空间直角坐标系
4.3空间直角坐标系
例1：已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
解： 正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为23
2
。
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，23
2
)。
总结：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。
例2．在棱长为a 的正方体
ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离。
解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系。 设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称
性，显然有x=y 。
要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离。
设P 在平面AC 上的射影是H ，由在?
!BDD 中，
BD
BH
D D PH =1，所以
a
x
a a z -=
，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z, a-z, z) ∴|PQ|=
2
122)()(z z z z a -++-
=
2
)2(2)(2
22
1a a z z z +
-+-
∴当2
1a
z z
=
=时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22。 ∴异面直线11CC BD 与间的距离为
a 2
2
。
限时作业： 1.已知
(4,1,3),(2,5,1),A B C AB C -是的中点，则的的坐标为( )
A.(3,2,2)-
B. (3,2,1)
C. 573(,,)222-
D. 215(,,)722
- 2.点
(3,2,2)A -在x 轴上的摄影和在xoy 平面上的射影点分别为（ ）
A. (1,0,1)(1,2,0)--、
B. (1,0,0)(1,2,0)--、
C. (1,0,1)(1,0,0)--、
D. (1,2,0)(1,2,0)--、 3.已知三点
(1,0,1)(2,4,3)(5,8,5)A -，B ，C ，
则( ) A.三点构成等腰三角形 B. 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形.D. 三点构不成三角形
4.点(,2,1)(1,1,2)(1,1,1)P x Q R 到、的距离相等，则x 的值为( ) A.
12 B. 1 C. 3
2
D. 2 5.(选做)到点1
(1,0,0)(4,0,0)(,,)2
A P x y z 的距离除以到点
B 的距离为的点的坐标满足
( ) A. 2
224x
y z ++= B. 22212x y z ++=
C.2225()42x y z -++=
D. 2225
()122
x y z -++=
6.点P(1,2，3)关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(1,2，-3).
7.已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，则x= 1或9 .
8.（选做）已知A(2,5，-6)，在y 轴上有一点B ，使得|AB|=7，则点B 的坐标为
B(0,2，0)或B(0,8，0). 9.在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=12，AD=8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的
坐标。
答案：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，
0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、
1A (0,0，5)、1B (12,0，5)、1C (12,8，5)、1D (0,8，5)。
10.在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离。
解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0,0，0)，A （a,o,o ），B （o,a,o ），C （o,o,a ）.
过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离。
PA=PB=PC,∴H 为?ABC 的外心，
又 ?ABC 为正三角形，∴H 为?ABC 的重心。
由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3
,3,3(a a a
∴|PH|=
a a a a 3
3)30()30()30(222=-+-+-。
∴点P 到平面ABC 的距离为
a 3
3
。 11.(选做)点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？ 解：设点P 的坐标为(x, y, z)。 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0 |PA|=5，∴
5)4()2()1(222=-+-++z y x ，
即2
)
1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，
∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，
∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影
A '(-1,2，0)。
点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5，
∴在坐标平面xOy 内的圆
A '的半径为3。
∴点P 的轨迹是圆2
)1(+x 2)2(-+y =9，z=0。
x
H