2016年高考全国卷3理科数学试题及答案解析

2016高考全国III 卷理数

（1）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S I T =

(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】

D

考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． （2）若12z i =+，则

41

i

zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 【答案】C 【解析】 试题分析：

44(12)(12)1

1i i

i i i zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．

（3）已知向量13(2BA =uu v ,31

),2

BC =uu u v 则∠ABC= (A)300

(B) 450

(C) 600

(D)1200

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意，得133132222cos 11||||

BA BC ABC BA BC ?∠===?u u u r u u u r u u

u r u u u r ，所以

30

ABC

∠=?，故选A．

考点：向量夹角公式．

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大

(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于200C的月份有5个【答案】D

考点：1、平均数；2、统计图

（5）若

3

tan

4

α=，则2

cos2sin2

αα

+=

(A)64

25

(B)

48

25

(C) 1 (D)

16

25

【答案】A 【解析】

试题分析：由3

tan 4

α=

，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以

2161264

cos 2sin 24252525

αα+=

+?=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． （6）已知43

2a =，25

4b =，13

25c =，则

（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】

试题分析：因为4223

3

5

244a b ==>=，1223

3

3

2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．

（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

考点：程序框图． （8）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A = （A ）

310 （B ）10 （C ）10- （D ）310

-

【答案】C 【解析】

试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以

225AC AD DC AD =+=2AB AD

=由余弦定理，知

22222210

cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD

+-===-

???，故选C ． 考点：余弦定理．

(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体

的表面积为

（A ）185+（B ）545+（C ）90 （D ）81 【答案】B

考点：空间几何体的三视图及表面积．

(10) 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，

8BC =，13AA =，则V 的最大值是

（A ）4π （B ）92

π

（C ）6π （D ）

323

π

【答案】B 【解析】

试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值

32，此时球的体积为334439

()3322

R πππ==，故选B ． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．

（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，B 分别为C

的左，右顶点.P

为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线

BM 经过OE 的中

点，则C 的离心率为

（A ）

1

3

（B ）12

（C ）

23

（D ）

34

【答案】A

考点：椭圆方程与几何性质．

（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意

2k m ≤，12,,,k a a a L

中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有

（A ）18个 （B ）16个

（C ）14个

（D ）12个

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：

0 0

1 1 1 1

1

1

1

1

1 1

0 1

1 1 1

1

1 0 1

1

1 0 1

1

1 1

1

1

0 1

1 1

（13）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

则z x y =+的最大值为_____________.

【答案】

32

考点：简单的线性规划问题．

（14）函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移

_____________个 单位长度得到． 【答案】

3

2π 【解析】

试题分析：因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3

y x x x π=-=-＝

2sin[()]33

x π2π

+-，所以函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的

图像至少向右平移

3

2π

个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

（15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)

-处的切线方程 是_______________。 【答案】21y x =--

考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．

（16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆22

12x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做

l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若3AB =||CD =__________________.

【答案】4 【解析】

试题分析：因为||23AB =，且圆的半径为3，所以圆心(0,0)到直线

330mx y m ++=22||(

)32AB R -=，2|33|

31

m m -=+，

解得33m =-，代入直线l 的方程，得3

33

y x =

+l 的倾斜角为30?，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||

||4cos30AB CD =

=?

．

考点：直线与圆的位置关系．

（17）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531

32

S =

，求λ． 【答案】（Ⅰ）1

)1

(11---=n n a λλλ；

（Ⅱ）1λ=-． 【解析】

考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ． （18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑7

2

1

()

0.55i

i y y =-=∑，7≈2.646.

参考公式：相关系数1

2

2

1

1

()()

()(y

y)n

i

i

i n n

i i

i i t t y y r t t ===--=

--∑∑∑ 回归方程y a bt =+)

)) 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()

n

i i i n

i i t t y y b t t ==--=-∑∑)，

=.a y bt -))) 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．