相似三角形中的分类讨论

相似三角形中的分类讨论

一、旧题新做，感知分类

引例：

如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点。请你添加一个条件，使△ABC和△ADE 相似，你添加的条件可以是。

二、动手操作，体验分类

如图，在Rt△ABC的斜边AB上有一点P，过点P作直线PQ

截△ABC，点Q在△ABC的边上，使截得的三角形与原三角形相

似。满足条件的直线有几条？并画出来。

三、例题解析，应用分类

例1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P，使△ABP与△DCP相似？若存在，有几个？并求出此时BP的长。若不存在，请说明理由。

例2. 在直角坐标系中有两点，A（4,0），B（0,2）。若点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、O、C为顶点的三角形与△AOB相似。

例3. 在平面直角坐标系中，已知点A（0,6），B（8,0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动；同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动。设P、Q移动的时间为t秒。

（1）求直线AB的表达式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

例4.如图，矩形ABCD的边长AB=3，BC=6，某一时刻，动点M从点A出发，沿AB方向以1个单位的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发，沿DA方向以2个单位的速度向A点匀速运动。问：

（1）经过多少时间，△AMN是等腰直角三角形？

（2）经过多少时间，△AMN的面积与矩形ABCD的面积比是1:9？

（3）是否存在时间t，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在求出t的值，若不存在，请说明理由。

检测：

1、在平面直角坐标系中，A（3，-3），B（1,0），C（3,0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P

的坐标是。

2.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似?

相似三角形分类整理超全

第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。

(精心整理)相似三角形分类讨论

D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B

2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D

初三数学相似三角形知识点归纳

初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =

相似三角形基本类型

相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型

C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D

A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E

1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.

A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形分类讨论

D C B A D C B A C B A C B A P C A B B A C P P C B A A B C P 《相似三角形中分类讨论思想得运用》 一、温故知新： 1、 已知△A ＢＣ得三边长分别就是4、6、８，△DEF 得一条边为24,如果△Ｄ EF 与△ABC 相似，则相似比为 2、两个相似三角形得面积之比就是９:25，其中一个三角形一边上得高就是6， 那么另一个三角形对应边上得高为 3、已知线段A Ｂ=2，P 就是线段AB 得黄金分割点,则AP 得长为 问题:什么就是分类讨论?为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: １、例1、如图所示，在中,AB ＝6，ＡC=4，P 就是ＡC 得中点,过P 点得直线交 ＡB 于点Q ，若使与相似,则A Ｑ得长为 ２、变式一:如图所示，在中，Ｐ就是A Ｃ上一点，过P 点得直线截交于点Q ，使截得得三角形与原三角形相似,则满足这样得直线有 条、 3、 变式二：如图所示,在中,P 就是A Ｃ上一点,过Ｐ点得直线截，使截得得三角形与原三角形相似,则满足这样得直线最多有 条、 探究：如果就是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？ 等腰三角形呢？ 题组二: １、例2: 己知菱形ABCD 得边长就是３,点E 在直线AD 上，D Ｅ=1,联结BE 与对角线ＡC 相交于点M ，则 ＝ 2、变式一： 等腰中，ＡB ＝AC=10,ＢC=１6，点P 在ＢC 边上，若ＰＡ与腰垂直，则B Ｐ= 、 3、 变式二： 在△A ＢC 中∠Ｂ＝２5°，AD 就是ＢC 边上得高,并且AD ２＝ＢD ·ＤＡ＝ 、题组三 1、在矩形A ＢＣD 中,A Ｂ=4，ＡD=5，P 就是射线BC 上得一个动点，作PE ⊥AP ， ＰE 交射线ＤC 于点E,射线AE 交射线BC 于点F,设BP ＝ｘ，C Ｅ＝y 。求y 关于x 得函数解析式,并写出它得定义域；(点P 与点B 、C 都不重合）, ２.已知A Ｂ=2,AD ＝4，∠DＡＢ=90°,AD∥BC（如图).Ｅ就是射线BC 上得动点 E 与点Ｂ不重合)M 就是线段ＤE 得中点.联结ＢD,交线段AM 于点N,如果 以A 、N 、D 为顶点得三角形与△BME 相似，求线段BE 得长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类 A C B P A C B P A C B P A B C D A B C D

相似三角形分类讨论

B C 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新: １. 已知△AB Ｃ的三边长分别是４、６、８，△DEF 的一条边为２4,如果△Ｄ EF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9:25，其中一个三角形一边上的高是６，那么 另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段A Ｂ=2,P 是线段A Ｂ的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习: 题组一： 1.例1.如图所示，在ABC ?中，ＡB ＝6,A Ｃ=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交 ＡB 于点Ｑ,若使APQ ?与ABC ?相似,则AQ 的长为 2,在?,过交AB 3. 变式二：如图所示,在ABC ?中,P 是ＡC 上一点,过Ｐ点的直线截ABC ?，使 截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条． 探究：如果ABC ?是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立 吗?等腰三角形呢? 则∠ＢＣA= ． 题组三 1.在矩形A ＢCD 中,AB ＝4,AD=５,Ｐ是射线B Ｃ上的一个动点,作PE ⊥AP,PE 交 射线DC 于点E ，射线AE 交射线ＢC 于点Ｆ，设ＢP=x,ＣE=y.求y 关于x 的函数 解析式，并写出它的定义域；（点P 与点Ｂ、C 都不重合）， 2).Ｅ是射线B Ｃ上的动点 ,M BD,交线段AM 于点N,如果以 C B C B C B C D C D

-- D C B A D C B A Q P C B A C B A C B A A B C F B C A D P D A B C P Q y x 123 45-1 -2 -3 -412345-1-2-3-4-5B A o Ａ、N 、Ｄ为顶点的三角形与△ＢＭE 相似，求线段ＢE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类 讨论？分类的原则是什么? 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学 问题. 四、检测反馈： 1．已知在Rt ABC ?中,?=∠90C ,A Ｂ=5,A Ｃ=３,点D 是射线BC 上的一点,（不与端点 Ｂ重合)，联结AD ，如果ACD ?与ABC ?相似,则BD= ２．在等腰ABC ?中，AB ＝AC,若一条中线长为6厘米,另一条中线为9厘米,则 等腰ABC ?的底边长为 3. AD ∥ＢＣ,∠D=90°,DC ＝6,A Ｄ＝2,BC= 4.若在边DC 上有点P 使△PA Ｄ和△Ｐ ＢC 相似,求D Ｐ的长. 4．如图,4,3,90==?=∠=∠AC BC ABD ACB ,当ABC ?与ADB ?相似时 ,求AD 的长. 5．拓展题:如图：在⊿A ＢＣ中，∠C=90°,BC ＝６，AC=8． P 、Ｑ分别为A Ｃ、BA 上的动点，且BQ ＝2AP,联结PQ,设A Ｐ=ｘ. ① 在点P 、点Q 移动的过程中,⊿A ＰＱ能否与⊿ABC 相似？若能,请求出ＡＰ的 长；若不能,请说明理由。 ② 当x 为何值时，⊿ＡP Ｑ是等腰三角形? 五、作业: 1. 在直角坐标系中有两点0，2）,如果点C 在x 轴上（C 与Ａ不重合），当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、Ｃ组成的三角形与△AO Ｂ相似。 2. 已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点,且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B,请在射线BF 上找一点Ｍ,使以B 、M 、Ｃ为顶点的三角形与△ABP 相似。 3．已知ＢＤ是矩

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

相似三角形分类整理(超全)上课讲义

相似三角形分类整理 (超全)

第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。

中考相似三角形动点问题分类讨论问题(培优及标准答案)

Q △ AMN ABC △ AEF ABC 2018年中考复习相似动点分类讨论 1?如图，已知一个三角形纸片 ABC , BC 边的长为8, BC 边上的高为6 , B 和 C 都为 锐角，M 为AB 一动点(点M 与点A B 不重合)，过点M 作MN // BC ，交AC 于点N , 在△ AMN 中，设MN 的长为x , MN 上的高为h . (1 )请你用含x 的代数式表示h . (2)将厶AMN 沿MN 折叠，使△ AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点 A 落在平面 的点为A ,, △ AMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 y ,当x 为何值 时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：(1) Q MN // BC △ AMN ABC - - h 3x 6 8 4 (2) Q △ AMN AMN △ A “MN 的边 MN 上的高为 h , 当点 A 落在四边形 BCNM 内或BC 边上时 c 1 S A AMN = — MN ? h 2 1 3 一 x ?一 x 2 4 ②当A 1落在四边形BCNM 外时，如下图(4 x 8), 3 设厶 A 1EF 的边EF 上的高为h 1，则h , 2h 6 -x 6 2 Q EF // MN △ A 1EF AMN S ^ AEF S A ABC Q S A ABC 1 6 8 24 2 S A A 1 EF 24 3x 2 12x 24 2 Q y S A A 1MN S A A 1EF 3 2 3 2 9 2 x -x 2 12x 24 x 12x 24 8 2 8 y 9 2 -x 2 12x 24 8 (4 x 8) 综上所述：当Ox < 4时， y 3x 2 ，取 x 8 4 , y 最大6 当4 x 8 时，y 9 2 -x 12x 24，取 x 16 ,y 最大 8 8 3 1 A

相似三角形的基本类型总结

相似三角形的基本类型总结 类型一 平行线型 相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC . E D C B A 图（1） E D C B A 图（2） 1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则 =AC AE 【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2 1 2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3 2 =OC BO ,10=AD ,则 =AO _________. 图（3） E D C B A 图（4） O D C B A F E D C B A 图（5） 3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .

类型二 相交型 如图（6）所示,由D B ∠=∠或 AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似. 图（6） E D C B A E D C B A 图（7） 图（8） E D C B A 4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG DF AC AD = . （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若 21=AC AD ,求 FG AF 的值. G F E D C B A 图（9）

相似三角形分类整理(超全)(汇编)

第一节 第二节 第九节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比 例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），

相似三角形的分类讨论(教学案)

相似三角形的分类讨论（教学案） 一、教学目标： 1．进一步理解三角形相似的判定方法 2．初步领悟分类讨论的数学思想 3．培养学生的合作意识、探究意识。 二、教学重难点：领悟分类讨论的数学思想 三、教学过程： （一）复习 相似三角形的判定方法有哪些？ 你能画出几种常见的相似三角形吗？ （二）新授 A 由于对应边不确定，需要分类讨论。 例1 已知△ABC的三边长分别是4、6、8，△DEF的一条边为24，要使△DEF与△ABC相似，则另两边的长分别是 B 由于对应角不确定，需要分类讨论。 例2 均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？ 均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？ C 三角形的形状不确定，需要分类讨论。 例3 在△ABC中∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD×DC,则∠BCA= D 由于位置的不确定，需要分类讨论。 例4 在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。 例5 已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。

D A B C P B C 例6 已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB=30cm ，BC=40cm ，点P 、Q 同时从A 点出发，分别以2cm/s ，4cm/ s 的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动，在点Q 回到点A 的整个运动过程中：① PQ 能否与BD 平行？② PQ 能否与BD 垂直？请分别作出判断。如果存在，请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。 E 计数中进行分类讨论。 例7 如图，在有边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，在网格上画出与△ABC 相似的三角形（全等的只需画一个，与△ABC 全等的不再画），使它的3个顶点都落在小正方形的顶点上。这样的三角形能画几个，最短的边长分别是多少？ （三） 课堂小结： 分类讨论、有序思考的回顾。 （四）、课后作业：已知Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图，P （3，4）为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分成两部分，问点C 在什么位置时，分割得到的三角形与△OAB 相似？画出所有符合要求的线段，写出点C 的坐标。

(完整版)相似三角形经典模型总结及例题分类.doc

WORD 格式可编辑 相似三角形经典模型总结 经典模型 平移旋转 180° ∽ 平行型 平行型 翻折 180° 翻折 180° 一般 特殊 翻折 180° 斜交型 斜交型 特殊一边平移 一般 平移 特殊 双垂直 斜交型 双垂直 一般 【精选例题】 “平行型” 【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ， 则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形 MM C B _________ 1 1 1 1 1 1 A E E1 F F 1 M M1 B C

WORD 格式可编辑 【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____ A D E F M N B C 【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG G D C E P F A B H 【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2, BE、 CD相交于点 F ， 求BF 的 值 EC EF A D F E B C 【例 5】已知：在ABC 中， AD 1 AB，延长 BC到F ,使CF 1 BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3 求证：① DE EF ② AE 2CE A D E B

专业知识分享

【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC 求证：CEF 为等腰三角形 A C D E B F 【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：1 1 1 . c a b A C E B F D 【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论. C A E B F D 【例 9】如图，四边形ABCD 中， B D90M 是 AC 上一点， ME AD 于点 EMF BC ，， 于点 F 求证：MF ME 1 AB CD D E M A C F B

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的 比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b= c ： d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 n m b a =

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若 = . = ， = ，则AD∥BE∥CF 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．． 与原三角形三边．．．．．． 对应成比例.

相似三角形中的分类讨论实录加反思

无可奈何“落去”，似曾“相似”归来 ——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍 “一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。 对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。在磨课的过程中，我受益良多。 课堂实录

师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。首先我们拿出练习纸，动手画画看。 （媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC 中，AB=12，AC=15。D 为AB 边上一点，过点D 作一条截线交AC 于点E ，使△ADE 与△ABC 相似，你能作出几条？请画出图形。 师：谁来说说看你是怎么画的？ 生：先做BC 的平行线，交AC 于点E 。还有一个是做的那条线和AD 相等…… 师：做的那条线和AD 相等？ 生：作AD=AE 师：在AC 上取一点E ，使得AD=AE 师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？ 生：因为平行 师：依据的是什么？ 生：相似三角形中（学生说不出来师补充） 师：作DE ∥BC 时，就是说∠ADE 与∠ABC 相等。这也是相似三角形的判定方法之一。那你说说看第二种情况下又是什么原因？ 生：BC DE AC AD （学生明显的将对应边写错） 师：先说说看她的想法对不对？在相似三角形中已知一角，再找夹这个角的两边对应成比例。∠A 是公共角，在△ADE 中夹∠A 的两边分别是AD 与AE ，在△ABC

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：??? ????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． F E D C B A