新北师大版九年级上册一元二次方程全章教案

第二章 一元二次方程

2.1认识一元二次方程-（1）

晋公庙中学数学组

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。 学习重点：一元二次方程的概念

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程： 一、导入新课：

什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？？ 二、自学指导：

1、自主学习：

自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：

1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2

的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。

你能将方程化成ax 2

+bx+c=0的形式吗？ 阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？

2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？

2、合作交流：

1.一元二次方程应用举例：

1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2

，那么花边有多宽列 方程并化成一般

形式。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式。

3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为

8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米 列出方程并化简。

如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。 2.知识梳理：

1）一元二次方程的概念：

强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.

一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项． 2）几种不同的表示形式：

①ax 2

+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠

0,b=0,c=0)

8

三、当堂训练

1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

（1）x 2

-y=1 (2) 1/ x 2

-3=2 (3)2x+ x 2

=3 (4)3x-1=0

(5) (5x+2)(3x-7)=15 x 2（k 为常数）(6)a x 2

+bx+c=0 (7)()0212

2=-++k x k

2、.当a 、b 、c 满足什么条件时，方程(a-1)x 2

-bx+c ＝0是关于x 的一元二次方程这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么

当a 、b 、c 满足什么条件时，方程(a-1)x 2

-bx+c ＝0是关于x 的一元一次方程 3、下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ） ①

()x x 2

432+

=-， ②02

=+b ax

，

③

03)21(22=-+--a x a x ④0222=-+m x x m ， ⑤x x =-522， ⑥

()02122=+++ax x a A ．6个 B ． 5个 C ．4个 D ．3个 4.x x

5322

=-化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）.

5.关于x 的方程(k 2

－1)x 2

＋ 2 (k －1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k ______时，是一元二次方程．,当k_______时，是一元一次方程．

6.当m=_________时，方程032)1(1

=++-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程。

四、课堂小结：

一元二次方程的一般形式： ax 2

+bx+c=0（a,b,c 为常数，a ≠0）

其中ax 2 ， bx ， c 分别为二次项，一次项及常数项

五、作业：

基础题：课本32页随堂练习1、2，知识技能2 提高题：课本32页知识技能1 板书设计：

学习目标：

1、探索一元二次方程的解或近似解； 2．提高估算意识和能力；

3. 通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。 学习重点：探索一元二次方程的解或近似解 学习难点：估算意识和能力的培养． 一、导入新课：

1．什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？ 2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）2 x 2

―x ＋1＝0

(2)―x 2

＋1＝0

(3 x 2

―x ＝0

(4)― 3 x 2

＝0 (5）（8-2x ）(5-2x)=18 二、自学指导：

1、P31花边问题中方程的一般形式：________________________，你能求出x 吗？ （1）x 可能小于0吗？说说你的理由；

（2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表

（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流

2、合作探究

通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。 三、例题解析

例题1：P31梯子问题

梯子底端滑动的距离x （m ）满足 (x ＋6)2

＋72

＝102

一般形式：______________________ （1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是2m 吗？可能是3m 吗？ （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x 的整数部分是几？

（4）填表计算：

进一步计算

十分位是几？照此思路可以估算出x 的百分位和千分位。 四、当堂训练：

1、见课本P34页随堂练习

2．一元二次方程2

0ax bx c ++=有两个解为1和-1，则有a b c ++= ____________，且有

a b c -+=________.

3．若关于x 的方程2

21x mx m -=-有一个根为-1，则m=_____________. 4．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：

（1）122=x （2）

016812

=-x （3）()1212

=-x 8

（4）

()162812

=-x （5）01532=+x 5、用直接开平方法解下列一元二次方程：

（1）012192=-x （2）()422

=-x （3）

0132=+x 五、课堂小结：

本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高 六、作业

基础题：35页知识技能1

提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3 板书设计：

2．理解一元二次方程的解法——配方法．

3．把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2

＝n(n ≥0)的形式，体会转化的数学思想。 学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2

＝n(n ≥0)的形式 学习过程： 一、导入新课：

1．用直接开平方法解下列方程： （1）x 2

＝9

（2）(x ＋2)2

＝16

2．什么是完全平方公式？ 利用公式计算：（1）(x ＋6)2

（2）(x －12

)2

注意：它们的常数项等于______________________________。 二、自学指导：

1、自主学习

预习课本36-37页,解方程：x 2

＋12x －15＝0（配方法） 解：移项，得：________________

配方，得：__________________.（两边同时加上__________的平方）

即：_____________________ 开平方，得：_____________________

即：______________________ 所以：_________________________

8142

=-x x 配方法：通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

2、合作交流：

配方：填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x 2

＋12x ＋_____＝(x ＋6)2

（2）x 2

―4x ＋______＝(x ―____)2

（3）x 2

＋8x ＋______＝(x ＋_____)2

从上可知：常数项配上______________________________.

三、例题解析

例1. 解方程： x 2

十8x 一 9＝0.

解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2

十8x=9 两边都加42

（一次项系数8的一半的平方），得

x 2

十8x+42=9+42

即 （X+4）2

=25 两边开平方，得 X+4=±5

即 X+4=5 ， 或 X+4=-5 所以 X 1=1, X 2=-9 四、当堂训练

1.一元二次方程x 2

－2x －m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）

A.(x －1)2

=m 2

+1 B.(x －1)2

=m －1 C.(x －1)2

=1－m D.(x －1)2

=m+1 2．用配方法解下列方程：

(1) x 2

一l0x 十25＝7； (2)

(3) x 2＋3x ＝1； (4) x 2

＋2x 十2＝8x ＋4； 【拓展延伸】

1．关于x 的方程(x+m)2

=n,下列说法正确的是( ) A.有两个解x=±

B.两个解x=± －m

C.当n ≥0时，有两个解x=±

D.当n ≤0时，方程无实根 五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？ 六、作业：

1. 习题

2.3第1.2题.

2. 习题2.3第1.2题. 板书设计：

m n -n

n

2.2用配方法求解一元二次方程（2）

晋公庙中学数学组

学习目标：

1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

学习难点：理解配方法的解题思路

学习过程：

一、导入新课：

1．用配方法解方程

（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2-2x＝1

二、自学指导：

1、自主学习

例2：解方程：3x2＋8x―3＝0

解：两边都除以____，得：

移项，得：

配方，得：（方程两边都加上________________的平方）

开平方，得：

所以:

2、合作交流：

归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：

1. 把二次项系数化为1

2. 移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；

3. 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；

3.用直接开平方法求出方程的根.

三、例题解析

例1. 解方程： x2十8x一 9＝0.

解：可以把常数项移到方程的右边，得x2十8x=9

两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得

x2十8x+42=9+42

即（X+4）2=25

两边开平方，得 X+4=±5

即 X+4=5 ，或 X+4=-5

所以 X1=1, X2=-9

四、当堂训练

1. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（）．

A ．08022

=--x x

，化为 B ．0352

=--x x ，化为 C ．0982

=++t t ，化为

D ．02432

=-+t t ，化为 2．用配方法解下列方程：

（1）3x 2

-9x+2=0 (2)x x 7622

=+ （3）4x 2-8x-3=0

【拓展延伸】

一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系：h ＝15t ―5t 2

。小球何时能达到10m 高？ 五、课堂小结：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？ 六、作业：

基础题： 1. 习题2.4第1.2题.

提高题： 2. 习题2.4第3题. 板书设计：

3. 认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型. 学习重点：

学会用公式法解一元二次方程． 学习难点：

用配方法推到一元二次方程求根公式的过程. 学习过程： 一、导入新课：

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、把下列方程化成（x+m ）2

=n 的形式： （1）x 2

-8x ＋3＝0 （2）

2

1x 2

-3x-5＝0 3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a 、b 、c 的值分别是多少？

437252

=

??? ?

?-x ()2542=+t 910322

=

??

? ??+t ()81

12=-x

二、自学指导：

1、自主学习

认真阅读P41～42页例题之前内容：

（1）、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝

－b±b2－4ac

2a

注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。

（2）、公式法：

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、合作交流：

（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？

归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

①当b2－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；

②当b2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；

③当b2－4ac______0时，方程无实数根。

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。

三、例题解析

例1. 解方程：

（1）x2-7x―8＝0 （2）4x2+1=4x

解：(2)将原方程化为一般形式，得：

4x2-4x+1=0

这里a=4，b=-4,c=1.

∵ b2－4ac=(-4)2-4×4×1=0

∴ x=

4

20

)4 (?±

-

-

=

2

1

即X1 = X2 =

2

1

四、当堂训练

1.不解方程,判断下列方程的根的情况：

(1) 2x2+5=7x （2） 3x2+2x+1=0

（3）4x(x+1)+3 =0 （4）4(y2+0.09)=2.4y

2．用公式法解下列方程：

（1）2x2-9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0

（3）16x2+8x=3 (4)x(x-3)+5=0

五、课堂小结：

用公式法解一元二次方程的步骤：

1. 化成一般形式；

2. 确定a,b,c的数值；

3. 求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；

4. 若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。

六、作业：

基础题： 1. 习题2.5第1、2题.

提高题： 2. 习题2.5第3、4题. 板书设计：

教学反思： 2.3用公式法求解一元二次方程（2）

晋公庙中学数学组

学习目标： 1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想. 2．进一步熟练求解一元二次方程.

3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题 学习重点：

会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想. 学习难点：

会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题. 学习过程： 一、导入新课：

1、用配方法解方程：

（1）x 2

-8x ＋3＝0 （2）2

1x 2

-3x-5＝0 2、用公式法解方程：

（1）2x 2

-9x+8=0 (2) 16x 2

+8x=3 二、合作探究：

1.在一块长为16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？

小明：我的设计方案如右图所示，其中 花园四周小路的宽度相等。

（1）设花园四周小路的宽度均为xm ，可列怎样 的一元二次方程？

（2）求出一元二次方程的解？ （3）这两个解都合要求吗？为什么？

2．小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上 的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x 吗？

（1）设花园四角的扇形半径均为xm ，可列 怎样的一元二次方程？

（2）估算一元二次方程的解是什么？（∏取3） （3）符合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

2.3用公式法求解一元二次方程

一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝

－b ±b2－4ac

2a

对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)， ① 当b 2

－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；

② 当b 2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根； ③ 当b 2－4ac______0时，方程无实数根。 12

m

16m

x

三、课堂练习

1、课本44页随堂练习1 ，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x 吗？

2、课本p45第2题。

四、课堂小结：

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。

2、一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。

五、作业：

基础题： 1. 习题2.6第1、3题.

提高题： 2. 习题2.6第4题.

板书设计：

教学反思：

学习目标：

学习重点：

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．

学习难点：

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.

学习过程：

一、导入新课：

1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？

2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？

二、自学指导：

1、自主学习

认真阅读P46～47页内容：

⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

⑵、因式分解法的理论根据是：

如果ab=0,则a=0或b=0。

⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？

2、合作交流：

（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？

三、例题解析

例. 用因式分解法解下列方程：

（1）（x+2）(x+4)＝0 （2）4x(2x+1) =3(2x+1)

（3）5(x2-x) = 3(x2+x)

解：(2)：原方程可变形为

4x(2x+1) -3(2x+1) = 0 （2x+1）（4x-3） = 0 2x-1=0，或4x-3=0

∴ X 1 =

21 X 2 =4

3 （3）：原方程可变形为

5x 2

-5x = 3x 2

+3x

5x 2

-3x 2

-5x-3x = 0

2x 2

-8x = 0 2x(x-4)= 0 2x=0, 或x-4=0

∴ X 1 = 0 ， X 2 =4

四、当堂训练

1. 用因式分解法解下列方程：

(1)（4x-1）（5x-7）= 0 （2） 3x(x-1）= 2-2x （3）(2x+3)2

=4(2x+3) （4）2(x-3)2

=x 2

-9 2．用因式分解法解下列方程：

（1）(x-2)2

= (2x+3)2

(2) (x-2)(x+3) = 12 （3） 2x+6= (x+3)2

3. 一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。 五、课堂小结：

1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是： （1）通过移项，将方程右边化为零： （2）将方程左边分解成两个一次因式之积；

（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程， （4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解 六、作业：

1. 习题

2.7第2题（3）、(4) 、(5)题. 2. 习题2.7第3题. 板书设计：

2.5一元二次方程的根与系数的关系

晋公庙中学数学组

学习目标：

1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.

2.理解一元二次方程根与系数的关系.

3.能用两根确定一元二次方程的系数.

4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。

学习重点：

一元二次方程根与系数关系．

学习难点：

一元二次方程根与系数关系的应用.

学习过程：

一、导入新课：

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就来一起学习：2.5 一元二次方程的根与系数的关系

二、自学指导：

1、解下列方程：

（1） x2-2x+1 = 0 (2) x2+23x-1 = 0

(3) x2+7x+6 = 0 (4) 2x2-3x+1 = 0

,x x，计算两个解的和与积，完成下表：

2、根据解方程求出的两个解

12

3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论。

4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。

三、例题解析

例1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1） x2+7x+6 = 0 （2） 2x2-3x-2 = 0

解：(1)：这里a=1,b=7,c=6.

△= b2-4ac = 72-4×1×6 =49-24 = 25 ＞ 0

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根为X1 和 X2 ，那么

X1+ X2 = -7， X1X2 = 6

例2. 已知方程 5x2 + kx - 6 = 0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

四、当堂训练

1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。 (1) x 2

-3x-1 = 0 （2） 3x 2

+2x-5 = 0 2．小明和小华分别求出了方程9x 2

+ 6x - 1 = 0的根.

小明：X 1 = X 2 =-3

1

； 小华：X 1 = -3 + 32， X 2= -3 - 32 他们的答案正确吗？说说你的判断方法。 3. 已知方程x 2

-3

2

x-7 = 0的一个根是3，求它的另一个根。 五、课堂小结：

1、如果方程ax 2

+bx ＋c ＝0 ( a ≠0 )有两个实数根X 1 ， X 2，那么 a

b

x x -=+21

，a c x x =21.

2、应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式 ；② 二次项系数 ，一次项系数，常数项. 即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系。 六、作业：

1. 习题

2.8第1、2题.

2. 习题2.8第4题. 板书设计：

1、能用含未知数的代数式表示几何图形中的有关的数量关系。 2．能找出几何图形中的等量关系，并建立方程。 3.能求出符合要求的解。

学习重点：应用一元二次方程解决几何问题。

学习难点：根据几何问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程． 一、导入新课：

复习计算：

1、列方程解应用题的关键是什么？

2、列方程解应用题的步骤？

3、勾股定理的内容？ 二、自学指导：

1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度.思考：

（1）设小路的宽度为______

（2）列出方程为______________________________ 2、合作探究 梯子下滑问题：

（1）当梯子顶端下滑时，梯子低端滑动的距离大于，那么梯子顶端下滑几米时，梯子低端滑动的距离和它相等呢？

（2）如果梯子的长度是，梯子的顶端与地面的垂直距离为，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的低端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 三、例题解析

例1、数形结合问题

P52如图：某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 四、当堂训练：

1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。

那么相遇时，甲乙各走多远？

2、某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向

的B 处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军五、作业

习题2.9问题解决第2题。 板书设计： 教学反思

2.6应用一元二次方程（2） ----应用一元二次方程解决代数问题-

晋公庙中学数学组

学习目标：

2．6应用一元二次方程（1）

----应用一元二次方程解决几何问题-

1、列方程解应用题的关键

2、列方程解应用题的步骤

3、列方程应注意的一些问题

4、本节课解决两类问题：数形结合问题

A

B

北 东

1、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。；

2．掌握利润问题，增长率问题等常见应用题解法。

3. 能求出符合要求的解。

学习重点：应用一元二次方程解决代数问题。

学习难点：根据代数问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

一、导入新课：

复习计算：

已知某种商品的销售标价为204元，即使促销降价20%仍有20%的利润，则求该商品的成本价。

二、自学指导：

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元

思考：你是如何设未知数并列出方程？

2、合作探究

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

通过小组讨论解答完成以上问题.

三、例题解析

例题1：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这

种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？

四、当堂训练：

1、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件。经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件。为了实现每月8700元的销售利润，并减少库存，尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元？这是应进内衣多少件？

2、某礼品店购进一批足球明星卡，平均每天可售出600张，每张盈利0.5元。为了尽快减少库存，老板决定采取适当的降价措施。调查发现，如果每张明星卡降价0.2元，那么平均每天可多售出300张。老板想平均每天盈利300元，每张明星卡应降价多少元？

五、作业

习题2.10问题解决第1、2题。

板书设计：

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案.doc

21.1 一元二次方程 一、内容和内容解析 1．内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． 2．内容解析：一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．21 世纪教育网版权所有针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的 共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具 体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一 般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的 概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． 2．目标解析 （1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感 受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性 （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概 括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在七年级学习了一元一次方程， 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，八年级 分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元 二次方程第一次实现“次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方 程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问， 才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次 方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的． 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？ 师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名． 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的 必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识． 问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

一元二次方程(全章共21课教案)人教版

第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

人教版九年级上册第21章一元二次方程教学案

第二十一章一元二次方程 知识要点： 1.了解一元二次方程及有关概念一般式ax2+bx+c=0a≠0及其派生的概念应用一元二次方程概念解决一些简单题目。 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法应用熟练掌握以上知识解决问题。 重点 1一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根 3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。 难点 1一元二次方程配方法解题。 2 用公式法解一元二次方程时的讨论。 考点：方程的根与解方程 一元二次方程应用题 知识点

知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时， 0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 解方程 1、直接开平方法：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 2、配方法：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 3、公式法：一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根a ac b b x 242-±-= 当042 >-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程教案新版浙教版

2.1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目. 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、情景导入 学生活动：列方程． 问题(1)古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭. 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足. 借问竿长多少数，谁人算出我佩服. 如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺. 根据题意，得________． 整理、化简，得__________． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． (1)上面方程整理后含有几个未知数？ (2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0

一元二次方程全教案

21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x

[初中数学]一元二次方程全章教案 人教版

《一元二次方程》全章教案 第一课时 1 设计思路 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。培养学生的观察能力和思维能力。 3 教学目标 1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元 二次方程的过程。 2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。 教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。 三、教学过程 1 1) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。 1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？ 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。 如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？ 3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？ 4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 根据题意列出方程 22=x 2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x 24)219(=-x x

(二)观察以上四个方程它们有什么共同特点 1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. (三)一元二次方程的概念: 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程 (四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程： )0(0).7(0 ).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1 ).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x x x x x ==+++-=-=+-= ==+ (五)一元二次方程的一般形式: ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？ 并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)510 2.20x x +-= 2(1)109000x x --= 2(4)30x x += 2(3)2150x -= (5) 3)2(2 =+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结 （一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点）

初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案

初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

九年级数学上册 第22章一元二次方程教案 新人教版

第二十二章一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

人教版九年级上册 第21章 一元二次方程全章复习-教案

课程基本信息 课题一元二次方程全章复习 教科书 书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》 出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月 教学目标 教学目标：对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 教学重点：对本章内容进行梳理总结，综合应用本章知识解决问题. 教学难点：通过对本章内容进行梳理，建立知识体系. 教学过程 时间教 学 环 节 主要师生活动 50?梳 理 知 识 结 构 知识结构 2?40? 1. 一元二次方程的概念

1? 6?20? 知 识 回 顾 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 例1 已知关于x的方程(2)310 m m x mx -++=是一元二次方程，则m 的值为. 解：由题意得 20, 2. m m -≠ ? ?= ? ① ② 由①得m≠2. 由②得m=±2. ∴m=-2. 2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的解法 基本思路：降次 基本方法：直接开平方法 配方法 公式法 2 2 4 (40) 2 b b ac x b ac a -±- =-≥ 因式分解法 3. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac (2) 一元二次方程根的情况 △>0?方程有两个不等的实数根； △=0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程无实数根. (3) 一元二次方程根的判别式的应用 ?不解方程，判断（证明）方程根的情况.

≠1. ①=(-2)2-4(m-

全省5G基站的数量是2019年的5 3 倍；到2022年底，全省5G基站的数量将 达到17.34万座. (1) 计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座? (2) 按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率. 解：(1) 3.6×5 3 =6 (万座). 答: 计划到2020年底，全省5G基站的数量为6万座. (2) 设2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x. 6(1+x)2=17.34. x1=0.7，x2=-2.7(不合题意，舍去). 答：2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%. 1?35?课 堂 小 结 本章知识结构图 10?布 置

新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案

第21章一元二次方程 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

第21章一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程 课题：一元二次方程 主备人：兰会梅 备课成员：秦杰司秀华、郭志萍、孙翠翠、吐尔泥沙古丽加孜 一、教学目标： 知识技能目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 方法与过程目标： 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义； 情感目标：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 二、教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 三、教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．. 四、教具准备：多媒体课件 五、授课类型;新授课 六、课时安排：1 课时

课题：配方法 主备人：兰会梅 备课成员：司秀华、郭志萍、孙翠翠、秦杰吐尔泥沙古丽加孜 一、教学目标： 知识技能目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 过程性目标 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 情感目标：结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化．二、教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 三、教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 四、教具准备：多媒体课件 五、授课类型;新授课 六、课时安排：1 课时 七、备课时间：2015.8.26

一元二次方程 全章节教案

一元二次方程全章节教案 单元要点分析 教材内容 1.本单元教学的主要内容. 一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题. 2.本单元在教材中的地位与作用. 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法. 学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程.应该说，一元二次方程是本书的重点内容. 教学目标 1.知识与技能 了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决 问题. 2.过程与方法 (1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型.?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念. 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让

学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等. (3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩

人教版一元二次方程教学设计

21.1 一元二次方程 【教学目标】 知识与技能 1.了解整式方程的意义，理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟练指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数以及常数项等内容； 3.了解一元二次方程根的意义和用法。 过程与方法 1.通过对黄金分割以及身边的实际应用例子的展示，一方面让学生了解对应用问题的处理方法，另一方面，通过这类方程和前面所学的方程的比较，让学生学会学习新知的方法——类比法； 2.通过对类比法的说明，培养学生观察、分析、比较和归纳问题的意识； 3.通过对学生从现实生活中发现数学的过程，体会数学建模的应用。 情感、态度与价值观 1.经历在应用过程中归纳概念的过程，培养学生体会数学在身边、用数学解决身边实际问题的能力，逐步感知数学的应用能力和数学美。 2.通过对一元二次方程定义的讲解，培养学生在生活中处理问题的的严谨性和合理性。【教学重难点】 重点：一元二次方程的概念和一般形式。 难点：正确识别一元二次方程和列一元二次方程。 【教法与学法导航】 ?教学方法 激趣法、诱导法、探究与讨论法、设问法、归纳法 ?学习方法： 动手操作法，自主探究法，互动学习法，发现法，合作探究与讨论归纳法 【教学准备】 ?教师准备： PPT课件（开头的应用问题、一元二次方程的特点、练习题、板书设计等内容），每个学生一份长10cm,宽5cm的矩形纸各一张。 ?学生准备： 刻度尺剪刀 【教学过程】 一、问题探索—导入新知 （一）利用多媒体展示问题1和问题2： （师：请同学们思考大屏幕上这两个问题） 问题1.如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个统一的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

《一元二次方程》教学设计

《一元二次方程》教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． 2．内容解析 一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． 2．目标解析 （1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现“次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的． 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？ 师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．

201x版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程2教案 新人教版

2019版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一 元二次方程2教案新人教版 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x012345678… 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x01234567891011 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根． 例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：（1）移项得x2=64 根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得x2=2

最新2020九年级数学上册 第二十一章21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法教案

21.2.2 公式法 ※教学目标※ 【知识与技能】 1.理解并掌握求根公式的推导过程． 2.能利用公式法求一元二次方程的解． 【过程与方法】 经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力． 【情感态度】 用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度． 【教学重点】 求根公式的推导和公式法的应用． 【教学难点】 一元二次方程求根公式的推导． ※教学过程※ 一、复习导入 1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x =，()2 27x -=： 提问1 这种解法的（理论）依据是什么？ 提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程） 2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式） （学生活动） 用配方法解方程：2237x x +=． 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） （1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为()2 x n p +=的形式，如果0p 3，就可以直接开平方求出方程的解，如果 0p <，则一元二次方程无解． 二、探索新知 能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程()200ax bx c a ++=?的两根？ 移项，得2ax bx c +=-． 二次项系数化为1，得2b c x x a a +=-． 配方，得2 2 2 22b b c b x x a a a a 骣骣琪琪++=-+琪 琪 桫 桫，即2 22 424b b a c x a a 骣-琪+= 琪桫． 此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究： （1）两边能直接开平方吗？为什么？

数学九年级第21章一元二次方程教案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 第1课时 教学目标 1、知识与技能 （1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. （2）掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 （3）理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 2、过程与方法 （1）通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. （2）通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. （3）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念 3．情感态度与价值观 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教学重难点 1．?重点： 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．判定一个数是否是方程的根； 2．难点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程 一、复习引入 导语：小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.

二、探究新知 探究课本问题2 分析： 1、参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2、全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1、方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2、下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x 概念归纳： 1.一元二次方程定义： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： ○ 1为什么规定a ≠0？ ○ 2方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？ 3、特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 总结：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （2）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．