高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:351
12
<
∑=n
k k
.
解析:(1)因为121121)12)(12(21
42
2
+--=+-=
-n n n n n
,所以122121114212
+=+-=-∑=n n n k n k
(2)因为?
?
? ??+--=-=
-
<121121
2144
4
11
1
2
22
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+?? ??+--++-+<∑=n n k
n
k Λ
奇巧积累:(1)??
? ??+--=-<=121121
2144441222n n n n n (2)
)
1(1
)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3)
)2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=?
=+r r r r r r n r n r n n C T r r
r
n r
(4)25
)1(123112111)11(<
-++?+?++<+n n n
n Λ (5)n
n n
n
2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+221
(7)
)
1(21)1(2--<<
-+n n n
n n (8)
n n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221
?+-?+=???? ??+-+-
(9)
?
??
??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
)1(1
!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
12121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(121 121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+- -=+-< ?=n n n n n n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(222 1 n n n n n n n n n < -?>-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 1 1 1)11)((1122222 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证: )2()12(2167)12(1513112 22≥-->-++++ n n n Λ (2)求证:n n 41214136 1161412- <++++Λ (3)求证:1122642) 12(531642531423121-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证: ) 112(213 12 11)11(2-+<+ ++ + <-+n n n Λ 解析:(1)因为 ??? ? ?+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12 n n n n n ,所以 ) 1 21 31(211)12131(211) 12(1 12 --+>+-+>-∑=n n i n i (2)) 1 11(41)1211(414136 116141222n n n -+<+++=++++ΛΛ (3)先运用分式放缩法证明出 1 212642) 12(531+< ????-????n n n ΛΛ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项, 最后就可以得到答案 (4)首先 n n n n n ++= -+>12)1(21 ,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+Λ 再证2 12121 2122 2)1212(21 -++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的, 所以) 112(213 12 11-+<+ ++ + n n Λ 例 3.求证:35 191411) 12)(1(62< ++++≤++n n n n Λ 解析: 一方面: 因为 ? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 12 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++?+?+>++++ n n n n n n ΛΛ 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2 1 91411) 12)(1(6n n n n ++++=++Λ, 当2=n 时,2 1 91411) 12)(1(6n n n n ++++<++Λ, 所以综上有35 191411) 12)(1(62< ++++≤++n n n n Λ 例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足1 01a <<.1 () n n a f a +=. 设1 (1) b a ∈,,整数 11ln a b k a b -≥ .证明:1 k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1 , 若 ) (k m b a m ≤<,则由 1 01<<≤ ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m , ∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 111ln ln , 因为 ) ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ Λ321,1,,,求证: 1 )1()1(11 -+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1) 1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 111 1 1 1 1 1 ] )1([01 ) 2() 1() 1(Λ所以要证 1 )1()1(11 -+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11] )1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11] )1[()1(])1([, 即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111 )1()1()1(, 即等价于11)1 1(11,)11(11++-<+-+<++ m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=, n n n a a a T +++= Λ212,求证: 2 3 321< ++++n T T T T Λ. 解析:) 21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(44442 1 3 2 1 n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++=ΛΛ 所以1 23)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3 422 111111 +?-??=+?-?=-+=-+-= -+-= ++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T 从而 2 3 1211217131311231321< ??? ??---++-+-= +++++n n n T T T T ΛΛ 例7.已知1 1=x , ?? ?∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *) )(11(21 11 4 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 证明: n n n n n n x x n n 222141 1 41 ) 12)(12(114 24 24 4 1 22=?=> -= +-= +, 因为 1 2++ ) 1(21 2 22 1 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+Λ 二、函数放缩 例 8.求证:) (66 5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有x x x x x 1 1ln 1ln -≤? -≤,从而 )3 1 3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ΛΛ cause ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 9181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ 所以66 53651333ln 4 4ln 33ln 22ln +- =--<++++n n n n n n Λ 例 9.求证:(1)) 2()1(21 2ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ 解析:构造函数x x x f ln )(= ,得到 2 2 ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项 )1(1 111ln 2 22+- <-≤n n n n n ,求和后可以得到 答案 函数构造形式: 1ln -≤x x ,) 2(1ln ≥-≤ααα n n 例 10.求证:n n n 1 211)1ln(113 121+ ++<+<++++ΛΛ 解析:提示: 2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=??-?+=+ΛΛn n n n n n n n n 函数构造形式: x x x x 1 1ln ,ln - >< 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数x x f 1 )(= , 首先: ?-< n i n ABCF x S 1,从而,)ln(ln |ln 1 1i n n x x i n n i n n i n --==--? 取1=i 有,)1ln(ln 1 -- , 所以有 2ln 2 1 <,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1-- )1ln(1 1 3121+<++++n n Λ 另一方面?->n i n ABDE x S 1 ,从而有 )ln(ln |ln 1 1i n n x x i i n n i n n i n --==>?---? 取1=i 有,)1ln(ln 1 1 -->-n n n , 所以有 n n 1211)1ln(+++ <+Λ,所以综上有n n n 1 211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ 例11.求证:e n <+??++ )! 1 1()!311)(!211(Λ和 e n <+??++)3 1 1()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例 12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n Λ 解析: 1)1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:)0(1 3 )1ln(1)0(132)1ln(>+>++?>+- >+x x x x x x x (加强命题) 例13.证明: )1*,(4 ) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12 +=n x 有,1ln 22-≤n n F E D C B A n-i n y x O 所以 2 1 1ln -≤+n n n ,所以 )1*,(4 ) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 例14. 已知112 11 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++证明2 n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21 )1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路: ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(2 1?++++ ≤+n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是n n n n n a a 21 1ln ln 21++≤ -+, 即.2ln ln 2 1 e a a a n n <- 注:题目所给条件ln(1)x x +<(0x >)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩: . ) 1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即.133ln 1)1ln(2 e e a a n n <-+<+ 例16.(2008年福州市质检)已知函数 . ln )(x x x f =若 ).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> ∴函数k k x g ,2[)(在)上单调递增,在] 2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ,即总 有 ). 2()(k g x g ≥ 而, 2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 ) (x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若 ) ()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证:函数),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数; (II)当) ()()(:,0,0212121 x x f x f x f x x +<+>>证明时; (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立, 求证: ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 解析:(I) ) ()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 两式相加后可以得到)()()(21 2 1 x x f x f x f +<+ (3) )()()()(21211 1212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ )()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++<ΛΛΛΛ…… 相加后可以得到: ) ()()()(212 1 n n x x x f x f x f x f +++<+++ΛΛ 所以) ln()(ln ln ln ln 2121332211 n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ 令 2 )1(1n x n += ,有 ??? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n Λ??? ? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ 所以). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ (方法二) ?? ? ??+-+=++≥+++>++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2n n n n n n n n n 所以) 2(24ln 2121 4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n Λ 又 1 1 14ln +> >n ,所以 ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和) 0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:1 2)1 21 1()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和 1 21)21 1()611)(411)(211(+< +---n n Λ也可以表 示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n ΛΛ和 1 212642) 12(531+< ????-????n n n ΛΛ 解析: 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 ?12)1 22563412(2+>-??n n n Λ即. 12)121 1()511)(311)(11(+>-++++n n Λ 例 20.证明:. 13)231 1()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n ΛΛ (加1) n n n n 31391067.342313784512+????>--????ΛΛ (加2) 相乘,可以得到: 所以有 . 13)2 31 1()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ 四、分类放缩 例21.求证:2 12131211n n >-++++ Λ 解析: +++++++++>-++++ ΛΛ)21 212121()4141(211121312113333n 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线 x y 2=(x ≥0)上的点列{}n B 满足n OB OA n n 1 ==,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,* ∈N n . (1)证明n a >1 +n a >4,* ∈N n ; (2)证明有* ∈N n ,使得对0 n n >?都有 n n n n b b b b b b b b 1123 12+-++++Λ<2008-n . 解析:(1) 依题设有:(()10,,,0n n n n A B b b n ?? > ??? ,由 1n OB n = 得: 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然,对于 11 01n n >>+,有* 14,n n a a n N +>>∈ (2)证明:设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈,则 设 * 12,n n S c c c n N =+++∈L ,则当() *221k n k N =->∈时, 212311112222222k k k -->? +?++?=L 。 所以,取4009022 n =-,对0 n n ?>都有: 故有 n n n n b b b b b b b b 1123 12+-++++Λ<2008-n 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2 R c b c bx x x f ∈≥++=,若)(x f 的定义域 为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列 } {n b 满足 )() (*3N n n n f b n ∈= ,记数列}{n b 的前n 项 和为n T ,问是否存在正常数A ,使得对于任意正整数n 都有A T n <?并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2 +=,∵ n n n n n n f b n 1 2)(323>+== ∴ n b b b b T n n 131211321++++ >++++=ΛΛ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++, (212122122112) 111 1 =?>++++ +---k k k k k Λ,故当k n 2>时,12+>k T n , 因此,对任何常数A ,设m 是不小于A 的最小正整数, 则当2 22 ->m n 时,必有 A m m T n >=+-> 12 2 2. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008 年中学教学参考)设不等式组? ?? ??+-≤>>n nx y y x 3,0,0表示的平面区域为n D , 设n D 内整数坐标点的个数为n a .设 n n n n a a a S 22 1 111+ ++= ++Λ, 当2≥n 时,求 证: 36 11711112321+≥++++n a a a a n Λ. 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证36 11 711112321+≥++++n a a a a n Λ只要证 1211 721312112+≥++++ =n S n n Λ,因为 n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =--ΛΛ12117)1(12723211121222+= -+≥+++++=-n n T T T n Λ,所以原命题 得证 五、迭代放缩 例25. 已知 1,1 4 11=++= +x x x x n n n ,求证:当 2 ≥n 时, n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 212-≤ -n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 ! sin 2!2sin 2!1sin 21+++= Λ,求证:对任意的正整数k,若k≥n 恒有:|S n+k -S n |<1 n 解析: |2) sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=-Λ 又 n C C C n n n n n n >+++=+=Λ10)11(2 所以n S S n n k n 121||<< -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642) 12(531642531423121-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 解析: 设 n n a n 2642)12(531????-????= ΛΛ则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 所以 1222642)12(531642531423121-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+???-????++????+??+n n n ΛΛΛ 解析: 设 n n a n 2642)12(531????-????= ΛΛ则 1 11)12(]1)1(2[) 1(21 2+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 例29. 若1 ,111+=?=+n a a a n n ,求证: )11(211121-+≥+++n a a a n Λ 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=?+?=+=?+++++21 112112 所以就有 21221 111211211 21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n Λ 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足. 1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明:对任意的整数4>m ,有 8 7 11154<+++m a a a Λ 解析:容易得到 [] .)1(23 212 ---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(231121321 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2 1 21(2322223123212-----+?=+?< n n n n n (减项放缩),于是 ①当4>m 且m 为偶数时=+++m a a a 11154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ ②当4>m 且m 为奇数时 <+++m a a a 1 1154Λ1 541111+++++m m a a a a Λ(添项放缩)由①知 .8 7 1111154<+++++m m a a a a Λ由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数221()2 x f x x += +.若对一切x R ∈,3()3af x b -≤+≤,求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知 1 (())((1)1)0 2 f x f +-≤ 即 1 ()12 f x -≤≤ 由此再由 () f x 的单调性可以知道 ()f x 的最小值为1 2-,最大值为1 因此对一切x R ∈,3()3af x b -≤+≤的充要条件是, 133 233 a b a b ? -≤-+≤?? ?-≤+≤? 即a ,b 满足约束条 件3 31 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??, 由线性规划得,a b -的最大值为5. 九、均值不等式放缩 例32.设 . )1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析: 此数列的通项为. ,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2 1 21)1(+=++< + ) 21 (1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k , 即.2 )1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式2 b a ab +≤ , 若放成1)1(+<+k k k 则得2 ) 1(2)3)(1()1(2 1 +> ++= +<∑=n n n k S n k n ,就放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 其中,3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数 bx a x f 211 )(?+= ,若 5 4)1(= f ,且 )(x f 在[0,1]上的最小值为2 1 ,求证: .2 121)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 解析: )221 1()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+= n f f x x f x x x x Λ 例34.已知b a ,为正数,且1 1 1 =+b a ,试证:对每一个*∈N n ,1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由 111=+b a 得 b a ab +=,又4 2)11)((≥++=++a b b a b a b a ,故4≥+=b a ab ,而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(, 令 n n n b a b a n f --+=)()(,则 )(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ,因为i n n i n C C -=,倒序相 加得)(2n f =) ()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ, 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ΛΛ, 则)(2n f = ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?-≥)22(n 1 2+n ,所以 )(n f ?-≥)22(n n 2,即对每一个*∈N n ,1222) (+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-?????>Λ= 2 12 -?n n , 原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 ) 1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+Λ 解析: 11)1()1()()(212112212 1221121+>?+++=+?+ =?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 ) 1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+Λ 例37.已知x x x f 1)(+ =,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ 解析: 2 )12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1Λ=,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以 2 2)12112)(1(+≥-++-++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22 )22()]2()3()2()1([+>????Λ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>????Λ. 例38.若7>k ,求证: 23 1121111>-++++++= nk n n n S n Λ. 解析: ) 1 11()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+=Λ 因为当0,0>>y x 时, xy y x xy y x 2 11, 2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +4 11, 当且仅当y x =时取到等号. 所以1 ) 1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n Λ 所以 23 1421)1(211)1(2>+-=+->-+-> k k k n k k S n 所以 2 31121111>-++++++= nk n n n S n Λ 例39.已知))(()(2 1 x x x x a x f --=,求证: 16 )1()0(2a f f ≤ ?. 解析: 16 )]1()][1([)1()0(2 22112 a x x x x a f f ≤ --=?. 例40.已知函数f(x)=x 2-(-1)k ·2lnx(k∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x)]n -2n -1·f’(x n )≥2n (2n -2). 解析: 由已知得)0(2 2)(>+ ='x x x x f , (1)当n=1 时,左式=22(2)(2)0 x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式= ) 2 2(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- 令 12242 1 4 2 11n n n n n n n n n n S C x C x C C x x ------=++++L 由倒序相加法得: )1( )1()1(222 1 4 42 2 21 -------++++ ++ =n n n n n n n n n n x x C x x C x x C S Λ) 22(2)(2121-=+++≥-n n n n n C C C Λ, 所以).22 (-≥n S 所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n n n n n x f x f 综上,当 k 是奇数,N n + ∈时,命题成立 例41. (2007年东北三校)已知函数) 1()(>-=a x a x f x (1)求函数)(x f 的最小值,并求最小值小于0时的a 取值范围; (2)令 ) 1()2()1()(' 1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n Λ求证: ) 2 ()22()('n f n S n ?-> ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 () f x ()0x ,∈+∞.对任意正数 a ,证明:()12f x <<. 解析:对任意给定的0a >,0x >,由 ()f x , 若令 8 b ax = ,则 8abx =① ,而 ()f x (一)、先证 ()1 f x >1 1x +1 1a +1 1b +, 又由 28a b x +++≥ ,得 6a b x ++≥. 所以 ()111 111f x x a b >+++++32()() (1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++= +++ 9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥ +++1()()1 (1)(1)(1)a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++. (二)、再证()2f x <;由①、②式中关于,,x a b 的对称性,不妨设x a b ≥≥.则02b <≤ (ⅰ)、当7a b +≥,则5a ≥,所以5x a ≥≥,因为1, 1 ,此时 ()2f x . (ⅱ)、当 7a b +<③,由①得 ,8x ab = 因为 22 2 11[1]114(1)2(1) b b b b b b b <-+=-++++ 所以12(1)b b - +④ 1 2(1)a a - +⑤ ,于是 ()12211a b f x a b ?<-+- ++?⑥ 今证明 11a b a b +>++因为 11a b a b +≥++, 只要证 (1)(1)8ab ab a b ab > +++,即 8(1)(1)ab a b +>++,也即 7a b +<,据③, 此为显然. 因此⑦得证.故由⑥得 ()2f x <. 综上所述,对任何正数a,x ,皆有()12f x <<. 例43.求证: 21 3121111<++++++< n n n Λ 解析:一方面:14 2 214131211312111=+>??? ??++≥++++++n n n Λ (法二) ?? ??????? ??+++++??? ??+++??? ??+++?=++++++11131 312113111211312111n n n n n n n n n ΛΛ 另一方面: 21 221121312111=++<++<++++++n n n n n n n Λ 十、二项放缩 n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1 2 1 0+=+≥n C C n n n , 例44. 已知112 11 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++证明2 n a e < 解析: ?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(1 1(11n n a n n a . ) 1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212 11 2 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即 . 133ln 1)1ln(2e e a a n n <-+<+ 例45.设 n n n a )1 1(+=,求证:数列}{n a 单调递增且.4 解析: 引入一个结论:若0>>a b 则)()1(1 1 a b b n a b n n n -+<-++(证略) 整理上式得].)1[(1nb a n b a n n -+>+(?) 以n b n a 11,111+=++ =代入(?)式得 >++ +1)111(n n .)1 1(n n + 即}{n a 单调递增。 以 n b a 21 1,1+ ==代入(?)式得 .4)21 1(21)211(12<+??+ >n n n n 此式对一切正整数n 都成立,即对一切偶数有4 ) 1 1(<+n n ,又因为数列 } {n a 单调递增,所以对一切正整数n 有 4 )1 1(<+n n 。 注:①上述不等式可加强为. 3)1 1(2<+≤n n 简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩:.1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+=Λ 只取前两项有.21 11 =? +≥n C a n n 对通项作如下放缩: 故有 .32/11)2/1(1212212121111 12<--?+=++++ +<--n n n a Λ ②上述数列}{n a 的极限存在,为无理数e ;同时是下述试题的背景: 已知n m i ,,是正整数,且.1n m i <≤<(1)证明i n i i m i A m A n <;(2)证明.)1()1(m n n m +>+(01年全国卷理科第20题) 简析 对第(2)问:用n /1代替n 得数列n n n n b b 1 )1(:}{+=是递减数列;借鉴此 结论可有如下简捷证法:数列} )1{(1n n +递减,且 , 1n m i <≤<故 , )1()1(1 1 n m n m +>+即 m n n m )1()1(+>+。 当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:.12n n n b a -≥+ 解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为b a ,21,成等差数列,设d b d a +=-=21,21, 从而n n n n n d d b a -≥?? ? ??++??? ??-=+122121 例 47.设N n n ∈>,1,求证)2)(1(8 )32(++< n n n . 解析: 观察n )32(的结构,注意到n n )211()2 3(+=,展开得 86)2)(1(8)1(212121211)211(33221+++=-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n Λ,即8)2)(1()211(++> +n n n ,得证. 例 48.求证:n n n 2 ln )211ln(2ln 3ln < +≤-. 解析:参见上面的方法 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数** (),,y f x x y =∈∈N N ,满足: ①对任意* ,,a b a b ∈≠N ,都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+; ②对任意* n ∈N 都有[()]3f f n n =. (I )试证明:)(x f 为* N 上的单调增函数; (II )求)28()6()1(f f f ++; (III )令*(3),n n a f n =∈N ,试证明:. 121111 424n n n a a a +++< +L ≤ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a , 也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为 *N 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又 3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1< 接下来要运用迭代的思想: 因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ② 18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f 在此比较有技巧的方法就是:2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有)28()6()1(f f f ++=662955=++ (3)在解决}{n a 的通项公式时也会遇到困难. n n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=?===+++,所以数列* (3),n n a f n =∈N 的方程为n n a 32?=, 从而)311(4111121n n a a a -=+++Λ,一方面41)311(41<-n ,另一方面1222)21(311 00+=?+?≥+=n C C n n n n 所以2412241)1211(41)311(41+= +?=+-≥-n n n n n n ,所以,综上有12 1111424n n n a a a +++<+L ≤. 例49. 已知函数f ?x ?的定义域为[0,1],且满足下列条件:① 对于任意x ∈[0,1],总有()3f x ≥,且()14f =;② 若1 2 1 2 0,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212 () 3.f x x f x f x +≥+- (Ⅰ)求f ?0?的值;(Ⅱ)求证:f ?x ?≤4; (Ⅲ)当 1 11 ( ,](1,2,3,)33n n x n -∈=???时,试证明:()33f x x <+. 解析:(Ⅰ)解:令120x x ==,由①对于任意x ∈[0,1],总有()3f x ≥, ∴(0)3f ≥ 又由②得(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴(0) 3.f = (Ⅱ)解:任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2 1 21121()[()]()()3,f x f x x x f x f x x =+-≥+-- 因为2 10 x x ->,所以2 1 ()3f x x -≥,即2 1()30, f x x --≥ ∴12()()f x f x ≤. ∴当x ∈[0,1]时,()(1)4f x f ≤=. (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: 1111 ( )3(*)33n n f n N --≤+∈ (1) 当n=1时, 0011 ( )(1)413333 f f ===+=+,不等式成立; (2) 假设当n=k 时, 1 111 ( )3(*)33 k k f k N --≤+∈ 由 1 1111111 ( )[()]()()33333333 k k k k k k k f f f f -=++≥++- 111 ( )()()6333 k k k f f f ≥++- 得 11111 3( )()69.333 k k k f f --≤+≤+ 即当n=k+1时,不等式成立 由(1)、(2)可知,不等式1111( )333 n n f --≤+对一切正整数都成立. 于是,当 1 11 ( ,](1,2,3,)33n n x n -∈=???时, 1111133333()333 n n n x f --+>? +=+≥, 而x ∈[0,1],()f x 单调递增 ∴111 ( )()33 n n f f -< 所以, 1 1 ()( )3 3.3n f x f x -<<+ 例50. 已知:1 2 1,0 n i a a a a +++=>L )2,1(n i Λ= 求证: 2222 1 1212231112 n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++>++++L 解析:构造对偶式:令1 2121 3222 212 1 a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++ ++++++= --Λ 则 1 2121221322322212 221a a a a a a a a a a a a a a a a B A n n n n n n +-+ +-+++-++-=---Λ= B A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221Λ 又Θ )(2 1 22j i j i j i a a a a a a +≥ +- ()2,1,n j i Λ= 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在[],a b 上的可积函数()()0f x ≥≤,则()()0b a f x dx ≥≤?. 例51.求证:e e π π <. 解析: ln ln e e e e π π ππ<,∵ln ln ln ln e e e x x d e x x π πππ????-== ????????21ln e x dx x π-=?, () ,x e π∈时, 2 1ln 0x x -<,2 1ln 0e x dx x π - , ∴ ln ln e e π π < ,e e π π<. 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证: ( ) 1211 23n n + +++>+-L ,()1,n n N >∈. 解析: 考虑函数()f x x = 在区间[],1i i +()1,2,3,,i n =L 上的定积分. 如图,显然 11i i dx i i x +=?>?-① 对i 求和,11 1n n i i i i dx i x +==>∑ ∑?11 n dx x +=? 1 12n x +??=??( )2 11 n =+-. 例 53. 已知,4n N n ∈≥.求证:11117123 210n n n n ++++< +++L . 解析:考虑函数 ()11f x x = +在区间 1,i i n n -?? ???? ()1,2,3,,i n =L 上的定积分. ∵1 n i +11 1i n n = ?+111i n i n dx x -<+? -② ∴ 11n i n i =+∑1111n i i n n ==?+ ∑11 1 1i n n i i n dx x -=<+∑? ()11 001ln 11dx x x ==+????+?7 ln 210 =< . 例54. (2003年全国高考江苏卷)设0a >,如图,已知直线ax y l =:及曲线C :2 x y =, C 上的点1Q 的横坐标为1a (a a <<10).从C 上的点()1n Q n ≥作直线平行于x 轴,交直线l 于点1+n P ,再从点1+n P 作直线平行于y 轴,交曲线C 于点 1n Q +.()1,2,,n Q n n =L 的横坐标构成数列{}n a . (Ⅰ)试求1n a +与n a 的关系,并求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)当 2 1 ,11≤ =a a 时,证明 ∑=++< -n k k k k a a a 1 2132 1)(; (Ⅲ)当1a =时,证明 121 1 ()3 n k k k k a a a ++--< ∑. 解析: 1 21() n n a a a a -=(过程略). 证明(II ):由1a =知21n n a a +=,∵ 11 2 a ≤ ,∴ 2311,416 a a ≤≤ . ∵当1k ≥时,231 16k a a +≤≤ , ∴ 121111 1111()()()161632 n n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤ -=-<∑∑. 证明(Ⅲ):由1a =知2 1 k k a a +=. ∴2 1211 ()()k k k k k k a a a a a a ++++-=-恰表示阴影部分面积, 显然 1 2 211()k k a k k k a a a a x dx +++- ④ ∴ 2121111 ()()n n k k k k k k k k a a a a a a ++++---=-∑∑1 21 k k n a a k x dx +-<∑?1 20 a x dx < ? 311133 a = <. 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ① 1i i dx i x +=>?() 21i i =+-; ②1n i +11 1i n i n dx x -<+?1ln 1ln 1i i n n -????=+-+ ? ? ????; sin 1 sin i i i i θθθθ--< =-? ; ④ ()1 2 23 31111()3 k k a k k k k k a a a a x dx a a ++++-<= -? . 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 7 4 123112311311 <+?+++?++-n Λ 解析: 12 1123123128111231714112311 231131---?++?+<+?+++=+?+++?++n n n ΛΛΛ74844884472 1141 312811= <=-?+< 例56. 设 ++ =a n a 2 1 1.2,131≥++a n a a Λ求证:. 2 a 解析: ++ =a n a 2 1 1.131211131222n n a a ++++≤++ΛΛ 又2 ),1(2 ≥->?=k k k k k k (只将其中一个k 变成1-k ,进行部分放缩), k k k k k 1 11)1(112 --=-<∴ , 于是 ) 1 11()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++ ≤ΛΛ.212<-=n 例57.设数列{}n a 满足() ++∈+-=N n na a a n n n 12 1 ,当31 ≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ; 2 1 111111) (21≤++++++n a a a ii Λ 解析: )(i 用数学归纳法:当1=n 时显然成立,假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ,则当1+=k n 时 3 12)2(1)2(1)(1 +>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ,成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项,可得 ? +≥++)1(211k k a a .21 11242)1(2111111++--≤+? =?≥+≥≥+k k k k k k a a a Λ 注:上述证明)(i 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:3 1)2)(2(1 +>+-++≥+k k k k a k ;证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121 +≥+k k a a 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:)(|||sin |R x x x ∈≤. 解析:(i)当0=x 时,|||sin |x x = (ii)当 20π <