高一数学上册(秋季)-第16讲-幂函数的图像与性质
高一数学上册（秋季）辅导教案
学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日
时 间
A /
B /
C /
D /
E /
F 段
主 题
幂函数的图像与性质
教学内容
1. 了解幂函数的概念，会应用概念解题；
2. 掌握幂函数的图像与性质。
（以提问的形式回顾）
1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
2. 性质：
（1）幂函数的图像都过点 ；任何幂函数都不过 象限；
（2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上单调性是 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上单调性是 ； （3）当2,2a =-时，幂函数奇偶性是 ；当1
1,1,3,3
a =-时，幂函数的奇偶性是 ． 3. 图像：
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知函数()()
2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2
5
m =-（5）1m =-
试一试：已知函数()()
22
23
m m f x m m x
--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：2
20230
m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2. 比较大小：
（1）11
221.5,1.7 （2）33
( 1.2),( 1.25)--
解：（1）∵12
y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11
221.5 1.7<
（2）∵3
y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-
试一试：比较大小：112
5.25,5.26,5.26---
解：∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；
例3. 已知幂函数()()213
22
p p Z f x x
p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8- 0.40.6-．
2．函数132
2
(1)(4)y x x --=-+-的定义域是
3．9
42--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知
3
53
2x x >
，x 的取值范围为
5．若幂函数a
y x =的图像在0 6．若幂函数()f x 与函数g (x )的图像关于直线y =x 对称，且函数g (x )的图像经过3(33,)3,则()f x 的表达式为 7. 函数2 ()3 x f x x += +的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”） 8．比较下列各组中两个值的大小 33221.3 1.3 0.30.355 3 3 (1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15----与与与与0 9．若3 13 1) 23()2(- - -<+a a ，求a 的取值范围。 10．已知函数y ＝42 215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 1．0.6 0.5 0.5 0.320.320.34<<，22 5 5 0.8 0.6- - < 10．这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． 本节课主要知识点： 幂函数的概念，幂函数的图像及性质 【巩固练习】 1．幂函数()y f x =的图像过点1 (4,)2 ，则(8)f 的值为 . 2．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32 a ； 22 3 (5)a - + 23 5- ； 0.50.4 0.40.5. 3．幂函数的图像过点(2, 14 ), 则它的单调递增区间是 ． 4．设x ∈(0, 1)，幂函数a y x =的图像在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ． 5．函数34 y x -=在区间上 是减函数． 6．一个幂函数y ＝f (x )的图像过点(3, 4 27),另一个幂函数y ＝g (x )的图像过点(－8, －2), （1）求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图像，观察得f (x )< g (x )的解集. 1、 2 4 2、.> ,≤, <, 3、(－∞, 0); 4、(－∞, 1); 5、（0，＋∞）; 6、（1）设f (x )＝x a , 将x ＝3, y ＝4 27代入，得a ＝4 3 , 3 4()f x x =； 设g (x )＝x b , 将x ＝－8, y ＝－2代入，得b ＝3 1 ,1 3()g x x =； （2）f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；（3） (0,1) 第12讲 幂函数、函数与方程 （不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加） （相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符） 一、 幂函数的定义与性质 1． 幂函数的定义 一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 如y=x 2,y=x 2 1,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像 我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2 1,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表: 描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1. 图2-3-1 幂函数的性质小结： （1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）； （2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大. 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大. （3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 二、函数和方程 １．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 零点存在性定理： ①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 高一寒假数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。 知识梳理 一、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常 数.如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样， 都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 二、幂函数的图像 α取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图 象下降，反之也成立 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。 比如幂函数112 3 4 ,,y x y x y x - ===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。 三、 幂函数的性质 （1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近 . 四、 幂函数的运算 （一）两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 n 为奇数 n 为偶数 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 奇偶性 在第 Ⅰ象限单调增减性 定点（公共点） 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2．比较大小： （1）1122 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122 1.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33 ( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1 y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴1 1 5.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴1 25.26 5.26-->； 综上，11 25.25 5.26 5.26--->> （4）∵3 00.51<<，0.5 3 1>，3log 0.50<， ∴30.53log 0.50.53<< 高一数学上册（秋季）辅导教案 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 幂函数的图像与性质 教学内容 1. 了解幂函数的概念，会应用概念解题； 2. 掌握幂函数的图像与性质。 （以提问的形式回顾） 1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数． 2. 性质： （1）幂函数的图像都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上单调性是 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上单调性是 ； （3）当2,2a =-时，幂函数奇偶性是 ；当1 1,1,3,3 a =-时，幂函数的奇偶性是 ． 3. 图像： （采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1. 已知函数()() 2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 试一试：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2. 比较大小： （1）11 221.5,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)-- 解：（1）∵12 y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11 221.5 1.7< （2）∵3 y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- 试一试：比较大小：112 5.25,5.26,5.26--- 解：∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->； 例3. 已知幂函数()()213 22 p p Z f x x p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并 一般地，y=xα(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考! 幂函数的图像与性质 相关内容 1、形如y=x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 2 二、基础练习 1、判断下列哪些是幂函数 (1)y=0. 2 (2)y=x (3)y=3-x (4)y=x -1 (5)y=4x (6)y=x 2、画出下列函数的图像 (1)y=x (2)y=x (3)y=x (5)y= 1 -6734 43 x 12 (4)y=x 13 x (6)y=x 89 3、若幂函数y=f (x )的图象经过点(9, 4、若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数, 则这个函数是f (x )= 5、幂函数f (x ) 的图象过点(，则f (x ) 的解析式是____________ 6、函数f (x )=(m 2-m -1) x m a 2 1 ), 则f(25)的值是_________ 3 -2m -3 是幂函数，且在x ∈(0,+∞) 上是减函数，则实数m=______ 7、已知-1 13 1 , y=2x , y=x 2+x , y=( ) 2x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8 、在y= 9、已知幂函数y= f (x ) 的图象过点(2, A .1 B. 2 C.10、幂函数y=x m 2-3m -4 ，则f (4)的值为( ) 2 1 D.8 2 A .-1 2 (m ∈Z) 的图象如下图所示，则m 的值为( ) B .0或2 C.1或3 D.0,1,2或3 x 2 5 2 x 11、若y=x , y=() , y=4x , y=x +1, y=(x -1) , y=x , y=a (a >1) 上述函数是幂函数的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12、幂函数y=x (α是常数) 的图象( ) A、一定经过点(0，0) B.一定经过点(1，1) C.一定经过点(-1，1) D.一定经过点(1，-1) 13、对于幂函数f (x )=x ，若0 45 α 12 x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) ) > 22x +x 2f (x 1) +f (x 2) )=C . f (1 22 A .f ( 3.3 幂函数 新课标要求 通过具体实例，结合231 ,,,,y x y y x y x y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12 x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x － 1；(5)y ＝x 3的图象 如图． 2．五个幂函数的性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 1 2 y x = y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称． 5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y ＝1 x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 ∵y ＝1x 2＝x － 2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是 两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22 m x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 解 由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1， 2n －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪ ⎧ m ＝1，n ＝32. 所以m ＝－3或1，n ＝32. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2. 其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C . 4.4 幂函数 学习目标 1.通过具体问题,了解幂函数的概念. 2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 自主预习 1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量, 为常数. 2.幂函数的图像及性质 (1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义. (2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像. (3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从 +∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴. (4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称. (5)幂函数在第象限无图像. 课堂探究 例1(1)下列函数: ①y=x3;②y=(1 2 )x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值. 跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(1 2,√2 2 ),则k+α等于() A.1 2 B .1 C.3 2 D.2 (2)已知f (x )=ax 2a+1 -b+1是幂函数,则a+b 等于 ( ) A.2 B.1 C.12 D.0 例2 比较下列各题中两个值的大小. (1)2.31.1 和2.51.1 ;(2)(x 2 +2)- 1 3 和2- 13 . 跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5 与(13) 0.5 ; (2)(-23)-1 与(-35 )-1 . 例3 讨论函数y=x 2 3的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性. 核心素养专练 1.以下结论正确的是( ) A.当α=0时,函数y=x α 的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点 C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α 在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-1 2>(12)-1 2 B.(3 4)23 <(2 3)23 C.(23)2 >(32)2 D.8-78 <(1 9)78 3.函数y=x -3 在区间[-4,-2]上的最小值是 . 4.若幂函数f (x )=(m 2 -m-1)x x 2-2x -3 在(0,+∞)上是减函数,则实数m= . 参考答案 自主预习 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象： (2)幂函数的性质： 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 2 1 x y y ＝x － 1 教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.幂函数的概念 数学抽象 水平1 水平1 1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函 数。 2.能够使用幂函数的简单性质实行实数大小比较。 3.通过作出一些简单幂 函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函 数的基本性质。 【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分 2.幂函数的图像与性质 直观想象 水平1 水平2 3.幂指数对图像的影响 数学运算 水平1 水平1 4.幂函数的凸凹性 数学运算 水平1 水平1 第十二讲 幂函数 知识通关 {y|y∈R，且y≠0} 奇 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减 题型一幂函数的概念 规律方法判断函数为幂函数的方法 例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2， y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数， 则m＝________. 解析： (1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函 数，所以选B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1， 即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案(1)B (2)5或－1 【变式训练1】 （1）幂函数) (x f的图像过点)9 ,3(3，则 ) ( )8(= f A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 （2）设}1 , 2 1 ,3,2,1{- ∈ α，则使函数αx y=的 定义域为R且函数αx y=为奇函数的所有α的值 为（） A .3,1 - B. 1,1 - C. 1,3 D. 3,1,1 - 指数函数的图象和性质 教学设计 学情分析 从学生来看，主要体现在三个层面： 1. 学生已了解指数函数的概念和简单的指数运算技能，探讨了指数函数图像及性质，通过幂函数的学习掌握了研究函数的一般方法； 2. 学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。 3. 学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。 从条件资源来看，我们有多媒体、几何画板等软件，以及生活中大量的贴合实际的素材展示给学生，帮助学生理解指数函数的深刻内涵。 教学目标 1. 掌握指数函数的性质，掌握指数函数性质的应用。 2. 体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题. 3. 发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理. 教学重难点 1. 重点：指数函数的图象和性质及其实际应用 2. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用. 教学思路与方法 本节课主要采用问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。 课前准备 PPT ，几何画板 教学过程 （一）复习导入 1、指数函数的定义？ 预设答案：一般的，函数 01)(,x a a a >≠且y=叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域为R . 追问：指数函数对于底数的要求是什么? 为什么要这样要求? 【设计意图】学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a 的限制条件。通过复习指数函数引入指数函数的图象和性质的研究。 2、幂函数的研究过程和方法？ 3.3 幂函数 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3 D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≥0，x ，x ＜0 答案 D 解析 显然A ，C 中的函数是奇函数，B 中的函数在(－∞，0]上单调递减．故选D. 2．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1,1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A 解析 根据幂函数图象的特征可知①正确，②③④错误． 3．下列函数在(－∞，0)上单调递减的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 3 D ．y ＝x －2 答案 B 解析 ∵A ，C 两项在(－∞，0)上单调递增；D 项中y ＝x －2＝1x 2在(－∞，0)上也是单调递增的．故选B. 4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2，c ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a c >a 答案 A高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版
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