与三角形有关的角(基础) 知识讲解

与三角形有关的角（基础）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1．理解三角形内角和定理的证明方法；

2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；

3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.

【要点梳理】

要点一、三角形的内角

1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.

要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.

要点二、三角形的外角

1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.

要点诠释：

(1)外角的特征：

①顶点在三角形的一个顶点上；

②一条边是三角形的一边；

③另一条边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．

2．性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°.

要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．

【典型例题】

类型一、三角形的内角和

1．证明：三角形的内角和为180°.

【答案与解析】

解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.

证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．

又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），

所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．

证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．

因为DF ∥AC （已作），

所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），

∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．

因为DE ∥AB （已作）．

所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．

所以∠A=∠2（等量代换）．

又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），

所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．

证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，

因为1l ∥3l （已作）．

所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．

同理∠3=∠4．

又1l ∥2l （已作），

所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．

又∠2+∠3=∠ACB ，

所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．

证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.

证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.

【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.

2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．

【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，

即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．

【答案与解析】

解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，

知∠C＝100°．

又∵∠C＝2∠B，

∴∠B＝50°．

∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

举一反三：

【变式】（2015春?安岳县期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？

【答案】100°.

解：∵△ABC中∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

∵△BCE中∠E=150°，

∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，

∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，

∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，

∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，

∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，

∴∠BDC=180°﹣80°=100°．

类型二、三角形的外角

【高清课堂：与三角形有关的角例2、】

3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．

（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．

【答案与解析】

解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，

同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，

所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

（2）如图，延长线段BD交线段于点E,

在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；

在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，

将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．

【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；

（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．

举一反三：

【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.

A、40°

B、65°

C、75°

D、115°

【答案】B.

【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .

【答案】125°.

类型三、三角形的内角外角综合

4.（2015春?江阴市校级月考）已知如图∠xOy=90°，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，当点A ，B 分别在射线Ox ，Oy 上移动时，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而变化，请求出变化范围．

【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．

【答案与解析】

解：∠C 的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ，

∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB ）=45°+∠OAB ，

即∠ABE=45°+∠CAB ，

又∵∠ABE=∠C+∠CAB ，

∴∠C=45°，

故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°．

【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．

【答案】

解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：

∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，

∴ ∠1＝

12∠ABC ，∠2＝12∠BAC ，∠3＝12

∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°． 又∵ ∠4＝∠1+∠2，

∴ ∠4+∠3＝90°．

又∵ PG ⊥BC ，

∴ ∠3+∠5＝90°．

∴ ∠4＝∠5，即∠BPD ＝∠CPG ．

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

角(基础)知识讲解

角（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳审稿：赵炜 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角 的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

有关三角形知识点总结

有关三角形知识点总结

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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据） 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论） 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.（90°角和互余关系） 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。

2 、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

七年级三角形知识点汇总

一、基础知识 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点） 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义 3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

定义：三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 性质： 性质1：三角形的中线是线段； 性质2：三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点（重心） 性质3：直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。 如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 性质4：中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 性质5：三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 性质6：重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 性质7：重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； 题型： 1.三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是( ) A: 中线B: 角平分线C: 高D: 中位线 2.三角形的重心是三角形三条（）的交点。 A: 中线B: 高C: 角平分线D: 垂直平分线 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________ ． 4.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC 的面积是16，求△ABE的面积 5.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF 的面积是2，那么△ABC的面积为（） 6.一定在△ABC部的线段是（） A: 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B: 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C: 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D: 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

三角形的初步认识知识点梳理

三角形的初步认识知识点梳理 考点一、判断三条线段能否组成三角形 考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围 考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式 考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度 考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题 例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米 1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（） A、10≤a＜16 B、10＜a≤16 C、10＜a＜16 D、2＜a＜8 2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）

A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角 4、△ABC的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC的三个内角的度数分别为。 例2、如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由 3、已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=7cm，AC=5cm，则△ACE 和△ABE的周长之差为多少厘米？△ACE和△ABE的面积之比为多少？ （【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。） 如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A、B两点的距离。（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算）

初中三角形知识点总结

图形的初步认识： 三角形 考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、三角形的面积 1×底×高 三角形的面积= 2 考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 （4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

与三角形有关的角知识点归纳

6x Ｂ Ｄ Ａ 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中，若7836A '∠=o ，5724B '∠=o ，则C ∠= ． (2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ． (3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=o ，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10o Ｂ20o Ｃ.30o Ｄ40o (4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100° (5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β

「精品」初中人教版七年级数学角(基础)知识讲解

角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角 397364 角的概念】 要点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB ． （2 ）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 图1 图2

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得 ∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作： ∠1＝∠AOB-∠2．

三角形基础知识归纳总结

三角形基础知识归纳总结 一、知识归纳： 1、三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 . 2、三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 . （2）交点情况： ①三条高所在的直线交于一点： 三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部； 三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点； 三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 . 三角形的高

②三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 . 三角形的中线 ③三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 . 3、三角形的内角和 三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于180° . 三角形的三个内角 用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° . 4、三角形的外角与内角的关系 （1）等量关系：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的外角和为360° . （2）不等量关系： 三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 . 5、多边形 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 . 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .

六边形 多边形对角线条数探索： 归纳总结： （1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是360°；正n 边形的每个内角是：

（2）从n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把n 边形分成( n - 2 ) 三角形，所以n 边形的内角和是( n - 2 )180°； 一个n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线( n ≥3 ) . （3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补； 如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补. 二、习题练习 【三角形定义】 1．如图，图中直角三角形共有（C） A．1个B．2个C．3个D．4个 【三边关系】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm

初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案

一、三角形内角和定理 一、 选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（ ）A ．75o B ．60o C ．45o D ． 30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45， 则∠3的度数为（ ） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠， 由m n ∥， 得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°， 则3∠的度数等于（ ） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）. A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55o，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形 【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α

初二数学经典讲义 与三角形有关的线段(基础)知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】 2．三角形的分类 (1)按角分类： ? ? ? ? ? ? ? ? 直角三角形 三角形　锐角三角形 斜三角形　 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝2 1BC.

特殊三角形基本知识点整理讲解学习

特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。

认识三角形(基础)知识讲解

认识三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并能够证明三角形内角和定理； 3. 掌握并会把三角形按角分类； 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系； 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

三角函数基础知识点(整理)

三角函数基础知识点 1、两角和公式 sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(?±=±μ cos(A ±B) = cosAcosB μsinAsinB 2、二倍角公式（含万能公式） tan2A = A tan 12tanA 2- sin2A=2sinA ?cosA=A tan 12tanA 2 + cos2A = cos 2 A-sin 2 A=2cos 2 A-1=1-2sin 2 A=A tan 1A tan -12 2+ 22cos 1tan 1tan sin 222 A A A A -=+= 2 2cos 1cos 2 A A += 3、特殊角的三角函数值

4、诱导公式 公式一： απαsin )2sin(=+k ；απαcos )2cos(=+k ；απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 公式二： ααπ-sin sin(=+）；ααπ-cos cos(=+）；ααπtan tan(=+）． 公式三： sin()-sin αα-=；cos()cos αα-= ；tan()tan αα-=-． 公式四： ααπsin sin(=-）；ααπ-cos cos(=-）；ααπtan tan(-=-） 公式五： sin(2sin παα-=-）；cos(2cos παα-=）；tan(2tan παα-=-） 公式六： sin(2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式七： sin(2π+α) = cos α；cos(2π +α) =- sin α． 公式八： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式九： sin(32π+α) = -cos α；cos(32 π +α) = sin α． 以上九组公式可以推广归结为：要求角2 k π α?±的三角函数值， 只需要直接求角α的三角函数值的问题．这个转化的过程及结果就是十字口诀“奇变偶不变，符号看象限”。即诱导公式的左边为k ·900＋α（k ∈Z ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角），然后分析k ·900＋α（k ∈Z ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号。

有关三角形知识点

一、有关角的： 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分 线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线： 三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形： 四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.

3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心． 三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理： 10、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

三角形知识点总结(完)

三角形知识点全面总结 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （R t △≌R t △） 2、等腰三角形的判定及性质 性质：①两腰相等 ②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”） ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） 判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 【即：DE+DF=CP ，（D 为BC 上的任意一点）】 3、等边三角形的性质及判定定理 性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度 ③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”） ④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 结论总结：① 高= 23边【即： AB AD 23=】 ② 面积= 243边【即：24 3 AB S ABC =?】 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半 判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。”） ③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形 结论总结：直角三角形斜边上的高= 斜边 直角边的乘积 【即：AB BC AC CD ?=】 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：①定义法②在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 A B C D A B D A B C D O E P D A B A B C D E P F B

角提高知识讲解

角(提高) 【学习目标】 1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算; 5?了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题. 【要点梳理】 【要点梳理】 【高清课堂：角397364角的概念：】 知识点一、角的概念 1 ?角的定义： (1 )定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角 形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部. 如图2所示，射线OA绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角, 起始位置0A 是角的始边，终止位置0B是角的终边. 要点诠释： (1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关. (2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时, 所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角. 2. 角的表示法：角的几何符号用"/”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母. 3. 角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45 °、60°、90°等特殊角； (2)用量角器可以画出任意给定度数的角； (3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 知识点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1 60 1 分，记作“ 1'”，1 '的丄为1秒，记作“ 1 〃”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度 60 制. 1 周角=360 °, 1 平角=180 ° , 1°= 60', 1 '= 60 〃. 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、 2、理解三角形内角与定理得证明方法; 3、掌握并会把三角形按边与角分类 4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、 5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、 【要点梳理】 要点一、三角形得定义 由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、 要点诠释: (1)三角形得基本元素: ①三角形得边：即组成三角形得线段; ②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角； ③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、 （2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、 要点二、三角形得内角与 三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、 要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数; ②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数； ③求一个三角形中各角之间得关系、 要点三、三角形得分类 １、按角分类: 要点诠释: ①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形； ②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、 2、按边分类: 要点诠释: ①不等边三角形:三边都不相等得三角形； ②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等得三角形、 要点四、三角形得三边关系

角和角的比较知识归纳及经典习题

角（基础）知识讲解 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 1.下列语句正确的是( C )

A．两条直线相交，组成的图形叫做角． B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角． C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角． D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角． 【答案】 【解析】根据角的定义判断 【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别． 举一反三： 【变式】判断下列说法是否正确 (1)两条射线组成的图形叫做角( ×) (2)平角是一条直线( × ) (3)周角是一条射线( × ) 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°). 【答案与解析】 解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C． (2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE． (3)图中共有7个角． 【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；(2)一般数角时不包括平角和大于平角的角． 已知：如图，在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角？ 分析：在∠AOE的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从OE边开始数，这样可得到4+3+2+1个角，所以，这5条射线共组成角的个数为10个角。 公式为：2)1 ( n n 。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共101