棋盘中的数学

棋盘中的数学

所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．

作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．

例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．

问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？

解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．

由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．

直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．

顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：

所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．

答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．

说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．

例2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．

问：这堆棋子原有多少枚？

解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是

102＋12＝112枚．

答：这堆棋子原有112枚．

说明：本题也可以列方程求解．

设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：

（m＋1）2－9＝m2＋12．

即2m＋1＝21，

解得 m＝10．

所以棋子总数为102＋12＝112枚．

本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．

例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．

解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．

例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．

分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．

解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．

②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．

③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，

3，4各一个，且恰为16块小方格．

④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．

例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．

请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？

解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．

例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．

解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．

本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：

①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．

②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题．

例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不

重复地完全覆盖？

（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4

（D）4×5 （E）6×3

解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．

这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．

定理1：m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．

证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k×

棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖．

②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数．

例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．

分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．

证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．

例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？

小五数学第16讲：棋盘中的数学(学生版)

第十六讲棋盘中的数学 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖 问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。 （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为，一是能不能覆盖的问题，二是最 多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。 （3）重要结论： ① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是． ② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是． 3、棋盘中的象棋问题： 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题； 2、利用象棋知识寻找路线； 例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3

例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？ 例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：

n|3。 例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置． 问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？ 例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．

五年级奥数讲义：棋盘中的数学(含答案)

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案） 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖 问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。 （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最 多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。 （3）重要结论： ① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n 中至少有一个是偶数． ② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n． 3、棋盘中的象棋问题： 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题； 2、利用象棋知识寻找路线； 例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3 答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）． 分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题． 定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数． 例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？

六年级奥数解析：棋盘中的数学

六年级奥数解析：棋盘中的数学 1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在 它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法． 2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题． 3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏． 4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游 戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果 按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？ 5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时 走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略．

答案： 1．甲先把一行黑子走99步顶住乙方白子，以后乙走多少格，甲在另一行也走多少格，最后甲必取胜． 2．见例3说明中第1款． 3．见例3说明中第2款，其12个制高点如下图所示． 4．参加游戏的人无论按多少次电钮都无法把图a变为图b．事实上只需证明左上角3×3的矩形不能互相转换就行了．为此，我们分别用数字1、0、－1分别代换红、黄、蓝三种颜色．注意每按一次电

钮，同时改变颜色的三个方格的数字和虽可能改变，但被3除余数是不变的，图a左上角9个数字和被3除余数是0，图b左上角9个数字和被3除余数是1，故图a永变不成图b． 5．Q1到E有16格，Q2到E有13格，可记为（16，13）乙应把棋走成（8，13）或（7，4）．往后只要不犯错误，便可取胜．

101小升初棋盘中的数学问题(二)

第五讲 棋盘中的数学问题（二）（2012年7月） 一、知识要点 1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法． 2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”． 3. 棋盘中的计数问题． 4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目； 掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。以及间隔染色，行列染色，区域染色． 二、典型例题 例1. 如图是一个4阶的幻方。一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中 的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。能则给出一种操作，不能则说明理由。 图1 图2 例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替 走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走 思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替 走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走

例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题： 1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略： 2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略： 3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略: 例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题： 1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由； 2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮； 原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由； 3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；

《棋盘中的数学》

棋盘中的数学 ————封闭图形中的植树问题 清水塘小学江滨校区张凌云 教学内容：人教版小学数学第八册第八单元《数学广角》P120例3 内容分析 1．教学主要内容 理解封闭图形的植树问题中棵数（点数）与间隔数（段数）之间的关系 2．教材编写特点： 植树问题是“奥数”中的经典问题，新教材将其编入《数学广角》单元，目的让学生是通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用。培养学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，找出解决问题的有效方法的能力。让学生经历抽取出数学模型的过程。 本单元共有3个例题，例1、例2教学了一条线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，棵数与间隔数的关系），例3是借助围棋盘来探讨封闭曲线中的植树问题。 3．教学内容的数学核心思想： 将“复杂的问题简单化”、“一一对应”是本课的数学核心思想。 教学目标： 知识与技能：让学生用多种方法解决围棋盘中的数学问题，展示方法的多样化；并引导学生解决封闭图形中的植树问题，理解封闭图形的植树问题中点数与段数 之间的关系。 过程与方法：让学生经历提问、猜想、验证、得出结论等数学探索的过程，初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决较复杂问题的有效方法的能力，同时 能将这种规律应用到解决类似的问题之中。 情感、态度、价值观： 让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激 发学生学习数学的兴趣。

（课堂实录） 教学过程： 一、谜语引入 猜谜：黑白两对手，不在格中走。有眼看不见，无眼难活久。（打一棋类名称） 谈话：同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？围棋是一项培养思维能力的活动，围棋的棋盘里还蕴含了有趣的数学问题。今天我们一起来探究围棋棋盘中的数学问题。（板书：棋盘中的数学） 二、复习铺垫 1、出示围棋棋盘图：围棋盘最外边是正方形，棋子下在两条线交叉的地方（动画演示两颗棋子） 问：棋盘最外层的边长为54厘米,每相邻两颗棋子间的距离3厘米,一条边可以摆多少颗棋子? 生:54÷3＋1﹦19（个） 段数 师：为什么要加1？ 生：这就是一个植树问题，是属于两端都要栽的情况。 小结：起点和终点都摆，棋子的个数=段数+1，18段应该有19个棋子。这实际上就是一个什么问题？（植树问题）是属于植树问题中的哪一种情况？（两端都要栽 ） 三、探索规律 1、出示问题一：棋盘最外层每边摆19个棋子，那么围棋盘最外层4条边一共可以摆多少个棋子？ 生：19×4=76（颗） 师：是摆76颗吗？（学生有的答是，有的说不是） 师：那最外层到底是摆多少颗棋子呢？请同学们拿出这张纸（纸上有一个棋盘图），请你们用自己的办法算一算到底可以摆多少个棋子？看看谁找到的方法多。 （1）生独立思考，将解题方法写在图纸上。 （2）汇报交流：学生上台操作课件，并说明算法及理由，师板书其算式。 师：每边有19个棋子，四边就有19×4＝76（个）。大家同意他的想法吗？ 生1：我不同意，四个角上的棋子重复算了，因此还要减去重复的这4个棋子，应该是19×4－4＝72（个）再将4个角上重复的棋子 变成红色并闪烁）；

华罗庚学校数学教材(六年级上)第13讲 棋盘中的数学(四)

本系列共14讲 第十三讲棋盘中的数学（四） ——棋盘格的计数问题 . 文档贡献者：与你的缘 与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法． 例1如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？ 解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K 再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走

到帅的位置有70种不走法． 说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法． 例2围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘的）？14 解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．

棋盘中的数学-六年级奥数

第十讲棋盘中的数学（一） ——什么是棋盘中的数学 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出 的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就 叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统 称棋盘中的数学． 作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题． 例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形， “界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9，10， 11， 12， 13， 14中的两个位置． 问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？ 解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1 平方单位． 由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积 的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所 在边的外接长方形面积的大小就可见端倪． 直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了． 顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：

所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大． 答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面 积最大，如下图所示． 说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问 题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多 这类的问题． 例 2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改 摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满． 问：这堆棋子原有多少枚？ 解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰 是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原 正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子 总数是 102＋12＝112枚． 答：这堆棋子原有112枚． 说明：本题也可以列方程求解． 设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：

华罗庚学校数学教材(六年级上)第10讲 棋盘中的数学(一)

本系列共14讲 第十讲棋盘中的数学（一） ——什么是棋盘中的数学 . 文档贡献者：与你的缘 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学． 作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题． 例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．

问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？ 解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位． 由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪． 直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了． 顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：×8×7=28；12 顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：×9×6=27。12 所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大． 答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．

六年级奥数解析棋盘中的数学

六年级奥数解析：棋盘中的数学 1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法． 2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题． 3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏． 4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？ 5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E 方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略． 答案： 1．甲先把一行黑子走99步顶住乙方白子，以后乙走多少格，甲在另一行也走多少格，最后甲必取胜． 2．见例3说明中第1款．

3．见例3说明中第2款，其12个制高点如下图所示． 4．参加游戏的人无论按多少次电钮都无法把图a变为图b．事实上只需证明左上角3×3的矩形不能互相转换就行了．为此，我们分别用数字1、0、－1分别代换红、黄、蓝三种颜色．注意每按一次电钮，同时改变颜色的三个方格的数字和虽可能改变，但被3除余数是不变的，图a 左上角9个数字和被3除余数是0，图b左上角9个数字和被3除余数是1，故图a永变不成图b． 5．Q1到E有16格，Q2到E有13格，可记为（16，13）乙应把棋走成（8，13）或（7，4）．往后只要不犯错误，便可取胜．

棋 类 游 戏 中 的 数 学 问 题

棋类游戏中的数学问题 棋类游戏中也有着有趣的数学问题.这在近年的中考题中已有出现. 例1中国象棋棋盘中蕴含着直角坐标系, 图1是中国象棋棋盘的一半, 棋子“马”走的规则是沿日”形的对角线走,例如:图中“马”所在的位置可以直接走到点A , B 等处.若“马” 的位置在C点, 为了达到D点,请按“马”走的规则,在图1的棋盘上用虚线画出一种你为合理的行走路线 例 2 图 2 是跳棋盘, 其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有棋子.我们约定跳棋游戏的规则是:把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步.已知点A为己方一枚棋子,欲将棋子 A 跳进对方区域( 阴影部分的格点) , 则跳行的最少步数为( ) A.2步 B.3步 C.4步 D.5步 例1中蕴涵了算法的思想, 并体现了算法的多样化;例2则在一个有趣的情境中考察了对称的概念.我们也可以尝试编制类似的题目,这类题目在今后的中考中仍有可能出现.下面是笔者所设计的有关围棋

的几个问题. 题1如图3, 1个黑子上下左右被4个白子包围, 2 个黑子周围有6个白子, 3个黑子周围有8个白子.由此我们猜想, n颗黑子周围就有2(n+1) 个白子这个猜想对吗?请说明理由. 说明画出图4 , 我们就可以否定这个猜想. 题2由图3和图4可知: 4个白子最多围住1个黑子, 6个白子最多围住2个黑子, 7个白子最多只围住个黑3子, 8个白子可围住3个黑子也可围住4个黑子.那么,15个白子最多可围住多少个黑子? 说明由题1的说明中可知, 4个黑子周围有8 , 9 , 1 0个白子3种情况.我们还可以用图5来表示5个黑子周围白子的情况,它有8, 9 , 10 ,

棋盘中的数学(三)

第十二讲棋盘中的数学（三） ——棋盘对弈的数学问题 我们看这样一个比输赢的问题． 例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略． 分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键． 证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜． 例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？

分析在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）．底线兵（卒）只能横向移动．谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势．因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？ 解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中，“甲1，乙1”分别表示，“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2，相炮3，卒1”分别表示“中路炮进2步”，“相位炮进3步”和“卒进1步”．其余类同；“结果”栏表明乙1，甲1，乙1之后的态势，其中的“距”以步为单位）： 其中，情形⑦～⑩显然为乙胜．情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜．情形③，④与⑤，⑥是类似的．以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：

围棋中的数学问题(1)

围棋中的数学问题 课题：围棋中的数学问题 教学内容：人教版教科书四年级下册数学广角第120页例3及部分练习。 教学目标： 1．借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题； 2．初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的水平； 3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。 教学重点：从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题。 教学难点：用数学的方法解决实际生活中的简单问题。 教具准备：3×3格、4×4格、5×5格方格纸、围棋子若干粒、4×4格条形吹塑纸贴在地下。课前准备：课桌围成“回”字形。 教学过程： 一、情境导入，明确目标 猜谜：十九乘十九， 黑白两对手， 有眼看不见， 无眼难活久。（打一棋类名称） [设计意图：用谜语引入，从学生的已有经验出发，激发学生的学习兴趣。培养学生良好的兴趣爱好。] 二、自主学习，合作探索新知 1．教学每边摆放3粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放3个棋子。最外层能够摆放多少个棋子？ （2）抢答：读题后，让学生口算出答案。（学生可能会出现多种答案。） （3）动手验证：请学生分小组按要求摆放棋子，验证刚才答案。 （4）汇报交流（着重请学生说出方法。） 可能会出现以下方法： 3×2＋2＝8 2×4＝8 3×3－1＝8 3×4－4＝8 直接点数。 教师表扬学生的创新摆法，并奖励“智慧星”。（教师随学生回答，用课件出示摆放方法。）2．教学每边摆放4粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放4个棋子。最外层能够摆放多少棋子？

（2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。 （3）游戏：让一学生当“小老师”，其余学生当“围棋子”，请小老师邀请“围棋子”按上题要求站在老师设计的大棋盘上。 [设计意图：这个游戏的方法，激发了学生的兴趣，不但使学生学到了摆放方法，让每个学生参与活动，把所学知识运动到游戏中。] （4）汇报交流（着重请学生说出方法） 教师随学生回答，用课件出示摆放方法。 （5）你们最喜欢哪种方法？为什么？ 3．教学每边摆放5粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放5个棋子。最外层能够摆放多少棋子？ （2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。 （3）汇报交流。（教师随学生回答，用课件出示摆放方法。） （4）你们最喜欢哪种方法？和同桌说一说。 三、点拨梳理，总结升华 （1）师：你觉得再用棋子摆，方便吗？你能根据前面我们摆放的方法，填写下列表格，总结 每边放的个数最外层总数 3 4 5 6 … 18 你发现了什么规律： （2）教学例3：出示围棋格子图。问：围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，最外层一共能够摆放多少个棋子？ （2）总结规律：：教师随着学生的回答板书： 间隔数×边数＝最外层的总数 （3）学生根据规律，独立完成例3。

棋盘上的数学

棋盘上的数学 同学们，听说过国际象棋吗？国际象棋起源于印度，它的棋盘是正方形的，由8行8列颜色一深一浅、交错排列的64个小方格组成（如右图）。国际象棋和它的发明人——印度人西萨·班·达依尔还有一段有趣的故事呢！ 读一读 棋盘上的麦粒 西萨·班·达依尔是古印度舍罕王的宰相。一次，舍罕王觉得自己王宫里的所有游戏都玩腻了，于是，他下令说，如果谁能发明一种使他开心的游戏，谁就将得到很多的赏赐。达依尔知道了这个消息，便把自己发明的国际象棋奉献给了舍罕王。舍罕王觉得这种游戏很有趣，非常高兴，就打算重赏达依尔。 舍罕王问达依尔：“你的发明给我带来了很多欢乐，你要什么赏赐，我就给你什么赏赐！”达依尔不慌不忙地说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二格里赏2粒，照这样下去，每一格里的麦子都比前一格加一倍。直到把棋盘的64个格子都摆满，您把这些麦子赏给我就够了。” 舍罕王对达依尔的要求既奇怪，又高兴：“达依尔，你的要求也太少了，我会让你满足的！”于是舍罕王命令侍臣，把这些麦子如数付给达依尔。 数麦粒的工作开始了，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，可还没放到20格，一袋的麦子已经空了。接着一袋又一袋的麦子被扛上来，一袋又一袋的麦子被数尽，依旧无法达到达依尔的要求。而舍罕王也惊得目瞪口呆，因为他发现：达依尔的要求竟是无法兑现的！ ？ ？ 做一做 让我们一起来动手做一做吧！ 这是为什么呢？ 图画不好，本意想画 成两次对折状。

我们研究所要借助的材料是一张普通的白 纸。如图，对折1次，纸有几层？对折2次， 纸有几层？ 对折3次呢？ 1. 随着对折次数的不断增加，你发现纸的层数变化有什么规律吗？ 2. 这些层数与2又有什么特殊的联系呢？ ○ 小 贴 士 ○ 4可以写成2×2，两个2相乘可以在2 的右上角写一个2，即22，读作2的平方，或 2的2次方。 通常，几个2连乘，就可以在2的右上角写 几，读的时候就读作2的几次方。比如：8可以 写成——2×2×2，也可以写成——23 ，读作2的 三次方；64可以写成——2×2×2×2×2×2，也 可以写成——26，读作2的六次方…… 对折次数 折 叠 层 数 1 2 3 折一折，把结果填在 右边的表格里。仔细瞧瞧， 你能发现什么“秘密”吗？把白纸对折4次、5次、6次……纸分别有几层呢？

趣味数学079：中国象棋棋盘中的正方形和长方形

下面是中国象棋棋盘： 楚河汉界 一眼就可以看出，其中有许多小正方形。而“楚河汉界”是一个长方形。其实，由这些小正方形和那个“楚河汉界”长方形，还可以组成许许多多大大小小的正方形和长方形。那么，究竟有多少个正方形和长方形呢？这倒是一个平时很少想过而又饶有兴味的问题。 先来看正方形吧！ 因为上、下半张棋盘是相同的。所以，首先来数一下半张棋盘上有多少个正方形。 以下半张棋盘为例： 最小的正方形有4行，每行8个，共4×8＝32个； 相邻2行中，由4个小正方形组成的正方形有3排，每排7个，共3×7＝21个； 相邻3行中，由9个小正方形组成的正方形有2排，每排6个，共2×6＝12个； 全部4行中，由16个小正方形组成的正方形只有1排，共5个； 一共有32＋21＋12＋5＝70个这类正方形。所以，整张棋盘上共有70

×2＝140个这类正方形。 现在，把目光转移到整张棋盘： 整张棋盘宽8个小正方形，长相当于9个小正方形，其中必然包含2个正方形。一个从棋盘底边到顶边下面的那条直线，另一个从棋盘顶边到底边上面的那条直线。 所以，整个棋盘上一共有140＋2＝142个正方形。没有想到会这么多吧？ 再来看长方形，可就没有正方形那么简单了。为了便于思考，先把正方形也归入长方形，看作是长方形中长和宽相等的特殊情况。 以下半张棋盘为例： 每条横线都分成了8小段，每1小段、每相邻2小段、3小段、4小段、5小段，6小段、7小段，以及整条横线，都可以作为长方形的长。 每条竖线都分成了4小段，每1小段、每相邻2小段、3小段，以及整条横线，都可以作为长方形的宽。 所以，半张棋盘上共有（8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×（4＋3＋2＋1）＝36×10＝360个长方形。减去其中在前面已经数过的70个正方形，实有360－70＝290个长方形，整张棋盘上共有2×290＝580个这样的长方形。简直不敢相信，竟然会有这么多！ 现在，把目光转移到整张棋盘。 下半张棋盘中，像棋盘底边那样的直线有5条。上半张棋盘中，像棋盘顶边那样的直线也有5条。分别从上、下半张棋盘中各取一条这样的直线作对边，都可以形成一个长方形，一共可以形成5×5＝25个长方形。其中2个正方形前面已经见到过，所以，实有25－2＝23个这样的长方形。 综上所述，总共有580＋23＝603个长方形。越发让人感到匪夷所思！ 想不到中国象棋棋盘这样一个司空见惯的简单图形中，竟然隐藏了这么多正方形和长方形，并且数的过程又如此颇费思索、引人入胜。这又一次显示了数学的无处不在和它的无穷魅力。

人教版数学五年级下册《棋盘上的奥秘》教学设计

《棋盘上的奥秘》教学设计 杭州采荷第一小学教育集团朱姗姗 【教学目标】 1、在围绕下棋的一系列活动中学会用尝试验证和倒推的方法探索必胜策略。 2、在与他人博弈下棋的过程当中，培养逻辑推理能力；尝试解释自己的思考过程，培养语言表达能力； 3、培养数学学习兴趣 【教学内容】 根据游戏规则，在“8×8”、“5×5”、“8×8－5×5”三个棋盘上找出必胜策略。 【教学课型】 数学拓展性课例 【教学准备】 在上课的前一天晚上，学生回家自行观看《棋盘上的奥秘》课前微课 【教学流程】： 一、回顾微课内容，引出课程中心 微课截图： 师：昨天看了微课，谁能告诉我，为什么红红三局都能赢？ 图1-1 【预设】：因为红红抢到了3号点，为了抢到3号点，必须抢到2号点，为了抢到2号点，必须抢到1号点。（图1-1） 师：刚刚我们是在干嘛吗？ 【预设】：倒推（板书）

师：像这样的不管对手如何下，我都能保证必胜的点，我们叫它必胜点。所以必胜的策略是？ 【预设】：①、后走；②、走必胜点 【设计意图】这部分内容是整堂课的准备环节。有以下几个意图：①在微课中演示12×12的棋盘及根据相应的游戏规则的操作，便于学生熟悉棋盘，理解8×8棋盘的游戏规则；②引出课程中心——能够在一维线上进行逆向推理，即对人教版四上数学广角——“数学策略”内容的衔接和复习；③定义了必胜点并规范必胜策略的说法，使后续学生作答更具指向性。 二、利用8×8的棋盘，在对弈中感悟尝试和倒推 1.规则讲解：如图，在8×8的棋盘上的右下角放一颗棋子，以它为 起点，两人轮流在这个棋盘上下棋，规定只能下在前一颗棋子的上面、 左面或者左上方距离一格处，谁能用自己的棋子占领左上角谁就获胜。 （图2-1） 图2-1 2.师生对弈1局，学生在教师棋子落在距离终点2格处认输。 师：还没下完，你怎么知道一定会输？ 师：看来老师下到这个点，就会赢。想不想要赢老师？ 【设计意图】：首先，在8×8的棋盘上，游戏规则已稍有改变，但因之前在微课中，学生对12×12的棋盘及游戏规则已理解，变化了的棋盘学生比较容易理解。其次，理解规则时，笔者让学生在白板上边下边说，后又进行师生对弈，如此铺垫，是为了保证全班学生都能理解游戏规则，同时，也让学生感知第一个必胜点，为下面找必胜点做铺垫。 3.学生对弈 同桌两人棋盘自行对弈，对弈要求：在练习纸的对弈区，你可以和你的同桌对弈，你下到哪个点的时候你觉得你肯定能赢，把这样的点记录在必胜点记录区。 【设计意图】在这里，我们必须给予学生充分的对弈体验，在对弈中，让学生萌生博弈观念，倒推思路。 4.有序反馈

101小升初棋盘中的数学问题(一)

2011-2012学暑期五年级讲义(2012年7月) 第四讲棋盘中的数学问题（一） 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学． 一、知识要点 1．棋盘中的图形与面积； 2．棋盘中的覆盖问题： （1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。 （2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。 （3）重要结论： ①m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m、n中至少 有一个是偶数． ②2×n的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n． 二、典型例题 （一）棋盘中的覆盖问题： 1、能不能覆盖的问题， 例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ （A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3

例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？ 例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中： 可以用若干块和拼成的图形是第几号图形？ 例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？ 例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖？

五年级上册数学教案-围棋中的数学问题-人教新课标

围棋中的数学问题 教学内容：人教版教科书四年级下册数学广角第120页例3及部分练习。 教学目标： 一．知识与技能 借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题； 二．过程与方法 初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力； 三．情感态度与价值观 让学生感受数学在日常生活中的广泛应用。 教学重点：从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题。 教学难点：用数学的方法解决实际生活中的简单问题。 情感与态度目标：通过小组合作交流，培养学生认真倾听他人意见，乐于与人合作，从不同角度欣赏他人的良好心态。 教具准备：3×3格、4×4格、5×5格方格纸、围棋子若干粒、4×4格条形吹塑纸贴在地下。 课前准备：课桌围成“回”字形。 教学过程： 一、情境导入（课件出示） 猜谜：十九乘十九， 黑白两对手， 有眼看不见， 无眼难活久。（打一棋类名称） [设计意图：用谜语引入，从学生的已有经验出发，激发学生的学习兴趣。培养学生良好的兴趣爱好。] 二、探索新知 1．教学每边摆放3粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放3个棋子。最外层可以摆放多少个棋子？

（2）抢答：读题后，让学生口算出答案。（学生可能会出现多种答案。） （3）动手验证：请学生分小组按要求摆放棋子，验证刚才答案。 （4）汇报交流（着重请学生说出方法。） 可能会出现以下方法： 3×2＋2＝8 2×4＝8 3×3－1＝8 3×4－4＝8 直接点数。 教师表扬学生的创新摆法，并奖励“智慧星”。（教师随学生回答，用课件出示摆放方法。） 2．教学每边摆放4粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放4个棋子。最外层可以摆放多少棋子？ （2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。 （3）游戏：让一学生当“小老师”，其余学生当“围棋子”，请小老师邀请“围棋子”按上题要求站在老师设计的大棋盘上。 [设计意图：这一游戏的方法，激发了学生的兴趣，不仅使学生学到了摆放方法，让每个学生参与活动，把所学知识运动到游戏中。] （4）汇报交流（着重请学生说出方法） 教师随学生回答，用课件出示摆放方法。 （5）你们最喜欢哪种方法？为什么？ 3．教学每边摆放5粒棋子的方法。 （1）课件出示围棋格子图，最外层每边能放5个棋子。最外层可以摆放多少棋子？

棋盘中的数字

许多同学都喜欢下棋，可是，同学们知道棋盘上还有许多有趣的数学问题吗？ 图1是半张中国象棋的棋盘，请同学们思考几个问题： 问题1 一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后一步跳回起点？ 问题2 一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？ 问题3一只马处于C点处，要跳到适当的位置“将军”（敌方老将在D处），不管按什么路线跳，都要跳奇数步，为什么？ 要回答这几个问题，需要应用一种饶有趣味的方法――染色法。 将半张棋盘中的45个格点进行黑白相间染色（如图2）。由于棋盘中共有45个格点，黑点数与白点数不可能相等。而马走“日”，跳一步只能从黑点跳到白点，或从白点跳到黑点。如果马从某点出发跳遍半张棋盘，每一步都不重复，而且回到原出发点，则黑点数与白

点数必然相等。但现在知道黑点、白点数目不相等，因此马可能从某点出发，一步不重复地跳回原出发点。 由于B点是黑点，A点是白点，两点不同色，马只能从黑点跳到白点，或从白点跳到黑点，从B跳到A必须跳奇数步，6步办不到。 第3个问题也很简单，由于C点与D点同色，马从C处跳能够“将军”的地点必与D点异色，也就是与C点异色，由问题2的解答知，不管怎样跳，都要跳奇数步。 用染色法还可以解决棋盘的覆盖问题。 问题4能否用17个形如图3的卡片将图4覆盖？ 图4共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我们将图4黑白相间染色，得到图5。细心观察会发现，图5中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住图4。

问题5 图6的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？ 先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（如图7）。 能否将7种图形都用上呢？7个图形共有（4×7＝）28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明这个事实，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（如图8），图中黑白格各有14个。在7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆

第十三讲 棋盘中的数学(含作业答案)

第十三讲棋盘中的数学（四） ——棋盘格的计数问题 与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法． 例1 如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法？ 解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法． 说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法． 例2 围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正

解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形． 解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方形（1＋3＋5…＋19）个，我们可 解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方，通过观察，不难发现： ①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上． ②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．