 题组一。.求直线的参数方程的标准式及t 的几何意义的应用 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.

曲线的参数方程(教案)

曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）

高考数学参数方程和普通方程的互化练习

【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． 解：把代入 得：两式平方相加可得 ∴（舍去） 于是即所求二曲线的交点是（，－）． 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方 程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且 ） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与 的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下 方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．

过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由 此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 一般地，直线的参数方程的一般形式是 （，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3求椭圆的参数方程． 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设

解法一：设（为参数），则 ∴ 故 因此，所得参数方程是 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（， ），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为 终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆 的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知 也是半径OB的转角）． 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上 任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：

直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α )t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα <2>一般形式 )1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： )y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα 的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0 :t,M M 0故即= <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0

<3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 2t t t 2 1M += （3）圆锥曲线的参数方程 <1>)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+ 轴正方向的旋转角 的几何意义动半径对于其中x α <2> 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ 角）。 <3>)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???== <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 )(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????== （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式

参数方程题型大全

参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________

参数方程化普通方程

参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2, 又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3) (2)(θ∈R，θ为参数） 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ ∴|x|≤，|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t≠1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。

参数方程化为普通方程教案

课题：参数方程和普通方程的互化（一） 教学目标： 知识目标：掌握如何将参数方程化为普通方程； 能力目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法； 情感目标： 培养严密的逻辑思维习惯。 教学重点：参数方程化为普通方程 教学难点：普通方程与参数方程的等价性 教学过程： 一：复习引入： 课本第24页的例题2中求出点M 的轨迹的参数方程为：cos 3,()sin x y θθθ=+??=? 为参数。 问题1：你能根据该参数方程直接判断点M 的轨迹图形吗？如果要判断点M 的轨迹图形，你有什么方法吗？ 二：新课探究 1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？ 2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ （1）???--=-=t y t x 4123（t 为参数）； （2）???==? ?sin 3cos 5y x （?为参数）. 3：例题讲解： 例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ 4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？ 5：变式练习： （1）??? ????-=+=t t y t t x 1 1（t 为参数）； （2）???+==12cos cos θθy x （θ为参数）； 6：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？ 1)1t y ???=-??(1)为参数sin cos ().1sin 2y θθθθ+??=+?x=(2)为参数

7：补充例题： 若直线1223x t y t =-??=+?（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________. 8：变式练习： （1）曲线的参数方程为)50(1 2322≤≤?????-=+=t t y t x ，则曲线为（ ）. A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线 （2）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+??=-?（参数t R ∈），圆C 的参数 方程为2cos 2sin 2x y θθ=??=+? （参数[]0,2θπ∈），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 。 三：课堂小结 （ ） 1: 2: 参数方程化为普通方程要注意哪些要点？ 3:消去参数的一些常用方法: 四：作业 1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。 （1）?????-=+=2211t y t x （2）???==θθsin 3cos 2y x (3) ???==θθ2cos sin y x 2:若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+?? =-+?（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围 是 。

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)

【原创教案】二、《曲线的参数方程》教案

二、《曲线的参数方程》教案 时间：2 授课班级：高二（8）班 一、教学目标: 理解参数方程的概念；掌握参数方程化为普通方程的几种常见 的方法；会选取适当的参数化普通方程为参数方程。 二、重点、难点：能选择适当的参数写出曲线的参数方程，参数方程与普通方程 的互化和互化的等价性。 三、课时安排：1课时 四、教学过程 （一）创设情境 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物 资？ （二）探索研究导出新概念 1、参数方程的定义： 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的 函数② ???==) ()(t g y t f x ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 例1 已知曲线C 的参数方程是???+==1 232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系； (2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值； (3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。 2、参数方程和普通方程的互化： （1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程 例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)

直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的 互化 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

参数方程和普通方程的互化 教学目标 1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的． 2．基本掌握消去参数的方法． 3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力． 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法． 教学过程 师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片) 由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P的轨迹的参数方程(如图3-5)． 分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为： 此斜率k可作为参数．(投影) 解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的 即为所求点P的轨迹的参数方程． 师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗 生：(无言以对)看不出来． (启发学生猜想，培养参与意识．) 师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状． (学生在纸上画，讨论．) 生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．

师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了． 把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)． 师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则． 例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线 (学生通过物理知识，很容易解决这个问题．) 解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cos α·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时 即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢 生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了． 故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．) 例2 把参数方程 即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线． 师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗 生：挺好的．我与他解的一样，没问题． 师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗 生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．

参数方程化普通方程练习题有答案

参数方程化普通方程 1．参数方程? ????x ＝cos 2 θ y ＝sin 2 θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 解析：选＝cos 2 θ∈[0，1]，y ＝sin 2 θ∈[0，1]，∴x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段． 2．(1)参数方程? ????x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________． (2)参数方程? ????x ＝1＋cos θ y ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________． 解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝1 2x . (2)参数方程变形为??? ? ?x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ， 两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2 ＝1. 答案：(1)y ＝12 x (2)(x －1)2＋(y －1)2 ＝1 3．曲线C ：?????x ＝12t y ＝t 2 ，(t 为参数)的形状为____________． 解析：因为t ＝2x ，代入y ＝t 2 ，得y ＝4x 2 ，即x 2 ＝1 4 y ，所以曲线C 为抛物线． 答案：抛物线 4.将下列参数方程化为普通方程： (1)???x ＝t ＋1 y ＝1－2t ，(t 为参数)； (2)? ????x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)； (3)?????x ＝1＋3 2t y ＝2－1 2t ，(t 为参数)； (4)?????x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2 ，(t 为参数)． [解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)． (2)由?????x ＝5cos θ y ＝4sin θ－1得?????cos θ＝x 5sin θ＝y ＋14 ， ① ② ①2 ＋②2 得x 2 25＋（y ＋1） 2 16 ＝1. (3)由?????x ＝1＋32t y ＝2－12t 得?????x －1＝3 2t y －2＝－12t ， ① ② ②÷①得 y －2x －1＝－33，∴y －2＝－3 3 (x －1)(x ≠1) ∴3x ＋3y －6－3＝0， 又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由???? ?x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2得? ??? ?x 2＝4t 2 （1＋t 2）2 y 2＝1＋t 4－2t 2（1＋t 2） 2 ， ① ② ①＋②得x 2＋y 2 ＝1.

参数方程与普通方程的互化(教学设计)

2.1.3 参数方程与普通方程互化（教学设计） 教学目标： 知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：参数方程与普通方程的互化 教学难点：参数方程与普通方程的等价性 教学过程： 一、复习引入： 1、圆的参数方程； （1）圆222r y x =+参数方程? ??==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2、参数方程的定义 二、师生互动，新课讲解： 小结： 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数 （3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。 化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据

参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。 3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。 答：B 变式训练2：曲线y=x 2的一种参数方程是（ D ） 例3：指出下列参数方程表示什么曲线： (1)? ????x ＝3cos θ，y ＝3sin θ????θ为参数，0＜θ＜π2； (2)?????x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)? ????x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 解析：(1)由? ????x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9. 2224sin A B C sin x t x t x t x y t y t y t y t ==??=??=??????====??????、、、、

参数方程化成普通方程

参数方程化成普通方程，这类高考数学题，难不难？ 极坐标和参数方程是高中数学当中重要的知识点，也是高考数学考查的一个重要对象。在平时的数学学习过程中，我们要学会对极坐标和参数方程内容在高考中的考查和应用，进行了一个全面总结，让自己对相关考点和题型做到心里有数。 如在解析几何试题中，与圆锥曲线的同一焦点弦的两焦半径的长的有关问题是极为常见的，此类问题的多种解法中，用圆锥曲线的统一定义(极坐标)求焦半径长入手最简单椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:平面上与一定点F(焦点)的距离和一条定直线l的距离比为定值e的点的轨迹。 用极坐标方程去解决数学问题具有独特的优势，在极坐标（P，θ）中，P表示线段长度，灵活方便，并且能从极坐标方程中求出；θ表示角度，可使有关运算转化为三角函数式，计算有公式可循，因此它与直角坐标相比，有独特的功能，特别在处理圆锥曲线的弦、半径等问题中，极坐标具有一定的优越性。 典型例题分析1：

考点分析： 参数方程化成普通方程． 题干分析： （I）直线C1（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程． （II）由题意可得：|OP|max=|OC2|+|t|，代入解得t即可得出． 典型例题分析2：

考点分析：

摆线在刻画行星运动轨道中的作用；参数方程化成普通方程． 题干分析： （1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果． （2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果

直线的参数方程及应用

直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方 程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出 方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x

极坐标与参数方程知识点总结

第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? :严"一?x,(匸〉0 )的作用下,点p(x, y)对应到点 y=U?y,(A；>0) ' Px,y■，称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. M於①］ 2?极坐标系的概念 (1)极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点0 ,叫做极点，自极点0引一条射线Ox, 叫做极轴；再选定一个长度单位，一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系? 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐 标系? (2)极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为;以极轴0灿始边，射线0M为终边的角? x0M叫做点M的极角，记为—有序数对几二叫做点M的极坐标记作M匸门?一般地，不作特殊说明时，我们认为「_ 0门可取任意实数?特别地，当点M在极点时，它的极坐标为0,匚< 三R 。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示?如果规定T -0,0"：：^ ::: 2-，那么除极点外，平面内的点可用 唯一的极坐标几二表示；同时，极坐标订二表示的点也是唯一确定的 3?极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同 的长度单位，如图(2)所示: (2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x, y，极坐标是:::0，于 是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(X, y )极坐标(巴日) 互化公式P cos日= Psi n 日P2 =x2+ y2 tan? - y （x 式0 ） x 在一般情况下，由tan二确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4?常见曲线的极坐标方程