资料一 :导数.知识点
1.导数的概念
例1.已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0),求过点P
的切线方程·
解析:如图,按切线的定义,当x →0时,割线
PQ 的极限位置是y轴(此时斜率不存在),因此过P 点的切线方程是x =0. 例2.求曲线y =x 2在点(2,4)处的切线方程·
解析:∵ y =x 2, ∴ ?y =(x 0+?x)2-x 02=2x 0?x +(?x )2 =4?x+(?x )2
∴ k =00
lim lim(4)4x x y
x x ?→?→?=+?=?.
∴ 曲线y =x 2在点(2,4)处切线方程为y -4=4(x -2)即4x -y -4=0. 例3.物体的运动方程是 S =1+t +t 2,其中 S 的单位是米,t 的单位是秒,求物体在t =5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5,5+?t ]内相应的平均速度.
解析:∵ S =1+t +t 2, ∴ ?S =1+(t +?t )+(t +?t )2-(1+t +t 2)=2t ·?t +?t +(?t )2,
∴21S t t t
?=++??, 即()21v t t t =++?, ∴ (5)11v t =?+, 即在[5,5+?t ]的一段时间内平均速度为(?t+11)米/秒
∴ v (t)=S ’=00
lim lim(21)21t t S
t t t t ?→?→?=++?=+?
即v (5)=2×5+1=11.
∴ 物体在t =5秒时的瞬时速度是11米/秒. 例4.利用导数的定义求函数y =
x
在x =1处的导数。 解析:?y =
11111x
x x
-+?-=
+?+?, ∴ y x ??=1(11)x x +?++?, ∴ 0lim
x y
x ?→??=01lim
2
1(11)x x x ?→=-+?++?. 例5.已知函数f (x )=2
1sin 00
x x x
x ?≠?
??=?, 求函数f (x )在点x =0处的导数
解析:由已知f(x )=0,即f(x )在x =0处有定义,?y =f (0+?x )-f (0)=21
()sin x x
??,
y x ??=1sin x x ???, 0lim x y
x ?→??=01lim sin x x x
?→???=0, 即 f ’(0)=0.
∴ 函数f(x)在x=0处导数为0.
例6.已知函数f (x)=2
1(1)12
1(1)12x x x x ?+????+>??≤, 判断f (x )在x =1处是否可导?
解析:f (1)=1, 20001
[(1)1]1
1
2lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---?→?→?→+?+-?==+?=??,
001
(11)1
12lim lim 2
x x x y x x ++?→?→+?+-?==??, ∵00lim lim x x y y x x -
+?→?→??≠??, ∴ 函数y=f(x )在x =1处不可导. 例7.已知函数 y =2x3+3,求 y’.
解析:∵ y =2x3+3, ∴ ?y =2(x +?x )3+3-(2x 3+3)=6x 2·?x+6x ·(?x )2
+2(?x )3,
∴ y x
??=6x 2+6x ·?x+2(?x )2
, ∴ y ’=0lim
x y x ?→??=6x 2. 例8.已知曲线y =2x 3+3上一点P,P 点横坐标为x =1,求点P 处的切线方程和法线方程.
解析:∵ x =1, ∴ y =5, P点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,
∴ y ’1|x ==6, ∴ 曲线在P点处的切线方程为y -5=6(x-1)
即6x -y -1=0, 又曲线在P 点处法线的斜率为-61
,
∴ 曲线在P 点处法线方程为y -5=-6
1
( x-1),即 6y+x -31=0.
例9.抛物线y =x 2在哪一点处切线平行于直线y=4x -5?
解析:∵ y ’=0lim x y
x ?→??=220()lim
2x x x x x x
?→+?-=?, 令2x =4.∴ x=2, y =4, 即在点P (2,4)处切线平行于直线y =4x
-5.
例10.设mt ≠0,f (x)在x 0处可导,求下列极限值
(1) 000()()lim x f x m x f x x ?→-?-?; (2) 000()()
lim x x
f x f x t x
?→?+-?. 解析:要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
(1) 000()()lim x f x m x f x x ?→-?-?=0000()()
lim
()'()x f x m x f x m m f x m x ?→-?-?-=-?-?, (其中-m ·?x →0)
(2) 000
()()
lim
x x f x f x t x ?→?+
-?=0000()()11lim '()x x
f x f x t f x x t t
t
?→?+-?=??.
(其中1
0x t
?→)
例11.设函数f (x )在x =1处连续,且1
()
lim
21
x f x x →=-,求f ’(1). 解析:∵ f (x )在x =1处连续,∴ 1
lim ()x f x →=f (1). 而又1
1
11()()
lim ()lim(1)lim(1)lim 011
x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-?
=-?=--×
2=0. ∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0
1(1)(1)()(1)lim
lim 21
x x f x f f x f x x ?→→+?--==?-(将?x 换成x -1) 即f ’(1)=2.
例12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0),通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y =x -3相切,求a,b ,c 的值.
解析:由y ’=0lim x y
x ?→??=220()()()lim 2x a x x b x x c ax bx c ax b x
?→+?++?+-++=+?,
由函数在点(2,-1)处与直线y=x -3相切, ∴ 2a×2+b =1,
又函数过点(1,1),(2,-1), ∴ a +b +c =1, 4a+2b +c =-1, 由三式解得a =3,b =-11,c =9.
例13.设曲线y=sin x在点A (6π,21)处切线倾斜角为θ,求tan(4
π
-θ)的值.
解析:∵ y =sin x,∴ ?y=sin(x +?x )-sin x=2cos(x +2x ?)sin 2x
?,
∴ y ’=0lim
x y
x
?→??=0002cos()sin sin
222lim
lim cos()lim cos 22
x x x x x x
x x x x x
x ?→?→?→???+?=+?=??. 即y ’=(sin x)’=co sx, 令在A 点处切线斜率为k =cos
6π=2
3, ∴ tan θ=23, θ∈(0, π),
∴ tan(4π-θ
)=
11tan 71tan 2
θθ-==-+H , 例14.设f (x )是定义在R 上的函数,且对任何x 1、x 2∈R ,都有f (x1+x 2)=f(x 1)
f(x 2),若f (0)≠0,f ’(0)=1,证明:对任何x∈R ,都有f(x )=f ’(x )
解析:由f (x 1+x 0)=f (x 1)f (x 2),令x 1=x 2=0得f(0)=f (0)f (0), 又f (0)≠0 ∴ f(0)=1 由f ’(0)=1即0
0()(0)()1
lim
lim 1x x f x f f x x x
?→?→?-?-==??, ∴ f ’(x )=
000()()()()()()1lim lim ()lim ()x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x ?→?→?→+?-?-?-==?=???. 即f ’(x )=f(x )成立.
2.几种常见函数的导数
例1.已知f (x)=x 3,求f ’(x ) ,f ’(1),(f(1))’,f ’( 0.5)
解析:f(x )=x 3, ∴ f ’(x )=3x2, f ’(1)=3, f ’( 0.5)=3×(0.5)2= 0.75,(f (1))’=(1)’=0.
说明:导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系.后者是导函数的某一函数值,因此在求函数某一点处导数时可先求导函数,再直接求导函数值.
例2.已知曲线y =x 2上有两点A (1, 1), B (2, 4),求 ① 割线AB 的斜率;②在[1, 1+?x ]内的平均变化率;③ 过点A处的切线斜率k AT ;④ 点A 处的切线方程.
解析:① k AB =41
21
--=3;
② 平均变化率2(1)(1)(1)12y f x f x x x x x
?+?-+?-===+????, ③ y’=2x , ∴ y ’|x =1=2. 即点A 处的切线斜率为K AT =2.
④ 点A 处的切线方程为y-1=2(x-1)即2x -y -1=0.
说明:通过本例搞清割线斜率,区间上平均变化率,某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系,再次验证了导数与平均变化率之间的关系
y ’=0lim x y
x
?→??.
例3.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y =1
x
在点P (1,1)处的切线倾斜角
及该点处的法线方程.
解析:解法一:f (x)=1x , ?y =f (1+?x)-f (1)=1111x
x x -?-=
+?+?, ∴ y’|x =1=0lim x y x ?→??=01
lim 11x x
?→-=-+?.
即在点P 处斜率为k=-1,∴ 倾斜角为135°, 法线方程y -1=x-1即x -y=0.
解法(二):y =f (x )=1x ,y ’=f ’(x )=21
x
-, ∴ y ’|x =1=-1.
即在点P 处切线斜率为k=-1,以下同法(一)
说明:求导致方法有两种,一种是利用导致定义法求导数,第二种用导数公式,要注意题目要求,若无声明,用最简单的方法即可.
例4.已知曲线y
P (0,0),求过点P 的切线方程.
解析:由y
∴ y ’
='=在x=0处导数不存在,由图形知
过P 点的切线方程是x =0.
例5.设曲线y =co sx 在A(6π,23)点处的切线倾斜角为θ,求cot(4π
-θ)的值
解析:y =c osx , y ’=-si nx , x =
6π时, k=-s in6π=-21, ∴ tanθ=-2
1
, ∴ cot (4π-θ)=1111tan 1211tan 3tan()142
θπθθ-
+===--+. 例6.求曲线y =x 3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积. 解析:∵ y=x 3, ∴ y ’=3x 2, y ’|x =3=27,
∴ 曲线 y =x3在点(3,27)处的切线方程为y -27=27(x -3),
即y =27x-54. 其与x 轴,y 轴交点分别为(2,0),(0,-54)
∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S=2
1
×2×54=54.
例7.在抛物线y =x 2
上取横坐标为x1=1及x 2=3的两点,作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线?
解析:已知两点A (1,1)B (3,9),割线斜率为k AB =4,
∵ y’=2x ,令y ’=2x =4得x =2, 即在点(2,4)处切线平行于这一割线.
3.函数和、差、积、商的导数 例1.求下列函数的导数: ① y=3x 2+x c osx ;② y =
tan x x ; ③ y =x tan x-2cos x ;④ y =1
11x
+.
解析:① y ’=6x +cos x -x si nx ;
② y ’=222
(tan )'tan ()'sec tan x x x x x x x
x x
?-?-=; ③ y =
sin 2cos x x x -, ∴ y ’=2
(cos sin )cos (sin 2)(sin )cos x x x x x x x x
+?--?-
=2sin (cos 2)cos x x x
x
-+.
④ y=
1
111
x x x =-
++, y ’=2211(1)(1)x x --=++. 例2.已知函数f (x )=x 3-7x +1,求f ’(x ),f ’(1),f ’(1.5).
解析:f (x )=x 3-7x +1, ∴ y ’= f ’(x )=3x 2-7, f ’(1)=-4,f ’(1.5)=-4
1
.
注意:导函数与导数的区别与联系,函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值.
例3.已知函数y =x 3+ax 2-3
4
a 的导数为0的x 值也都使y值为0,求常数a 的值.
解析:y’=3x 2+2a x, 令y ’=0, 则3x 2+2ax =0, x 1=0, x 2=-3
2
a ,
当x =0时,y =0=-3
4
a ,∴ a =0,即a =0满足条件,
当x =-32a 时.y=0=32844
2793
a a a -+- 得a =0或a =±3
检验知a =±3不满足条件,
∴ 常数的值为0.
例4.曲线y =-x 2+4x 上有两点A (4,0),B (2,4),求① 割线AB 的斜率k AB ; ② 过点A 处的切线斜率kA;③ 点A 处的切线方程。
解析:① 割线AB 的斜率k AB =40
24
--=-2;
② y ’=-2x +4,∴ y ’|x =4=-4,即k A =-4;
③ 过A 点的切线方程为y -0=-4(x -4),即 y =-4x+16.
例5.已知F (x )=f (x )+g (x ),就下列两种情形判断F(x)在x =x 0处是否可导? ① f (x )在x =x 0处可导,g (x )在x =x 0处不可导. ② f(x ),g(x )在x=x0处均不可导. 解析: ① F (k )在x =x0处不可导.
假设F (x )在x=x 0处可导, 由F(x )=f (x)+g (x ), ∴g (x )=F (x )-f(x ).
∵ f (x )在x =x 0处可导,∴ g (x )在x=x 0处可导,与条件g(x )在x =x0处不可导矛盾, ∴ F (x )在x=x 0处不可导. ② F (x)在x =x0处不一定可导.
如设 f (x)=sin x +1x , g (x )=cos x -1
x
, 则f(x),g (x)在x=0处均不可导,
但F (x)=f(x)+g (x)=sin x +cos x 在x =0处可导.
另:若.g (x )=tan x +1
x
上,在x =0处不可导,
F (x )=f (x )+g (x )=sin x+tan x +2
x
在x =0处也不可导.
例6.曲线y=x 3+x -1上求一点P,使过P 点切线与直线y =4x-7平行. 解析: y’=(x3+x -1)’=3x 2+1,
由过P 点切线与直线y=4x -7平行, 令3x 2+1=4得x=±1,
当x =1时,y=1,此时切线为y-1=4(x-1),即y =4x -3与直线y =4x -7平行,∴ P点坐标为(1,1)。 当x=-1时,y =-3,此时切线为y +3=-3(x +1),即y =4x +1也满足条件,∴ P 点坐标为(-1,-3).
综上得P 点坐标为(1,1)或(-1,-3).
例7.证明:过抛物线y =a (x-x 1)(x -x2), (a ≠0,x 1 解析: y ’=2ax -a (x 1+ x 2). ∴ 112'|()x x y a x x ==-, 即k1=a(x 1-x2), 121'|()x x y a x x ==-, 即k 2=a(x 2-x 1), ∵ k 1=-k 2,∴ 两切线倾斜角互补. 例8.已知曲线y =f (x )及y =f (x )sin ax ,(a ≠0),其中f (x )>0,且为可导函数,求证:两曲线在公共点处彼此相切. 解析:由f (x )=f (x)sin a x, f (x )>0,∴ sin ax =1,ax =2kπ+2 π (k ∈Z ), ∴ x = 22k a π π+ ,设曲线交点(x 0, y 0), 即x 0= 22k a ππ+ . 又两曲线y1=f (x),y 1’=f ’(x),y1=f (x )sin ax ,y 2’=f ’(x )sin ax +a ·co sx ·f (x ) 010'|'()x x y f x ==, 02000'|'()sin(2)()cos(2)'()22 x x y f x k af x k f x ππ ππ==+++=, ∴ k 1=k 2,即两曲线在公共点处相切. 例9.已知直线y =kx 与曲线y =x3-3x 2+2x 相切,求k 的值. 解析:由y ’=3x 2-6x +2=k , 又由k x=x 3-3x 2+2x ,∴ 3x3-6x 2+2x =x3-3x 2+2x , 即2x3-3x2=0得x 1=0或x2=23.∴ k =2或-4 1 . 4.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 例1.函数y =(si nx 2)23 是由函数y = ,u= ,v = 三个函数复合而成. 解析:答案分别为:y=u 23 , u =si nv . v =x 2. 例2.求下列函数的导数: ① y =(x 2 +2x)3 ;② y=2 54x e +;③ y y =(si nx 2 )13 ; ⑤ y =ln(x ;⑥ y =x3lig 3x ;⑦ y = cos 5sin 2x x ;⑧ y=xn, (x ∈R +, n ∈R ). 解析:① y =(x2+2x )3, y ’=3(x 2+2x )2·(2x +2)=6(x +1)(x2+2x )2. ② y=2 54x e +, y ’= 2 54x e +·(8x )=8x · 2 54x e +. ③ y y ’=3 1 2 23()ax bx x -++·(2ax +b ). ④ y=(s inx 2)1 3 , y’=312 23 (sin )x -·co sx 2·2x 2 ⑤ y =ln(x +), y ’ (1 . ⑥ y =x3lig 3x , y’=3x2·lig 3x +x 3·1 x l ig 3e=3x 2lig 3x +x 2lig 3e =x 2li g 3(e x3 ). ⑦ y=cos 5sin 2x x , y ’= 22 (cos5)'(sin 2)cos5(sin 2)'5sin 5sin 22cos5cos 2(sin 2)(sin 2)x x x x x x x x x x -?--=. ⑧ y =xn =ln ln ()x n n x e e =, y ’=ln 1n x e n x ??=n·1 x ·xn =1n nx -. 说明:本例集中训练常见函数求导公式,导数的四则运算法则,复合函数的求导法则等,这些要反复熟记· 例3.求函数f(x)=22()()0或x a x b a x b x a x b ?--? <>? ≤≤的导数。 解析:f ’(x )= 2()()[()()]0或x a x b x b x a a x b x a x b ---+-??<>?≤≤, ∴ f ’(x)= 2()()(2) 0或x a x b x a b a x b x a x b ----??<>? ≤≤ 例4.若f(x )=x +ln(x-5),g (x)=ln(x -1),解不等式f ’(x)>g’(x ). 解析:f ’(x )=1+15 x -, g’(x )=1 1x -, 由f ’(x)>g (x ),有 1+15x ->1 1 x -, 即 2(3)0(5)(1)x x x ->--, ∴ x >5或x<1. 又两函数定义域为x >5, 所以,不等式f ’(x )>g ’(x )的解集为(5,+∞). 说明:求导数有关问题时还要注意原函数定义域. 例5.证明:可导奇函数的导数是偶函数。 解析: 法一:定义法: 设f (x)为可导奇函数,则f (-x )=-f(x ), ∴ f ’(-x )=00()()[()()] lim lim x x f x x f x f x x f x x x ?→?→-+?----?-=?? =0()()lim x f x x f x x ?→-?--?=f ’(x ). 即f ’(-x )=f ’(x ).∴导函数为偶函数. 法二:复合函数求导法: 设f(x)为可导奇函数,则f (-x )=-f (x ),两边对x 求导 得:[f (-x)]’=-f ’(x ) 即 -f ’(-x)=-f ’( x ), ∴ f ’(-x )=f ’(x ).∴ f ’(x)为偶函数,即命题成立. 同理可证:可导偶函数的导数是奇函数. 例6.石头落在平静水面上,产生同心波纹,若最外一圈波半径增大速度总是am/s ,问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少? 解析:设b 秒末最外一圈波纹的半径为R ,则R =ab , ∴ S=πR2,又 R ’=a , ∴ S’|R =ab =2πR ·R ’(t )|R =ab =2πa 2b. 即b 秒末波扰动水面积的增大率为2πa2b m 2/s . 例7.将水注入锥形容器中,其速度为4米3/分,设锥形容器的高为8米,顶口直径为6米,求当水深为5米时,水面上升的速度.(如图) 解析:设注入水t 分钟后,水深为h 米, 由相似三角形对应过之比可得水面直径为43 h米, 这时水的体积温V =31π(83h )2 ·h=3364 h π,由于水面高 度h 随时间t 而变化,因此h 是t 的函数h=h (t ),由此可得水的体积关于时间t 的导数为V ’t =V’h ·h ’t ,∴ V ’t=32 39()'''6464 t t h h h h ππ?=?, 由假设,注水的速度为 4米3/分. ∴ Vt ’=29'64t h h π?=4, 即h ’t =2464 9h π?, ∴ 当h =5米时,水面上升的速度为h ’|h =5=256 225π (米/分). 5.函数的单调性和极值 1.求函数y =e x -x+1的单调区间 解析:y ’=(e x -x+1)’=ex -1, 由e x -1>0得x >0,即函数在(0, +∞)上为增函数; 由e x-1<0得x <0,即函数在(-∞,0)上为减函数. ∴ 函数的单增区间为(0,+∞),单减区间为(-∞,0). 例2.证明:函数y =22x x -在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减. 解析:∵ y , 当x ∈(0,1)时,y ’>0,∴ f (x )在(0,1)上递增; 当x ∈(1,2)时,y’<0,∴ f(x )在(1,2)上递减. 例3.讨论函数y =x -2s in x 在(0,2π)内的单调性. ∵ y ’=1-2c os x , x ∈(0, 2π),由y ’>0,得3π ) 内是单调递增;同理,由y ’<0,得0<x<3π或53 π ∴ y=f(x ) 在(0, 3π )和(53π, 2π)内都是单调递减。 例4.设f (x )=ax (a >0),求a 的范围,使函数f (x )在(0,+∞)上是单调函数. 解析:f ’(x a -,当x ∈(0, +∞)时 1, ∵ a >0,且f (x)在(0,+∞)上是单调函数, 则必有f ’(x)<0,∴a ≥1. 即a≥1时,函数f (x)在(0,+∞)上是单调函数. 例5.已知函数f (x )=lg(2)ax a -(a>0且a ≠1)在定义域(0,1)上是减函数,求a 的取值范围. 解析:∵ 定义域要求2-ax >0, x <2 a , 又函数在(0, 1)上都有意义, ∴ 2 a ≥1,∴ a≤2, ∵ y ’=lg(2)lg(2)1011 ln log ()lg 22ax ax a a e a a a ax x a --????-=?? --, 由y ’<0,得lg 0lg 0或22 00a a x x a a ?>?? ??-<->???? , 若 0 >0,则x >2 a >2与定义域x∈(0, 1)矛盾, ∴ 只有a>1,此时lga >0, 2x a -<0, x<2