直纹曲面和可展曲面
直纹面和可展曲面
一 直纹面的定义
由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。
如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。 二 直纹面的参数表示
在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为
()a a u =
，这样的曲线称为
直纹面的导线。设()b u
是过 导线（C ）上()a u
点的直母线上
的单位向量，导线（C ）上()a u 点
到直母线上任一点P(u,v)的距
离为|v|,则向径O P r
=
可以表示
为 :
()()r a u vb u =+
。
这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。 三 直纹面的切平面
对直纹面()()r a u vb u =+
, ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''?=?+? ,
()()(,,)a b b b b a b b ''''???=- ，()a b '∴? ‖()b b '? ?(,,)0a b b ''=
。
（1）若()a b '? 不平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''≠
，则当
P 点在一条直
母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n
（或切平面）绕直母线而旋转。
（2）若()a b '? 平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''=
，则当
P 点在一条直母
线上移动时，虽然v 变化了，但是 u v
r r ? 只改变长度，不改变方向。
也即
u v u v
r r n r r ?=?
保持不变。这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向
量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。 四 直纹面的高斯曲率
对于直纹面()()r a u vb u =+
,()v r b u = 。所以曲面在
P 点沿方向v r
的法
截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理cos n κκθ
=,因此在P 点
沿v r
的法曲率0n κ=.据前面的讨论,只当P
点是双曲点或抛物点时才可
能出现0n
κ=的情况。这说明直纹面上的高斯曲率0K ≤。
下面将指出，当(,,)0
a b b ''≠
时，0K
<，当
(,,)
0a b b ''= 时
0K =。
由直纹面的方程
()()
r a u vb u =+
得
uu r a vb ''''=+ ，uv r b '= ，0vv r =
。u v u v r r n r r ''?==?
，L = ……
，(,,)0a b b M
N ''== ，22
LN M K EG F
-=
-
22
2
(,,)()
a b b E G F ''=
- ，所以当(,,)0a b b ''≠
时，0K
<，当
(,,)
0a b b ''= 时
0K =。
因沿直母线总有0n
κ=，故直母线是直纹面的渐近线。
五 腰曲线
1 腰点的定义：设l 为过导线
上点()a u
的直母
线，l '是过导线上
的邻近点()a u u +?
的直母线，作l 和
l '的公垂线（如图），垂足分别为
M
和M '，公垂线M M '的垂足M 当0u ?→时沿直母线趋于极限位置0M ,点0M 称为直母线l 上的腰点。 2 腰点的向径表达式
垂足M 和M '对应的向径分别是M ：()()
r a u vb u =+
，M '：
()()
r r a a v v b b +?=+?++?+?
，由此得()M M r a v b v b b '=?=?+?+?+?
，
又因
,()M M b M M b b
''⊥⊥+?
，所以
0M M b '??= 。将MM '
带入得：
()0a b v b b v b b b ???+???+?+???= ，两边除以2
()u ?，取极限令0
u ?→得：
2
0a b vb '''?+= ，所以2a b v b ''?=-'
，把它带入()()
r a u vb u =+ 得腰点的向径表
达式：2()()()()()
a u
b u r a u b u b u ''?=-'
…… …… ……（＊）
3
腰曲线的定义：在直纹面的每一条直母线上（假如0b '≠
）有
一个腰点，这些腰点的轨迹叫做腰曲线。
说明：（1）（＊）为对应参数为u 的直母线l 上腰点的向径，当u 变动时就得到所有直母线上的腰点的向径。因此（＊）表示了所有腰点构成的轨迹曲线。所以（＊）就是腰曲线的参数方程。
（2）若取腰曲线为导线()a a u =
，则（＊）中腰曲线的向径
()r a u =
，
于是可得0a b ''?= ；反之，若0a b ''?=
，可知腰曲线()r a u =
为
导线。即有结论：腰曲线是导线0a b ''??= ，即a b ''⊥
。
（3）腰曲线的几何意义: 它沿直母线的狭窄部位“围绕”着直纹面。
4.2 可展曲面 一 可展曲面的定义
定义 把直纹面()()r a u vb u =+
中满足(,,)0a b b ''=
的曲面叫做可展
曲面。
推论 直纹面可展的充分必要条件是沿直纹面的每一条直母线只有一个切平面。
说明（1）有的书上就是以推论的条件定义可展曲面的，而把
(,,)0
a b b ''=
作为一个充要条件。
（2）确实有沿同一直母线其切平面不是同一个的直纹面，如正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等，他们都不是可展曲面。
二 可展曲面包含的曲面
命题1 每一个可展曲面或是柱面或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。 证明
设()()
r a u vb u =+
为可展曲面，则(,,)0a b b ''=
。我们取腰曲
线为导线，此时0
a b ''?=
。
（1）0,0,()b a a u ''≠=
=常向量。表明腰曲线退化为一点，也就是
说，各条直母线上的腰点都重合。所以曲面是以腰点为顶点的锥面。 （2）
0,0
b a ''≠≠ 时，由条件(,,)0
a b b ''=
，所以,,a b b ''
共面，又
a b ''?= ，而||1b = ，所以b b '⊥ 。?a '
‖b ，这时可展曲面是
()()r a u vb u =+ =()()a u va u '+
，可知这是导线（腰曲线）的切线曲
面。如图
（3） 0b '=
，则b
=常向量。这表示柱面。如上图。
说明：命题的逆命题也成立。即：每一个柱面、锥面、任一条曲线的切线曲面一定是可展曲面。证明留做习题。
三 单参数曲面族的包络
定义 给出一个单参数曲面族{}S α：(,,,)0F x y z α=，其中α是参数，当α的值变化时，我们就得到族中不同的曲面S α，并且假定函数
(,,,
)
F x y z α具有一阶与二阶的连续偏导数。如果有一个曲面S ，它的每一点是{S α}族中一个曲面S α的点，而且在S 与S α的公共点它们有相同的切平面;另一方面，对{S α}族中每一个曲面S α，在曲面S 上有一点P α， 使S α与 S 在公共点P α有相同的切平面，则称S 是单参数曲面族{S α}的包络。
例如,到z 轴距离是1的平面sin cos 10x y αα++= ，所有这样的平面构成一个单参数α 的曲面族（实际是平面族），22
1x y +=就是这
平面族的包络。
四 单参数曲面族包络的方程
结论：设{}S α：(,,,)0F x y z α=为单参数曲面族，每个S α上的点
都是正常点。若曲线族(,,,)0(,,,)0F x y z F x y z α
αα=??=?
构成曲面S ，则S 为{S α}包
络。从曲线族方程消去α得S 的方程：(,,)0x y z ?= 。
证明 对S 上任一点P(x,y,z),则存在某个S α，P 在(,,,)0(,,,)0
F x y z F x y z ααα=??=?
上。即P 在曲面族{S α}中曲面S α上，且F α= 0 。
反过来，对{S α}中每个S α
，则(,,,)0
(,,,)0F x y z F x y z α
αα=??=?在S α
上。因S
由所有(,,,)0(,,,)0
F x y z F x y z ααα=??
=?构成的，所以(,,,)0(,,,)0
F x y z F x y z ααα=??
=?也在S 上。在其上
任取一点P , P 是S α上的点，也是S 上的点。
设{dx,dy,dz}是S 在P 点的任一切向量,设P 在S α上：
(,,,)0
F x y z α=
,两边求微分得0x y z F dx F dy F dz F d αα+++=，因0F α=，所以0x y z F dx F dy F dz
++=，这说明 {,,}x y z F F F 是
S 在P 点的法向量（因
所有切向量与它垂直）（注：,,x
y z
F
F F 不全为零时P 为正常点).而
{,,}x y z F F F 也是(,,,)0F x y z α=在
P 点的法向量。这说明在P 点，S
与S α有相同的切平面。
以上两方面证明了S 是{S α}的包络。
因P 是(,,,)0(,,,)0
F x y z F x y z ααα=??
=?上任一点,所以以上说明了S 与S α沿着这
条曲线相切。
定义 设S 是单参数曲面族{S α}的包络，则S 与族中的曲面 相切的曲线称为特征线。
可知, α固定时，(,,,)0
(,,,)0F x y z F x y z α
αα=??=?是特征线方
程.特征线的轨迹就
是包络.每个曲面(,,,)0F x y z α=沿特征线切于包络。
习题P 129 2, 3, 4
五 曲面为可展曲面的条件
命题2 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是此曲面为单参数曲面族的包络。
证 充分性：设S 是下面单参数平面族
()()()()0A x B y C z D αααα+++=的包络（其中
A,B,C,D 是与平面族的参
数α有关的系数），则S 是特征线：
()()()()0()()()()0
A x
B y
C z
D A x B y C z D αααααααα+++=??
''''+++=?的轨迹。而对每个α特征线是直
线，所以S 是直纹面。下面证S 是可展曲面： S
的直母线是特征线()()()()0
()()()()0A x B y C z D A x B y C z D αααααααα+++=??''''+++=?
，对每一
α, S 沿特征线与曲面S α：()()()()0A x B y C z D αααα+++=相切，即在S
的同一条（α确定的）直母线上，S 有同一个切平面S α，故S 为可展曲面。
必要性：设 S 为可展曲面，则S 是直纹面，且沿S 的同一条直母线有同一个切平面。于是沿S 的所有直母线的切平面构成一个平面族{απ}。因沿一条直母线的切平面是由这条直母线确定的，而直母线
是单参数的（如()()
r a u vb u =+
，给定一个u ，确定一条直母线，直母
线是单参数u 确定的 ), 所以这个平面族{απ}是单参数的。S 在每一点处与{απ}中的一平面相切。故S 是单参数平面族{απ}的包络。
命题3 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的高斯曲率等于零。
证：“?”因曲面为可展曲面，所以曲面为直纹面，沿同一直母
线的单位法向量不变，即0dn =
。因此沿直母线d n ‖d r
，特别取d r
为
直母线的方向，则由罗德里格定理知，沿直母线的方向是主方向。因此主曲率10κ=（或
20κ=）,于是高斯曲率
K=12κκ= 0 。
“?”：若 K=12κκ =0,不妨设2
0κ=,这时2
κ对应的方向是主方
向，也是渐近方向。因在整个曲面上K=0,所以曲面上有一族渐近曲线，这族渐近线也是曲率线。整个曲面可视为这族渐近线的集合。由Rodrigues
定理，沿渐近线有20dn dr κ=-=
，即n
=常向量。这说明沿
渐近线n
保持常向量。
由3.4中注(2)中推论，沿渐近线副法向量γ
（平行于n
）为常矢。
故渐近线为平面曲线，其所在平面为曲线的密切平面。又由命题2，曲面沿渐近曲线的切平面就是（固定的）密切平面。换句话说，对同一条渐近曲线上的点，其切平面是同一个。由此可知，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面。 例 1 证明空间曲线:()
r s ρΓ=
的密切平面族的包络是曲线Γ
的切线曲面
证 曲线Γ的密切平面族方程是{}:(())()0r s s απργ-?=
，这里s 看作平面族的参数，()s γ
是曲线Γ的副法向量。因此将上式对s 求微分得
()()(())()0s s r s s αγτρβ---?=
，其中τ为曲线Γ的挠率。因此
(())()
r s s ρβ
-?=
。故向量()r s ρ-
同时垂直于(),()s s βγ ，所以必与()
s α 平行，于是有()()r s v s ρα-=
即()()r s v s ρα=+
，此即曲线的切线
曲面。
例2 设∑是由空间曲线()s ρ
的副法线形成的曲面。
证明∑是可展曲面?
()s ρ
为平面曲线。
证 曲面∑的方程为(,)()()r s v s v s ρ
γ=+
，由伏雷内公式知
s r v ατβ=- ，v r γ= ，sv r τβ=- ，0vv r =
。
因此∑的基本量22
1E v τ=+，
0F =，
1,0G M N ==
=。 所以高斯曲率222
2
2
2
(1)
LN M K
EG F
v τ
τ-=
=-
-+ ，其
中τ为曲线()s ρ
的挠率。
所以∑是可展曲面?
K =?τ
= 0
?曲线()s ρ
为平面曲线。
注：此题也可按可展曲面的定义证。
命题4 曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线曲面的法线组成一可展曲面。
证明：“?”设曲线()a a s =
是曲面上的曲率线，则沿此曲线曲面
的法线组成的直纹面是
()()r a s tn s =+
。下面证它是可展曲面。 因()a a s = 为曲面的曲率线，由 Rodrigues 定理有1dn da
κ=-
，即
1()()n s a s κ=- ，其中1()s κ为对应的主曲率.由此得n ‖a ，所以(,,)0a n n = 。所以()()r a s tn s =+ 为可展曲面。
“?”：设()a a s =
是曲面上一曲线，沿此曲线曲面的法线构成的
曲面()()r a s tn s =+ 是可展曲面。 所以(,,)0a n n = 。因n 是单位向
量,所以n n ⊥ ，而a 是曲面的切向量，所以a n ⊥ ，所以n ‖a （因
(,,)0a n n = ，所以,,a n n 共面），据罗德里格定理, d a 是主方向,由定
义()a a s =
为曲面的曲率线。
说明 该命题刻画了任何曲面上曲率线的特征。该命题又说明,
球面、平面上的任何曲线是曲率线。
推论1 若两曲面沿一条曲线Γ相切，则如果Γ在一曲面上是曲率线,则在另一曲面上也是曲率线。
推论2 若一个曲面∑和一个球面（或平面）沿一条曲线Γ相切，则Γ是∑上的曲率线。
推论3 可展曲面∑上的每一条直母线是曲率线。
证 因可展曲面沿每一条直母线的切平面是同一个，因此可以说可展曲面沿每一条直母线与这个切平面相切。由推论2知，直母线是可展曲面的曲率线。
推论3的逆命题也成立。即
命题 若直纹面的每一条直母线是曲率线，则该直纹面一定是可展曲面。
证: 因直母线是曲率线时直母线的方向是主方向，因此一个主曲率为零，从而曲面的高斯曲率为零，因而直纹面可展。
由推论3和命题知：直纹面是可展曲面的充分必要条件是它的直母线都是曲率线。
可见，单叶双曲面、双曲抛物面、正螺面的直母线不是曲率线 六 可展曲面的特征
命题5 可展曲面可以与平面成等距对应（简称可展为平面）。 证 要证可展曲面与平面成等距对应，只需分别证柱面、锥面、切线曲面都分别与平面有相同的第一基本形式。
平面在直角坐标系下的方程为r
xi yj
=+
，所以其第一基本形式
为：22dx dy I =+。平面在极坐标系下cos ,sin x y ρθρθ==，将其带入上
式得平面第一基本形式的另一表达式222d d ρρθI =+。
（1）对于柱面：()r a s vb =+
（其中b
为沿柱面母线的常单位向量 。
()
a a s = 为与柱面正交的一条曲线,s
为弧长).于是s r a α== ，v r b
= ，
21s s E r r α=?== ，2
0,1s v v v F r r G r r b =?==?== 。所以第一基本形式为
2
2
ds dv I =+，这与平面的第一基本形式相同。因此柱面可展为平面。
（2）对于锥面： 0()r a vb s =+ ，其中0a
为常向量，()b s 为母线上
的单位向量。而s
是单位球面曲线()b b s = 的弧长。则有2
1,0
b b b =?= ，
21b = 。于是v r b = ，s r vb = ，2,0s s s v E r r v F r r =?==?= ，2
1v v G r r b =?== 。
所以锥面的第一基本形式为222v ds dv I =+，这与平面的第二种第一基本形式相同，故锥面可展为平面。
(3) 切线曲面()r
a v s α=+
，其中()
s α 为()a a s =
的切向量，即
()a s α=
，s 是
()
a a s = 的弧长，于是s r v ακβ
=+
，
()v r s α=
，
22
1,1,1s s s v v v E r r v F r r G r r κ=?=+=?==?= ，所以其第一基本形式为
2222
(1)2v ds dsdv dv
κI =+++。这个第一基本形式中只出现了曲线的
曲率k,而没出现挠率τ。因此两条曲线如果有同一曲率()s κ
κ=,那么
即使挠率τ不同，它们的切线构成的切线曲面也有相同的第一基本形
式，因而是等距的.由曲线论基本定理，必存在平面曲线()r s ρ*=
，
它的曲率为()s κ（即与()a a s =
的曲率相同,而挠率0τ≡），切线曲
面()r a v s α=+ 与()()r s v s ρα**=+ 等距,但()()
r s v s ρα**=+
是平面（或平
面的一部分），故与平面等距对应。从而可知
()r a v s α=+
与平面等距对应，即可展为平面。
说明：命题中都是指曲面或平面的一部分而言。例如，平面上的
圆的切线曲面就不包含圆内的部分。在下一节我们将能得到该命题的逆命题，即：只有可展曲面才能和平面建立等距对应。
可展曲面与平面等距对应，即可展曲面可以经过（不改变曲面上曲线的弧长，两曲线的夹角的）变形到平面上，或平面经过变形得到锥面、柱面、切线
直纹曲面是可展曲面的一个充要条件
直纹曲面是可展曲面的一个充要条件 摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过 几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件， 说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两 个例子. 关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面 1直纹曲面与可展曲面 我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。 设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是 )()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。 特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时 )(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面， 0)(:e v u r S +=ρ （3） 是柱面，其中0)(e u e =是常矢。 定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值， 法线方向上的矢量v u r r N ?=彼此平行，即对21v v ≠有： 0),(),(21=?v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。 定理1 直纹曲面 )()(:u e v u r S +=ρ 是可展曲面，其充要条件是： 0))(),(),((' ' =u e u e u ρ （5）
曲面展开方法
1 展开方法概述 三维CAD 软件进行展开放样适用于较为复杂的、不可展曲面的展开。 用三维CAD 软件进行展开放样大致分为4个步骤。 1.1 绘制草图 草图是生成曲面和实体的基础。草图绘制要以设计图样为依据，出于工艺性考虑可以做适当修改;较复杂的图形在二维设计软件上绘制后，可以插入到草图中;草图绘制后要添加约束。 1. 2 建立模型 建模就是在草图轮廓的基础上，通过软件的功能生成面或实体。 由于展开放样在物体的某一特性面上(如中性层面)进行的，因此在建模操作过程中，一般以曲面的特征进行。用于展开放样的建模方法有:拉伸曲面、放样曲面、旋转曲面、延伸曲面等。 1. 3 分解曲面 草图绘制和建模是放样的过程，获取数据才是最终目的。 三维CAD 软件只提供了一般镀金件的展开功能，并没有提供曲面展开的功能。分解曲面就是将曲面分解为若干个彼此相连的、在不同平面的三角形区域，以这些三角形平面代替曲面，以达到近似展开的目的。 1. 4 绘制展开图 绘制展开图就是将分解曲面形成的，彼此相连的三角形绘制在同一平面上。展开图要按工艺要求加以整理，并标注尺寸及相关信息，以指导生产。 2 展开方法特点 用三维CAD 软件进行展开放样与传统的展开放样方法比较，有如下特点。 2.1 简单 传统展开放样方法在画法几何知识的基础上，研究点、线、面的投影关系。利用投影法、旋转法、放射线法、截面法、换面法等一系列技巧来求取空间线段的实长，从而达到展开的目的。这种方法专业性强，不易掌握。划线多，工作量大。 用三维CAD 软件进行展开放样，从原理上与传统的展开放样方法截然不同。它不再需要画法几何的知识，不需要研究投影关系，也不需要展开的原理、方法和技巧。因为在三维CAD软件中生成了要展开的曲面，各种几何关系便可一目了然。对曲面进行分解，便可获得展开的数据。这种方法绘图量极少，只需要绘制有关的轮廓线。 2.2 准确 传统展开放样由于方法复杂，划线多，难免出错。一旦出错，将影响所有后续工作。放样过程的检验也非常困难。 用三维CAD 软件进行展开放样，通过在车图中添加几何关系、标注相关尺寸，使图中的每个几何要素之间相互约束，提高了绘图的精确性和绘图的速度。操作过程的每一步都可以修改。修改后，将自动调整其后续的相关过程或提示有关信息。 2.3 实用 用三维CAD 软件进行展开放样过程简单，一般工程技术人员都能快速掌握。适合生产中较复杂结构件的展开。 3 展开实例 风机行业中机翼型叶片和进风口斜锥的展开是比较困难的。虽然有些资料介绍了机翼型叶片的展开方法，但由于步骤复杂，真正掌握和应用的很少。用三维CAD 软件进行展开就很容易。 下面以4 -72NolO机翼型叶片展开为例，简述展开过程。
直纹曲面和可展曲面
直纹面和可展曲面 一 直纹面的定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。 如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。 二 直纹面的参数表示 在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为 ()a a u = ，这样的曲线称为 直纹面的导线。设()b u 是过 导线（C ）上()a u 点的直母线上 的单位向量，导线（C ）上()a u 点 到直母线上任一点P(u,v)的距 离为|v|,则向径O P r = 可以表示 为 : ()()r a u vb u =+ 。 这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。 三 直纹面的切平面 对直纹面()()r a u vb u =+ , ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''?=?+? , ()()(,,)a b b b b a b b ''''???=- ，()a b '∴? ‖()b b '? ?(,,)0a b b ''= 。 （1）若()a b '? 不平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''≠ ，则当 P 点在一条直 母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n
（或切平面）绕直母线而旋转。 （2）若()a b '? 平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''= ，则当 P 点在一条直母 线上移动时，虽然v 变化了，但是 u v r r ? 只改变长度，不改变方向。 也即 u v u v r r n r r ?=? 保持不变。这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向 量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。 四 直纹面的高斯曲率 对于直纹面()()r a u vb u =+ ,()v r b u = 。所以曲面在 P 点沿方向v r 的法 截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理cos n κκθ =,因此在P 点 沿v r 的法曲率0n κ=.据前面的讨论,只当P 点是双曲点或抛物点时才可 能出现0n κ=的情况。这说明直纹面上的高斯曲率0K ≤。 下面将指出，当(,,)0 a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 由直纹面的方程 ()() r a u vb u =+ 得 uu r a vb ''''=+ ，uv r b '= ，0vv r = 。u v u v r r n r r ''?==? ，L = …… ，(,,)0a b b M N ''== ，22 LN M K EG F -= - 22 2 (,,)() a b b E G F ''= - ，所以当(,,)0a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 因沿直母线总有0n κ=，故直母线是直纹面的渐近线。 五 腰曲线 1 腰点的定义：设l 为过导线 上点()a u 的直母 线，l '是过导线上 的邻近点()a u u +? 的直母线，作l 和 l '的公垂线（如图），垂足分别为 M